Problem 1

In a mathematical contest, three problems, \(A, B, C\) were posed. Among the participants there were 25 students who solved at least one problem each. Of all the contestants who did not solve problem \(A\), the number who solved \(B\) was twice the number who solved \(C\). The number of students who solved only problem \(A\) was one more than the number of students who solved \(A\) and at least one other problem. Of all students who solved just one problem, half did not solve problem \(A\). How many students solved only problem \(B\)?

Solution →

Problem 2

Let \(a,b,c\) be the lengths of the sides of a triangle, and \(\alpha,\beta,\gamma\), respectively, the angles opposite these sides. Prove that if \[ a+b=\tan\frac{\gamma}{2}(a\tan\alpha+b\tan\beta), \] the triangle is isosceles.

Solution →

Problem 3

Prove: The sum of the distances of the vertices of a regular tetrahedron from the center of its circumscribed sphere is less than the sum of the distances of these vertices from any other point in space.

Solution →

Problem 4

Prove that for every natural number \(n\), and for every real number \(x \ne k\pi/2^t\) (\(t = 0, 1, \ldots, n;\ k\) any integer) \[ \frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^n x} =\cot x-\cot 2^n x. \]

Solution →

Problem 5

Solve the system of equations \[ \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4&=1,\\ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4&=1,\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4&=1,\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3&=1, \end{aligned} \] where \(a_1,a_2,a_3,a_4\) are four different real numbers.

The official paper mistakenly repeats \(|a_2-a_3|x_3\) instead of \(|a_2-a_4|x_4\) in the second equation and omits \(|a_3-a_4|x_4\) from the third equation; these misprints are corrected above.

Solution →

Problem 6

In the interior of sides \(BC, CA, AB\) of triangle \(ABC\), any points \(K, L, M\), respectively, are selected. Prove that the area of at least one of the triangles \(AML, BKM, CLK\) is less than or equal to one quarter of the area of triangle \(ABC\).

Solution →

Aufgabe 1

Bei einem Mathematikwettbewerb wurden drei Aufgaben \(A, B, C\) gestellt. Unter den Teilnehmern waren 25 Schüler, die jeweils mindestens eine Aufgabe lösten. Unter allen Teilnehmern, die Aufgabe \(A\) nicht lösten, war die Anzahl derjenigen, die \(B\) lösten, doppelt so groß wie die Anzahl derjenigen, die \(C\) lösten. Die Anzahl der Schüler, die nur Aufgabe \(A\) lösten, war um eins größer als die Anzahl der Schüler, die \(A\) und mindestens eine weitere Aufgabe lösten. Von allen Schülern, die genau eine Aufgabe lösten, löste die Hälfte Aufgabe \(A\) nicht. Wie viele Schüler lösten nur Aufgabe \(B\)?

Lösung →

Aufgabe 2

Es seien \(a,b,c\) die Seitenlängen eines Dreiecks und \(\alpha,\beta,\gamma\) die diesen Seiten jeweils gegenüberliegenden Winkel. Man beweise: Gilt \[ a+b=\tan\frac{\gamma}{2}(a\tan\alpha+b\tan\beta), \] so ist das Dreieck gleichschenklig.

Lösung →

Aufgabe 3

Man beweise: Die Summe der Abstände der Eckpunkte eines regelmäßigen Tetraeders vom Mittelpunkt seiner Umkugel ist kleiner als die Summe der Abstände dieser Eckpunkte von jedem anderen Punkt im Raum.

Lösung →

Aufgabe 4

Man beweise, dass für jede natürliche Zahl \(n\) und jede reelle Zahl \(x \ne k\pi/2^t\) (\(t = 0, 1, \ldots, n;\ k\) eine beliebige ganze Zahl) die folgende Gleichung gilt: \[ \frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^n x} =\cot x-\cot 2^n x. \]

Lösung →

Aufgabe 5

Man löse das Gleichungssystem \[ \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4&=1,\\ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4&=1,\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4&=1,\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3&=1, \end{aligned} \] wobei \(a_1,a_2,a_3,a_4\) vier verschiedene reelle Zahlen sind.

