Problem 1

Find all functions \(f\) defined on the set of positive real numbers which take positive real values and satisfy the conditions:

(i) \(f(xf(y))=yf(x)\) for all positive \(x,y\);

(ii) \(f(x)\to0\) as \(x\to\infty\).

Solution →

Problem 2

Let \(A\) be one of the two distinct points of intersection of two unequal coplanar circles \(C_1\) and \(C_2\) with centers \(O_1\) and \(O_2\), respectively. One of the common tangents to the circles touches \(C_1\) at \(P_1\) and \(C_2\) at \(P_2\), while the other touches \(C_1\) at \(Q_1\) and \(C_2\) at \(Q_2\). Let \(M_1\) be the midpoint of \(P_1Q_1\),and \(M_2\) be the midpoint of \(P_2Q_2\). Prove that \(\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2\).

Solution →

Problem 3

Let \(a\), \(b\) and \(c\) be positive integers, no two of which have a common divisor greater than 1. Show that \(2abc-ab-bc-ca\) is the largest integer which cannot be expressed in the form \(xbc+yca+zab\),where \(x\), \(y\) and \(z\) are non-negative integers.

Solution →

Problem 4

Let \(ABC\) be an equilateral triangle and \(\mathcal E\) the set of all points contained in the three segments \(AB\), \(BC\) and \(CA\) (including \(A\), \(B\) and \(C\)). Determine whether, for every partition of \(\mathcal E\) into two disjoint subsets, at least one of the two subsets contains the vertices of a right-angled triangle. Justify your answer.

Solution →

Problem 5

Is it possible to choose 1983 distinct positive integers, all less than or equal to \(10^5\), no three of which are consecutive terms of an arithmetic progression? Justify your answer.

Solution →

Problem 6

Let \(a\), \(b\) and \(c\) be the lengths of the sides of a triangle. Prove that

\[ a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0. \]

Determine when equality occurs.

Solution →

Aufgabe 1

Bestimme alle auf der Menge der positiven reellen Zahlen definierten Funktionen \(f\), die positive reelle Werte annehmen und die folgenden Bedingungen erfüllen:

(i) \(f(xf(y))=yf(x)\) für alle positiven \(x,y\);

(ii) \(f(x)\to0\) für \(x\to\infty\).

Lösung →

Aufgabe 2

Sei \(A\) einer der beiden verschiedenen Schnittpunkte zweier in derselben Ebene liegender Kreise \(C_1\) und \(C_2\) mit unterschiedlichen Radien und den Mittelpunkten \(O_1\) beziehungsweise \(O_2\). Eine der gemeinsamen Tangenten der Kreise berührt \(C_1\) in \(P_1\) und \(C_2\) in \(P_2\), während die andere \(C_1\) in \(Q_1\) und \(C_2\) in \(Q_2\) berührt. Sei \(M_1\) der Mittelpunkt von \(P_1Q_1\) und \(M_2\) der Mittelpunkt von \(P_2Q_2\). Beweise, dass \(\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 3

Seien \(a\), \(b\) und \(c\) positive ganze Zahlen, von denen keine zwei einen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben. Zeige, dass \(2abc-ab-bc-ca\) die größte ganze Zahl ist, die sich nicht in der Form \(xbc+yca+zab\) darstellen lässt, wobei \(x\), \(y\) und \(z\) nichtnegative ganze Zahlen sind.

Lösung →

Aufgabe 4

Sei \(ABC\) ein gleichseitiges Dreieck und \(\mathcal E\) die Menge aller Punkte auf den drei Strecken \(AB\), \(BC\) und \(CA\) (einschließlich \(A\), \(B\) und \(C\)). Entscheide, ob bei jeder Zerlegung von \(\mathcal E\) in zwei disjunkte Teilmengen mindestens eine der beiden Teilmengen die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks enthält. Begründe deine Antwort.

Lösung →

Aufgabe 5

Ist es möglich, 1983 verschiedene positive ganze Zahlen zu wählen, die alle kleiner oder gleich \(10^5\) sind und von denen keine drei aufeinanderfolgende Glieder einer arithmetischen Folge sind? Begründe deine Antwort.

