IMO 1965 · Problem 2
Consider the system of equations \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=0 \end{aligned} \] with unknowns \(x_1,x_2,x_3\). The coefficients satisfy the conditions:
(a) \(a_{11},a_{22},a_{33}\) are positive numbers;
(b) the remaining coefficients are negative numbers;
(c) in each equation, the sum of the coefficients is positive.
Prove that the given system has only the solution \(x_1=x_2=x_3=0\).
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Solution
Since the off-diagonal coefficients are negative and each row has positive sum, for every \(i\in\{1,2,3\}\) we have \[ a_{ii}>-\sum_{j\ne i}a_{ij}=\sum_{j\ne i}|a_{ij}|. \]
Suppose that \((x_1,x_2,x_3)\) is a nonzero solution. Choose \(k\in\{1,2,3\}\) such that \[ |x_k|=\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}=M>0. \] The \(k\)-th equation gives \[ a_{kk}x_k=-\sum_{j\ne k}a_{kj}x_j. \] Taking absolute values and using the triangle inequality, we obtain \[ a_{kk}M =\left|\sum_{j\ne k}a_{kj}x_j\right| \le \sum_{j\ne k}|a_{kj}|\,|x_j| \le M\sum_{j\ne k}|a_{kj}| <Ma_{kk}, \] a contradiction.
Thus every solution satisfies \(x_1=x_2=x_3=0\). This triple clearly satisfies all three equations, so it is the unique solution.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1965 · Aufgabe 2
Betrachte das Gleichungssystem \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=0 \end{aligned} \] mit den Unbekannten \(x_1,x_2,x_3\). Die Koeffizienten erfüllen die folgenden Bedingungen:
(a) \(a_{11},a_{22},a_{33}\) sind positive Zahlen;
(b) die übrigen Koeffizienten sind negative Zahlen;
(c) in jeder Gleichung ist die Summe der Koeffizienten positiv.
Beweise, dass das gegebene System nur die Lösung \(x_1=x_2=x_3=0\) hat.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Lösung
Da die Koeffizienten außerhalb der Hauptdiagonalen negativ sind und jede Zeile eine positive Summe hat, gilt für jedes \(i\in\{1,2,3\}\) \[ a_{ii}>-\sum_{j\ne i}a_{ij}=\sum_{j\ne i}|a_{ij}|. \]
Angenommen, \((x_1,x_2,x_3)\) ist eine von der Nulllösung verschiedene Lösung. Wähle \(k\in\{1,2,3\}\) so, dass \[ |x_k|=\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}=M>0. \] Die \(k\)-te Gleichung liefert \[ a_{kk}x_k=-\sum_{j\ne k}a_{kj}x_j. \] Durch Bilden der Beträge und Anwenden der Dreiecksungleichung erhalten wir \[ a_{kk}M =\left|\sum_{j\ne k}a_{kj}x_j\right| \le \sum_{j\ne k}|a_{kj}|\,|x_j| \le M\sum_{j\ne k}|a_{kj}| <Ma_{kk}, \] ein Widerspruch.
Somit erfüllt jede Lösung \(x_1=x_2=x_3=0\). Dieses Tripel erfüllt offensichtlich alle drei Gleichungen und ist daher die einzige Lösung.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1965 · Soru 2
Bilinmeyenleri \(x_1,x_2,x_3\) olan \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=0 \end{aligned} \] denklem sistemini ele alalım. Katsayılar şu koşulları sağlamaktadır:
(a) \(a_{11},a_{22},a_{33}\) pozitif sayılardır;
(b) diğer katsayılar negatif sayılardır;
(c) her denklemde katsayıların toplamı pozitiftir.
Verilen sistemin tek çözümünün \(x_1=x_2=x_3=0\) olduğunu kanıtlayınız.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Çözüm
Köşegen dışındaki katsayılar negatif ve her satırın toplamı pozitif olduğundan, her \(i\in\{1,2,3\}\) için \[ a_{ii}>-\sum_{j\ne i}a_{ij}=\sum_{j\ne i}|a_{ij}| \] olur.
\((x_1,x_2,x_3)\)'ün sıfırdan farklı bir çözüm olduğunu varsayalım. \[ |x_k|=\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}=M>0 \] olacak biçimde \(k\in\{1,2,3\}\) seçelim. \(k\). denklemden \[ a_{kk}x_k=-\sum_{j\ne k}a_{kj}x_j \] elde edilir. Mutlak değer alıp üçgen eşitsizliğini kullanarak \[ a_{kk}M =\left|\sum_{j\ne k}a_{kj}x_j\right| \le \sum_{j\ne k}|a_{kj}|\,|x_j| \le M\sum_{j\ne k}|a_{kj}| <Ma_{kk}, \] çelişkisini elde ederiz.
Dolayısıyla her çözüm \(x_1=x_2=x_3=0\) koşulunu sağlar. Bu üçlü açıkça üç denklemi de sağladığından tek çözümdür.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1965 · Problema 2
Consideremos el sistema de ecuaciones \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=0 \end{aligned} \] con incógnitas \(x_1,x_2,x_3\). Los coeficientes satisfacen las condiciones siguientes:
(a) \(a_{11},a_{22},a_{33}\) son números positivos;
(b) los demás coeficientes son números negativos;
(c) en cada ecuación, la suma de los coeficientes es positiva.
Demostrar que el sistema dado tiene únicamente la solución \(x_1=x_2=x_3=0\).
