IMO 1981
6 problems with complete solutions · Official problem paper (PDF)
Problem 1
\(P\) is a point inside a given triangle \(ABC\). \(D, E, F\) are the feet of the perpendiculars from \(P\) to the lines \(BC, CA, AB\) respectively. Find all \(P\) for which \[ \frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF} \] is least.
Problem 2
Let \(1 \le r \le n\) and consider all subsets of \(r\) elements of the set \(\{1,2,\ldots,n\}\). Each of these subsets has a smallest member. Let \(F(n,r)\) denote the arithmetic mean of these smallest numbers; prove that \[ F(n,r)=\frac{n+1}{r+1}. \]
Problem 3
Determine the maximum value of \(m^3+n^3\), where \(m\) and \(n\) are integers satisfying \(m,n\in\{1,2,\ldots,1981\}\) and \((n^2-mn-m^2)^2=1\).
Problem 4
(a) For which values of \(n > 2\) is there a set of \(n\) consecutive positive integers such that the largest number in the set is a divisor of the least common multiple of the remaining \(n - 1\) numbers?
(b) For which values of \(n > 2\) is there exactly one set having the stated property?
Problem 5
Three congruent circles have a common point \(O\) and lie inside a given triangle. Each circle touches a pair of sides of the triangle. Prove that the incenter and the circumcenter of the triangle and the point \(O\) are collinear.
Problem 6
The function \(f(x,y)\) satisfies \[ \begin{aligned} (1)\quad &f(0,y)=y+1,\\ (2)\quad &f(x+1,0)=f(x,1),\\ (3)\quad &f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y)), \end{aligned} \] for all non-negative integers \(x,y\). Determine \(f(4,1981)\).
IMO 1981
6 Aufgaben mit vollständigen Lösungen · Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Aufgabe 1
\(P\) ist ein Punkt im Inneren eines gegebenen Dreiecks \(ABC\). \(D, E, F\) sind die Lotfußpunkte von \(P\) auf die Geraden \(BC, CA, AB\) in dieser Reihenfolge. Bestimme alle Punkte \(P\), für die \[ \frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF} \] minimal ist.
Aufgabe 2
Es sei \(1 \le r \le n\), und wir betrachten alle Teilmengen mit \(r\) Elementen der Menge \(\{1,2,\ldots,n\}\). Jede dieser Teilmengen hat ein kleinstes Element. Mit \(F(n,r)\) bezeichnen wir das arithmetische Mittel dieser kleinsten Zahlen; beweise, dass \[ F(n,r)=\frac{n+1}{r+1}. \]
Aufgabe 3
Bestimme den Maximalwert von \(m^3+n^3\), wobei \(m\) und \(n\) ganze Zahlen sind, die \(m,n\in\{1,2,\ldots,1981\}\) und \((n^2-mn-m^2)^2=1\) erfüllen.
Aufgabe 4
(a) Für welche Werte von \(n > 2\) gibt es eine Menge aus \(n\) aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen, sodass die größte Zahl der Menge ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der übrigen \(n - 1\) Zahlen ist?
(b) Für welche Werte von \(n > 2\) gibt es genau eine Menge mit der genannten Eigenschaft?
Aufgabe 5
Drei kongruente Kreise haben einen gemeinsamen Punkt \(O\) und liegen innerhalb eines gegebenen Dreiecks. Jeder Kreis berührt zwei Seiten des Dreiecks. Beweise, dass der Inkreismittelpunkt und der Umkreismittelpunkt des Dreiecks sowie der Punkt \(O\) auf einer Geraden liegen.
Aufgabe 6
Die Funktion \(f(x,y)\) erfüllt \[ \begin{aligned} (1)\quad &f(0,y)=y+1,\\ (2)\quad &f(x+1,0)=f(x,1),\\ (3)\quad &f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y)), \end{aligned} \] für alle nichtnegativen ganzen Zahlen \(x,y\). Bestimme \(f(4,1981)\).
IMO 1981
6 soru, tam çözümleriyle · Resmi soru kâğıdı (PDF)
Soru 1
\(P\), verilen bir \(ABC\) üçgeninin içinde bir noktadır. \(D, E, F\), sırasıyla \(P\) noktasından \(BC, CA, AB\) doğrularına indirilen dikmelerin ayaklarıdır. \[ \frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF} \] ifadesinin en küçük değerini aldığı tüm \(P\) noktalarını bulunuz.
Soru 2
\(1 \le r \le n\) olsun ve \(\{1,2,\ldots,n\}\) kümesinin \(r\) elemanlı tüm alt kümelerini ele alalım. Bu alt kümelerin her birinin bir en küçük elemanı vardır. Bu en küçük sayıların aritmetik ortalamasını \(F(n,r)\) ile gösterelim; \[ F(n,r)=\frac{n+1}{r+1} \] olduğunu kanıtlayınız.