Lösung →

Aufgabe 6

Seien \(a\), \(b\) und \(c\) die Seitenlängen eines Dreiecks. Beweise die Ungleichung

\[ a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0. \]

Bestimme, wann Gleichheit gilt.

Lösung →

Soru 1

Pozitif gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı, pozitif gerçek değerler alan ve aşağıdaki koşulları sağlayan tüm \(f\) fonksiyonlarını bulunuz:

(i) Tüm pozitif \(x,y\) için \(f(xf(y))=yf(x)\);

(ii) \(x\to\infty\) iken \(f(x)\to0\).

Çözüm →

Soru 2

\(A\), aynı düzlemde bulunan, yarıçapları farklı ve merkezleri sırasıyla \(O_1\) ve \(O_2\) olan \(C_1\) ve \(C_2\) çemberlerinin iki farklı kesişim noktasından biri olsun. Çemberlerin ortak teğetlerinden biri \(C_1\)'e \(P_1\) noktasında ve \(C_2\)'ye \(P_2\) noktasında, diğeri ise \(C_1\)'e \(Q_1\) noktasında ve \(C_2\)'ye \(Q_2\) noktasında değmektedir. \(M_1\), \(P_1Q_1\)'in orta noktası ve \(M_2\), \(P_2Q_2\)'nin orta noktası olsun. \(\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2\) olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

\(a\), \(b\) ve \(c\), herhangi ikisinin 1'den büyük ortak böleni olmayan pozitif tam sayılar olsun. \(2abc-ab-bc-ca\) sayısının, \(x\), \(y\) ve \(z\) negatif olmayan tam sayılar olmak üzere \(xbc+yca+zab\) biçiminde ifade edilemeyen en büyük tam sayı olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 4

\(ABC\) bir eşkenar üçgen ve \(\mathcal E\), \(AB\), \(BC\) ve \(CA\) doğru parçaları üzerinde bulunan tüm noktaların kümesi (\(A\), \(B\) ve \(C\) dâhil) olsun. \(\mathcal E\)'nin iki ayrık alt kümeye her parçalanışında, bu iki alt kümeden en az birinin bir dik üçgenin köşelerini içerip içermediğini belirleyiniz. Cevabınızı gerekçelendiriniz.

Çözüm →

Soru 5

Her biri \(10^5\)'ten küçük veya ona eşit olan ve hiçbir üçü bir aritmetik dizinin ardışık terimleri olmayan 1983 farklı pozitif tam sayı seçmek mümkün müdür? Cevabınızı gerekçelendiriniz.

Çözüm →

Soru 6

\(a\), \(b\) ve \(c\) bir üçgenin kenar uzunlukları olsun. Şu eşitsizliği kanıtlayınız:

\[ a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0. \]

Eşitliğin hangi durumda sağlandığını belirleyiniz.

Çözüm →

Problema 1

Hallar todas las funciones \(f\) definidas en el conjunto de los números reales positivos, con valores reales positivos, que satisfacen las condiciones:

(i) \(f(xf(y))=yf(x)\) para todos los \(x,y\) positivos;

(ii) \(f(x)\to0\) cuando \(x\to\infty\).

Solución →

Problema 2

Sea \(A\) uno de los dos puntos distintos de intersección de dos circunferencias coplanarias de radios distintos \(C_1\) y \(C_2\), con centros \(O_1\) y \(O_2\), respectivamente. Una de las tangentes comunes a las circunferencias toca \(C_1\) en \(P_1\) y \(C_2\) en \(P_2\), mientras que la otra toca \(C_1\) en \(Q_1\) y \(C_2\) en \(Q_2\). Sean \(M_1\) el punto medio de \(P_1Q_1\) y \(M_2\) el punto medio de \(P_2Q_2\). Demostrar que \(\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2\).

