IMO 1984 · Problem 2
Find one pair of positive integers \(a\) and \(b\) such that:
(i) \(ab(a+b)\) is not divisible by \(7\);
(ii) \((a+b)^7-a^7-b^7\) is divisible by \(7^7\).
Justify your answer.
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
\[ \boxed{(a,b)=(1,18)}. \]
Solution
By the binomial theorem, \[ \begin{aligned} (a+b)^7-a^7-b^7 &=7ab\bigl(a^5+3a^4b+5a^3b^2+5a^2b^3+3ab^4+b^5\bigr)\\ &=7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2. \end{aligned} \]
Choose \(a=1\) and \(b=18\), both positive integers. Then \[ ab(a+b)=18\cdot19=342\equiv6\pmod7, \] so condition (i) holds. Also, \[ a^2+ab+b^2=1+18+324=343=7^3. \] Consequently, \[ (a+b)^7-a^7-b^7 =7\cdot342\cdot(7^3)^2 =342\cdot7^7, \] which proves condition (ii).
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1984 · Aufgabe 2
Man finde ein Paar positiver ganzer Zahlen \(a\) und \(b\), sodass gilt:
(i) \(ab(a+b)\) ist nicht durch \(7\) teilbar;
(ii) \((a+b)^7-a^7-b^7\) ist durch \(7^7\) teilbar.
Man begründe die Antwort.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
\[ \boxed{(a,b)=(1,18)}. \]
Lösung
Nach dem binomischen Lehrsatz gilt \[ \begin{aligned} (a+b)^7-a^7-b^7 &=7ab\bigl(a^5+3a^4b+5a^3b^2+5a^2b^3+3ab^4+b^5\bigr)\\ &=7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2. \end{aligned} \]
Wir wählen \(a=1\) und \(b=18\), beides positive ganze Zahlen. Dann gilt \[ ab(a+b)=18\cdot19=342\equiv6\pmod7, \] also ist Bedingung (i) erfüllt. Außerdem gilt \[ a^2+ab+b^2=1+18+324=343=7^3. \] Folglich ist \[ (a+b)^7-a^7-b^7 =7\cdot342\cdot(7^3)^2 =342\cdot7^7, \] womit Bedingung (ii) bewiesen ist.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1984 · Soru 2
Aşağıdaki koşulları sağlayan bir \(a\) ve \(b\) pozitif tam sayı çifti bulunuz:
(i) \(ab(a+b)\) sayısı \(7\) ile bölünmez;
(ii) \((a+b)^7-a^7-b^7\) sayısı \(7^7\) ile bölünür.
Cevabınızı gerekçelendiriniz.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\[ \boxed{(a,b)=(1,18)}. \]
Çözüm
Binom teoremine göre \[ \begin{aligned} (a+b)^7-a^7-b^7 &=7ab\bigl(a^5+3a^4b+5a^3b^2+5a^2b^3+3ab^4+b^5\bigr)\\ &=7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2. \end{aligned} \]
Her ikisi de pozitif tam sayı olan \(a=1\) ve \(b=18\) sayılarını seçelim. O zaman \[ ab(a+b)=18\cdot19=342\equiv6\pmod7, \] dolayısıyla (i) koşulu sağlanır. Ayrıca, \[ a^2+ab+b^2=1+18+324=343=7^3. \] Bunun sonucunda \[ (a+b)^7-a^7-b^7 =7\cdot342\cdot(7^3)^2 =342\cdot7^7, \] bu da (ii) koşulunu kanıtlar.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1984 · Problema 2
Encontrar un par de enteros positivos \(a\) y \(b\) tal que:
(i) \(ab(a+b)\) no sea divisible por \(7\);
(ii) \((a+b)^7-a^7-b^7\) sea divisible por \(7^7\).
Justificar la respuesta.