Auf dem offiziellen Aufgabenblatt wird in der zweiten Gleichung irrtümlich \(|a_2-a_3|x_3\) anstelle von \(|a_2-a_4|x_4\) wiederholt, und in der dritten Gleichung fehlt \(|a_3-a_4|x_4\); diese Druckfehler sind oben berichtigt.

Lösung →

Aufgabe 6

Im Inneren der Seiten \(BC, CA, AB\) eines Dreiecks \(ABC\) werden jeweils beliebige Punkte \(K, L, M\) gewählt. Man beweise, dass der Flächeninhalt mindestens eines der Dreiecke \(AML, BKM, CLK\) höchstens ein Viertel des Flächeninhalts des Dreiecks \(ABC\) beträgt.

Lösung →

Soru 1

Bir matematik yarışmasında \(A, B, C\) olmak üzere üç soru sorulmuştur. Yarışmacılar arasında en az bir soru çözen 25 öğrenci vardır. \(A\) sorusunu çözemeyen yarışmacılar arasında \(B\) sorusunu çözenlerin sayısı, \(C\) sorusunu çözenlerin sayısının iki katıdır. Yalnızca \(A\) sorusunu çözen öğrencilerin sayısı, \(A\) sorusunu ve en az bir başka soruyu çözen öğrencilerin sayısından bir fazladır. Tam olarak bir soru çözen öğrencilerin yarısı \(A\) sorusunu çözememiştir. Yalnızca \(B\) sorusunu çözen kaç öğrenci vardır?

Çözüm →

Soru 2

Bir üçgenin kenar uzunlukları \(a,b,c\), bu kenarların karşısındaki açılar da sırasıyla \(\alpha,\beta,\gamma\) olsun. \[ a+b=\tan\frac{\gamma}{2}(a\tan\alpha+b\tan\beta), \] ise üçgenin ikizkenar olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

Bir düzgün dörtyüzlünün köşelerinin, çevrel küresinin merkezine olan uzaklıkları toplamının, bu köşelerin uzaydaki başka herhangi bir noktaya olan uzaklıkları toplamından küçük olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 4

Her \(n\) doğal sayısı ve \(x \ne k\pi/2^t\) (\(t = 0, 1, \ldots, n;\ k\) herhangi bir tam sayı) koşulunu sağlayan her gerçel sayı için \[ \frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^n x} =\cot x-\cot 2^n x \] olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 5

Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz: \[ \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4&=1,\\ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4&=1,\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4&=1,\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3&=1, \end{aligned} \] Burada \(a_1,a_2,a_3,a_4\) birbirinden farklı dört gerçel sayıdır.

Resmî soru kâğıdında ikinci denklemde \(|a_2-a_4|x_4\) yerine yanlışlıkla \(|a_2-a_3|x_3\) tekrar yazılmış ve üçüncü denklemde \(|a_3-a_4|x_4\) terimi atlanmıştır; bu baskı hataları yukarıda düzeltilmiştir.

Çözüm →

Soru 6

\(ABC\) üçgeninin \(BC, CA, AB\) kenarları üzerinde, uç noktalarından farklı olmak üzere, sırasıyla herhangi \(K, L, M\) noktaları seçiliyor. \(AML, BKM, CLK\) üçgenlerinden en az birinin alanının, \(ABC\) üçgeninin alanının dörtte birinden küçük veya ona eşit olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Problema 1

En un concurso de matemáticas se propusieron tres problemas, \(A, B, C\). Entre los participantes había 25 estudiantes que resolvieron al menos un problema cada uno. Entre todos los concursantes que no resolvieron el problema \(A\), el número de los que resolvieron \(B\) era el doble del número de los que resolvieron \(C\). El número de estudiantes que resolvieron únicamente el problema \(A\) era uno más que el número de estudiantes que resolvieron \(A\) y al menos otro problema. De todos los estudiantes que resolvieron exactamente un problema, la mitad no resolvió el problema \(A\). ¿Cuántos estudiantes resolvieron únicamente el problema \(B\)?

Solución →

Problema 2

Sean \(a,b,c\) las longitudes de los lados de un triángulo, y \(\alpha,\beta,\gamma\), respectivamente, los ángulos opuestos a dichos lados. Demostrar que, si \[ a+b=\tan\frac{\gamma}{2}(a\tan\alpha+b\tan\beta), \] el triángulo es isósceles.