Solución →

Problema 3

Sean \(a\), \(b\) y \(c\) enteros positivos tales que ningún par de ellos tiene un divisor común mayor que 1. Demostrar que \(2abc-ab-bc-ca\) es el mayor entero que no puede expresarse en la forma \(xbc+yca+zab\), donde \(x\), \(y\) y \(z\) son enteros no negativos.

Solución →

Problema 4

Sean \(ABC\) un triángulo equilátero y \(\mathcal E\) el conjunto de todos los puntos contenidos en los tres segmentos \(AB\), \(BC\) y \(CA\) (incluidos \(A\), \(B\) y \(C\)). Determinar si, para toda partición de \(\mathcal E\) en dos subconjuntos disjuntos, al menos uno de los dos subconjuntos contiene los vértices de un triángulo rectángulo. Justificar la respuesta.

Solución →

Problema 5

¿Es posible elegir 1983 enteros positivos distintos, todos menores o iguales que \(10^5\), de modo que no haya tres de ellos que sean términos consecutivos de una progresión aritmética? Justificar la respuesta.

Solución →

Problema 6

Sean \(a\), \(b\) y \(c\) las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que

\[ a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0. \]

Determinar cuándo se da la igualdad.

Solución →

问题 1

求所有定义在正实数集上、取正实数值且满足下列条件的函数 \(f\)：

(i) 对所有正数 \(x,y\)，有 \(f(xf(y))=yf(x)\)；

(ii) 当 \(x\to\infty\) 时，\(f(x)\to0\)。

解答 →

问题 2

设同一平面内两个半径不相等的圆 \(C_1\) 和 \(C_2\) 相交于两个不同的点，\(A\) 为其中一个交点，两圆的圆心分别为 \(O_1\) 和 \(O_2\)。两圆的一条公切线分别与 \(C_1\)、\(C_2\) 相切于 \(P_1\)、\(P_2\)，另一条公切线分别与 \(C_1\)、\(C_2\) 相切于 \(Q_1\)、\(Q_2\)。设 \(M_1\) 为 \(P_1Q_1\) 的中点，\(M_2\) 为 \(P_2Q_2\) 的中点。证明：\(\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2\)。

解答 →

问题 3

设 \(a\)、\(b\)、\(c\) 为正整数，其中任意两个都没有大于 1 的公因数。证明：\(2abc-ab-bc-ca\) 是不能表示成 \(xbc+yca+zab\) 形式的最大整数，其中 \(x\)、\(y\)、\(z\) 为非负整数。

解答 →

问题 4

设 \(ABC\) 为等边三角形，\(\mathcal E\) 为三条线段 \(AB\)、\(BC\)、\(CA\) 上所有点组成的集合（包括 \(A\)、\(B\)、\(C\)）。判断：对于将 \(\mathcal E\) 划分为两个不相交子集的任意一种划分，是否必有至少一个子集包含某个直角三角形的三个顶点。说明理由。

解答 →

问题 5

能否选出 1983 个互不相同且均不大于 \(10^5\) 的正整数，使其中任意三个数都不是某个等差数列的连续三项？说明理由。

解答 →

问题 6

设 \(a\)、\(b\)、\(c\) 为一个三角形的三边长。证明

\[ a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0. \]

确定等号成立的条件。

解答 →

Задача 1

Найдите все функции \(f\), определённые на множестве положительных действительных чисел, принимающие положительные действительные значения и удовлетворяющие условиям:

(i) \(f(xf(y))=yf(x)\) для всех положительных \(x,y\);

(ii) \(f(x)\to0\) при \(x\to\infty\).

Решение →

Задача 2

Пусть \(A\) — одна из двух различных точек пересечения двух неравных окружностей \(C_1\) и \(C_2\), лежащих в одной плоскости, с центрами \(O_1\) и \(O_2\) соответственно. Одна из общих касательных к этим окружностям касается \(C_1\) в точке \(P_1\) и \(C_2\) в точке \(P_2\), а другая касается \(C_1\) в точке \(Q_1\) и \(C_2\) в точке \(Q_2\). Пусть \(M_1\) — середина \(P_1Q_1\), а \(M_2\) — середина \(P_2Q_2\). Докажите, что \(\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2\).

