IMO 1963 · Problem 1
Find all real roots of the equation \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x, \] where \(p\) is a real parameter.
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
For \(0\le p\le \frac43\), there is exactly one real root: \[ \boxed{x=\frac{4-p}{\sqrt{16-8p}}}. \] For all other real values of \(p\), there are no real roots.
Solution
Suppose \(x\) is a real solution. The left-hand side is nonnegative, so \(x\ge0\); since \(x^2-1\ge0\), we have \(x\ge1\).
Put \(t=\sqrt{x^2-1}\). Then \(t\ge0\), \(x^2-t^2=1\), and the equation gives \[ \sqrt{x^2-p}=x-2t\ge0. \] Thus \(x\ge2t\). Squaring this equality yields \[ p=4t(x-t)=\frac{4t}{x+t}, \] where we used \((x-t)(x+t)=1\). Consequently, \[ 0\le p=\frac{4t}{x+t}\le\frac43, \] because \(x+t\ge3t\).
Rearranging \(p(x+t)=4t\), we obtain \[ px=(4-p)t. \] Squaring and substituting \(t^2=x^2-1\) gives \[ p^2x^2=(4-p)^2(x^2-1), \] hence \[ (16-8p)x^2=(4-p)^2. \] Since \(0\le p\le\frac43\) and \(x>0\), the only possible root is \[ x=\frac{4-p}{\sqrt{16-8p}}. \]
Conversely, let \(0\le p\le\frac43\), set \(D=\sqrt{16-8p}>0\), and take \(x=(4-p)/D\). Direct calculation gives \[ x^2-1=\frac{p^2}{D^2}, \qquad x^2-p=\frac{(4-3p)^2}{D^2}. \] Both radicands are nonnegative. Moreover, \(p\ge0\) and \(4-3p\ge0\), so \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1} =\frac{4-3p}{D}+\frac{2p}{D} =\frac{4-p}{D} =x. \] This verifies the root throughout the stated interval, including both endpoints, and completes the classification.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1963 · Aufgabe 1
Bestimme alle reellen Lösungen der Gleichung \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x, \] wobei \(p\) ein reeller Parameter ist.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
Für \(0\le p\le \frac43\) gibt es genau eine reelle Lösung: \[ \boxed{x=\frac{4-p}{\sqrt{16-8p}}}. \] Für alle anderen reellen Werte von \(p\) gibt es keine reellen Lösungen.
Lösung
Sei \(x\) eine reelle Lösung. Die linke Seite ist nichtnegativ, also ist \(x\ge0\); wegen \(x^2-1\ge0\) gilt \(x\ge1\).
Setze \(t=\sqrt{x^2-1}\). Dann gelten \(t\ge0\) und \(x^2-t^2=1\), und aus der Gleichung folgt \[ \sqrt{x^2-p}=x-2t\ge0. \] Somit gilt \(x\ge2t\). Durch Quadrieren dieser Gleichheit erhält man \[ p=4t(x-t)=\frac{4t}{x+t}, \] wobei wir \((x-t)(x+t)=1\) verwendet haben. Folglich gilt \[ 0\le p=\frac{4t}{x+t}\le\frac43, \] denn \(x+t\ge3t\).
Durch Umformen von \(p(x+t)=4t\) erhalten wir \[ px=(4-p)t. \] Quadrieren und Einsetzen von \(t^2=x^2-1\) ergibt \[ p^2x^2=(4-p)^2(x^2-1), \] also \[ (16-8p)x^2=(4-p)^2. \] Wegen \(0\le p\le\frac43\) und \(x>0\) ist die einzig mögliche Lösung \[ x=\frac{4-p}{\sqrt{16-8p}}. \]
Sei umgekehrt \(0\le p\le\frac43\), setze \(D=\sqrt{16-8p}>0\) und wähle \(x=(4-p)/D\). Direktes Nachrechnen ergibt \[ x^2-1=\frac{p^2}{D^2}, \qquad x^2-p=\frac{(4-3p)^2}{D^2}. \] Beide Radikanden sind nichtnegativ. Außerdem gelten \(p\ge0\) und \(4-3p\ge0\), also \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1} =\frac{4-3p}{D}+\frac{2p}{D} =\frac{4-p}{D} =x. \] Damit ist die Lösung im gesamten angegebenen Intervall einschließlich beider Randpunkte nachgewiesen und die Fallunterscheidung abgeschlossen.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1963 · Soru 1
\(p\) bir gerçek parametre olmak üzere, \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x \] denkleminin tüm gerçek köklerini bulunuz.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\(0\le p\le \frac43\) için tam olarak bir gerçek kök vardır: \[ \boxed{x=\frac{4-p}{\sqrt{16-8p}}}. \] \(p\)'nin diğer tüm gerçek değerleri için gerçek kök yoktur.
