Problem 1

A circle has center on the side \(AB\) of the cyclic quadrilateral \(ABCD\). The other three sides are tangent to the circle. Prove that \(AD+BC=AB\).

Solution →

Problem 2

Let \(n\) and \(k\) be given relatively prime natural numbers, \(k<n\). Each number in the set \(M=\{1,2,\ldots,n-1\}\) is colored either blue or white. It is given that

(i) for each \(i\in M\), both \(i\) and \(n-i\) have the same color;

(ii) for each \(i\in M\), \(i\ne k\), both \(i\) and \(|i-k|\) have the same color. Prove that all numbers in \(M\) must have the same color.

Solution →

Problem 3

For any polynomial \(P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k\) with integer coefficients, the number of coefficients which are odd is denoted by \(w(P)\). For \(i=0,1,\ldots\), let \(Q_i(x)=(1+x)^i\). Prove that if \(i_1,i_2,\ldots,i_n\) are integers such that \(0\le i_1<i_2<\cdots<i_n\), then \[ w(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\cdots+Q_{i_n})\ge w(Q_{i_1}). \]

Solution →

Problem 4

Given a set \(M\) of 1985 distinct positive integers, none of which has a prime divisor greater than 26. Prove that \(M\) contains at least one subset of four distinct elements whose product is the fourth power of an integer.

Solution →

Problem 5

A circle with center \(O\) passes through the vertices \(A\) and \(C\) of triangle \(ABC\) and intersects the segments \(AB\) and \(BC\) again at distinct points \(K\) and \(N\), respectively. The circumscribed circles of the triangles \(ABC\) and \(EBN\) intersect at exactly two distinct points \(B\) and \(M\). Prove that angle \(OMB\) is a right angle.

Solution →

Problem 6

For every real number \(x_1\), construct the sequence \(x_1,x_2,\ldots\) by setting \[ x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right) \quad\text{for each }n\ge1. \] Prove that there exists exactly one value of \(x_1\) for which \[ 0<x_n<x_{n+1}<1 \] for every \(n\).

Solution →

Aufgabe 1

Ein Kreis hat seinen Mittelpunkt auf der Seite \(AB\) des Sehnenvierecks \(ABCD\). Die anderen drei Seiten berühren den Kreis. Beweise, dass \(AD+BC=AB\).

Lösung →

Aufgabe 2

Es seien \(n\) und \(k\) gegebene teilerfremde natürliche Zahlen mit \(k<n\). Jede Zahl der Menge \(M=\{1,2,\ldots,n-1\}\) wird entweder blau oder weiß gefärbt. Es gelte:

(i) Für jedes \(i\in M\) haben \(i\) und \(n-i\) dieselbe Farbe;

(ii) für jedes \(i\in M\) mit \(i\ne k\) haben \(i\) und \(|i-k|\) dieselbe Farbe. Beweise, dass alle Zahlen in \(M\) dieselbe Farbe haben müssen.

Lösung →

Aufgabe 3

Für jedes Polynom \(P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k\) mit ganzzahligen Koeffizienten bezeichne \(w(P)\) die Anzahl seiner ungeraden Koeffizienten. Für \(i=0,1,\ldots\) sei \(Q_i(x)=(1+x)^i\). Beweise, dass für ganze Zahlen \(i_1,i_2,\ldots,i_n\) mit \(0\le i_1<i_2<\cdots<i_n\) gilt: \[ w(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\cdots+Q_{i_n})\ge w(Q_{i_1}). \]

Lösung →

Aufgabe 4

Gegeben sei eine Menge \(M\) aus 1985 verschiedenen positiven ganzen Zahlen, von denen keine einen Primteiler größer als 26 hat. Beweise, dass \(M\) mindestens eine Teilmenge aus vier verschiedenen Elementen enthält, deren Produkt die vierte Potenz einer ganzen Zahl ist.

Lösung →

Aufgabe 5

Ein Kreis mit Mittelpunkt \(O\) geht durch die Eckpunkte \(A\) und \(C\) des Dreiecks \(ABC\) und schneidet die Strecken \(AB\) beziehungsweise \(BC\) ein weiteres Mal in den voneinander verschiedenen Punkten \(K\) und \(N\). Die Umkreise der Dreiecke \(ABC\) und \(EBN\) schneiden sich in genau zwei verschiedenen Punkten \(B\) und \(M\). Beweise, dass der Winkel \(OMB\) ein rechter Winkel ist.

