Problem 1

The function \(f(n)\) is defined for all positive integers \(n\) and takes on non-negative integer values. Also, for all \(m,n\) \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ or }1 \] \[ f(2)=0,\ f(3)>0,\text{ and }f(9999)=3333. \] Determine \(f(1982)\).

Solution →

Problem 2

A non-isosceles triangle \(A_1A_2A_3\) is given with sides \(a_1,a_2,a_3\) (\(a_i\) is the side opposite \(A_i\)). For all \(i=1,2,3\), \(M_i\) is the midpoint of side \(a_i\), and \(T_i\). is the point where the incircle touches side \(a_i\). Denote by \(S_i\) the reflection of \(T_i\) in the interior bisector of angle \(A_i\). Prove that the lines \(M_1,S_1\), \(M_2S_2\), and \(M_3S_3\) are concurrent.

Solution →

Problem 3

Consider the infinite sequences \(\{x_n\}\) of positive real numbers with the following properties:

\[ x_0=1,\text{ and for all }i\ge0,\ x_{i+1}\le x_i. \]

(a) Prove that for every such sequence, there is a \(n\ge1\) such that

\[ \frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999. \]

(b) Find such a sequence for which

\[ \frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}<4. \]

Solution →

Problem 4

Prove that if \(n\) is a positive integer such that the equation \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] has a solution in integers \((x,y)\), then it has at least three such solutions. Show that the equation has no solutions in integers when \(n=2891\).

Solution →

Problem 5

The diagonals \(AC\) and \(CE\) of the regular hexagon \(ABCDEF\) are divided by the inner points \(M\) and \(N\), respectively, so that \[ \frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r. \] Determine \(r\) if \(B,M,\) and \(N\) are collinear.

Solution →

Problem 6

Let \(S\) be a square with sides of length 100, and let \(L\) be a path within \(S\) which does not meet itself and which is composed of line segments \(A_0A_1, A_1A_2, \cdots, A_{n-1}A_n\) with \(A_0 \ne A_n\). Suppose that for every point \(P\) of the boundary of \(S\) there is a point of \(L\) at a distance from \(P\) not greater than \(1/2\). Prove that there are two points \(X\) and \(Y\) in \(L\) such that the distance between \(X\) and \(Y\) is not greater than 1, and the length of that part of \(L\) which lies between \(X\) and \(Y\) is not smaller than 198.

Solution →

Aufgabe 1

Die Funktion \(f(n)\) ist für alle positiven ganzen Zahlen \(n\) definiert und nimmt nichtnegative ganzzahlige Werte an. Außerdem gilt für alle \(m,n\) \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ oder }1 \] \[ f(2)=0,\ f(3)>0,\text{ und }f(9999)=3333. \] Bestimme \(f(1982)\).

Lösung →

Aufgabe 2

Gegeben ist ein nicht gleichschenkliges Dreieck \(A_1A_2A_3\) mit den Seiten \(a_1,a_2,a_3\) (\(a_i\) ist die dem Eckpunkt \(A_i\) gegenüberliegende Seite). Für alle \(i=1,2,3\) sei \(M_i\) der Mittelpunkt der Seite \(a_i\), und \(T_i\) sei der Punkt, in dem der Inkreis die Seite \(a_i\) berührt. Bezeichne mit \(S_i\) das Spiegelbild von \(T_i\) an der inneren Winkelhalbierenden des Winkels \(A_i\). Beweise, dass sich die Geraden \(M_1,S_1\), \(M_2S_2\) und \(M_3S_3\) in einem Punkt schneiden.

