Problem 1

Let \(p\) and \(q\) be natural numbers such that \[ \frac pq=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots-\frac1{1318}+\frac1{1319}. \] Prove that \(p\) is divisible by 1979.

Solution →

Problem 2

A prism with pentagons \(A_1A_2A_3A_4A_5\) and \(B_1B_2B_3B_4B_5\) as top and bottom faces is given. Each side of the two pentagons and each of the line-segments \(A_iB_j\) for all \(i,j=1,\ldots,5\), is colored either red or green. Every triangle whose vertices are vertices of the prism and whose sides have all been colored has two sides of a different color. Show that all 10 sides of the top and bottom faces are the same color.

Solution →

Problem 3

Two circles in a plane intersect. Let \(A\) be one of the points of intersection. Starting simultaneously from \(A\) two points move with constant speeds, each point travelling along its own circle in the same sense. The two points return to \(A\) simultaneously after one revolution. Prove that there is a fixed point \(P\) in the plane such that, at any time, the distances from \(P\) to the moving points are equal.

Solution →

Problem 4

Given a plane \(\pi\), a point \(P\) in this plane and a point \(Q\) not in \(\pi\), find all points \(R\) in \(\pi\) such that the ratio \((QP + PA)/QR\) is a maximum.

Solution →

Problem 5

Find all real numbers \(a\) for which there exist non-negative real numbers \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) satisfying the relations \[ \sum_{k=1}^{5}kx_k=a,\qquad \sum_{k=1}^{5}k^3x_k=a^2,\qquad \sum_{k=1}^{5}k^5x_k=a^3. \]

Solution →

Problem 6

Let \(A\) and \(E\) be opposite vertices of a regular octagon. A frog starts jumping at vertex \(A\). From any vertex of the octagon except \(E\), it may jump to either of the two adjacent vertices. When it reaches vertex \(E\), the frog stops and stays there.. Let \(a_n\) be the number of distinct paths of exactly \(n\) jumps ending at \(E\). Prove that \(a_{2n-1}=0\), \[ a_{2n}=\frac{1}{\sqrt2}(x^{n-1}-y^{n-1}),\ n=1,2,3,\cdots, \] where \(x=2+\sqrt2\) and \(y=2-\sqrt2\).

Note. A path of \(n\) jumps is a sequence of vertices \((P_0,\ldots,P_n)\) such that
(i) \(P_0=A,\ P_n=E\);
(ii) for every \(i,\ 0\le i\le n-1,\ P_i\) is distinct from \(E\);
(iii) for every \(i,\ 0\le i\le n-1,\ P_i\) and \(P_{i+1}\) are adjacent.

Solution →

Aufgabe 1

Es seien \(p\) und \(q\) natürliche Zahlen mit \[ \frac pq=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots-\frac1{1318}+\frac1{1319}. \] Beweise, dass \(p\) durch 1979 teilbar ist.

Lösung →

Aufgabe 2

Gegeben ist ein Prisma mit den Fünfecken \(A_1A_2A_3A_4A_5\) und \(B_1B_2B_3B_4B_5\) als Deck- und Grundfläche. Jede Seite der beiden Fünfecke und jede der Strecken \(A_iB_j\) für alle \(i,j=1,\ldots,5\) ist entweder rot oder grün gefärbt. Jedes Dreieck, dessen Eckpunkte Eckpunkte des Prismas sind und dessen Seiten alle gefärbt sind, hat zwei verschiedenfarbige Seiten. Zeige, dass alle 10 Seiten der Deck- und Grundfläche dieselbe Farbe haben.

Lösung →

Aufgabe 3

Zwei Kreise in einer Ebene schneiden sich. Es sei \(A\) einer ihrer Schnittpunkte. Zwei Punkte starten gleichzeitig in \(A\) und bewegen sich mit konstanten Geschwindigkeiten, jeder auf seinem eigenen Kreis und beide im gleichen Umlaufsinn. Nach einem Umlauf kehren die beiden Punkte gleichzeitig nach \(A\) zurück. Beweise, dass es einen festen Punkt \(P\) in der Ebene gibt, dessen Abstände zu den beiden bewegten Punkten zu jedem Zeitpunkt gleich sind.

Lösung →

Aufgabe 4

Gegeben sind eine Ebene \(\pi\), ein Punkt \(P\) in dieser Ebene und ein Punkt \(Q\), der nicht in \(\pi\) liegt. Bestimme alle Punkte \(R\) in \(\pi\), für die das Verhältnis \((QP + PA)/QR\) maximal ist.

