Solution

Let \(O\) be the centre of the square. For every boundary point \(P\), write \(P^*=2O-P\) for its opposite point. These points lie on opposite parallel sides of the square, so \[ |P-P^*|\ge 100. \] Let \(D(P)\) be the closed disk of radius \(1/2\) centred at \(P\). Thus \(D(P)\) and \(D(P^*)\) are disjoint.

Parametrize \(L\) by arclength as \(\gamma:[0,\ell]\to S\), in its given order. We will show that, for some opposite boundary points, the path visits their disks in the order \[ D(P),\quad D(P^*),\quad D(P). \]

Define two subsets of the boundary: \[ \begin{aligned} E=\{P:\ &\text{there exist }s\le t\text{ such that } \gamma(s)\in D(P),\ \gamma(t)\in D(P^*)\},\\ F=\{P:\ &\text{there exist }s\le t\text{ such that } \gamma(s)\in D(P^*),\ \gamma(t)\in D(P)\}. \end{aligned} \] Here all parameters belong to \([0,\ell]\). By hypothesis, the path meets both disks for every \(P\). Ordering any two such visits shows that \[ E\cup F=\partial S. \]

Both sets are closed. Indeed, if \(P_j\in E\) tends to \(P\), choose witnessing parameters \(s_j\le t_j\). Compactness of \([0,\ell]^2\) gives a subsequence converging to some \(s\le t\). Continuity then gives \[ |\gamma(s)-P|\le\tfrac12, \qquad |\gamma(t)-P^*|\le\tfrac12, \] so \(P\in E\). The same argument applies to \(F\).

Moreover, reflection \(P\mapsto P^*\) interchanges \(E\) and \(F\). Since their union is the nonempty boundary, both sets are nonempty. The boundary of a square is connected, so two nonempty closed subsets covering it cannot be disjoint. Consequently, \[ E\cap F\ne\varnothing. \]

Choose \(P\in E\cap F\), and put \(Q=P^*\). There are parameters \(s<t\) and \(u<v\) such that \[ \gamma(s),\gamma(v)\in D(P), \qquad \gamma(t),\gamma(u)\in D(Q). \] The inequalities are strict because the two disks are disjoint; for the same reason, \(s\ne u\).

If \(s<u\), the visits at \(s,u,v\) occur in the order \(D(P),D(Q),D(P)\). If \(u<s\), the visits at \(u,s,t\) occur in the order \(D(Q),D(P),D(Q)\). Interchanging \(P,Q\) in the latter case, we obtain points \(X,Z,Y\), in that order along \(L\), satisfying \[ |X-P|\le\tfrac12,\qquad |Y-P|\le\tfrac12,\qquad |Z-Q|\le\tfrac12. \]

Therefore \[ |X-Y|\le |X-P|+|P-Y|\le1. \] Also, by the triangle inequality, \[ |X-Z|\ge |P-Q|-|P-X|-|Q-Z|\ge100-\tfrac12-\tfrac12=99, \] and likewise \(|Z-Y|\ge99\). Since the part of \(L\) between \(X\) and \(Y\) passes through \(Z\), its length is at least \[ |X-Z|+|Z-Y|\ge198. \] This proves the assertion.

The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).

Lösung

Sei \(O\) der Mittelpunkt des Quadrats. Für jeden Randpunkt \(P\) bezeichne \(P^*=2O-P\) den gegenüberliegenden Punkt. Diese Punkte liegen auf gegenüberliegenden parallelen Seiten des Quadrats, also gilt \[ |P-P^*|\ge 100. \] Sei \(D(P)\) die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius \(1/2\) und Mittelpunkt \(P\). Somit sind \(D(P)\) und \(D(P^*)\) disjunkt.