Lösung →

Aufgabe 3

Betrachte die unendlichen Folgen \(\{x_n\}\) positiver reeller Zahlen mit den folgenden Eigenschaften:

\[ x_0=1,\text{ und für alle }i\ge0,\ x_{i+1}\le x_i. \]

(a) Beweise, dass es für jede solche Folge ein \(n\ge1\) gibt, sodass

\[ \frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999. \]

(b) Finde eine solche Folge, für die

\[ \frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}<4. \]

Lösung →

Aufgabe 4

Beweise: Ist \(n\) eine positive ganze Zahl, für die die Gleichung \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] eine Lösung in ganzen Zahlen \((x,y)\) besitzt, so besitzt sie mindestens drei solche Lösungen. Zeige, dass die Gleichung für \(n=2891\) keine Lösungen in ganzen Zahlen besitzt.

Lösung →

Aufgabe 5

Die Diagonalen \(AC\) und \(CE\) des regelmäßigen Sechsecks \(ABCDEF\) werden durch die inneren Punkte \(M\) bzw. \(N\) so geteilt, dass \[ \frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r. \] Bestimme \(r\), wenn \(B,M,\) und \(N\) auf einer Geraden liegen.

Lösung →

Aufgabe 6

Sei \(S\) ein Quadrat mit der Seitenlänge 100, und sei \(L\) ein innerhalb von \(S\) verlaufender, sich selbst nicht treffender Streckenzug, der aus den Strecken \(A_0A_1, A_1A_2, \cdots, A_{n-1}A_n\) mit \(A_0 \ne A_n\) besteht. Es sei vorausgesetzt, dass es zu jedem Punkt \(P\) auf dem Rand von \(S\) einen Punkt auf \(L\) gibt, dessen Abstand von \(P\) höchstens \(1/2\) beträgt. Beweise, dass es zwei Punkte \(X\) und \(Y\) auf \(L\) gibt, deren Abstand höchstens 1 beträgt und für die die Länge des zwischen \(X\) und \(Y\) liegenden Teils von \(L\) mindestens 198 beträgt.

Lösung →

Soru 1

\(f(n)\) fonksiyonu tüm pozitif tam sayılar \(n\) için tanımlıdır ve negatif olmayan tam sayı değerler almaktadır. Ayrıca, tüm \(m,n\) için \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ veya }1 \] \[ f(2)=0,\ f(3)>0,\text{ ve }f(9999)=3333. \] \(f(1982)\) değerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 2

Kenarları \(a_1,a_2,a_3\) olan, ikizkenar olmayan bir \(A_1A_2A_3\) üçgeni verilmiştir (\(a_i\), \(A_i\) köşesinin karşısındaki kenardır). Her \(i=1,2,3\) için \(M_i\), \(a_i\) kenarının orta noktası ve \(T_i\), içteğet çemberinin \(a_i\) kenarına değdiği noktadır. \(T_i\) noktasının \(A_i\) açısının iç açıortayına göre simetriğini \(S_i\) ile gösterelim. \(M_1,S_1\), \(M_2S_2\) ve \(M_3S_3\) doğrularının bir noktada kesiştiğini kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

Aşağıdaki özelliklere sahip, pozitif gerçel sayılardan oluşan sonsuz \(\{x_n\}\) dizilerini ele alalım:

\[ x_0=1,\text{ ve tüm }i\ge0,\ x_{i+1}\le x_i. \]

(a) Böyle her dizi için, aşağıdaki eşitsizliği sağlayan bir \(n\ge1\) bulunduğunu kanıtlayınız:

\[ \frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999. \]

(b) Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan böyle bir dizi bulunuz:

\[ \frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}<4. \]

Çözüm →

Soru 4

\(n\) pozitif bir tam sayı olmak üzere, \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] denkleminin tam sayılarda bir \((x,y)\) çözümü varsa, en az üç böyle çözümü olduğunu kanıtlayınız. \(n=2891\) olduğunda denklemin tam sayılarda çözümü olmadığını gösteriniz.