Lösung →

Aufgabe 5

Bestimme alle reellen Zahlen \(a\), für die nichtnegative reelle Zahlen \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) existieren, welche die Beziehungen \[ \sum_{k=1}^{5}kx_k=a,\qquad \sum_{k=1}^{5}k^3x_k=a^2,\qquad \sum_{k=1}^{5}k^5x_k=a^3 \] erfüllen.

Lösung →

Aufgabe 6

Es seien \(A\) und \(E\) gegenüberliegende Eckpunkte eines regelmäßigen Achtecks. Ein Frosch beginnt am Eckpunkt \(A\) zu springen. Von jedem Eckpunkt des Achtecks außer \(E\) darf er zu einem der beiden benachbarten Eckpunkte springen. Sobald er den Eckpunkt \(E\) erreicht, hört der Frosch auf zu springen und bleibt dort. Es sei \(a_n\) die Anzahl der verschiedenen Wege aus genau \(n\) Sprüngen, die in \(E\) enden. Beweise, dass \(a_{2n-1}=0\) gilt und \[ a_{2n}=\frac{1}{\sqrt2}(x^{n-1}-y^{n-1}),\ n=1,2,3,\cdots, \] wobei \(x=2+\sqrt2\) und \(y=2-\sqrt2\) ist.

Bemerkung. Ein Weg aus \(n\) Sprüngen ist eine Folge von Eckpunkten \((P_0,\ldots,P_n)\) mit folgenden Eigenschaften:
(i) \(P_0=A,\ P_n=E\);
(ii) für jedes \(i,\ 0\le i\le n-1,\ P_i\) ist von \(E\) verschieden;
(iii) für jedes \(i,\ 0\le i\le n-1,\ P_i\) und \(P_{i+1}\) sind benachbart.

Lösung →

Soru 1

\(p\) ve \(q\), \[ \frac pq=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots-\frac1{1318}+\frac1{1319} \] eşitliğini sağlayan doğal sayılar olsun. \(p\)'nin 1979 ile bölünebildiğini kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 2

Üst ve alt yüzleri sırasıyla \(A_1A_2A_3A_4A_5\) ve \(B_1B_2B_3B_4B_5\) beşgenleri olan bir prizma verilmiştir. İki beşgenin her bir kenarı ve tüm \(i,j=1,\ldots,5\) için \(A_iB_j\) doğru parçalarının her biri kırmızı veya yeşile boyanmıştır. Köşeleri prizmanın köşelerinden oluşan ve bütün kenarları boyanmış olan her üçgenin farklı renkte iki kenarı vardır. Üst ve alt yüzlerin 10 kenarının tamamının aynı renkte olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 3

Bir düzlemdeki iki çember kesişmektedir. Kesişim noktalarından biri \(A\) olsun. İki nokta, \(A\)'dan aynı anda başlayarak, her biri kendi çemberi üzerinde aynı yönde sabit hızlarla hareket etmektedir. İki nokta bir tam tur sonunda aynı anda \(A\)'ya dönmektedir. Düzlemde, her an hareketli noktalara olan uzaklıkları eşit olan sabit bir \(P\) noktası bulunduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 4

Bir \(\pi\) düzlemi, bu düzlemde bir \(P\) noktası ve \(\pi\)'de bulunmayan bir \(Q\) noktası verilmiştir. \((QP + PA)/QR\) oranının en büyük değerini aldığı, \(\pi\)'deki tüm \(R\) noktalarını bulunuz.

Çözüm →

Soru 5

Aşağıdaki bağıntıları sağlayan negatif olmayan \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) gerçel sayılarının var olduğu tüm \(a\) gerçel sayılarını bulunuz: \[ \sum_{k=1}^{5}kx_k=a,\qquad \sum_{k=1}^{5}k^3x_k=a^2,\qquad \sum_{k=1}^{5}k^5x_k=a^3. \]

Çözüm →

Soru 6

\(A\) ve \(E\), bir düzgün sekizgenin karşılıklı köşeleri olsun. Bir kurbağa \(A\) köşesinden sıçramaya başlıyor. Sekizgenin \(E\) dışındaki herhangi bir köşesinden, komşu iki köşeden birine sıçrayabiliyor. Kurbağa \(E\) köşesine ulaştığında duruyor ve orada kalıyor. Tam olarak \(n\) sıçramadan oluşan ve \(E\)'de biten farklı yolların sayısı \(a_n\) olsun. \(a_{2n-1}=0\) olduğunu ve \[ a_{2n}=\frac{1}{\sqrt2}(x^{n-1}-y^{n-1}),\ n=1,2,3,\cdots, \] olduğunu kanıtlayınız; burada \(x=2+\sqrt2\) ve \(y=2-\sqrt2\)'dir.