Çözüm
\(x\)'in bir gerçek çözüm olduğunu varsayalım. Sol taraf negatif olmadığından \(x\ge0\) olur; \(x^2-1\ge0\) olduğundan da \(x\ge1\) elde edilir.
\(t=\sqrt{x^2-1}\) alalım. Bu durumda \(t\ge0\), \(x^2-t^2=1\) olur ve denklemden \[ \sqrt{x^2-p}=x-2t\ge0 \] elde edilir. Dolayısıyla \(x\ge2t\) olur. Bu eşitliğin karesini alırsak \[ p=4t(x-t)=\frac{4t}{x+t} \] buluruz; burada \((x-t)(x+t)=1\) eşitliğini kullandık. Sonuç olarak, \[ 0\le p=\frac{4t}{x+t}\le\frac43 \] çünkü \(x+t\ge3t\) olur.
\(p(x+t)=4t\) eşitliğini düzenleyerek \[ px=(4-p)t \] elde ederiz. Karesini alıp \(t^2=x^2-1\) yazarsak \[ p^2x^2=(4-p)^2(x^2-1) \] dolayısıyla \[ (16-8p)x^2=(4-p)^2 \] buluruz. \(0\le p\le\frac43\) ve \(x>0\) olduğundan, mümkün olan tek kök \[ x=\frac{4-p}{\sqrt{16-8p}} \] olur.
Tersine, \(0\le p\le\frac43\) olsun, \(D=\sqrt{16-8p}>0\) tanımlayalım ve \(x=(4-p)/D\) alalım. Doğrudan hesaplayarak \[ x^2-1=\frac{p^2}{D^2}, \qquad x^2-p=\frac{(4-3p)^2}{D^2} \] elde ederiz. Her iki kök içi de negatif değildir. Ayrıca \(p\ge0\) ve \(4-3p\ge0\) olduğundan \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1} =\frac{4-3p}{D}+\frac{2p}{D} =\frac{4-p}{D} =x \] olur. Böylece, her iki uç nokta da dâhil olmak üzere belirtilen aralığın tamamında kökün geçerli olduğu doğrulanmış ve sınıflandırma tamamlanmış olur.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1963 · Problema 1
Hallar todas las raíces reales de la ecuación \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x, \] donde \(p\) es un parámetro real.
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
Para \(0\le p\le \frac43\), hay exactamente una raíz real: \[ \boxed{x=\frac{4-p}{\sqrt{16-8p}}}. \] Para todos los demás valores reales de \(p\), no hay raíces reales.
Solución
Supongamos que \(x\) es una solución real. El miembro izquierdo es no negativo, por lo que \(x\ge0\); como \(x^2-1\ge0\), tenemos \(x\ge1\).
Sea \(t=\sqrt{x^2-1}\). Entonces \(t\ge0\), \(x^2-t^2=1\), y la ecuación da \[ \sqrt{x^2-p}=x-2t\ge0. \] Por tanto, \(x\ge2t\). Al elevar esta igualdad al cuadrado se obtiene \[ p=4t(x-t)=\frac{4t}{x+t}, \] donde hemos usado \((x-t)(x+t)=1\). En consecuencia, \[ 0\le p=\frac{4t}{x+t}\le\frac43, \] pues \(x+t\ge3t\).
