Problem 1

Prove that \(0 \le yz + zx + xy - 2xyz \le 7/27\), where \(x\), \(y\) and \(z\) are non-negative real numbers for which \(x+y+z=1\).

Solution →

Problem 2

Find one pair of positive integers \(a\) and \(b\) such that:

(i) \(ab(a+b)\) is not divisible by \(7\);

(ii) \((a+b)^7-a^7-b^7\) is divisible by \(7^7\).

Justify your answer.

Solution →

Problem 3

In the plane two different points \(O\) and \(A\) are given. For each point \(X\) of the plane, other than \(O\), denote by \(a(X)\) the measure of the angle between \(OA\) and \(OX\) in radians, counterclockwise from \(OA\) (\(0 \le a(X) < 2\pi\)). Let \(C(X)\) be the circle with center \(O\) and radius of length \(OX + a(X)/OX\). Each point of the plane is colored by one of a finite number of colors. Prove that there exists a point \(Y\) for which \(a(Y) > 0\) such that its color appears on the circumference of the circle \(C(Y)\).

Solution →

Problem 4

Let \(ABCD\) be a convex quadrilateral such that the line \(CD\) is a tangent to the circle on \(AB\) as diameter. Prove that the line \(AB\) is a tangent to the circle on \(CD\) as diameter if and only if the lines \(BC\) and \(AD\) are parallel.

Solution →

Problem 5

Let \(d\) be the sum of the lengths of all the diagonals of a plane convex polygon with \(n\) vertices (\(n>3\)), and let \(p\) be its perimeter. Prove that \[ n-3<\frac{2d}{p}<\left[\frac n2\right]\left[\frac{n+1}{2}\right]-2, \] where \([x]\) denotes the greatest integer not exceeding \(x\).

Solution →

Problem 6

Let \(a, b, c\) and \(d\) be odd integers such that \(0<a<b<c<d\) and \(ad=bc\). Prove that if \(a+d=2^k\) and \(b+c=2^m\) for some integers \(k\) and \(m\), then \(a=1\).

Solution →

Aufgabe 1

Man beweise, dass \(0 \le yz + zx + xy - 2xyz \le 7/27\) gilt, wobei \(x\), \(y\) und \(z\) nichtnegative reelle Zahlen mit \(x+y+z=1\) sind.

Lösung →

Aufgabe 2

Man finde ein Paar positiver ganzer Zahlen \(a\) und \(b\), sodass gilt:

(i) \(ab(a+b)\) ist nicht durch \(7\) teilbar;

(ii) \((a+b)^7-a^7-b^7\) ist durch \(7^7\) teilbar.

Man begründe die Antwort.

Lösung →

Aufgabe 3

In der Ebene seien zwei verschiedene Punkte \(O\) und \(A\) gegeben. Für jeden von \(O\) verschiedenen Punkt \(X\) der Ebene bezeichne \(a(X)\) das im Bogenmaß gemessene Maß des Winkels zwischen \(OA\) und \(OX\), von \(OA\) aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen (\(0 \le a(X) < 2\pi\)). Sei \(C(X)\) der Kreis mit Mittelpunkt \(O\) und Radius \(OX + a(X)/OX\). Jeder Punkt der Ebene wird mit einer von endlich vielen Farben gefärbt. Man beweise, dass es einen Punkt \(Y\) mit \(a(Y) > 0\) gibt, dessen Farbe auf der Kreislinie von \(C(Y)\) vorkommt.

Lösung →

Aufgabe 4

Sei \(ABCD\) ein konvexes Viereck, bei dem die Gerade \(CD\) eine Tangente an den Kreis mit Durchmesser \(AB\) ist. Man beweise, dass die Gerade \(AB\) genau dann eine Tangente an den Kreis mit Durchmesser \(CD\) ist, wenn die Geraden \(BC\) und \(AD\) parallel sind.