Soru 3
\(m,n\in\{1,2,\ldots,1981\}\) ve \((n^2-mn-m^2)^2=1\) koşullarını sağlayan \(m\) ve \(n\) tam sayıları için \(m^3+n^3\) ifadesinin en büyük değerini bulunuz.
Soru 4
(a) Hangi \(n > 2\) değerleri için, en büyük elemanı kalan \(n - 1\) sayının en küçük ortak katını bölen, \(n\) ardışık pozitif tam sayıdan oluşan bir küme vardır?
(b) Hangi \(n > 2\) değerleri için belirtilen özelliğe sahip tam olarak bir küme vardır?
Soru 5
Üç eş çemberin ortak bir \(O\) noktası vardır ve bu çemberler verilen bir üçgenin içinde yer almaktadır. Her çember üçgenin iki kenarına teğettir. Üçgenin içteğet çemberinin merkezi, çevrel çemberinin merkezi ve \(O\) noktasının doğrusal olduğunu kanıtlayınız.
Soru 6
\(f(x,y)\) fonksiyonu, tüm negatif olmayan \(x,y\) tam sayıları için \[ \begin{aligned} (1)\quad &f(0,y)=y+1,\\ (2)\quad &f(x+1,0)=f(x,1),\\ (3)\quad &f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y)), \end{aligned} \] eşitliklerini sağlamaktadır. \(f(4,1981)\) değerini bulunuz.
IMO 1981
6 problemas con soluciones completas · Enunciado oficial (PDF)
Problema 1
\(P\) es un punto interior de un triángulo dado \(ABC\). \(D, E, F\) son los pies de las perpendiculares trazadas desde \(P\) a las rectas \(BC, CA, AB\), respectivamente. Hallar todos los puntos \(P\) para los cuales \[ \frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF} \] es mínimo.
Problema 2
Sea \(1 \le r \le n\) y consideremos todos los subconjuntos de \(r\) elementos del conjunto \(\{1,2,\ldots,n\}\). Cada uno de estos subconjuntos tiene un elemento mínimo. Sea \(F(n,r)\) la media aritmética de estos elementos mínimos; demostrar que \[ F(n,r)=\frac{n+1}{r+1}. \]
Problema 3
Determinar el valor máximo de \(m^3+n^3\), donde \(m\) y \(n\) son enteros que satisfacen \(m,n\in\{1,2,\ldots,1981\}\) y \((n^2-mn-m^2)^2=1\).
Problema 4
(a) ¿Para qué valores de \(n > 2\) existe un conjunto de \(n\) enteros positivos consecutivos tal que el mayor número del conjunto es divisor del mínimo común múltiplo de los \(n - 1\) números restantes?
(b) ¿Para qué valores de \(n > 2\) existe exactamente un conjunto con la propiedad indicada?
Problema 5
Tres circunferencias congruentes tienen un punto común \(O\) y están contenidas en un triángulo dado. Cada circunferencia es tangente a un par de lados del triángulo. Demostrar que el incentro y el circuncentro del triángulo y el punto \(O\) están alineados.
Problema 6
La función \(f(x,y)\) satisface \[ \begin{aligned} (1)\quad &f(0,y)=y+1,\\ (2)\quad &f(x+1,0)=f(x,1),\\ (3)\quad &f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y)), \end{aligned} \] para todos los enteros no negativos \(x,y\). Determinar \(f(4,1981)\).
IMO 1981
6 道题及完整解答 · 官方试卷 (PDF)
问题 1
点 \(P\) 在给定的三角形 \(ABC\) 内部。\(D, E, F\) 分别是从 \(P\) 向直线 \(BC, CA, AB\) 所作垂线的垂足。求使 \[ \frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF} \] 取得最小值的所有点 \(P\)。
问题 2
设 \(1 \le r \le n\)，考虑集合 \(\{1,2,\ldots,n\}\) 的所有含 \(r\) 个元素的子集。每个这样的子集都有一个最小元素。用 \(F(n,r)\) 表示这些最小元素的算术平均值；证明 \[ F(n,r)=\frac{n+1}{r+1}. \]
问题 3
求 \(m^3+n^3\) 的最大值，其中整数 \(m\) 和 \(n\) 满足 \(m,n\in\{1,2,\ldots,1981\}\) 以及 \((n^2-mn-m^2)^2=1\)。
问题 4
(a) 对于哪些 \(n > 2\)，存在一个由 \(n\) 个连续正整数组成的集合，使得其中最大的数是其余 \(n - 1\) 个数的最小公倍数的约数？
(b) 对于哪些 \(n > 2\)，恰好存在一个具有上述性质的集合？
问题 5
三个全等的圆有一个公共点 \(O\)，且都位于一个给定三角形内。每个圆都与三角形的两条边相切。证明：三角形的内心、外心与点 \(O\) 共线。
问题 6
函数 \(f(x,y)\) 对所有非负整数 \(x,y\) 满足 \[ \begin{aligned} (1)\quad &f(0,y)=y+1,\\ (2)\quad &f(x+1,0)=f(x,1),\\ (3)\quad &f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y)), \end{aligned} \] 求 \(f(4,1981)\)。
IMO 1981
6 задач с полными решениями · Официальный текст задач (PDF)
Задача 1
Точка \(P\) лежит внутри данного треугольника \(ABC\). Точки \(D, E, F\) — основания перпендикуляров, опущенных из \(P\) на прямые \(BC, CA, AB\) соответственно. Найдите все точки \(P\), для которых выражение \[ \frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF} \] принимает наименьшее значение.
