IMO 1966 · Problem 5
Solve the system of equations \[ \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4&=1,\\ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4&=1,\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4&=1,\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3&=1, \end{aligned} \] where \(a_1,a_2,a_3,a_4\) are four different real numbers.
The official paper mistakenly repeats \(|a_2-a_3|x_3\) instead of \(|a_2-a_4|x_4\) in the second equation and omits \(|a_3-a_4|x_4\) from the third equation; these misprints are corrected above.
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
Let \(m=\min\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) and \(M=\max\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\). The unique solution is \[ \boxed{ x_i= \begin{cases} \dfrac{1}{M-m},&a_i=m\ \text{or}\ a_i=M,\\[4pt] 0,&m<a_i<M, \end{cases} \qquad i=1,2,3,4. } \]
Solution
Simultaneously permuting the pairs \((a_i,x_i)\) and the corresponding equations preserves the system. Since the \(a_i\) are distinct, we may therefore assume \[ a_1<a_2<a_3<a_4. \]
Subtracting the first equation from the second, the second from the third, and the third from the fourth gives, respectively, \[ \begin{aligned} (a_2-a_1)(x_1-x_2-x_3-x_4)&=0,\\ (a_3-a_2)(x_1+x_2-x_3-x_4)&=0,\\ (a_4-a_3)(x_1+x_2+x_3-x_4)&=0. \end{aligned} \] Each difference \(a_{i+1}-a_i\) is positive, so \[ \begin{aligned} x_1-x_2-x_3-x_4&=0,\\ x_1+x_2-x_3-x_4&=0,\\ x_1+x_2+x_3-x_4&=0. \end{aligned} \] Subtracting successive equations yields \(2x_2=0\) and \(2x_3=0\). Hence \[ x_2=x_3=0,\qquad x_1=x_4. \] The first original equation now becomes \[ (a_4-a_1)x_4=1, \] which forces \[ x_1=x_4=\frac{1}{a_4-a_1}. \] Thus any solution must have the stated form.
To verify existence, substitute these values. For every \(i\in\{1,2,3,4\}\), the left-hand side of the \(i\)-th equation equals \[ \sum_{j=1}^{4}|a_i-a_j|x_j =\frac{|a_i-a_1|+|a_i-a_4|}{a_4-a_1} =\frac{(a_i-a_1)+(a_4-a_i)}{a_4-a_1} =1. \] Here the added diagonal term is zero, and the computation includes both endpoint indices. The candidate therefore satisfies all four equations and is unique. Restoring the original labels gives the answer above.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1966 · Aufgabe 5
Man löse das Gleichungssystem \[ \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4&=1,\\ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4&=1,\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4&=1,\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3&=1, \end{aligned} \] wobei \(a_1,a_2,a_3,a_4\) vier verschiedene reelle Zahlen sind.
Auf dem offiziellen Aufgabenblatt wird in der zweiten Gleichung irrtümlich \(|a_2-a_3|x_3\) anstelle von \(|a_2-a_4|x_4\) wiederholt, und in der dritten Gleichung fehlt \(|a_3-a_4|x_4\); diese Druckfehler sind oben berichtigt.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
Es seien \(m=\min\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) und \(M=\max\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\). Die eindeutige Lösung lautet \[ \boxed{ x_i= \begin{cases} \dfrac{1}{M-m},&a_i=m\ \text{oder}\ a_i=M,\\[4pt] 0,&m<a_i<M, \end{cases} \qquad i=1,2,3,4. } \]
Lösung
Eine gleichzeitige Permutation der Paare \((a_i,x_i)\) und der entsprechenden Gleichungen lässt das System unverändert. Da die \(a_i\) paarweise verschieden sind, dürfen wir daher annehmen, dass \[ a_1<a_2<a_3<a_4. \]
Subtrahiert man die erste Gleichung von der zweiten, die zweite von der dritten und die dritte von der vierten, so erhält man der Reihe nach \[ \begin{aligned} (a_2-a_1)(x_1-x_2-x_3-x_4)&=0,\\ (a_3-a_2)(x_1+x_2-x_3-x_4)&=0,\\ (a_4-a_3)(x_1+x_2+x_3-x_4)&=0. \end{aligned} \] Jede Differenz \(a_{i+1}-a_i\) ist positiv, also gilt \[ \begin{aligned} x_1-x_2-x_3-x_4&=0,\\ x_1+x_2-x_3-x_4&=0,\\ x_1+x_2+x_3-x_4&=0. \end{aligned} \] Subtraktion aufeinanderfolgender Gleichungen ergibt \(2x_2=0\) und \(2x_3=0\). Daher gilt \[ x_2=x_3=0,\qquad x_1=x_4. \] Die erste ursprüngliche Gleichung wird nun zu \[ (a_4-a_1)x_4=1, \] woraus zwingend folgt, dass \[ x_1=x_4=\frac{1}{a_4-a_1}. \] Somit muss jede Lösung die angegebene Form haben.
