IMO 1966 · Problem 1
In a mathematical contest, three problems, \(A, B, C\) were posed. Among the participants there were 25 students who solved at least one problem each. Of all the contestants who did not solve problem \(A\), the number who solved \(B\) was twice the number who solved \(C\). The number of students who solved only problem \(A\) was one more than the number of students who solved \(A\) and at least one other problem. Of all students who solved just one problem, half did not solve problem \(A\). How many students solved only problem \(B\)?
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
\(\boxed{6}\) students.
Solution
Let \(a,b,c\) be the numbers of students who solved only \(A\), only \(B\), and only \(C\), respectively. Let \(d\) be the number who solved both \(B\) and \(C\), but not \(A\). These are nonnegative integers.
Half of those who solved exactly one problem did not solve \(A\), so \[ a=b+c. \] Among those who did not solve \(A\), exactly \(b+d\) solved \(B\) and exactly \(c+d\) solved \(C\). Hence \[ b+d=2(c+d), \qquad\text{so}\qquad d=b-2c. \] The number who solved \(A\) and at least one other problem is \(a-1\). Partitioning the 25 students who solved at least one problem therefore gives \[ 25=a+b+c+d+(a-1). \] Substituting \(a=b+c\) and \(d=b-2c\), we obtain \[ 4b+c=26. \]
Since \(c\ge0\), we have \(b\le26/4<7\), so \(b\le6\). Since \(d=b-2c\ge0\), we also have \(c\le b/2\), and consequently \[ 26=4b+c\le\frac92b. \] Thus \(b\ge52/9>5\), so \(b\ge6\). Therefore \(b=6\), as required.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1966 · Aufgabe 1
Bei einem Mathematikwettbewerb wurden drei Aufgaben \(A, B, C\) gestellt. Unter den Teilnehmern waren 25 Schüler, die jeweils mindestens eine Aufgabe lösten. Unter allen Teilnehmern, die Aufgabe \(A\) nicht lösten, war die Anzahl derjenigen, die \(B\) lösten, doppelt so groß wie die Anzahl derjenigen, die \(C\) lösten. Die Anzahl der Schüler, die nur Aufgabe \(A\) lösten, war um eins größer als die Anzahl der Schüler, die \(A\) und mindestens eine weitere Aufgabe lösten. Von allen Schülern, die genau eine Aufgabe lösten, löste die Hälfte Aufgabe \(A\) nicht. Wie viele Schüler lösten nur Aufgabe \(B\)?
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
\(\boxed{6}\) Schüler.
Lösung
Es seien \(a,b,c\) die Anzahlen der Schüler, die nur \(A\), nur \(B\) bzw. nur \(C\) lösten. Es sei \(d\) die Anzahl derjenigen, die sowohl \(B\) als auch \(C\), aber nicht \(A\) lösten. Diese Zahlen sind nichtnegative ganze Zahlen.
Die Hälfte derjenigen, die genau eine Aufgabe lösten, löste \(A\) nicht, also gilt \[ a=b+c. \] Unter denjenigen, die \(A\) nicht lösten, lösten genau \(b+d\) die Aufgabe \(B\) und genau \(c+d\) die Aufgabe \(C\). Daher gilt \[ b+d=2(c+d), \qquad\text{also}\qquad d=b-2c. \] Die Anzahl derjenigen, die \(A\) und mindestens eine weitere Aufgabe lösten, ist \(a-1\). Durch Aufteilung der 25 Schüler, die mindestens eine Aufgabe lösten, erhalten wir daher \[ 25=a+b+c+d+(a-1). \] Einsetzen von \(a=b+c\) und \(d=b-2c\) ergibt \[ 4b+c=26. \]
Wegen \(c\ge0\) gilt \(b\le26/4<7\), also \(b\le6\). Wegen \(d=b-2c\ge0\) gilt außerdem \(c\le b/2\), und folglich \[ 26=4b+c\le\frac92b. \] Somit gilt \(b\ge52/9>5\), also \(b\ge6\). Daher ist \(b=6\), wie verlangt.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1966 · Soru 1
Bir matematik yarışmasında \(A, B, C\) olmak üzere üç soru sorulmuştur. Yarışmacılar arasında en az bir soru çözen 25 öğrenci vardır. \(A\) sorusunu çözemeyen yarışmacılar arasında \(B\) sorusunu çözenlerin sayısı, \(C\) sorusunu çözenlerin sayısının iki katıdır. Yalnızca \(A\) sorusunu çözen öğrencilerin sayısı, \(A\) sorusunu ve en az bir başka soruyu çözen öğrencilerin sayısından bir fazladır. Tam olarak bir soru çözen öğrencilerin yarısı \(A\) sorusunu çözememiştir. Yalnızca \(B\) sorusunu çözen kaç öğrenci vardır?
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\(\boxed{6}\) öğrenci.