Задача 2
Пусть \(1 \le r \le n\). Рассмотрим все подмножества из \(r\) элементов множества \(\{1,2,\ldots,n\}\). В каждом из этих подмножеств есть наименьший элемент. Обозначим через \(F(n,r)\) среднее арифметическое этих наименьших чисел; докажите, что \[ F(n,r)=\frac{n+1}{r+1}. \]
Задача 3
Найдите наибольшее значение \(m^3+n^3\), где \(m\) и \(n\) — целые числа, удовлетворяющие условиям \(m,n\in\{1,2,\ldots,1981\}\) и \((n^2-mn-m^2)^2=1\).
Задача 4
(a) Для каких значений \(n > 2\) существует множество из \(n\) последовательных положительных целых чисел, в котором наибольшее число является делителем наименьшего общего кратного остальных \(n - 1\) чисел?
(b) Для каких значений \(n > 2\) существует ровно одно множество с указанным свойством?
Задача 5
Три равные окружности имеют общую точку \(O\) и лежат внутри данного треугольника. Каждая окружность касается двух сторон треугольника. Докажите, что центр вписанной окружности, центр описанной окружности треугольника и точка \(O\) лежат на одной прямой.
Задача 6
Функция \(f(x,y)\) удовлетворяет условиям \[ \begin{aligned} (1)\quad &f(0,y)=y+1,\\ (2)\quad &f(x+1,0)=f(x,1),\\ (3)\quad &f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y)), \end{aligned} \] для всех неотрицательных целых чисел \(x,y\). Найдите \(f(4,1981)\).
IMO 1981
6 مسائل مع حلول كاملة · ورقة المسائل الرسمية (PDF)
المسألة 1
لتكن \(P\) نقطة داخل مثلث معطى \(ABC\). ولتكن \(D, E, F\) مساقط العموديات من \(P\) على المستقيمات \(BC, CA, AB\) على الترتيب. أوجد جميع النقاط \(P\) التي تكون عندها قيمة \[ \frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF} \] أصغر ما يمكن.
المسألة 2
ليكن \(1 \le r \le n\)، ولننظر في جميع المجموعات الجزئية ذات \(r\) عناصر من المجموعة \(\{1,2,\ldots,n\}\). لكل مجموعة من هذه المجموعات الجزئية عنصر أصغر. ليرمز \(F(n,r)\) إلى المتوسط الحسابي لهذه الأعداد الصغرى؛ أثبت أن \[ F(n,r)=\frac{n+1}{r+1}. \]
المسألة 3
حدّد القيمة العظمى لـ \(m^3+n^3\)، حيث \(m\) و\(n\) عددان صحيحان يحققان \(m,n\in\{1,2,\ldots,1981\}\) و\((n^2-mn-m^2)^2=1\).
المسألة 4
(أ) لأي قيم \(n > 2\) توجد مجموعة من \(n\) أعداد صحيحة موجبة متتالية بحيث يكون أكبر عدد في المجموعة قاسمًا للمضاعف المشترك الأصغر للأعداد \(n - 1\) المتبقية؟
(ب) لأي قيم \(n > 2\) توجد مجموعة واحدة بالضبط لها الخاصية المذكورة؟
المسألة 5
ثلاث دوائر متطابقة لها نقطة مشتركة \(O\)، وتقع داخل مثلث معطى. تمس كل دائرة زوجًا من أضلاع المثلث. أثبت أن مركز الدائرة الداخلية للمثلث ومركز دائرته المحيطة والنقطة \(O\) تقع على استقامة واحدة.
المسألة 6
تحقق الدالة \(f(x,y)\) \[ \begin{aligned} (1)\quad &f(0,y)=y+1,\\ (2)\quad &f(x+1,0)=f(x,1),\\ (3)\quad &f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y)), \end{aligned} \] لكل عددين صحيحين غير سالبين \(x,y\). حدّد \(f(4,1981)\).