Lösung →

Aufgabe 5

Sei \(d\) die Summe der Längen aller Diagonalen eines ebenen konvexen Vielecks mit \(n\) Eckpunkten (\(n>3\)), und sei \(p\) sein Umfang. Man beweise, dass \[ n-3<\frac{2d}{p}<\left[\frac n2\right]\left[\frac{n+1}{2}\right]-2, \] wobei \([x]\) die größte ganze Zahl bezeichnet, die nicht größer als \(x\) ist.

Lösung →

Aufgabe 6

Seien \(a, b, c\) und \(d\) ungerade ganze Zahlen mit \(0<a<b<c<d\) und \(ad=bc\). Man beweise: Gilt \(a+d=2^k\) und \(b+c=2^m\) für gewisse ganze Zahlen \(k\) und \(m\), so ist \(a=1\).

Lösung →

Soru 1

\(x+y+z=1\) koşulunu sağlayan negatif olmayan \(x\), \(y\) ve \(z\) gerçel sayıları için \(0 \le yz + zx + xy - 2xyz \le 7/27\) olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 2

Aşağıdaki koşulları sağlayan bir \(a\) ve \(b\) pozitif tam sayı çifti bulunuz:

(i) \(ab(a+b)\) sayısı \(7\) ile bölünmez;

(ii) \((a+b)^7-a^7-b^7\) sayısı \(7^7\) ile bölünür.

Cevabınızı gerekçelendiriniz.

Çözüm →

Soru 3

Düzlemde birbirinden farklı iki \(O\) ve \(A\) noktası veriliyor. Düzlemin \(O\) dışındaki her \(X\) noktası için, \(OA\)'dan saat yönünün tersine ölçülen, \(OA\) ile \(OX\) arasındaki açının radyan cinsinden ölçüsünü \(a(X)\) ile gösterelim (\(0 \le a(X) < 2\pi\)). \(C(X)\), merkezi \(O\) ve yarıçap uzunluğu \(OX + a(X)/OX\) olan çember olsun. Düzlemin her noktası, sonlu sayıda renkten biriyle boyanmıştır. \(a(Y) > 0\) koşulunu sağlayan ve rengi \(C(Y)\) çemberi üzerinde de bulunan bir \(Y\) noktasının var olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 4

\(ABCD\), \(CD\) doğrusunun \(AB\) çaplı çembere teğet olduğu bir dışbükey dörtgen olsun. \(AB\) doğrusunun \(CD\) çaplı çembere teğet olması için gerek ve yeter koşulun \(BC\) ve \(AD\) doğrularının paralel olması olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 5

Düzlemde \(n\) köşeli (\(n>3\)) dışbükey bir çokgenin bütün köşegenlerinin uzunlukları toplamı \(d\), çevresi ise \(p\) olsun. \[ n-3<\frac{2d}{p}<\left[\frac n2\right]\left[\frac{n+1}{2}\right]-2, \] olduğunu kanıtlayınız; burada \([x]\), \(x\)'i aşmayan en büyük tam sayıyı göstermektedir.

Çözüm →

Soru 6

\(a, b, c\) ve \(d\), \(0<a<b<c<d\) ve \(ad=bc\) koşullarını sağlayan tek tam sayılar olsun. Bazı \(k\) ve \(m\) tam sayıları için \(a+d=2^k\) ve \(b+c=2^m\) ise \(a=1\) olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Problema 1

Demostrar que \(0 \le yz + zx + xy - 2xyz \le 7/27\), donde \(x\), \(y\) y \(z\) son números reales no negativos tales que \(x+y+z=1\).

Solución →

Problema 2

Encontrar un par de enteros positivos \(a\) y \(b\) tal que:

(i) \(ab(a+b)\) no sea divisible por \(7\);

(ii) \((a+b)^7-a^7-b^7\) sea divisible por \(7^7\).

Justificar la respuesta.

Solución →

Problema 3

En el plano se dan dos puntos distintos \(O\) y \(A\). Para cada punto \(X\) del plano distinto de \(O\), denotemos por \(a(X)\) la medida en radianes del ángulo entre \(OA\) y \(OX\), medido en sentido antihorario desde \(OA\) (\(0 \le a(X) < 2\pi\)). Sea \(C(X)\) la circunferencia de centro \(O\) y radio de longitud \(OX + a(X)/OX\). Cada punto del plano está coloreado con uno de un número finito de colores. Demostrar que existe un punto \(Y\) con \(a(Y) > 0\) tal que su color aparece en la circunferencia \(C(Y)\).