Not. \(n\) sıçramadan oluşan bir yol, aşağıdaki koşulları sağlayan bir \((P_0,\ldots,P_n)\) köşe dizisidir:
(i) \(P_0=A,\ P_n=E\);
(ii) her \(i,\ 0\le i\le n-1,\ P_i\) için belirtilen nokta \(E\)'den farklıdır;
(iii) her \(i,\ 0\le i\le n-1,\ P_i\) için belirtilen nokta ile \(P_{i+1}\) komşudur.

Çözüm →

Problema 1

Sean \(p\) y \(q\) números naturales tales que \[ \frac pq=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots-\frac1{1318}+\frac1{1319}. \] Demostrar que \(p\) es divisible por 1979.

Solución →

Problema 2

Se da un prisma cuyas caras superior e inferior son los pentágonos \(A_1A_2A_3A_4A_5\) y \(B_1B_2B_3B_4B_5\). Cada lado de los dos pentágonos y cada uno de los segmentos \(A_iB_j\), para todos los \(i,j=1,\ldots,5\), se colorea de rojo o de verde. Todo triángulo cuyos vértices son vértices del prisma y cuyos lados están todos coloreados tiene dos lados de distinto color. Demostrar que los 10 lados de las caras superior e inferior son del mismo color.

Solución →

Problema 3

Dos circunferencias de un plano se cortan. Sea \(A\) uno de los puntos de intersección. Dos puntos parten simultáneamente de \(A\) y se mueven con velocidades constantes, cada uno sobre su propia circunferencia y en el mismo sentido. Los dos puntos regresan a \(A\) simultáneamente tras una vuelta. Demostrar que existe un punto fijo \(P\) del plano tal que, en cualquier instante, las distancias de \(P\) a los puntos móviles son iguales.

Solución →

Problema 4

Dados un plano \(\pi\), un punto \(P\) de este plano y un punto \(Q\) que no pertenece a \(\pi\), hallar todos los puntos \(R\) de \(\pi\) para los que la razón \((QP + PA)/QR\) sea máxima.

Solución →

Problema 5

Hallar todos los números reales \(a\) para los que existen números reales no negativos \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) que satisfacen las relaciones \[ \sum_{k=1}^{5}kx_k=a,\qquad \sum_{k=1}^{5}k^3x_k=a^2,\qquad \sum_{k=1}^{5}k^5x_k=a^3. \]

Solución →

Problema 6

Sean \(A\) y \(E\) vértices opuestos de un octágono regular. Una rana empieza a saltar desde el vértice \(A\). Desde cualquier vértice del octágono distinto de \(E\), puede saltar a cualquiera de los dos vértices adyacentes. Cuando llega al vértice \(E\), la rana se detiene y permanece allí. Sea \(a_n\) el número de caminos distintos de exactamente \(n\) saltos que terminan en \(E\). Demostrar que \(a_{2n-1}=0\), \[ a_{2n}=\frac{1}{\sqrt2}(x^{n-1}-y^{n-1}),\ n=1,2,3,\cdots, \] donde \(x=2+\sqrt2\) e \(y=2-\sqrt2\).

Nota. Un camino de \(n\) saltos es una sucesión de vértices \((P_0,\ldots,P_n)\) tal que
(i) \(P_0=A,\ P_n=E\);
(ii) para todo \(i,\ 0\le i\le n-1,\ P_i\) es distinto de \(E\);
(iii) para todo \(i,\ 0\le i\le n-1,\ P_i\) y \(P_{i+1}\) son adyacentes.