Lösung →

Aufgabe 6

Für jede reelle Zahl \(x_1\) wird die Folge \(x_1,x_2,\ldots\) durch die Festlegung \[ x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right) \quad\text{für jedes }n\ge1 \] konstruiert. Beweise, dass es genau einen Wert von \(x_1\) gibt, für den \[ 0<x_n<x_{n+1}<1 \] für jedes \(n\) gilt.

Lösung →

Soru 1

Bir çemberin merkezi, çembersel \(ABCD\) dörtgeninin \(AB\) kenarı üzerindedir. Diğer üç kenar bu çembere teğettir. \(AD+BC=AB\) olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 2

\(k<n\) olmak üzere, aralarında asal \(n\) ve \(k\) doğal sayıları verilsin. \(M=\{1,2,\ldots,n-1\}\) kümesindeki her sayı mavi veya beyaz renge boyanmıştır. Aşağıdakiler veriliyor:

(i) her \(i\in M\) için, (i) ve \(n-i\) aynı renktedir;

(ii) \(i\ne k\) olan her \(i\in M\) için, (i) ve \(|i-k|\) aynı renktedir. \(M\) kümesindeki bütün sayıların aynı renkte olması gerektiğini kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

Tam sayı katsayılı herhangi bir \(P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k\) polinomu için, tek olan katsayıların sayısı \(w(P)\) ile gösterilsin. \(i=0,1,\ldots\) için \(Q_i(x)=(1+x)^i\) olsun. \(i_1,i_2,\ldots,i_n\), \(0\le i_1<i_2<\cdots<i_n\) koşulunu sağlayan tam sayılar ise, \[ w(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\cdots+Q_{i_n})\ge w(Q_{i_1}) \] olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 4

Hiçbirinin 26'dan büyük asal böleni olmayan, birbirinden farklı 1985 pozitif tam sayıdan oluşan bir \(M\) kümesi verilsin. \(M\)'nin, elemanlarının çarpımı bir tam sayının dördüncü kuvveti olan, birbirinden farklı dört elemanlı en az bir alt kümesi bulunduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 5

Merkezi \(O\) olan bir çember, \(ABC\) üçgeninin \(A\) ve \(C\) köşelerinden geçmekte ve \(AB\) ile \(BC\) doğru parçalarını ikinci kez, sırasıyla birbirinden farklı \(K\) ve \(N\) noktalarında kesmektedir. \(ABC\) ve \(EBN\) üçgenlerinin çevrel çemberleri, tam olarak iki farklı \(B\) ve \(M\) noktasında kesişmektedir. \(OMB\) açısının dik açı olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 6

Her \(x_1\) gerçek sayısı için, \(x_1,x_2,\ldots\) dizisini \[ x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right) \quad\text{her }n\ge1 \] için bu bağıntıyı sağlayacak biçimde oluşturunuz. Her \(n\) için \[ 0<x_n<x_{n+1}<1 \] olmasını sağlayan tam olarak bir \(x_1\) değeri bulunduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Problema 1

Una circunferencia tiene su centro en el lado \(AB\) del cuadrilátero cíclico \(ABCD\). Los otros tres lados son tangentes a la circunferencia. Demostrar que \(AD+BC=AB\).

Solución →

Problema 2

Sean \(n\) y \(k\) dos números naturales dados, primos entre sí, con \(k<n\). Cada número del conjunto \(M=\{1,2,\ldots,n-1\}\) se colorea de azul o de blanco. Se sabe que

(i) para cada \(i\in M\), los números \(i\) y \(n-i\) tienen el mismo color;

(ii) para cada \(i\in M\), \(i\ne k\), los números \(i\) y \(|i-k|\) tienen el mismo color. Demostrar que todos los números de \(M\) deben tener el mismo color.

Solución →

Problema 3

Para cualquier polinomio \(P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k\) con coeficientes enteros, se denota por \(w(P)\) el número de sus coeficientes que son impares. Para \(i=0,1,\ldots\), sea \(Q_i(x)=(1+x)^i\). Demostrar que, si \(i_1,i_2,\ldots,i_n\) son enteros tales que \(0\le i_1<i_2<\cdots<i_n\), entonces \[ w(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\cdots+Q_{i_n})\ge w(Q_{i_1}). \]

Solución →

Problema 4

Sea \(M\) un conjunto de 1985 enteros positivos distintos, ninguno de los cuales tiene un divisor primo mayor que 26. Demostrar que \(M\) contiene al menos un subconjunto de cuatro elementos distintos cuyo producto es la cuarta potencia de un entero.