Solución →

Problema 4

Sea \(ABCD\) un cuadrilátero convexo tal que la recta \(CD\) es tangente a la circunferencia de diámetro \(AB\). Demostrar que la recta \(AB\) es tangente a la circunferencia de diámetro \(CD\) si y solo si las rectas \(BC\) y \(AD\) son paralelas.

Solución →

Problema 5

Sea \(d\) la suma de las longitudes de todas las diagonales de un polígono convexo plano con \(n\) vértices (\(n>3\)), y sea \(p\) su perímetro. Demostrar que \[ n-3<\frac{2d}{p}<\left[\frac n2\right]\left[\frac{n+1}{2}\right]-2, \] donde \([x]\) denota el mayor entero que no excede de \(x\).

Solución →

Problema 6

Sean \(a, b, c\) y \(d\) enteros impares tales que \(0<a<b<c<d\) y \(ad=bc\). Demostrar que, si \(a+d=2^k\) y \(b+c=2^m\) para ciertos enteros \(k\) y \(m\), entonces \(a=1\).

Solución →

问题 1

设 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 是满足 \(x+y+z=1\) 的非负实数，证明 \(0 \le yz + zx + xy - 2xyz \le 7/27\)。

解答 →

问题 2

求一对正整数 \(a\) 和 \(b\)，使得：

(i) \(ab(a+b)\) 不能被 \(7\) 整除；

(ii) \((a+b)^7-a^7-b^7\) 能被 \(7^7\) 整除。

说明你的答案成立的理由。

解答 →

问题 3

平面上给定两个不同的点 \(O\) 和 \(A\)。对于平面上除 \(O\) 以外的每一点 \(X\)，用 \(a(X)\) 表示从 \(OA\) 逆时针转到 \(OX\) 所成角的弧度数（\(0 \le a(X) < 2\pi\)）。设 \(C(X)\) 是以 \(O\) 为圆心、\(OX + a(X)/OX\) 为半径的圆。用有限种颜色中的一种给平面上的每一点染色。证明：存在一点 \(Y\)，满足 \(a(Y) > 0\)，且圆 \(C(Y)\) 的圆周上有与该点同色的点。

解答 →

问题 4

设 \(ABCD\) 是凸四边形，且直线 \(CD\) 与以 \(AB\) 为直径的圆相切。证明：直线 \(AB\) 与以 \(CD\) 为直径的圆相切，当且仅当直线 \(BC\) 与 \(AD\) 平行。

解答 →

问题 5

设 \(d\) 为一个有 \(n\) 个顶点（\(n>3\)）的平面凸多边形的所有对角线长度之和，\(p\) 为其周长。证明 \[ n-3<\frac{2d}{p}<\left[\frac n2\right]\left[\frac{n+1}{2}\right]-2, \] 其中 \([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数。

解答 →

问题 6

设 \(a, b, c\) 和 \(d\) 为奇整数，满足 \(0<a<b<c<d\) 且 \(ad=bc\)。证明：若存在整数 \(k\) 和 \(m\)，使得 \(a+d=2^k\) 且 \(b+c=2^m\)，则 \(a=1\)。

解答 →

Задача 1

Докажите, что \(0 \le yz + zx + xy - 2xyz \le 7/27\), где \(x\), \(y\) и \(z\) — неотрицательные действительные числа, для которых \(x+y+z=1\).

Решение →

Задача 2

Найдите одну пару положительных целых чисел \(a\) и \(b\), такую, что:

(i) \(ab(a+b)\) не делится на \(7\);

(ii) \((a+b)^7-a^7-b^7\) делится на \(7^7\).

Обоснуйте свой ответ.