Parametrisieren wir \(L\) in der gegebenen Reihenfolge nach der Bogenlänge durch \(\gamma:[0,\ell]\to S\). Wir werden zeigen, dass der Streckenzug für gewisse gegenüberliegende Randpunkte deren Kreisscheiben in der Reihenfolge \[ D(P),\quad D(P^*),\quad D(P) \] durchläuft.

Definiere zwei Teilmengen des Randes: \[ \begin{aligned} E=\{P:\ &\text{es gibt }s\le t\text{ mit } \gamma(s)\in D(P),\ \gamma(t)\in D(P^*)\},\\ F=\{P:\ &\text{es gibt }s\le t\text{ mit } \gamma(s)\in D(P^*),\ \gamma(t)\in D(P)\}. \end{aligned} \] Hier gehören alle Parameter zu \([0,\ell]\). Nach Voraussetzung trifft der Streckenzug für jedes \(P\) beide Kreisscheiben. Ordnet man zwei beliebige solche Besuche zeitlich, so zeigt sich, dass \[ E\cup F=\partial S. \]

Beide Mengen sind abgeschlossen. Konvergiert nämlich \(P_j\in E\) gegen \(P\), so wähle zugehörige Parameter \(s_j\le t_j\), welche die definierenden Bedingungen erfüllen. Aus der Kompaktheit von \([0,\ell]^2\) folgt die Existenz einer Teilfolge, die gegen ein Paar \(s\le t\) konvergiert. Aus der Stetigkeit folgt dann \[ |\gamma(s)-P|\le\tfrac12, \qquad |\gamma(t)-P^*|\le\tfrac12, \] also \(P\in E\). Dasselbe Argument gilt für \(F\).

Außerdem vertauscht die Spiegelung \(P\mapsto P^*\) die Mengen \(E\) und \(F\). Da ihre Vereinigung der nichtleere Rand ist, sind beide Mengen nichtleer. Der Rand eines Quadrats ist zusammenhängend, daher können zwei nichtleere abgeschlossene Teilmengen, die ihn überdecken, nicht disjunkt sein. Folglich gilt \[ E\cap F\ne\varnothing. \]

Wähle \(P\in E\cap F\), und setze \(Q=P^*\). Es gibt Parameter \(s<t\) und \(u<v\), sodass \[ \gamma(s),\gamma(v)\in D(P), \qquad \gamma(t),\gamma(u)\in D(Q). \] Die Ungleichungen sind strikt, weil die beiden Kreisscheiben disjunkt sind; aus demselben Grund gilt \(s\ne u\).

Falls \(s<u\), erfolgen die Besuche zu den Parametern \(s,u,v\) in der Reihenfolge \(D(P),D(Q),D(P)\). Falls \(u<s\), erfolgen die Besuche zu den Parametern \(u,s,t\) in der Reihenfolge \(D(Q),D(P),D(Q)\). Vertauschen wir im zweiten Fall \(P,Q\), so erhalten wir Punkte \(X,Z,Y\), die in dieser Reihenfolge auf \(L\) liegen und für die gilt: \[ |X-P|\le\tfrac12,\qquad |Y-P|\le\tfrac12,\qquad |Z-Q|\le\tfrac12. \]

Daher gilt \[ |X-Y|\le |X-P|+|P-Y|\le1. \] Außerdem gilt nach der Dreiecksungleichung \[ |X-Z|\ge |P-Q|-|P-X|-|Q-Z|\ge100-\tfrac12-\tfrac12=99, \] und ebenso \(|Z-Y|\ge99\). Da der Teil von \(L\) zwischen \(X\) und \(Y\) durch \(Z\) verläuft, beträgt seine Länge mindestens \[ |X-Z|+|Z-Y|\ge198. \] Damit ist die Behauptung bewiesen.

Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.

Çözüm

Karenin merkezi \(O\) olsun. Sınır üzerindeki her \(P\) noktası için karşıt noktasını \(P^*=2O-P\) ile gösterelim. Bu noktalar karenin karşılıklı paralel kenarları üzerinde yer aldığından \[ |P-P^*|\ge 100. \] Merkezi \(P\), yarıçapı \(1/2\) olan kapalı daireyi \(D(P)\) ile gösterelim. Böylece \(D(P)\) ile \(D(P^*)\) ayrık olur.