Çözüm
Yalnızca \(A\), yalnızca \(B\) ve yalnızca \(C\) sorularını çözen öğrencilerin sayıları sırasıyla \(a,b,c\) olsun. Hem \(B\) hem de \(C\) sorusunu çözen, ancak \(A\) sorusunu çözemeyen öğrencilerin sayısı \(d\) olsun. Bu sayılar negatif olmayan tam sayılardır.
Tam olarak bir soru çözenlerin yarısı \(A\) sorusunu çözemediğinden \[ a=b+c. \] \(A\) sorusunu çözemeyenlerden tam olarak \(b+d\) tanesi \(B\) sorusunu, tam olarak \(c+d\) tanesi ise \(C\) sorusunu çözmüştür. Dolayısıyla \[ b+d=2(c+d), \qquad\text{dolayısıyla}\qquad d=b-2c. \] \(A\) sorusunu ve en az bir başka soruyu çözenlerin sayısı \(a-1\) olur. Bu nedenle en az bir soru çözen 25 öğrenciyi bu gruplara ayırarak \[ 25=a+b+c+d+(a-1) \] eşitliğini elde ederiz. \(a=b+c\) ve \(d=b-2c\) ifadelerini yerine koyarsak \[ 4b+c=26 \] elde edilir.
\(c\ge0\) olduğundan \(b\le26/4<7\), dolayısıyla \(b\le6\) olur. \(d=b-2c\ge0\) olduğundan ayrıca \(c\le b/2\) olur ve bunun sonucunda \[ 26=4b+c\le\frac92b. \] Böylece \(b\ge52/9>5\), dolayısıyla \(b\ge6\) olur. O hâlde, istendiği gibi, \(b=6\) bulunur.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1966 · Problema 1
En un concurso de matemáticas se propusieron tres problemas, \(A, B, C\). Entre los participantes había 25 estudiantes que resolvieron al menos un problema cada uno. Entre todos los concursantes que no resolvieron el problema \(A\), el número de los que resolvieron \(B\) era el doble del número de los que resolvieron \(C\). El número de estudiantes que resolvieron únicamente el problema \(A\) era uno más que el número de estudiantes que resolvieron \(A\) y al menos otro problema. De todos los estudiantes que resolvieron exactamente un problema, la mitad no resolvió el problema \(A\). ¿Cuántos estudiantes resolvieron únicamente el problema \(B\)?
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
\(\boxed{6}\) estudiantes.
Solución
Sean \(a,b,c\) los números de estudiantes que resolvieron únicamente \(A\), únicamente \(B\) y únicamente \(C\), respectivamente. Sea \(d\) el número de los que resolvieron tanto \(B\) como \(C\), pero no \(A\). Estos números son enteros no negativos.
La mitad de los que resolvieron exactamente un problema no resolvió \(A\), por lo que \[ a=b+c. \] Entre los que no resolvieron \(A\), exactamente \(b+d\) resolvieron \(B\) y exactamente \(c+d\) resolvieron \(C\). Por tanto, \[ b+d=2(c+d), \qquad\text{por lo que}\qquad d=b-2c. \] El número de los que resolvieron \(A\) y al menos otro problema es \(a-1\). Al repartir en estos grupos a los 25 estudiantes que resolvieron al menos un problema, obtenemos, por tanto, \[ 25=a+b+c+d+(a-1). \] Sustituyendo \(a=b+c\) y \(d=b-2c\), obtenemos \[ 4b+c=26. \]
Como \(c\ge0\), tenemos \(b\le26/4<7\), de modo que \(b\le6\). Como \(d=b-2c\ge0\), también tenemos \(c\le b/2\) y, en consecuencia, \[ 26=4b+c\le\frac92b. \] Así, \(b\ge52/9>5\), de modo que \(b\ge6\). Por tanto, \(b=6\), como se quería determinar.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1966 · 问题 1
一次数学竞赛设有三道题 \(A, B, C\)。参赛者中有 25 名学生每人至少解出一道题。在所有未解出题 \(A\) 的参赛者中，解出题 \(B\) 的人数是解出题 \(C\) 的人数的两倍。只解出题 \(A\) 的学生人数比解出题 \(A\) 且至少还解出一道其他题的学生人数多一人。在所有恰好解出一道题的学生中，有一半未解出题 \(A\)。有多少名学生只解出了题 \(B\)？
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
\(\boxed{6}\) 名学生。
解答
设 \(a,b,c\) 分别为只解出 \(A\)、只解出 \(B\) 和只解出 \(C\) 的学生人数。设 \(d\) 为解出 \(B\) 和 \(C\) 但未解出 \(A\) 的学生人数。这些数都是非负整数。
恰好解出一道题的学生中，有一半未解出 \(A\)，所以 \[ a=b+c. \] 在未解出 \(A\) 的学生中，恰有 \(b+d\) 人解出 \(B\)，恰有 \(c+d\) 人解出 \(C\)。因此 \[ b+d=2(c+d), \qquad\text{所以}\qquad d=b-2c. \] 解出 \(A\) 且至少还解出一道其他题的学生人数为 \(a-1\)。因此，将至少解出一道题的 25 名学生分类计数，得到 \[ 25=a+b+c+d+(a-1). \] 代入 \(a=b+c\) 和 \(d=b-2c\)，得到 \[ 4b+c=26. \]
由于 \(c\ge0\)，有 \(b\le26/4<7\)，所以 \(b\le6\)。由于 \(d=b-2c\ge0\)，还有 \(c\le b/2\)，从而 \[ 26=4b+c\le\frac92b. \] 于是 \(b\ge52/9>5\)，所以 \(b\ge6\)。因此 \(b=6\)，即为所求。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1966 · Задача 1
На математической олимпиаде были предложены три задачи: \(A, B, C\). Среди участников было 25 школьников, каждый из которых решил хотя бы одну задачу. Среди всех участников, не решивших задачу \(A\), число решивших задачу \(B\) было вдвое больше числа решивших задачу \(C\). Число школьников, решивших только задачу \(A\), было на единицу больше числа школьников, решивших задачу \(A\) и хотя бы одну другую задачу. Среди всех школьников, решивших ровно одну задачу, половина не решила задачу \(A\). Сколько школьников решили только задачу \(B\)?