Um die Existenz nachzuweisen, setzen wir diese Werte ein. Für jedes \(i\in\{1,2,3,4\}\) ist die linke Seite der \(i\)-ten Gleichung gleich \[ \sum_{j=1}^{4}|a_i-a_j|x_j =\frac{|a_i-a_1|+|a_i-a_4|}{a_4-a_1} =\frac{(a_i-a_1)+(a_4-a_i)}{a_4-a_1} =1. \] Dabei ist der hinzugefügte Diagonalterm null, und die Rechnung schließt beide Randindizes ein. Der Lösungskandidat erfüllt daher alle vier Gleichungen und ist eindeutig. Durch Rückkehr zur ursprünglichen Nummerierung erhalten wir die oben angegebene Antwort.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1966 · Soru 5
Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz: \[ \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4&=1,\\ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4&=1,\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4&=1,\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3&=1, \end{aligned} \] Burada \(a_1,a_2,a_3,a_4\) birbirinden farklı dört gerçel sayıdır.
Resmî soru kâğıdında ikinci denklemde \(|a_2-a_4|x_4\) yerine yanlışlıkla \(|a_2-a_3|x_3\) tekrar yazılmış ve üçüncü denklemde \(|a_3-a_4|x_4\) terimi atlanmıştır; bu baskı hataları yukarıda düzeltilmiştir.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\(m=\min\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) ve \(M=\max\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) olsun. Tek çözüm \[ \boxed{ x_i= \begin{cases} \dfrac{1}{M-m},&a_i=m\ \text{veya}\ a_i=M,\\[4pt] 0,&m<a_i<M, \end{cases} \qquad i=1,2,3,4. } \] şeklindedir.
Çözüm
\((a_i,x_i)\) çiftlerinin ve bunlara karşılık gelen denklemlerin sırasını aynı anda değiştirmek sistemi korur. \(a_i\) sayıları birbirinden farklı olduğundan \[ a_1<a_2<a_3<a_4 \] olduğunu varsayabiliriz.
İkinci denklemden birinciyi, üçüncüden ikinciyi ve dördüncüden üçüncüyü çıkarınca sırasıyla \[ \begin{aligned} (a_2-a_1)(x_1-x_2-x_3-x_4)&=0,\\ (a_3-a_2)(x_1+x_2-x_3-x_4)&=0,\\ (a_4-a_3)(x_1+x_2+x_3-x_4)&=0 \end{aligned} \] elde edilir. Her \(a_{i+1}-a_i\) farkı pozitif olduğundan \[ \begin{aligned} x_1-x_2-x_3-x_4&=0,\\ x_1+x_2-x_3-x_4&=0,\\ x_1+x_2+x_3-x_4&=0 \end{aligned} \] olur. Ardışık denklemleri birbirinden çıkarınca \(2x_2=0\) ve \(2x_3=0\) elde edilir. Dolayısıyla \[ x_2=x_3=0,\qquad x_1=x_4. \] Başlangıçtaki birinci denklem şimdi \[ (a_4-a_1)x_4=1, \] biçimini alır; bu da \[ x_1=x_4=\frac{1}{a_4-a_1} \] olmasını gerektirir. Böylece her çözüm belirtilen biçimde olmalıdır.