Solución →

Problema 3

Demostrar que la suma de las distancias de los vértices de un tetraedro regular al centro de su esfera circunscrita es menor que la suma de las distancias de estos vértices a cualquier otro punto del espacio.

Solución →

Problema 4

Demostrar que, para todo número natural \(n\) y todo número real \(x \ne k\pi/2^t\) (\(t = 0, 1, \ldots, n;\ k\) un entero cualquiera), \[ \frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^n x} =\cot x-\cot 2^n x. \]

Solución →

Problema 5

Resolver el sistema de ecuaciones \[ \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4&=1,\\ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4&=1,\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4&=1,\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3&=1, \end{aligned} \] donde \(a_1,a_2,a_3,a_4\) son cuatro números reales distintos.

El enunciado oficial repite por error \(|a_2-a_3|x_3\) en lugar de \(|a_2-a_4|x_4\) en la segunda ecuación y omite \(|a_3-a_4|x_4\) en la tercera; estas erratas se han corregido arriba.

Solución →

Problema 6

En el interior de los lados \(BC, CA, AB\) del triángulo \(ABC\) se eligen puntos cualesquiera \(K, L, M\), respectivamente. Demostrar que el área de al menos uno de los triángulos \(AML, BKM, CLK\) es menor o igual que la cuarta parte del área del triángulo \(ABC\).

Solución →

问题 1

一次数学竞赛设有三道题 \(A, B, C\)。参赛者中有 25 名学生每人至少解出一道题。在所有未解出题 \(A\) 的参赛者中，解出题 \(B\) 的人数是解出题 \(C\) 的人数的两倍。只解出题 \(A\) 的学生人数比解出题 \(A\) 且至少还解出一道其他题的学生人数多一人。在所有恰好解出一道题的学生中，有一半未解出题 \(A\)。有多少名学生只解出了题 \(B\)？

解答 →

问题 2

设 \(a,b,c\) 为一个三角形的三边长，\(\alpha,\beta,\gamma\) 分别为这些边所对的角。证明：如果 \[ a+b=\tan\frac{\gamma}{2}(a\tan\alpha+b\tan\beta), \] 那么这个三角形是等腰三角形。

解答 →

问题 3

证明：正四面体各顶点到其外接球球心的距离之和，小于这些顶点到空间中任何其他一点的距离之和。

解答 →

问题 4

证明：对于每个自然数 \(n\) 以及每个实数 \(x \ne k\pi/2^t\)（\(t = 0, 1, \ldots, n;\ k\) 为任意整数），都有 \[ \frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^n x} =\cot x-\cot 2^n x. \]

解答 →

问题 5

解方程组 \[ \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4&=1,\\ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4&=1,\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4&=1,\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3&=1, \end{aligned} \] 其中 \(a_1,a_2,a_3,a_4\) 为四个互不相同的实数。

官方试卷在第二个方程中错误地重复印出了 \(|a_2-a_3|x_3\)，而非应有的 \(|a_2-a_4|x_4\)，并在第三个方程中漏掉了 \(|a_3-a_4|x_4\)；以上已更正这些印刷错误。

解答 →

问题 6

在三角形 \(ABC\) 的边 \(BC, CA, AB\) 的内部，分别任取点 \(K, L, M\)。证明：三角形 \(AML, BKM, CLK\) 中至少有一个的面积小于或等于三角形 \(ABC\) 面积的四分之一。

解答 →

Задача 1

На математической олимпиаде были предложены три задачи: \(A, B, C\). Среди участников было 25 школьников, каждый из которых решил хотя бы одну задачу. Среди всех участников, не решивших задачу \(A\), число решивших задачу \(B\) было вдвое больше числа решивших задачу \(C\). Число школьников, решивших только задачу \(A\), было на единицу больше числа школьников, решивших задачу \(A\) и хотя бы одну другую задачу. Среди всех школьников, решивших ровно одну задачу, половина не решила задачу \(A\). Сколько школьников решили только задачу \(B\)?

Решение →

Задача 2

Пусть \(a,b,c\) — длины сторон треугольника, а \(\alpha,\beta,\gamma\) — противолежащие им углы соответственно. Докажите, что если \[ a+b=\tan\frac{\gamma}{2}(a\tan\alpha+b\tan\beta), \] то треугольник равнобедренный.