\(L\) yolunu, verilen sıralamasına uygun olarak yay uzunluğuyla \(\gamma:[0,\ell]\to S\) biçiminde parametreleyelim. Bazı karşıt sınır noktaları için yolun bu noktalara ait dairelere \[ D(P),\quad D(P^*),\quad D(P) \] sırasıyla uğradığını göstereceğiz.

Sınırın iki alt kümesini tanımlayalım: \[ \begin{aligned} E=\{P:\ &\text{öyle }s\le t\text{ parametreleri vardır ki } \gamma(s)\in D(P),\ \gamma(t)\in D(P^*)\},\\ F=\{P:\ &\text{öyle }s\le t\text{ parametreleri vardır ki } \gamma(s)\in D(P^*),\ \gamma(t)\in D(P)\}. \end{aligned} \] Burada tüm parametreler \([0,\ell]\) aralığına aittir. Varsayım gereği yol, her \(P\) için her iki daireyle de kesişir. Bu dairelere herhangi iki uğrayışın sıralanması, \[ E\cup F=\partial S \] olduğunu gösterir.

Her iki küme de kapalıdır. Gerçekten de, \(P_j\in E\) noktaları \(P\) noktasına yakınsıyorsa, tanımdaki koşulları sağlayan \(s_j\le t_j\) parametrelerini seçelim. \([0,\ell]^2\) kümesinin kompaktlığından, bazı \(s\le t\) parametrelerine yakınsayan bir alt dizi elde edilir. Süreklilikten \[ |\gamma(s)-P|\le\tfrac12, \qquad |\gamma(t)-P^*|\le\tfrac12, \] elde edilir; dolayısıyla \(P\in E\) olur. Aynı akıl yürütme \(F\) için de geçerlidir.

Ayrıca, \(P\mapsto P^*\) yansıması \(E\) ile \(F\) kümelerini birbirine dönüştürür. Birleşimleri boş olmayan sınır olduğundan, her iki küme de boş değildir. Bir karenin sınırı bağlantılıdır; dolayısıyla onu örten, boş olmayan iki kapalı alt küme ayrık olamaz. Buna göre, \[ E\cap F\ne\varnothing. \]

\(P\in E\cap F\) seçelim ve \(Q=P^*\) alalım. Aşağıdaki koşulları sağlayan \(s<t\) ve \(u<v\) parametreleri vardır: \[ \gamma(s),\gamma(v)\in D(P), \qquad \gamma(t),\gamma(u)\in D(Q). \] İki daire ayrık olduğundan eşitsizlikler kesindir; aynı nedenle \(s\ne u\) olur.

\(s<u\) ise \(s,u,v\) parametrelerindeki uğrayışlar \(D(P),D(Q),D(P)\) sırasındadır. \(u<s\) ise \(u,s,t\) parametrelerindeki uğrayışlar \(D(Q),D(P),D(Q)\) sırasındadır. İkinci durumda \(P,Q\) noktalarının yerlerini değiştirerek, \(L\) boyunca bu sırayla yer alan ve aşağıdaki koşulları sağlayan \(X,Z,Y\) noktaları elde ederiz: \[ |X-P|\le\tfrac12,\qquad |Y-P|\le\tfrac12,\qquad |Z-Q|\le\tfrac12. \] Dolayısıyla \[ |X-Y|\le |X-P|+|P-Y|\le1. \] Ayrıca, üçgen eşitsizliğinden \[ |X-Z|\ge |P-Q|-|P-X|-|Q-Z|\ge100-\tfrac12-\tfrac12=99, \] ve benzer şekilde \(|Z-Y|\ge99\) elde edilir. \(L\)'nin \(X\) ile \(Y\) arasında kalan kısmı \(Z\) noktasından geçtiğinden, uzunluğu en az \[ |X-Z|+|Z-Y|\ge198 \] olur. Böylece iddia kanıtlanmış olur.

Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.

Solución

Sea \(O\) el centro del cuadrado. Para cada punto \(P\) del contorno, escribamos \(P^*=2O-P\) para denotar su punto opuesto. Estos puntos pertenecen a lados opuestos y paralelos del cuadrado, por lo que \[ |P-P^*|\ge 100. \] Sea \(D(P)\) el disco cerrado de radio \(1/2\) y centro \(P\). Así, \(D(P)\) y \(D(P^*)\) son disjuntos.

Parametricemos \(L\) por la longitud de arco como \(\gamma:[0,\ell]\to S\), siguiendo el orden dado. Demostraremos que, para ciertos puntos opuestos del contorno, el camino visita sus discos en el orden \[ D(P),\quad D(P^*),\quad D(P). \]

Definamos dos subconjuntos del contorno: \[ \begin{aligned} E=\{P:\ &\text{existen }s\le t\text{ tales que } \gamma(s)\in D(P),\ \gamma(t)\in D(P^*)\},\\ F=\{P:\ &\text{existen }s\le t\text{ tales que } \gamma(s)\in D(P^*),\ \gamma(t)\in D(P)\}. \end{aligned} \] Aquí todos los parámetros pertenecen a \([0,\ell]\). Por hipótesis, el camino pasa por ambos discos para todo \(P\). Al ordenar dos visitas cualesquiera de este tipo, se ve que \[ E\cup F=\partial S. \]

Ambos conjuntos son cerrados. En efecto, si \(P_j\in E\) tiende a \(P\), elijamos parámetros \(s_j\le t_j\) que cumplan las condiciones de la definición. La compacidad de \([0,\ell]^2\) proporciona una subsucesión que converge a ciertos \(s\le t\). Por continuidad se obtiene entonces \[ |\gamma(s)-P|\le\tfrac12, \qquad |\gamma(t)-P^*|\le\tfrac12, \] de modo que \(P\in E\). El mismo argumento se aplica a \(F\).

Además, la simetría \(P\mapsto P^*\) intercambia \(E\) y \(F\). Como su unión es el contorno, que no es vacío, ambos conjuntos son no vacíos. El contorno de un cuadrado es conexo, por lo que dos subconjuntos cerrados no vacíos que lo cubren no pueden ser disjuntos. Por consiguiente, \[ E\cap F\ne\varnothing. \]

Elijamos \(P\in E\cap F\), y pongamos \(Q=P^*\). Existen parámetros \(s<t\) y \(u<v\) tales que \[ \gamma(s),\gamma(v)\in D(P), \qquad \gamma(t),\gamma(u)\in D(Q). \] Las desigualdades son estrictas porque los dos discos son disjuntos; por la misma razón, \(s\ne u\).

Si \(s<u\), las visitas en \(s,u,v\) ocurren en el orden \(D(P),D(Q),D(P)\). Si \(u<s\), las visitas en \(u,s,t\) ocurren en el orden \(D(Q),D(P),D(Q)\). Intercambiando \(P,Q\) en este último caso, obtenemos puntos \(X,Z,Y\), en ese orden a lo largo de \(L\), que satisfacen \[ |X-P|\le\tfrac12,\qquad |Y-P|\le\tfrac12,\qquad |Z-Q|\le\tfrac12. \]

Por lo tanto, \[ |X-Y|\le |X-P|+|P-Y|\le1. \] Además, por la desigualdad triangular, \[ |X-Z|\ge |P-Q|-|P-X|-|Q-Z|\ge100-\tfrac12-\tfrac12=99, \] y, análogamente, \(|Z-Y|\ge99\). Como la parte de \(L\) comprendida entre \(X\) e \(Y\) pasa por \(Z\), su longitud es al menos \[ |X-Z|+|Z-Y|\ge198. \] Esto demuestra la afirmación.