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Solución
Como los coeficientes situados fuera de la diagonal son negativos y la suma de cada fila es positiva, para todo \(i\in\{1,2,3\}\) tenemos \[ a_{ii}>-\sum_{j\ne i}a_{ij}=\sum_{j\ne i}|a_{ij}|. \]
Supongamos que \((x_1,x_2,x_3)\) es una solución no nula. Elijamos \(k\in\{1,2,3\}\) tal que \[ |x_k|=\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}=M>0. \] La ecuación \(k\)-ésima da \[ a_{kk}x_k=-\sum_{j\ne k}a_{kj}x_j. \] Tomando valores absolutos y aplicando la desigualdad triangular, obtenemos \[ a_{kk}M =\left|\sum_{j\ne k}a_{kj}x_j\right| \le \sum_{j\ne k}|a_{kj}|\,|x_j| \le M\sum_{j\ne k}|a_{kj}| <Ma_{kk}, \] lo cual es una contradicción.
Por tanto, toda solución satisface \(x_1=x_2=x_3=0\). Esta terna satisface claramente las tres ecuaciones, por lo que es la única solución.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1965 · 问题 2
考虑方程组 \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=0 \end{aligned} \] 其中未知数为 \(x_1,x_2,x_3\)。其系数满足以下条件：
(a) \(a_{11},a_{22},a_{33}\) 均为正数；
(b) 其余系数均为负数；
(c) 每个方程的系数之和均为正数。
证明：此方程组只有解 \(x_1=x_2=x_3=0\)。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
解答
由于非对角线上的系数均为负数，且每一行的系数之和为正数，对每个 \(i\in\{1,2,3\}\)，都有 \[ a_{ii}>-\sum_{j\ne i}a_{ij}=\sum_{j\ne i}|a_{ij}|. \]
假设 \((x_1,x_2,x_3)\) 是一个非零解。选取 \(k\in\{1,2,3\}\)，使得 \[ |x_k|=\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}=M>0. \] 由第 \(k\) 个方程得 \[ a_{kk}x_k=-\sum_{j\ne k}a_{kj}x_j. \] 两边取绝对值，并利用三角不等式，得到 \[ a_{kk}M =\left|\sum_{j\ne k}a_{kj}x_j\right| \le \sum_{j\ne k}|a_{kj}|\,|x_j| \le M\sum_{j\ne k}|a_{kj}| <Ma_{kk}, \] 矛盾。
因此，每个解都满足 \(x_1=x_2=x_3=0\)。这一三元组显然满足所有三个方程，所以它是唯一的解。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1965 · Задача 2
Рассмотрим систему уравнений \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=0 \end{aligned} \] с неизвестными \(x_1,x_2,x_3\). Коэффициенты удовлетворяют следующим условиям:
(a) \(a_{11},a_{22},a_{33}\) — положительные числа;
(b) остальные коэффициенты — отрицательные числа;
(c) в каждом уравнении сумма коэффициентов положительна.
Докажите, что данная система имеет только решение \(x_1=x_2=x_3=0\).
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Решение
Поскольку внедиагональные коэффициенты отрицательны, а сумма элементов каждой строки положительна, для любого \(i\in\{1,2,3\}\) имеем \[ a_{ii}>-\sum_{j\ne i}a_{ij}=\sum_{j\ne i}|a_{ij}|. \]
Предположим, что \((x_1,x_2,x_3)\) — ненулевое решение. Выберем \(k\in\{1,2,3\}\) так, чтобы \[ |x_k|=\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}=M>0. \] Из \(k\)-го уравнения получаем \[ a_{kk}x_k=-\sum_{j\ne k}a_{kj}x_j. \] Взяв модули обеих частей и применив неравенство треугольника, получаем \[ a_{kk}M =\left|\sum_{j\ne k}a_{kj}x_j\right| \le \sum_{j\ne k}|a_{kj}|\,|x_j| \le M\sum_{j\ne k}|a_{kj}| <Ma_{kk}, \] что является противоречием.
Таким образом, любое решение удовлетворяет условию \(x_1=x_2=x_3=0\). Эта тройка, очевидно, удовлетворяет всем трём уравнениям, поэтому она является единственным решением.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1965 · المسألة 2
لتكن لدينا جملة المعادلات \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=0 \end{aligned} \] ذات المجاهيل \(x_1,x_2,x_3\). تحقق المعاملات الشروط الآتية:
(أ) \(a_{11},a_{22},a_{33}\) أعداد موجبة؛
(ب) بقية المعاملات أعداد سالبة؛
(ج) مجموع المعاملات في كل معادلة موجب.
أثبت أن الحل الوحيد للجملة المعطاة هو \(x_1=x_2=x_3=0\).
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الحل
بما أن المعاملات الواقعة خارج القطر الرئيسي سالبة، ومجموع عناصر كل صف موجب، فإن لدينا لكل \(i\in\{1,2,3\}\) \[ a_{ii}>-\sum_{j\ne i}a_{ij}=\sum_{j\ne i}|a_{ij}|. \]
لنفترض أن \((x_1,x_2,x_3)\) حل غير صفري. نختار \(k\in\{1,2,3\}\) بحيث \[ |x_k|=\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}=M>0. \] تعطي المعادلة ذات الرقم \(k\) \[ a_{kk}x_k=-\sum_{j\ne k}a_{kj}x_j. \] بأخذ القيم المطلقة واستخدام متباينة المثلث، نحصل على \[ a_{kk}M =\left|\sum_{j\ne k}a_{kj}x_j\right| \le \sum_{j\ne k}|a_{kj}|\,|x_j| \le M\sum_{j\ne k}|a_{kj}| <Ma_{kk}, \] وهذا تناقض.
إذن كل حل يحقق \(x_1=x_2=x_3=0\). ومن الواضح أن هذه الثلاثية تحقق المعادلات الثلاث كلها، فهي الحل الوحيد.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).