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
\[ \boxed{(a,b)=(1,18)}. \]
Solución
Por el teorema del binomio, \[ \begin{aligned} (a+b)^7-a^7-b^7 &=7ab\bigl(a^5+3a^4b+5a^3b^2+5a^2b^3+3ab^4+b^5\bigr)\\ &=7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2. \end{aligned} \]
Elijamos \(a=1\) y \(b=18\), ambos enteros positivos. Entonces \[ ab(a+b)=18\cdot19=342\equiv6\pmod7, \] por lo que se cumple la condición (i). Además, \[ a^2+ab+b^2=1+18+324=343=7^3. \] Por consiguiente, \[ (a+b)^7-a^7-b^7 =7\cdot342\cdot(7^3)^2 =342\cdot7^7, \] lo que demuestra la condición (ii).
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1984 · 问题 2
求一对正整数 \(a\) 和 \(b\)，使得：
(i) \(ab(a+b)\) 不能被 \(7\) 整除；
(ii) \((a+b)^7-a^7-b^7\) 能被 \(7^7\) 整除。
说明你的答案成立的理由。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
\[ \boxed{(a,b)=(1,18)}. \]
解答
由二项式定理， \[ \begin{aligned} (a+b)^7-a^7-b^7 &=7ab\bigl(a^5+3a^4b+5a^3b^2+5a^2b^3+3ab^4+b^5\bigr)\\ &=7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2. \end{aligned} \]
取 \(a=1\)、\(b=18\)，两者均为正整数。则 \[ ab(a+b)=18\cdot19=342\equiv6\pmod7, \] 故条件 (i) 成立。另外， \[ a^2+ab+b^2=1+18+324=343=7^3. \] 因此， \[ (a+b)^7-a^7-b^7 =7\cdot342\cdot(7^3)^2 =342\cdot7^7, \] 这就证明了条件 (ii) 成立。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1984 · Задача 2
Найдите одну пару положительных целых чисел \(a\) и \(b\), такую, что:
(i) \(ab(a+b)\) не делится на \(7\);
(ii) \((a+b)^7-a^7-b^7\) делится на \(7^7\).
Обоснуйте свой ответ.
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
\[ \boxed{(a,b)=(1,18)}. \]
Решение
По формуле бинома Ньютона \[ \begin{aligned} (a+b)^7-a^7-b^7 &=7ab\bigl(a^5+3a^4b+5a^3b^2+5a^2b^3+3ab^4+b^5\bigr)\\ &=7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2. \end{aligned} \]
Выберем \(a=1\) и \(b=18\); оба числа — положительные целые. Тогда \[ ab(a+b)=18\cdot19=342\equiv6\pmod7, \] так что условие (i) выполнено. Кроме того, \[ a^2+ab+b^2=1+18+324=343=7^3. \] Следовательно, \[ (a+b)^7-a^7-b^7 =7\cdot342\cdot(7^3)^2 =342\cdot7^7, \] что доказывает выполнение условия (ii).
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1984 · المسألة 2
أوجد زوجًا واحدًا من عددين صحيحين موجبين \(a\) و\(b\) بحيث:
(i) لا يقبل \(ab(a+b)\) القسمة على \(7\)؛
(ii) يقبل \((a+b)^7-a^7-b^7\) القسمة على \(7^7\).
برر إجابتك.
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
\[ \boxed{(a,b)=(1,18)}. \]
الحل
بمبرهنة ذات الحدين، \[ \begin{aligned} (a+b)^7-a^7-b^7 &=7ab\bigl(a^5+3a^4b+5a^3b^2+5a^2b^3+3ab^4+b^5\bigr)\\ &=7ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2. \end{aligned} \]
نختار \(a=1\) و\(b=18\)، وكلاهما عدد صحيح موجب. عندئذ \[ ab(a+b)=18\cdot19=342\equiv6\pmod7, \] فيتحقق الشرط (i). كذلك، \[ a^2+ab+b^2=1+18+324=343=7^3. \] وبالتالي، \[ (a+b)^7-a^7-b^7 =7\cdot342\cdot(7^3)^2 =342\cdot7^7, \] وهذا يثبت الشرط (ii).
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).