La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).

解答

设 \(O\) 为正方形的中心。对每个边界点 \(P\)，记 \(P^*=2O-P\) 为其关于中心的对称点。这两点位于正方形的一对平行对边上，故 \[ |P-P^*|\ge 100. \] 设 \(D(P)\) 为以 \(P\) 为圆心、半径为 \(1/2\) 的闭圆盘。因此，\(D(P)\) 与 \(D(P^*)\) 不相交。

按给定的顺序，以弧长为参数将 \(L\) 参数化为 \(\gamma:[0,\ell]\to S\)。我们将证明，对于某一对关于中心对称的边界点，折线依次经过它们的圆盘，顺序为 \[ D(P),\quad D(P^*),\quad D(P). \]

定义边界的两个子集： \[ \begin{aligned} E=\{P:\ &\text{存在 }s\le t\text{ 使得 } \gamma(s)\in D(P),\ \gamma(t)\in D(P^*)\},\\ F=\{P:\ &\text{存在 }s\le t\text{ 使得 } \gamma(s)\in D(P^*),\ \gamma(t)\in D(P)\}. \end{aligned} \] 这里所有参数均属于 \([0,\ell]\)。由题设，对每个 \(P\)，折线都与这两个圆盘相交。任取分别经过这两个圆盘的两个时刻，按先后顺序排列，即可得 \[ E\cup F=\partial S. \]

这两个集合都是闭集。事实上，若 \(P_j\in E\) 趋于 \(P\)，选取满足定义中条件的参数 \(s_j\le t_j\)。由 \([0,\ell]^2\) 的紧致性，存在一个子列收敛于某个 \(s\le t\)。由连续性可得 \[ |\gamma(s)-P|\le\tfrac12, \qquad |\gamma(t)-P^*|\le\tfrac12, \] 故 \(P\in E\)。同样的论证也适用于 \(F\)。

此外，中心对称变换 \(P\mapsto P^*\) 将 \(E\) 与 \(F\) 互换。由于它们的并集是非空的边界，两个集合都非空。正方形的边界是连通的，因此覆盖它的两个非空闭子集不可能互不相交。所以， \[ E\cap F\ne\varnothing. \]

取 \(P\in E\cap F\)，并令 \(Q=P^*\)。存在参数 \(s<t\) 和 \(u<v\)，使得 \[ \gamma(s),\gamma(v)\in D(P), \qquad \gamma(t),\gamma(u)\in D(Q). \] 由于两个圆盘不相交，这些不等式均为严格不等式；同理，\(s\ne u\)。

若 \(s<u\)，则在 \(s,u,v\) 这三个时刻依次经过 \(D(P),D(Q),D(P)\)。若 \(u<s\)，则在 \(u,s,t\) 这三个时刻依次经过 \(D(Q),D(P),D(Q)\)。在后一种情形中交换 \(P,Q\)，便得到沿 \(L\) 依次排列的点 \(X,Z,Y\)，满足 \[ |X-P|\le\tfrac12,\qquad |Y-P|\le\tfrac12,\qquad |Z-Q|\le\tfrac12. \]

因此 \[ |X-Y|\le |X-P|+|P-Y|\le1. \] 此外，由三角不等式， \[ |X-Z|\ge |P-Q|-|P-X|-|Q-Z|\ge100-\tfrac12-\tfrac12=99, \] 同理，\(|Z-Y|\ge99\)。由于 \(L\) 上位于 \(X\) 与 \(Y\) 之间的那一段经过 \(Z\)，其长度至少为 \[ |X-Z|+|Z-Y|\ge198. \] 命题得证。

解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。

Решение

Пусть \(O\) — центр квадрата. Для каждой точки \(P\) его границы обозначим через \(P^*=2O-P\) противоположную ей точку. Эти точки лежат на противоположных параллельных сторонах квадрата, поэтому \[ |P-P^*|\ge 100. \] Пусть \(D(P)\) — замкнутый круг радиуса \(1/2\) с центром в \(P\). Таким образом, \(D(P)\) и \(D(P^*)\) не пересекаются.