Çözüm →

Soru 5

\(ABCDEF\) düzgün altıgeninin \(AC\) ve \(CE\) köşegenleri, sırasıyla bu köşegenlerin iç noktaları olan \(M\) ve \(N\) tarafından \[ \frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r \] olacak biçimde bölünmektedir. \(B,M,\) ve \(N\) doğrusal ise \(r\) değerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 6

\(S\), kenar uzunluğu 100 olan bir kare ve \(L\), \(S\) içinde yer alan, kendi kendisiyle kesişmeyen ve \(A_0 \ne A_n\) olmak üzere \(A_0A_1, A_1A_2, \cdots, A_{n-1}A_n\) doğru parçalarından oluşan bir yol olsun. \(S\) karesinin sınırındaki her \(P\) noktası için \(L\) üzerinde \(P\) noktasına uzaklığı \(1/2\)'den büyük olmayan bir nokta bulunduğunu varsayalım. \(L\) üzerinde, aralarındaki uzaklık 1'den büyük olmayan ve \(L\)'nin aralarında kalan kısmının uzunluğu 198'den küçük olmayan iki \(X\) ve \(Y\) noktası bulunduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Problema 1

La función \(f(n)\) está definida para todos los enteros positivos \(n\) y toma valores enteros no negativos. Además, para todos \(m,n\) \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ o }1 \] \[ f(2)=0,\ f(3)>0,\text{ y }f(9999)=3333. \] Determinar \(f(1982)\).

Solución →

Problema 2

Se da un triángulo no isósceles \(A_1A_2A_3\) de lados \(a_1,a_2,a_3\) (\(a_i\) es el lado opuesto a \(A_i\)). Para todo \(i=1,2,3\), \(M_i\) es el punto medio del lado \(a_i\), y \(T_i\) es el punto donde la circunferencia inscrita es tangente al lado \(a_i\). Denotemos por \(S_i\) el simétrico de \(T_i\) respecto de la bisectriz interior del ángulo \(A_i\). Demostrar que las rectas \(M_1,S_1\), \(M_2S_2\) y \(M_3S_3\) son concurrentes.

Solución →

Problema 3

Consideremos las sucesiones infinitas \(\{x_n\}\) de números reales positivos con las siguientes propiedades:

\[ x_0=1,\text{ y para todo }i\ge0,\ x_{i+1}\le x_i. \]

(a) Demostrar que, para toda sucesión de este tipo, existe un \(n\ge1\) tal que

\[ \frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999. \]

(b) Encontrar una sucesión de este tipo para la cual

\[ \frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}<4. \]

Solución →

Problema 4

Demostrar que, si \(n\) es un entero positivo tal que la ecuación \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] tiene una solución en enteros \((x,y)\), entonces tiene al menos tres soluciones de este tipo. Demostrar que la ecuación no tiene soluciones en enteros cuando \(n=2891\).

Solución →

Problema 5

Las diagonales \(AC\) y \(CE\) del hexágono regular \(ABCDEF\) están divididas por los puntos interiores \(M\) y \(N\), respectivamente, de modo que \[ \frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r. \] Determinar \(r\) si \(B,M,\) y \(N\) están alineados.

Solución →

Problema 6

Sea \(S\) un cuadrado de lado 100, y sea \(L\) un camino contenido en \(S\) que no se interseca consigo mismo y que está compuesto por los segmentos \(A_0A_1, A_1A_2, \cdots, A_{n-1}A_n\), con \(A_0 \ne A_n\). Supongamos que, para todo punto \(P\) del contorno de \(S\), existe un punto de \(L\) cuya distancia a \(P\) no es mayor que \(1/2\). Demostrar que existen dos puntos \(X\) e \(Y\) en \(L\) tales que la distancia entre \(X\) e \(Y\) no es mayor que 1, y la longitud de la parte de \(L\) comprendida entre \(X\) e \(Y\) no es menor que 198.