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
\(\boxed{6}\) школьников.
Решение
Пусть \(a,b,c\) — числа школьников, решивших только \(A\), только \(B\) и только \(C\) соответственно. Пусть \(d\) — число школьников, решивших обе задачи \(B\) и \(C\), но не решивших \(A\). Эти числа — целые неотрицательные.
Половина школьников, решивших ровно одну задачу, не решила \(A\), поэтому \[ a=b+c. \] Среди тех, кто не решил \(A\), ровно \(b+d\) школьников решили \(B\) и ровно \(c+d\) решили \(C\). Следовательно, \[ b+d=2(c+d), \qquad\text{откуда}\qquad d=b-2c. \] Число школьников, решивших \(A\) и хотя бы одну другую задачу, равно \(a-1\). Разбивая 25 школьников, решивших хотя бы одну задачу, на указанные группы, получаем \[ 25=a+b+c+d+(a-1). \] Подставляя \(a=b+c\) и \(d=b-2c\), получаем \[ 4b+c=26. \]
Так как \(c\ge0\), имеем \(b\le26/4<7\), откуда \(b\le6\). Так как \(d=b-2c\ge0\), имеем также \(c\le b/2\), и, следовательно, \[ 26=4b+c\le\frac92b. \] Таким образом, \(b\ge52/9>5\), откуда \(b\ge6\). Следовательно, \(b=6\), что и требовалось найти.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1966 · المسألة 1
طُرحت في مسابقة رياضية ثلاث مسائل هي \(A, B, C\). وكان من بين المشاركين 25 طالبًا حلّ كلٌّ منهم مسألة واحدة على الأقل. ومن بين جميع المتسابقين الذين لم يحلّوا المسألة \(A\)، كان عدد الذين حلّوا \(B\) ضعف عدد الذين حلّوا \(C\). وكان عدد الطلاب الذين حلّوا المسألة \(A\) وحدها يزيد بواحد على عدد الطلاب الذين حلّوا \(A\) ومسألة أخرى واحدة على الأقل. ومن بين جميع الطلاب الذين حلّوا مسألة واحدة فقط، لم يحلّ نصفهم المسألة \(A\). كم طالبًا حلّ المسألة \(B\) وحدها؟
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
\(\boxed{6}\) طلاب.
الحل
لتكن \(a,b,c\) أعداد الطلاب الذين حلّوا \(A\) وحدها، و\(B\) وحدها، و\(C\) وحدها، على الترتيب. وليكن \(d\) عدد الذين حلّوا كلًّا من \(B\) و\(C\)، ولم يحلّوا \(A\). وهذه أعداد صحيحة غير سالبة.
نصف الذين حلّوا مسألة واحدة بالضبط لم يحلّوا \(A\)، ومن ثم \[ a=b+c. \] ومن بين الذين لم يحلّوا \(A\)، حلّ \(B\) بالضبط \(b+d\) طالبًا، وحلّ \(C\) بالضبط \(c+d\) طالبًا. لذا \[ b+d=2(c+d), \qquad\text{ومن ثم}\qquad d=b-2c. \] عدد الذين حلّوا \(A\) ومسألة أخرى واحدة على الأقل هو \(a-1\). وعليه، فإن تقسيم الطلاب الخمسة والعشرين الذين حلّوا مسألة واحدة على الأقل إلى هذه الفئات يعطي \[ 25=a+b+c+d+(a-1). \] بالتعويض بـ \(a=b+c\) و\(d=b-2c\)، نحصل على \[ 4b+c=26. \]
بما أن \(c\ge0\)، فإن \(b\le26/4<7\)، ومن ثم \(b\le6\). وبما أن \(d=b-2c\ge0\)، فإن لدينا أيضًا \(c\le b/2\)، وبالتالي \[ 26=4b+c\le\frac92b. \] إذن \(b\ge52/9>5\)، ومن ثم \(b\ge6\). وعليه \(b=6\)، وهو المطلوب.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).