Параметризуем \(L\) длиной дуги в заданном порядке: \(\gamma:[0,\ell]\to S\). Покажем, что для некоторых противоположных точек границы ломаная посещает соответствующие круги в порядке \[ D(P),\quad D(P^*),\quad D(P). \]

Определим два подмножества границы: \[ \begin{aligned} E=\{P:\ &\text{существуют }s\le t\text{ такие, что } \gamma(s)\in D(P),\ \gamma(t)\in D(P^*)\},\\ F=\{P:\ &\text{существуют }s\le t\text{ такие, что } \gamma(s)\in D(P^*),\ \gamma(t)\in D(P)\}. \end{aligned} \] Здесь все параметры принадлежат \([0,\ell]\). По условию ломаная пересекает оба круга для каждой точки \(P\). Упорядочивая любые два таких посещения, получаем \[ E\cup F=\partial S. \]

Оба множества замкнуты. Действительно, если последовательность \(P_j\in E\) сходится к \(P\), выберем соответствующие параметры \(s_j\le t_j\) из определения множества. В силу компактности \([0,\ell]^2\) существует подпоследовательность, сходящаяся к некоторой паре \(s\le t\). Тогда из непрерывности следует \[ |\gamma(s)-P|\le\tfrac12, \qquad |\gamma(t)-P^*|\le\tfrac12, \] так что \(P\in E\). То же рассуждение применимо к \(F\).

Кроме того, симметрия \(P\mapsto P^*\) меняет местами \(E\) и \(F\). Поскольку их объединение — непустая граница, оба множества непусты. Граница квадрата связна, поэтому два непустых замкнутых подмножества, покрывающих её, не могут не пересекаться. Следовательно, \[ E\cap F\ne\varnothing. \]

Выберем \(P\in E\cap F\) и положим \(Q=P^*\). Существуют параметры \(s<t\) и \(u<v\), для которых \[ \gamma(s),\gamma(v)\in D(P), \qquad \gamma(t),\gamma(u)\in D(Q). \] Неравенства строгие, поскольку эти два круга не пересекаются; по той же причине \(s\ne u\).

Если \(s<u\), то посещения при параметрах \(s,u,v\) происходят в порядке \(D(P),D(Q),D(P)\). Если \(u<s\), то посещения при параметрах \(u,s,t\) происходят в порядке \(D(Q),D(P),D(Q)\). Поменяв местами \(P,Q\) во втором случае, получаем точки \(X,Z,Y\), расположенные на \(L\) в этом порядке и удовлетворяющие условиям \[ |X-P|\le\tfrac12,\qquad |Y-P|\le\tfrac12,\qquad |Z-Q|\le\tfrac12. \]

Поэтому \[ |X-Y|\le |X-P|+|P-Y|\le1. \] Кроме того, по неравенству треугольника \[ |X-Z|\ge |P-Q|-|P-X|-|Q-Z|\ge100-\tfrac12-\tfrac12=99, \] и аналогично \(|Z-Y|\ge99\). Поскольку часть \(L\) между \(X\) и \(Y\) проходит через \(Z\), её длина не меньше \[ |X-Z|+|Z-Y|\ge198. \] Утверждение доказано.

Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).

الحل

ليكن \(O\) مركز المربع. لكل نقطة \(P\) على الحدود، نكتب \(P^*=2O-P\) للدلالة على النقطة المقابلة لها. تقع هاتان النقطتان على ضلعين متقابلين متوازيين من المربع، ولذلك \[ |P-P^*|\ge 100. \] ليكن \(D(P)\) القرص المغلق الذي مركزه \(P\) ونصف قطره \(1/2\). إذن \(D(P)\) و\(D(P^*)\) متباعدان.