Reordenando \(p(x+t)=4t\), obtenemos \[ px=(4-p)t. \] Al elevar al cuadrado y sustituir \(t^2=x^2-1\), resulta \[ p^2x^2=(4-p)^2(x^2-1), \] de donde \[ (16-8p)x^2=(4-p)^2. \] Como \(0\le p\le\frac43\) y \(x>0\), la única raíz posible es \[ x=\frac{4-p}{\sqrt{16-8p}}. \]
Recíprocamente, sea \(0\le p\le\frac43\), pongamos \(D=\sqrt{16-8p}>0\) y tomemos \(x=(4-p)/D\). Un cálculo directo da \[ x^2-1=\frac{p^2}{D^2}, \qquad x^2-p=\frac{(4-3p)^2}{D^2}. \] Ambos radicandos son no negativos. Además, \(p\ge0\) y \(4-3p\ge0\), por lo que \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1} =\frac{4-3p}{D}+\frac{2p}{D} =\frac{4-p}{D} =x. \] Esto verifica la raíz en todo el intervalo indicado, incluidos ambos extremos, y completa la clasificación.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1963 · 问题 1
求方程 \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x, \] 的所有实根，其中 \(p\) 为实参数。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
当 \(0\le p\le \frac43\) 时，恰有一个实根： \[ \boxed{x=\frac{4-p}{\sqrt{16-8p}}}. \] 对于其他所有实数 \(p\)，方程均无实根。
解答
设 \(x\) 是一个实数解。方程左端非负，所以 \(x\ge0\)；又因为 \(x^2-1\ge0\)，所以 \(x\ge1\)。
令 \(t=\sqrt{x^2-1}\)。则 \(t\ge0\)，\(x^2-t^2=1\)，且由原方程得 \[ \sqrt{x^2-p}=x-2t\ge0. \] 因此 \(x\ge2t\)。将上述等式两边平方，得 \[ p=4t(x-t)=\frac{4t}{x+t}, \] 其中用到了 \((x-t)(x+t)=1\)。于是， \[ 0\le p=\frac{4t}{x+t}\le\frac43, \] 因为 \(x+t\ge3t\)。
整理 \(p(x+t)=4t\)，得 \[ px=(4-p)t. \] 两边平方并代入 \(t^2=x^2-1\)，得 \[ p^2x^2=(4-p)^2(x^2-1), \] 从而 \[ (16-8p)x^2=(4-p)^2. \] 由于 \(0\le p\le\frac43\) 且 \(x>0\)，唯一可能的根为 \[ x=\frac{4-p}{\sqrt{16-8p}}. \]
反过来，设 \(0\le p\le\frac43\)，令 \(D=\sqrt{16-8p}>0\)，并取 \(x=(4-p)/D\)。直接计算可得 \[ x^2-1=\frac{p^2}{D^2}, \qquad x^2-p=\frac{(4-3p)^2}{D^2}. \] 两个被开方数均非负。此外，\(p\ge0\) 且 \(4-3p\ge0\)，所以 \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1} =\frac{4-3p}{D}+\frac{2p}{D} =\frac{4-p}{D} =x. \] 这就验证了在所述区间内（包括两个端点）该根均成立，从而完成了全部情形的讨论。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1963 · Задача 1
Найдите все действительные корни уравнения \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x, \] где \(p\) — действительный параметр.
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
При \(0\le p\le \frac43\) существует ровно один действительный корень: \[ \boxed{x=\frac{4-p}{\sqrt{16-8p}}}. \] При всех остальных действительных значениях \(p\) действительных корней нет.
Решение
Пусть \(x\) — действительное решение. Левая часть неотрицательна, поэтому \(x\ge0\); поскольку \(x^2-1\ge0\), имеем \(x\ge1\).