Solución →

问题 1

设 \(p\) 和 \(q\) 为自然数，满足 \[ \frac pq=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots-\frac1{1318}+\frac1{1319}. \] 证明 \(p\) 能被 1979 整除。

解答 →

问题 2

给定一个棱柱，其上、下底面分别为五边形 \(A_1A_2A_3A_4A_5\) 和 \(B_1B_2B_3B_4B_5\)。将这两个五边形的每条边以及所有 \(i,j=1,\ldots,5\) 对应的线段 \(A_iB_j\) 分别染成红色或绿色。每个以棱柱的顶点为顶点且三条边均已染色的三角形，都有两条颜色不同的边。证明上、下底面的全部 10 条边颜色相同。

解答 →

问题 3

平面上两个圆相交。设 \(A\) 为其中一个交点。两个点同时从 \(A\) 出发，各自沿所在的圆以恒定的速率、按相同的绕行方向运动。这两个点各绕行一周后同时回到 \(A\)。证明平面上存在一个定点 \(P\)，使得在任意时刻，\(P\) 到这两个动点的距离相等。

解答 →

问题 4

给定平面 \(\pi\)、该平面内一点 \(P\) 以及不在 \(\pi\) 内的一点 \(Q\)，求 \(\pi\) 内所有使比值 \((QP + PA)/QR\) 取得最大值的点 \(R\)。

解答 →

问题 5

求所有实数 \(a\)，使得存在非负实数 \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) 满足关系式 \[ \sum_{k=1}^{5}kx_k=a,\qquad \sum_{k=1}^{5}k^3x_k=a^2,\qquad \sum_{k=1}^{5}k^5x_k=a^3. \]

解答 →

问题 6

设 \(A\) 和 \(E\) 为一个正八边形的一对相对顶点。一只青蛙从顶点 \(A\) 开始跳跃。从八边形中除 \(E\) 以外的任意顶点，它可以跳到两个相邻顶点中的任意一个。当青蛙到达顶点 \(E\) 时，它便停止跳跃并留在那里。设 \(a_n\) 为恰好跳跃 \(n\) 次并以 \(E\) 为终点的不同路径数。证明 \(a_{2n-1}=0\)， \[ a_{2n}=\frac{1}{\sqrt2}(x^{n-1}-y^{n-1}),\ n=1,2,3,\cdots, \] 其中 \(x=2+\sqrt2\)，\(y=2-\sqrt2\)。

注：一条跳跃 \(n\) 次的路径是一个顶点序列 \((P_0,\ldots,P_n)\)，满足
(i) \(P_0=A,\ P_n=E\)；
(ii) 对每个 \(i,\ 0\le i\le n-1,\ P_i\) 均不同于 \(E\)；
(iii) 对每个 \(i,\ 0\le i\le n-1,\ P_i\) 与 \(P_{i+1}\) 相邻。

解答 →

Задача 1

Пусть \(p\) и \(q\) — натуральные числа, для которых \[ \frac pq=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots-\frac1{1318}+\frac1{1319}. \] Докажите, что \(p\) делится на 1979.

Решение →

Задача 2

Дана призма, верхняя и нижняя грани которой — пятиугольники \(A_1A_2A_3A_4A_5\) и \(B_1B_2B_3B_4B_5\). Каждая сторона обоих пятиугольников и каждый из отрезков \(A_iB_j\) для всех \(i,j=1,\ldots,5\) окрашены в красный или зелёный цвет. В каждом треугольнике, вершины которого являются вершинами призмы и все стороны которого окрашены, есть две стороны разного цвета. Докажите, что все 10 сторон верхней и нижней граней имеют один и тот же цвет.

Решение →

Задача 3

Две окружности на плоскости пересекаются. Пусть \(A\) — одна из точек их пересечения. Две точки одновременно начинают движение из \(A\) с постоянными скоростями, каждая по своей окружности в одном и том же направлении обхода. Совершив один полный оборот, обе точки одновременно возвращаются в \(A\). Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка \(P\), расстояния от которой до движущихся точек равны в любой момент времени.

Решение →

Задача 4

Даны плоскость \(\pi\), точка \(P\) в этой плоскости и точка \(Q\), не лежащая в \(\pi\). Найдите все точки \(R\) в \(\pi\), для которых отношение \((QP + PA)/QR\) принимает наибольшее значение.

Решение →

Задача 5

Найдите все действительные числа \(a\), для которых существуют неотрицательные действительные числа \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\), удовлетворяющие соотношениям \[ \sum_{k=1}^{5}kx_k=a,\qquad \sum_{k=1}^{5}k^3x_k=a^2,\qquad \sum_{k=1}^{5}k^5x_k=a^3. \]

Решение →

Задача 6

Пусть \(A\) и \(E\) — противоположные вершины правильного восьмиугольника. Лягушка начинает прыгать из вершины \(A\). Из любой вершины восьмиугольника, кроме \(E\), она может прыгнуть в любую из двух соседних вершин. Достигнув вершины \(E\), лягушка останавливается и остаётся там. Пусть \(a_n\) — число различных путей, состоящих ровно из \(n\) прыжков и заканчивающихся в \(E\). Докажите, что \(a_{2n-1}=0\), \[ a_{2n}=\frac{1}{\sqrt2}(x^{n-1}-y^{n-1}),\ n=1,2,3,\cdots, \] где \(x=2+\sqrt2\) и \(y=2-\sqrt2\).