Решение →

Задача 3

На плоскости даны две различные точки \(O\) и \(A\). Для каждой точки \(X\) плоскости, отличной от \(O\), обозначим через \(a(X)\) величину угла между \(OA\) и \(OX\) в радианах, отсчитываемого от \(OA\) против часовой стрелки (\(0 \le a(X) < 2\pi\)). Пусть \(C(X)\) — окружность с центром \(O\) и радиусом \(OX + a(X)/OX\). Каждая точка плоскости окрашена в один из конечного числа цветов. Докажите, что существует точка \(Y\), для которой \(a(Y) > 0\), такая, что на окружности \(C(Y)\) есть точка того же цвета, что и \(Y\).

Решение →

Задача 4

Пусть \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник, в котором прямая \(CD\) касается окружности с диаметром \(AB\). Докажите, что прямая \(AB\) касается окружности с диаметром \(CD\) тогда и только тогда, когда прямые \(BC\) и \(AD\) параллельны.

Решение →

Задача 5

Пусть \(d\) — сумма длин всех диагоналей плоского выпуклого многоугольника с \(n\) вершинами (\(n>3\)), а \(p\) — его периметр. Докажите, что \[ n-3<\frac{2d}{p}<\left[\frac n2\right]\left[\frac{n+1}{2}\right]-2, \] где \([x]\) обозначает наибольшее целое число, не превосходящее \(x\).

Решение →

Задача 6

Пусть \(a, b, c\) и \(d\) — нечётные целые числа, такие, что \(0<a<b<c<d\) и \(ad=bc\). Докажите, что если \(a+d=2^k\) и \(b+c=2^m\) для некоторых целых чисел \(k\) и \(m\), то \(a=1\).

Решение →

المسألة 1

أثبت أن \(0 \le yz + zx + xy - 2xyz \le 7/27\)، حيث \(x\) و\(y\) و\(z\) أعداد حقيقية غير سالبة تحقق \(x+y+z=1\).

← الحل

المسألة 2

أوجد زوجًا واحدًا من عددين صحيحين موجبين \(a\) و\(b\) بحيث:

(i) لا يقبل \(ab(a+b)\) القسمة على \(7\)؛

(ii) يقبل \((a+b)^7-a^7-b^7\) القسمة على \(7^7\).

برر إجابتك.

← الحل

المسألة 3

لتكن \(O\) و\(A\) نقطتين مختلفتين معطاتين في المستوى. لكل نقطة \(X\) في المستوى غير \(O\)، نرمز بـ\(a(X)\) إلى قياس الزاوية بين \(OA\) و\(OX\) بالراديان، مقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة ابتداءً من \(OA\) (\(0 \le a(X) < 2\pi\)). ولتكن \(C(X)\) الدائرة التي مركزها \(O\) وطول نصف قطرها \(OX + a(X)/OX\). تُلوَّن كل نقطة من المستوى بلون من بين عدد منتهٍ من الألوان. أثبت وجود نقطة \(Y\) تحقق \(a(Y) > 0\) بحيث يظهر لونها على محيط الدائرة \(C(Y)\).

← الحل

المسألة 4

ليكن \(ABCD\) رباعيًا محدبًا بحيث يكون المستقيم \(CD\) مماسًا للدائرة التي قطرها \(AB\). أثبت أن المستقيم \(AB\) مماس للدائرة التي قطرها \(CD\) إذا وفقط إذا كان المستقيمان \(BC\) و\(AD\) متوازيين.

← الحل

المسألة 5

ليكن \(d\) مجموع أطوال جميع أقطار مضلع محدب في المستوى ذي \(n\) رأسًا (\(n>3\))، وليكن \(p\) محيطه. أثبت أن \[ n-3<\frac{2d}{p}<\left[\frac n2\right]\left[\frac{n+1}{2}\right]-2, \] حيث يرمز \([x]\) إلى أكبر عدد صحيح لا يتجاوز \(x\).

← الحل

المسألة 6

لتكن \(a, b, c\) و\(d\) أعدادًا صحيحة فردية تحقق \(0<a<b<c<d\) و\(ad=bc\). أثبت أنه إذا كان \(a+d=2^k\) و\(b+c=2^m\) لعددين صحيحين \(k\) و\(m\)، فإن \(a=1\).

← الحل