Solución →

Problema 5

Una circunferencia de centro \(O\) pasa por los vértices \(A\) y \(C\) del triángulo \(ABC\) y vuelve a cortar los segmentos \(AB\) y \(BC\) en puntos distintos \(K\) y \(N\), respectivamente. Las circunferencias circunscritas a los triángulos \(ABC\) y \(EBN\) se cortan en exactamente dos puntos distintos \(B\) y \(M\). Demostrar que el ángulo \(OMB\) es recto.

Solución →

Problema 6

Para cada número real \(x_1\), se construye la sucesión \(x_1,x_2,\ldots\) mediante \[ x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right) \quad\text{para cada }n\ge1. \] Demostrar que existe exactamente un valor de \(x_1\) para el cual \[ 0<x_n<x_{n+1}<1 \] para todo \(n\).

Solución →

问题 1

一个圆的圆心在圆内接四边形 \(ABCD\) 的边 \(AB\) 上，其余三条边均与该圆相切。证明：\(AD+BC=AB\)。

解答 →

问题 2

设 \(n\) 和 \(k\) 是给定的互素自然数，且 \(k<n\)。集合 \(M=\{1,2,\ldots,n-1\}\) 中的每个数都被染成蓝色或白色。已知

(i) 对每个 \(i\in M\)，\(i\) 与 \(n-i\) 的颜色相同；

(ii) 对每个满足 \(i\ne k\) 的 \(i\in M\)，\(i\) 与 \(|i-k|\) 的颜色相同。证明：\(M\) 中所有数的颜色必定相同。

解答 →

问题 3

对于任意整系数多项式 \(P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k\)，用 \(w(P)\) 表示其中奇数系数的个数。对 \(i=0,1,\ldots\)，设 \(Q_i(x)=(1+x)^i\)。证明：若整数 \(i_1,i_2,\ldots,i_n\) 满足 \(0\le i_1<i_2<\cdots<i_n\)，则 \[ w(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\cdots+Q_{i_n})\ge w(Q_{i_1}). \]

解答 →

问题 4

给定一个由 1985 个互不相同的正整数组成的集合 \(M\)，其中每个数都没有大于 26 的素因子。证明：\(M\) 至少包含一个由四个互不相同的元素组成的子集，使得这四个元素的乘积是某个整数的四次方。

解答 →

问题 5

一个以 \(O\) 为圆心的圆经过三角形 \(ABC\) 的顶点 \(A\) 和 \(C\)，并分别与线段 \(AB\) 和 \(BC\) 再交于两个不同的点 \(K\) 和 \(N\)。三角形 \(ABC\) 和 \(EBN\) 的外接圆恰好交于两个不同的点 \(B\) 和 \(M\)。证明：角 \(OMB\) 是直角。

解答 →

问题 6

对每个实数 \(x_1\)，按如下方式构造数列 \(x_1,x_2,\ldots\)： \[ x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right) \quad\text{对每个 }n\ge1. \] 证明：恰好存在一个 \(x_1\) 的值，使得 \[ 0<x_n<x_{n+1}<1 \] 对每个 \(n\) 都成立。

解答 →

Задача 1

Центр окружности лежит на стороне \(AB\) вписанного четырёхугольника \(ABCD\). Остальные три стороны касаются этой окружности. Докажите, что \(AD+BC=AB\).

Решение →

Задача 2

Даны взаимно простые натуральные числа \(n\) и \(k\), \(k<n\). Каждое число из множества \(M=\{1,2,\ldots,n-1\}\) окрашено в синий или белый цвет. Известно, что

(i) для каждого \(i\in M\) числа \(i\) и \(n-i\) имеют одинаковый цвет;

(ii) для каждого \(i\in M\), \(i\ne k\), числа \(i\) и \(|i-k|\) имеют одинаковый цвет. Докажите, что все числа из \(M\) имеют одинаковый цвет.