Примечание. Путь из \(n\) прыжков — это последовательность вершин \((P_0,\ldots,P_n)\), для которой
(i) \(P_0=A,\ P_n=E\);
(ii) для каждого \(i,\ 0\le i\le n-1,\ P_i\) отлична от \(E\);
(iii) для каждого \(i,\ 0\le i\le n-1,\ P_i\) и \(P_{i+1}\) — соседние вершины.

Решение →

المسألة 1

ليكن \(p\) و\(q\) عددين طبيعيين بحيث \[ \frac pq=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots-\frac1{1318}+\frac1{1319}. \] أثبت أن \(p\) يقبل القسمة على 1979.

← الحل

المسألة 2

لدينا منشور وجهه العلوي هو المخمس \(A_1A_2A_3A_4A_5\) ووجهه السفلي هو المخمس \(B_1B_2B_3B_4B_5\). لُوّن كل ضلع من أضلاع المخمسين وكل قطعة مستقيمة \(A_iB_j\)، لجميع \(i,j=1,\ldots,5\)، إما بالأحمر وإما بالأخضر. كل مثلث رؤوسه من رؤوس المنشور ولُوّنت أضلاعه جميعًا له ضلعان مختلفا اللون. أثبت أن الأضلاع العشرة للوجهين العلوي والسفلي لها اللون نفسه.

← الحل

المسألة 3

تتقاطع دائرتان في مستوى. لتكن \(A\) إحدى نقطتي التقاطع. تنطلق نقطتان في الوقت نفسه من \(A\) وتتحركان بسرعتين ثابتتين، كل منهما على دائرتها وفي الاتجاه نفسه. تعود النقطتان إلى \(A\) في الوقت نفسه بعد دورة واحدة. أثبت وجود نقطة ثابتة \(P\) في المستوى بحيث تكون المسافتان من \(P\) إلى النقطتين المتحركتين متساويتين في كل لحظة.

← الحل

المسألة 4

أُعطي مستوى \(\pi\)، ونقطة \(P\) في هذا المستوى، ونقطة \(Q\) لا تنتمي إلى \(\pi\). أوجد جميع النقاط \(R\) في \(\pi\) التي تبلغ عندها النسبة \((QP + PA)/QR\) قيمتها العظمى.

← الحل

المسألة 5

أوجد جميع الأعداد الحقيقية \(a\) التي توجد من أجلها أعداد حقيقية غير سالبة \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) تحقق العلاقات \[ \sum_{k=1}^{5}kx_k=a,\qquad \sum_{k=1}^{5}k^3x_k=a^2,\qquad \sum_{k=1}^{5}k^5x_k=a^3. \]

← الحل

المسألة 6

ليكن \(A\) و\(E\) رأسين متقابلين في مثمن منتظم. يبدأ ضفدع القفز من الرأس \(A\). ويمكنه من أي رأس من رؤوس المثمن، عدا \(E\)، أن يقفز إلى أي من الرأسين المجاورين. وعندما يصل إلى الرأس \(E\)، يتوقف الضفدع ويبقى هناك. ليكن \(a_n\) عدد المسارات المختلفة التي تتكون من \(n\) قفزات بالضبط وتنتهي عند \(E\). أثبت أن \(a_{2n-1}=0\)، وأن \[ a_{2n}=\frac{1}{\sqrt2}(x^{n-1}-y^{n-1}),\ n=1,2,3,\cdots, \] حيث \(x=2+\sqrt2\) و\(y=2-\sqrt2\).

ملاحظة. المسار المؤلف من \(n\) قفزات هو متتالية من الرؤوس \((P_0,\ldots,P_n)\) بحيث
(i) \(P_0=A,\ P_n=E\)؛
(ii) لكل \(i,\ 0\le i\le n-1,\ P_i\) يختلف عن \(E\)؛
(iii) لكل \(i,\ 0\le i\le n-1,\ P_i\) و\(P_{i+1}\) متجاوران.

← الحل