Çözümün varlığını doğrulamak için bu değerleri yerine koyalım. Her \(i\in\{1,2,3,4\}\) için \(i\). denklemin sol tarafı \[ \sum_{j=1}^{4}|a_i-a_j|x_j =\frac{|a_i-a_1|+|a_i-a_4|}{a_4-a_1} =\frac{(a_i-a_1)+(a_4-a_i)}{a_4-a_1} =1 \] olur. Burada eklenen köşegen terimi sıfırdır ve hesaplama her iki uç noktaya karşılık gelen indisleri de kapsar. Dolayısıyla bulunan aday dört denklemi de sağlar ve çözüm tektir. Başlangıçtaki indislere dönülünce yukarıdaki cevap elde edilir.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1966 · Problema 5
Resolver el sistema de ecuaciones \[ \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4&=1,\\ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4&=1,\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4&=1,\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3&=1, \end{aligned} \] donde \(a_1,a_2,a_3,a_4\) son cuatro números reales distintos.
El enunciado oficial repite por error \(|a_2-a_3|x_3\) en lugar de \(|a_2-a_4|x_4\) en la segunda ecuación y omite \(|a_3-a_4|x_4\) en la tercera; estas erratas se han corregido arriba.
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
Sean \(m=\min\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) y \(M=\max\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\). La única solución es \[ \boxed{ x_i= \begin{cases} \dfrac{1}{M-m},&a_i=m\ \text{o}\ a_i=M,\\[4pt] 0,&m<a_i<M, \end{cases} \qquad i=1,2,3,4. } \]
Solución
Permutar simultáneamente los pares \((a_i,x_i)\) y las ecuaciones correspondientes conserva el sistema. Como los \(a_i\) son distintos, podemos suponer, por tanto, que \[ a_1<a_2<a_3<a_4. \]
Restando la primera ecuación de la segunda, la segunda de la tercera y la tercera de la cuarta, obtenemos, respectivamente, \[ \begin{aligned} (a_2-a_1)(x_1-x_2-x_3-x_4)&=0,\\ (a_3-a_2)(x_1+x_2-x_3-x_4)&=0,\\ (a_4-a_3)(x_1+x_2+x_3-x_4)&=0. \end{aligned} \] Cada diferencia \(a_{i+1}-a_i\) es positiva, por lo que \[ \begin{aligned} x_1-x_2-x_3-x_4&=0,\\ x_1+x_2-x_3-x_4&=0,\\ x_1+x_2+x_3-x_4&=0. \end{aligned} \] Restando ecuaciones consecutivas, se obtiene \(2x_2=0\) y \(2x_3=0\). Por tanto, \[ x_2=x_3=0,\qquad x_1=x_4. \] La primera ecuación original se convierte ahora en \[ (a_4-a_1)x_4=1, \] lo que obliga a que \[ x_1=x_4=\frac{1}{a_4-a_1}. \] Así, cualquier solución debe tener la forma indicada.
Para verificar la existencia, sustituyamos estos valores. Para todo \(i\in\{1,2,3,4\}\), el miembro izquierdo de la \(i\)-ésima ecuación es igual a \[ \sum_{j=1}^{4}|a_i-a_j|x_j =\frac{|a_i-a_1|+|a_i-a_4|}{a_4-a_1} =\frac{(a_i-a_1)+(a_4-a_i)}{a_4-a_1} =1. \] Aquí el término diagonal añadido es cero, y el cálculo incluye ambos índices extremos. Por tanto, la solución candidata satisface las cuatro ecuaciones y es única. Al restablecer la numeración original, se obtiene la respuesta anterior.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1966 · 问题 5
解方程组 \[ \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4&=1,\\ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4&=1,\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4&=1,\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3&=1, \end{aligned} \] 其中 \(a_1,a_2,a_3,a_4\) 为四个互不相同的实数。