Решение →

Задача 3

Для любого многочлена \(P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k\) с целыми коэффициентами обозначим через \(w(P)\) число его нечётных коэффициентов. Для \(i=0,1,\ldots\) положим \(Q_i(x)=(1+x)^i\). Докажите, что если \(i_1,i_2,\ldots,i_n\) — целые числа, удовлетворяющие условию \(0\le i_1<i_2<\cdots<i_n\), то \[ w(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\cdots+Q_{i_n})\ge w(Q_{i_1}). \]

Решение →

Задача 4

Дано множество \(M\), состоящее из 1985 различных натуральных чисел, ни одно из которых не имеет простого делителя, большего 26. Докажите, что в \(M\) найдутся четыре различных элемента, произведение которых является четвёртой степенью целого числа.

Решение →

Задача 5

Окружность с центром \(O\) проходит через вершины \(A\) и \(C\) треугольника \(ABC\) и вторично пересекает отрезки \(AB\) и \(BC\) в различных точках \(K\) и \(N\) соответственно. Описанные окружности треугольников \(ABC\) и \(EBN\) пересекаются ровно в двух различных точках \(B\) и \(M\). Докажите, что угол \(OMB\) прямой.

Решение →

Задача 6

Для каждого действительного числа \(x_1\) построим последовательность \(x_1,x_2,\ldots\), полагая \[ x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right) \quad\text{для каждого }n\ge1. \] Докажите, что существует ровно одно значение \(x_1\), при котором \[ 0<x_n<x_{n+1}<1 \] для каждого \(n\).

Решение →

المسألة 1

يقع مركز دائرة على الضلع \(AB\) من الرباعي الدائري \(ABCD\). والأضلاع الثلاثة الأخرى مماسة للدائرة. أثبت أن \(AD+BC=AB\).

← الحل

المسألة 2

ليكن \(n\) و\(k\) عددين طبيعيين معطيين أوليين فيما بينهما، و\(k<n\). لُوِّن كل عدد في المجموعة \(M=\{1,2,\ldots,n-1\}\) إما بالأزرق وإما بالأبيض. ومن المعطى أن

(i) لكل \(i\in M\)، يكون العددان \(i\) و\(n-i\) من اللون نفسه؛

(ii) لكل \(i\in M\)، حيث \(i\ne k\)، يكون العددان \(i\) و\(|i-k|\) من اللون نفسه. أثبت أن جميع الأعداد في \(M\) لا بد أن تكون من اللون نفسه.

← الحل

المسألة 3

لكل كثيرة حدود \(P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k\) ذات معاملات صحيحة، نرمز إلى عدد معاملاتها الفردية بالرمز \(w(P)\). ولكل \(i=0,1,\ldots\)، لتكن \(Q_i(x)=(1+x)^i\). أثبت أنه إذا كانت \(i_1,i_2,\ldots,i_n\) أعدادًا صحيحة تحقق \(0\le i_1<i_2<\cdots<i_n\)، فإن \[ w(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\cdots+Q_{i_n})\ge w(Q_{i_1}). \]

← الحل

المسألة 4

لتكن \(M\) مجموعة من 1985 عددًا صحيحًا موجبًا مختلفًا، لا يملك أي منها قاسمًا أوليًا أكبر من 26. أثبت أن \(M\) تحتوي على مجموعة جزئية واحدة على الأقل من أربعة عناصر مختلفة حاصل ضربها قوة رابعة لعدد صحيح.

← الحل

المسألة 5

تمر دائرة مركزها \(O\) بالرأسين \(A\) و\(C\) من المثلث \(ABC\)، وتقطع القطعتين \(AB\) و\(BC\) مرة أخرى في نقطتين مختلفتين \(K\) و\(N\)، على الترتيب. تتقاطع الدائرتان المحيطتان بالمثلثين \(ABC\) و\(EBN\) في نقطتين مختلفتين بالضبط هما \(B\) و\(M\). أثبت أن الزاوية \(OMB\) قائمة.

← الحل

المسألة 6

لكل عدد حقيقي \(x_1\)، نبني المتتالية \(x_1,x_2,\ldots\) بوضع \[ x_{n+1}=x_n\left(x_n+\frac1n\right) \quad\text{لكل }n\ge1. \] أثبت أنه توجد قيمة واحدة بالضبط لـ \(x_1\) تحقق \[ 0<x_n<x_{n+1}<1 \] لكل \(n\).

← الحل