Положим \(t=\sqrt{x^2-1}\). Тогда \(t\ge0\), \(x^2-t^2=1\), а из уравнения получаем \[ \sqrt{x^2-p}=x-2t\ge0. \] Таким образом, \(x\ge2t\). Возводя это равенство в квадрат, получаем \[ p=4t(x-t)=\frac{4t}{x+t}, \] где мы воспользовались равенством \((x-t)(x+t)=1\). Следовательно, \[ 0\le p=\frac{4t}{x+t}\le\frac43, \] поскольку \(x+t\ge3t\).
Преобразуя равенство \(p(x+t)=4t\), получаем \[ px=(4-p)t. \] Возводя в квадрат и подставляя \(t^2=x^2-1\), получаем \[ p^2x^2=(4-p)^2(x^2-1), \] откуда \[ (16-8p)x^2=(4-p)^2. \] Поскольку \(0\le p\le\frac43\) и \(x>0\), единственный возможный корень имеет вид \[ x=\frac{4-p}{\sqrt{16-8p}}. \]
Обратно, пусть \(0\le p\le\frac43\); положим \(D=\sqrt{16-8p}>0\) и возьмём \(x=(4-p)/D\). Непосредственное вычисление даёт \[ x^2-1=\frac{p^2}{D^2}, \qquad x^2-p=\frac{(4-3p)^2}{D^2}. \] Оба подкоренных выражения неотрицательны. Кроме того, \(p\ge0\) и \(4-3p\ge0\), поэтому \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1} =\frac{4-3p}{D}+\frac{2p}{D} =\frac{4-p}{D} =x. \] Это подтверждает, что найденное значение является корнем на всём указанном промежутке, включая оба конца, и завершает рассмотрение всех случаев.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1963 · المسألة 1
أوجد جميع الجذور الحقيقية للمعادلة \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x, \] حيث \(p\) وسيط حقيقي.
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
عندما \(0\le p\le \frac43\)، يوجد جذر حقيقي واحد فقط، وهو: \[ \boxed{x=\frac{4-p}{\sqrt{16-8p}}}. \] أما لجميع القيم الحقيقية الأخرى للوسيط \(p\)، فلا توجد جذور حقيقية.
الحل
افترض أن \(x\) حل حقيقي. الطرف الأيسر غير سالب، ومن ثم \(x\ge0\)؛ وبما أن \(x^2-1\ge0\)، فإن \(x\ge1\).
ضع \(t=\sqrt{x^2-1}\). عندئذ \(t\ge0\)، و\(x^2-t^2=1\)، وتعطي المعادلة \[ \sqrt{x^2-p}=x-2t\ge0. \] إذن \(x\ge2t\). وبتربيع طرفي هذه المساواة نحصل على \[ p=4t(x-t)=\frac{4t}{x+t}, \] حيث استخدمنا \((x-t)(x+t)=1\). وبالتالي، \[ 0\le p=\frac{4t}{x+t}\le\frac43, \] لأن \(x+t\ge3t\).
بإعادة ترتيب \(p(x+t)=4t\)، نحصل على \[ px=(4-p)t. \] وبالتربيع والتعويض بـ \(t^2=x^2-1\) نحصل على \[ p^2x^2=(4-p)^2(x^2-1), \] ومن ثم \[ (16-8p)x^2=(4-p)^2. \] بما أن \(0\le p\le\frac43\) و\(x>0\)، فإن الجذر الوحيد الممكن هو \[ x=\frac{4-p}{\sqrt{16-8p}}. \]
وعكسًا، لتكن \(0\le p\le\frac43\)، ولنضع \(D=\sqrt{16-8p}>0\)، ولنأخذ \(x=(4-p)/D\). يعطي الحساب المباشر \[ x^2-1=\frac{p^2}{D^2}, \qquad x^2-p=\frac{(4-3p)^2}{D^2}. \] كلا المقدارين تحت الجذرين غير سالب. علاوة على ذلك، فإن \(p\ge0\) و\(4-3p\ge0\)، ولذلك \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1} =\frac{4-3p}{D}+\frac{2p}{D} =\frac{4-p}{D} =x. \] وهذا يثبت صحة الجذر على كامل المجال المذكور، بما في ذلك طرفاه، ويُتمّ تصنيف الحلول.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).