Решение →

Задача 3

Пусть \(a\), \(b\) и \(c\) — положительные целые числа, никакие два из которых не имеют общего делителя, большего 1. Докажите, что \(2abc-ab-bc-ca\) — наибольшее целое число, которое нельзя представить в виде \(xbc+yca+zab\), где \(x\), \(y\) и \(z\) — неотрицательные целые числа.

Решение →

Задача 4

Пусть \(ABC\) — равносторонний треугольник, а \(\mathcal E\) — множество всех точек, лежащих на трёх отрезках \(AB\), \(BC\) и \(CA\) (включая \(A\), \(B\) и \(C\)). Верно ли, что при любом разбиении \(\mathcal E\) на два непересекающихся подмножества хотя бы одно из этих подмножеств содержит вершины прямоугольного треугольника? Обоснуйте ответ.

Решение →

Задача 5

Можно ли выбрать 1983 различных положительных целых числа, каждое из которых не превосходит \(10^5\), так, чтобы никакие три из них не являлись последовательными членами арифметической прогрессии? Обоснуйте ответ.

Решение →

Задача 6

Пусть \(a\), \(b\) и \(c\) — длины сторон треугольника. Докажите, что

\[ a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0. \]

Определите, когда достигается равенство.

Решение →

المسألة 1

أوجد جميع الدوال \(f\) المعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة، والتي تأخذ قيمًا حقيقية موجبة وتحقق الشرطين:

(i) \(f(xf(y))=yf(x)\) لكل \(x,y\) موجبين؛

(ii) \(f(x)\to0\) عندما \(x\to\infty\).

← الحل

المسألة 2

لتكن \(A\) إحدى نقطتي تقاطع دائرتين مختلفتي نصفي القطر \(C_1\) و\(C_2\) في مستوى واحد، ومركزاهما \(O_1\) و\(O_2\) على الترتيب. يمس أحد المماسين المشتركين للدائرتين الدائرة \(C_1\) عند \(P_1\) والدائرة \(C_2\) عند \(P_2\)، بينما يمس الآخر الدائرة \(C_1\) عند \(Q_1\) والدائرة \(C_2\) عند \(Q_2\). لتكن \(M_1\) منتصف \(P_1Q_1\)، ولتكن \(M_2\) منتصف \(P_2Q_2\). أثبت أن \(\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2\).

← الحل

المسألة 3

لتكن \(a\) و\(b\) و\(c\) أعدادًا صحيحة موجبة، لا يوجد لأي اثنين منها قاسم مشترك أكبر من 1. أثبت أن \(2abc-ab-bc-ca\) هو أكبر عدد صحيح لا يمكن التعبير عنه على الصورة \(xbc+yca+zab\)، حيث \(x\) و\(y\) و\(z\) أعداد صحيحة غير سالبة.

← الحل

المسألة 4

ليكن \(ABC\) مثلثًا متساوي الأضلاع، ولتكن \(\mathcal E\) مجموعة جميع النقاط الواقعة على القطع الثلاث \(AB\) و\(BC\) و\(CA\) (بما فيها \(A\) و\(B\) و\(C\)). حدد ما إذا كان، لكل تقسيم للمجموعة \(\mathcal E\) إلى مجموعتين جزئيتين متباينتين، لا بد أن تحتوي واحدة على الأقل من المجموعتين الجزئيتين على رؤوس مثلث قائم الزاوية. علل إجابتك.

← الحل

المسألة 5

هل يمكن اختيار 1983 عددًا صحيحًا موجبًا مختلفًا، لا يتجاوز أي منها \(10^5\)، بحيث لا تكون أي ثلاثة منها حدودًا متتالية في متتالية حسابية؟ علل إجابتك.

← الحل

المسألة 6

لتكن \(a\) و\(b\) و\(c\) أطوال أضلاع مثلث. أثبت أن

\[ a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0. \]

حدد متى تتحقق المساواة.

← الحل