官方试卷在第二个方程中错误地重复印出了 \(|a_2-a_3|x_3\)，而非应有的 \(|a_2-a_4|x_4\)，并在第三个方程中漏掉了 \(|a_3-a_4|x_4\)；以上已更正这些印刷错误。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
设 \(m=\min\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\)，\(M=\max\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\)。唯一解为 \[ \boxed{ x_i= \begin{cases} \dfrac{1}{M-m},&a_i=m\ \text{或}\ a_i=M,\\[4pt] 0,&m<a_i<M, \end{cases} \qquad i=1,2,3,4. } \]
解答
同时对各对 \((a_i,x_i)\) 及相应的方程作相同的置换，方程组保持不变。由于各 \(a_i\) 互不相同，因此不妨设 \[ a_1<a_2<a_3<a_4. \]
用第二个方程减去第一个方程，第三个方程减去第二个方程，第四个方程减去第三个方程，分别得到 \[ \begin{aligned} (a_2-a_1)(x_1-x_2-x_3-x_4)&=0,\\ (a_3-a_2)(x_1+x_2-x_3-x_4)&=0,\\ (a_4-a_3)(x_1+x_2+x_3-x_4)&=0. \end{aligned} \] 每个差 \(a_{i+1}-a_i\) 都为正，所以 \[ \begin{aligned} x_1-x_2-x_3-x_4&=0,\\ x_1+x_2-x_3-x_4&=0,\\ x_1+x_2+x_3-x_4&=0. \end{aligned} \] 将相邻的方程依次相减，得到 \(2x_2=0\) 和 \(2x_3=0\)。因此 \[ x_2=x_3=0,\qquad x_1=x_4. \] 原方程组的第一个方程于是变为 \[ (a_4-a_1)x_4=1, \] 由此必有 \[ x_1=x_4=\frac{1}{a_4-a_1}. \] 所以，任何解都必须具有上述形式。
为验证解的存在性，代入这些值。对每个 \(i\in\{1,2,3,4\}\)，第 \(i\) 个方程的左边等于 \[ \sum_{j=1}^{4}|a_i-a_j|x_j =\frac{|a_i-a_1|+|a_i-a_4|}{a_4-a_1} =\frac{(a_i-a_1)+(a_4-a_i)}{a_4-a_1} =1. \] 这里补入的对角项为零，且上述计算也包括两个端点对应的下标。因此，这组候选值满足全部四个方程，且是唯一解。恢复原来的标号，就得到上述答案。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1966 · Задача 5
Решите систему уравнений \[ \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4&=1,\\ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4&=1,\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4&=1,\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3&=1, \end{aligned} \] где \(a_1,a_2,a_3,a_4\) — четыре различных действительных числа.
В официальном тексте во втором уравнении ошибочно повторено слагаемое \(|a_2-a_3|x_3\) вместо \(|a_2-a_4|x_4\), а в третьем уравнении пропущено слагаемое \(|a_3-a_4|x_4\); выше эти опечатки исправлены.
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
Пусть \(m=\min\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) и \(M=\max\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\). Единственное решение имеет вид \[ \boxed{ x_i= \begin{cases} \dfrac{1}{M-m},&a_i=m\ \text{или}\ a_i=M,\\[4pt] 0,&m<a_i<M, \end{cases} \qquad i=1,2,3,4. } \]
Решение
Одновременная перестановка пар \((a_i,x_i)\) и соответствующих уравнений сохраняет систему. Поскольку все \(a_i\) различны, можно поэтому считать, что \[ a_1<a_2<a_3<a_4. \]
Вычитая первое уравнение из второго, второе из третьего и третье из четвёртого, получаем соответственно \[ \begin{aligned} (a_2-a_1)(x_1-x_2-x_3-x_4)&=0,\\ (a_3-a_2)(x_1+x_2-x_3-x_4)&=0,\\ (a_4-a_3)(x_1+x_2+x_3-x_4)&=0. \end{aligned} \] Каждая разность \(a_{i+1}-a_i\) положительна, поэтому \[ \begin{aligned} x_1-x_2-x_3-x_4&=0,\\ x_1+x_2-x_3-x_4&=0,\\ x_1+x_2+x_3-x_4&=0. \end{aligned} \] Вычитая каждое уравнение из следующего, получаем \(2x_2=0\) и \(2x_3=0\). Следовательно, \[ x_2=x_3=0,\qquad x_1=x_4. \] Первое уравнение исходной системы теперь принимает вид \[ (a_4-a_1)x_4=1, \] откуда необходимо \[ x_1=x_4=\frac{1}{a_4-a_1}. \] Таким образом, любое решение должно иметь указанный вид.