Решение →

Задача 3

Докажите, что сумма расстояний от вершин правильного тетраэдра до центра описанной около него сферы меньше суммы расстояний от этих вершин до любой другой точки пространства.

Решение →

Задача 4

Докажите, что для любого натурального числа \(n\) и любого действительного числа \(x \ne k\pi/2^t\) (\(t = 0, 1, \ldots, n;\ k\) — любое целое число) \[ \frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^n x} =\cot x-\cot 2^n x. \]

Решение →

Задача 5

Решите систему уравнений \[ \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4&=1,\\ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4&=1,\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4&=1,\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3&=1, \end{aligned} \] где \(a_1,a_2,a_3,a_4\) — четыре различных действительных числа.

В официальном тексте во втором уравнении ошибочно повторено слагаемое \(|a_2-a_3|x_3\) вместо \(|a_2-a_4|x_4\), а в третьем уравнении пропущено слагаемое \(|a_3-a_4|x_4\); выше эти опечатки исправлены.

Решение →

Задача 6

На сторонах \(BC, CA, AB\) треугольника \(ABC\), не совпадая с их концами, выбраны произвольные точки \(K, L, M\) соответственно. Докажите, что площадь хотя бы одного из треугольников \(AML, BKM, CLK\) не превосходит четверти площади треугольника \(ABC\).

Решение →

المسألة 1

طُرحت في مسابقة رياضية ثلاث مسائل هي \(A, B, C\). وكان من بين المشاركين 25 طالبًا حلّ كلٌّ منهم مسألة واحدة على الأقل. ومن بين جميع المتسابقين الذين لم يحلّوا المسألة \(A\)، كان عدد الذين حلّوا \(B\) ضعف عدد الذين حلّوا \(C\). وكان عدد الطلاب الذين حلّوا المسألة \(A\) وحدها يزيد بواحد على عدد الطلاب الذين حلّوا \(A\) ومسألة أخرى واحدة على الأقل. ومن بين جميع الطلاب الذين حلّوا مسألة واحدة فقط، لم يحلّ نصفهم المسألة \(A\). كم طالبًا حلّ المسألة \(B\) وحدها؟

← الحل

المسألة 2

لتكن \(a,b,c\) أطوال أضلاع مثلث، ولتكن \(\alpha,\beta,\gamma\)، على الترتيب، الزوايا المقابلة لهذه الأضلاع. أثبت أنه إذا كان \[ a+b=\tan\frac{\gamma}{2}(a\tan\alpha+b\tan\beta), \] فإن المثلث متساوي الساقين.

← الحل

المسألة 3

أثبت أن مجموع أبعاد رؤوس رباعي وجوه منتظم عن مركز الكرة المحيطة به أصغر من مجموع أبعاد هذه الرؤوس عن أي نقطة أخرى في الفضاء.

← الحل

المسألة 4

أثبت أنه لكل عدد طبيعي \(n\)، ولكل عدد حقيقي \(x \ne k\pi/2^t\) (حيث \(t = 0, 1, \ldots, n;\ k\) أي عدد صحيح)، \[ \frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^n x} =\cot x-\cot 2^n x. \]

← الحل

المسألة 5

حلّ نظام المعادلات \[ \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4&=1,\\ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4&=1,\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4&=1,\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3&=1, \end{aligned} \] حيث \(a_1,a_2,a_3,a_4\) أربعة أعداد حقيقية مختلفة.

تكرّر الورقة الرسمية خطأً الحد \(|a_2-a_3|x_3\) بدلًا من \(|a_2-a_4|x_4\) في المعادلة الثانية، وتحذف الحد \(|a_3-a_4|x_4\) من المعادلة الثالثة؛ وقد صُحّحت هذه الأخطاء المطبعية أعلاه.

← الحل

المسألة 6

نختار نقاطًا كيفما اتفق \(K, L, M\) في دواخل أضلاع المثلث \(ABC\)، وهي \(BC, CA, AB\)، على الترتيب. أثبت أن مساحة واحد على الأقل من المثلثات \(AML, BKM, CLK\) أصغر من أو تساوي ربع مساحة المثلث \(ABC\).

← الحل