Solución →

问题 1

函数 \(f(n)\) 对所有正整数 \(n\) 都有定义，且取非负整数值。此外，对所有 \(m,n\)，都有 \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ 或 }1 \] \[ f(2)=0,\ f(3)>0,\text{ 且 }f(9999)=3333. \] 求 \(f(1982)\)。

解答 →

问题 2

给定一个非等腰三角形 \(A_1A_2A_3\)，其三边为 \(a_1,a_2,a_3\)（\(a_i\) 是 \(A_i\) 的对边）。对所有 \(i=1,2,3\)，设 \(M_i\) 是边 \(a_i\) 的中点，\(T_i\) 是内切圆与边 \(a_i\) 的切点。记 \(T_i\) 关于角 \(A_i\) 的内角平分线的对称点为 \(S_i\)。证明直线 \(M_1,S_1\)、\(M_2S_2\) 和 \(M_3S_3\) 共点。

解答 →

问题 3

考虑具有以下性质的正实数无穷数列 \(\{x_n\}\)：

\[ x_0=1,\text{ 且对所有 }i\ge0,\ x_{i+1}\le x_i. \]

(a) 证明：对每个这样的数列，都存在一个 \(n\ge1\)，使得

\[ \frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999. \]

(b) 求一个这样的数列，使得

\[ \frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}<4. \]

解答 →

问题 4

证明：若 \(n\) 是正整数，且方程 \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] 有整数解 \((x,y)\)，则它至少有三个这样的解。 证明当 \(n=2891\) 时，该方程没有整数解。

解答 →

问题 5

正六边形 \(ABCDEF\) 的对角线 \(AC\) 和 \(CE\) 上分别有内分点 \(M\) 和 \(N\)，使得 \[ \frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r. \] 若 \(B,M,\) 和 \(N\) 共线，求 \(r\)。

解答 →

问题 6

设 \(S\) 是一个边长为 100 的正方形，\(L\) 是位于 \(S\) 内的一条不自交的折线，由线段 \(A_0A_1, A_1A_2, \cdots, A_{n-1}A_n\) 组成，且 \(A_0 \ne A_n\)。假设对于 \(S\) 边界上的每一点 \(P\)，\(L\) 上都有一点到 \(P\) 的距离不大于 \(1/2\)。证明：\(L\) 上存在两点 \(X\) 和 \(Y\)，使得 \(X\) 与 \(Y\) 之间的距离不大于 1，且 \(L\) 上位于 \(X\) 与 \(Y\) 之间的那一段的长度不小于 198。

解答 →

Задача 1

Функция \(f(n)\) определена для всех положительных целых чисел \(n\) и принимает неотрицательные целые значения. Кроме того, для всех \(m,n\) \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ или }1 \] \[ f(2)=0,\ f(3)>0,\text{ и }f(9999)=3333. \] Найдите \(f(1982)\).

Решение →

Задача 2

Дан неравнобедренный треугольник \(A_1A_2A_3\) со сторонами \(a_1,a_2,a_3\) (\(a_i\) — сторона, противолежащая вершине \(A_i\)). Для каждого \(i=1,2,3\) точка \(M_i\) — середина стороны \(a_i\), а \(T_i\) — точка касания вписанной окружности со стороной \(a_i\). Обозначим через \(S_i\) точку, симметричную \(T_i\) относительно биссектрисы внутреннего угла \(A_i\). Докажите, что прямые \(M_1,S_1\), \(M_2S_2\) и \(M_3S_3\) пересекаются в одной точке.

Решение →

Задача 3

Рассмотрим бесконечные последовательности \(\{x_n\}\) положительных действительных чисел со следующими свойствами:

\[ x_0=1,\text{ и для всех }i\ge0,\ x_{i+1}\le x_i. \]

(a) Докажите, что для каждой такой последовательности существует \(n\ge1\), для которого

\[ \frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999. \]

(b) Найдите такую последовательность, для которой

\[ \frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}<4. \]

Решение →

Задача 4

Докажите, что если \(n\) — положительное целое число, для которого уравнение \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] имеет решение в целых числах \((x,y)\), то оно имеет по крайней мере три таких решения. Покажите, что при \(n=2891\) это уравнение не имеет решений в целых числах.

Решение →

Задача 5

На диагоналях \(AC\) и \(CE\) правильного шестиугольника \(ABCDEF\) взяты внутренние точки \(M\) и \(N\) соответственно так, что \[ \frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r. \] Найдите \(r\), если точки \(B,M,\) и \(N\) лежат на одной прямой.