Чтобы проверить существование решения, подставим эти значения. Для каждого \(i\in\{1,2,3,4\}\) левая часть \(i\)-го уравнения равна \[ \sum_{j=1}^{4}|a_i-a_j|x_j =\frac{|a_i-a_1|+|a_i-a_4|}{a_4-a_1} =\frac{(a_i-a_1)+(a_4-a_i)}{a_4-a_1} =1. \] Здесь добавленное диагональное слагаемое равно нулю, а вычисление охватывает и оба крайних значения индекса. Следовательно, найденный набор значений удовлетворяет всем четырём уравнениям и является единственным решением. Возвращаясь к исходной нумерации, получаем приведённый выше ответ.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1966 · المسألة 5
حلّ نظام المعادلات \[ \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2+|a_1-a_3|x_3+|a_1-a_4|x_4&=1,\\ |a_2-a_1|x_1+|a_2-a_3|x_3+|a_2-a_4|x_4&=1,\\ |a_3-a_1|x_1+|a_3-a_2|x_2+|a_3-a_4|x_4&=1,\\ |a_4-a_1|x_1+|a_4-a_2|x_2+|a_4-a_3|x_3&=1, \end{aligned} \] حيث \(a_1,a_2,a_3,a_4\) أربعة أعداد حقيقية مختلفة.
تكرّر الورقة الرسمية خطأً الحد \(|a_2-a_3|x_3\) بدلًا من \(|a_2-a_4|x_4\) في المعادلة الثانية، وتحذف الحد \(|a_3-a_4|x_4\) من المعادلة الثالثة؛ وقد صُحّحت هذه الأخطاء المطبعية أعلاه.
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
ليكن \(m=\min\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\) و\(M=\max\{a_1,a_2,a_3,a_4\}\). الحل الوحيد هو \[ \boxed{ x_i= \begin{cases} \dfrac{1}{M-m},&a_i=m\ \text{أو}\ a_i=M,\\[4pt] 0,&m<a_i<M, \end{cases} \qquad i=1,2,3,4. } \]
الحل
إن تبديل ترتيب الأزواج \((a_i,x_i)\) والمعادلات المقابلة لها في آن واحد يحافظ على النظام. وبما أن الأعداد \(a_i\) مختلفة، فيمكننا إذن أن نفترض \[ a_1<a_2<a_3<a_4. \]
بطرح المعادلة الأولى من الثانية، والثانية من الثالثة، والثالثة من الرابعة، نحصل، على الترتيب، على \[ \begin{aligned} (a_2-a_1)(x_1-x_2-x_3-x_4)&=0,\\ (a_3-a_2)(x_1+x_2-x_3-x_4)&=0,\\ (a_4-a_3)(x_1+x_2+x_3-x_4)&=0. \end{aligned} \] كل فرق \(a_{i+1}-a_i\) موجب، ومن ثم \[ \begin{aligned} x_1-x_2-x_3-x_4&=0,\\ x_1+x_2-x_3-x_4&=0,\\ x_1+x_2+x_3-x_4&=0. \end{aligned} \] بطرح كل معادلة من التي تليها، نحصل على \(2x_2=0\) و\(2x_3=0\). لذا \[ x_2=x_3=0,\qquad x_1=x_4. \] تصبح المعادلة الأصلية الأولى الآن \[ (a_4-a_1)x_4=1, \] مما يقتضي \[ x_1=x_4=\frac{1}{a_4-a_1}. \] إذن لا بد أن يكون أي حل على الصورة المذكورة.
للتحقق من وجود الحل، نعوّض بهذه القيم. لكل \(i\in\{1,2,3,4\}\)، يساوي الطرف الأيسر للمعادلة ذات الفهرس \(i\) \[ \sum_{j=1}^{4}|a_i-a_j|x_j =\frac{|a_i-a_1|+|a_i-a_4|}{a_4-a_1} =\frac{(a_i-a_1)+(a_4-a_i)}{a_4-a_1} =1. \] هنا الحد القطري المضاف يساوي صفرًا، ويشمل الحساب فهرسي الطرفين كليهما. وعليه، فإن الحل المرشح يحقق المعادلات الأربع كلها، وهو وحيد. وبالعودة إلى الترقيم الأصلي نحصل على الإجابة أعلاه.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).