نمثّل \(L\) تمثيلًا وسيطيًا بطول القوس على الصورة \(\gamma:[0,\ell]\to S\)، وفق ترتيبه المعطى. سنبيّن أنه، لبعض نقطتي الحدود المتقابلتين، يزور المسار القرصين المحيطين بهما بالترتيب \[ D(P),\quad D(P^*),\quad D(P). \]

نعرّف مجموعتين جزئيتين من الحدود: \[ \begin{aligned} E=\{P:\ &\text{توجد قيمتان }s\le t\text{ بحيث } \gamma(s)\in D(P),\ \gamma(t)\in D(P^*)\},\\ F=\{P:\ &\text{توجد قيمتان }s\le t\text{ بحيث } \gamma(s)\in D(P^*),\ \gamma(t)\in D(P)\}. \end{aligned} \] تنتمي جميع قيم الوسيط هنا إلى \([0,\ell]\). وفق الفرض، يلتقي المسار بكلا القرصين لكل \(P\). ويبيّن ترتيب أي زيارتين من هذا النوع أن \[ E\cup F=\partial S. \]

كلتا المجموعتين مغلقة. بالفعل، إذا كانت \(P_j\in E\) تؤول إلى \(P\)، نختار قيمتي وسيط \(s_j\le t_j\) تحققان شرط الانتماء. يضمن تراص \([0,\ell]^2\) وجود متتالية جزئية تتقارب إلى قيمتين \(s\le t\). ثم يعطي الاستمرار \[ |\gamma(s)-P|\le\tfrac12, \qquad |\gamma(t)-P^*|\le\tfrac12, \] ومن ثم \(P\in E\). وتنطبق الحجة نفسها على \(F\).

علاوة على ذلك، يبدّل الانعكاس \(P\mapsto P^*\) بين \(E\) و\(F\). وبما أن اتحادهما هو الحدود غير الخالية، فإن كلتا المجموعتين غير خالية. وحدود المربع متصلة، ولذلك لا يمكن لمجموعتين جزئيتين مغلقتين غير خاليتين تغطيانها أن تكونا متباعدتين. ومن ثم، \[ E\cap F\ne\varnothing. \]

نختار \(P\in E\cap F\)، ونضع \(Q=P^*\). توجد قيم للوسيط \(s<t\) و\(u<v\) بحيث \[ \gamma(s),\gamma(v)\in D(P), \qquad \gamma(t),\gamma(u)\in D(Q). \] المتباينات صارمة لأن القرصين متباعدان؛ وللسبب نفسه، \(s\ne u\).

إذا كان \(s<u\)، فإن الزيارات عند \(s,u,v\) تقع بالترتيب \(D(P),D(Q),D(P)\). وإذا كان \(u<s\)، فإن الزيارات عند \(u,s,t\) تقع بالترتيب \(D(Q),D(P),D(Q)\). وبتبديل \(P,Q\) في الحالة الأخيرة، نحصل على نقاط \(X,Z,Y\)، بهذا الترتيب على امتداد \(L\)، تحقق \[ |X-P|\le\tfrac12,\qquad |Y-P|\le\tfrac12,\qquad |Z-Q|\le\tfrac12. \]

وعليه، \[ |X-Y|\le |X-P|+|P-Y|\le1. \] كذلك، من متباينة المثلث، \[ |X-Z|\ge |P-Q|-|P-X|-|Q-Z|\ge100-\tfrac12-\tfrac12=99, \] وبالمثل \(|Z-Y|\ge99\). وبما أن الجزء من \(L\) الواقع بين \(X\) و\(Y\) يمر بالنقطة \(Z\)، فإن طوله لا يقل عن \[ |X-Z|+|Z-Y|\ge198. \] وهذا يثبت المطلوب.

تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).