Решение →

Задача 6

Пусть \(S\) — квадрат со стороной 100, а \(L\) — расположенная внутри \(S\) ломаная без самопересечений, составленная из отрезков \(A_0A_1, A_1A_2, \cdots, A_{n-1}A_n\), причём \(A_0 \ne A_n\). Предположим, что для каждой точки \(P\) границы \(S\) существует точка ломаной \(L\), находящаяся на расстоянии не более \(1/2\) от \(P\). Докажите, что на \(L\) найдутся две точки \(X\) и \(Y\), расстояние между которыми не превосходит 1, а длина части \(L\) между \(X\) и \(Y\) не меньше 198.

Решение →

المسألة 1

الدالة \(f(n)\) معرّفة لكل عدد صحيح موجب \(n\)، وتأخذ قيمًا صحيحة غير سالبة. كذلك، لكل \(m,n\)، \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ أو }1 \] \[ f(2)=0,\ f(3)>0,\text{ و }f(9999)=3333. \] أوجد \(f(1982)\).

← الحل

المسألة 2

ليكن \(A_1A_2A_3\) مثلثًا غير متساوي الساقين، أطوال أضلاعه \(a_1,a_2,a_3\) (حيث \(a_i\) هو الضلع المقابل للرأس \(A_i\)). لكل \(i=1,2,3\)، لتكن \(M_i\) منتصف الضلع \(a_i\)، ولتكن \(T_i\) نقطة تماس الدائرة الداخلية مع الضلع \(a_i\). نرمز بـ \(S_i\) إلى صورة \(T_i\) بالانعكاس حول المنصف الداخلي للزاوية \(A_i\). أثبت أن المستقيمات \(M_1,S_1\)، و\(M_2S_2\)، و\(M_3S_3\) تتلاقى في نقطة واحدة.

← الحل

المسألة 3

لتكن \(\{x_n\}\) متتاليات لا نهائية من الأعداد الحقيقية الموجبة، تحقق الخواص الآتية:

\[ x_0=1,\text{ ولكل }i\ge0,\ x_{i+1}\le x_i. \]

(أ) أثبت أنه لكل متتالية من هذا النوع، يوجد \(n\ge1\) بحيث

\[ \frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999. \]

(ب) أوجد متتالية من هذا النوع تحقق

\[ \frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}<4. \]

← الحل

المسألة 4

أثبت أنه إذا كان \(n\) عددًا صحيحًا موجبًا بحيث يكون للمعادلة \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] حل بالأعداد الصحيحة \((x,y)\)، فإن لها ثلاثة حلول من هذا النوع على الأقل. بيّن أن المعادلة ليس لها حلول بالأعداد الصحيحة عندما \(n=2891\).

← الحل

المسألة 5

تقسم النقطتان الداخليتان \(M\) و\(N\) القطرين \(AC\) و\(CE\) للسداسي المنتظم \(ABCDEF\)، على الترتيب، بحيث \[ \frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r. \] أوجد \(r\) إذا كانت النقاط \(B,M,\) و\(N\) على استقامة واحدة.

← الحل

المسألة 6

ليكن \(S\) مربعًا طول ضلعه 100، وليكن \(L\) مسارًا داخل \(S\) لا يلتقي بنفسه، ويتألف من القطع المستقيمة \(A_0A_1, A_1A_2, \cdots, A_{n-1}A_n\)، حيث \(A_0 \ne A_n\). افترض أنه لكل نقطة \(P\) على حدود \(S\)، توجد نقطة من \(L\) لا تزيد المسافة بينها وبين \(P\) على \(1/2\). أثبت وجود نقطتين \(X\) و\(Y\) على \(L\) بحيث لا تزيد المسافة بين \(X\) و\(Y\) على 1، ولا يقل طول الجزء من \(L\) الواقع بين \(X\) و\(Y\) عن 198.

← الحل