Problem 1

Let \(d\) be any positive integer not equal to \(2\), \(5\), or \(13\). Show that one can find distinct \(a, b\) in the set \(\{2, 5, 13, d\}\) such that \(ab-1\) is not a perfect square.

Solution →

Problem 2

A triangle \(A_1A_2A_3\) and a point \(P_0\) are given in the plane. We define \(A_s=A_{s-3}\) for all \(s\geq 4\). We construct a set of points \(P_1,P_2,P_3,\ldots\), such that \(P_{k+1}\) is the image of \(P_k\) under a rotation with center \(A_{k+1}\) through angle \(120^\circ\) clockwise (for \(k=0,1,2,\ldots\)). Prove that if \(P_{1986}=P_0\), then the triangle \(A_1A_2A_3\) is equilateral.

Solution →

Problem 3

To each vertex of a regular pentagon an integer is assigned in such a way that the sum of all five numbers is positive. If three consecutive vertices are assigned the numbers \(x, y, z\) respectively and \(y < 0\) then the following operation is allowed: the numbers \(x, y, z\) are replaced by \(x+y, -y, z+y\) respectively. Such an operation is performed repeatedly as long as at least one of the five numbers is negative. Determine whether this procedure necessarily comes to and end after a finite number of steps.

Solution →

Problem 4

Let \(A, B\) be adjacent vertices of a regular \(n\)-gon \((n \geq 5)\) in the plane having center at \(O\). A triangle \(XYZ\), which is congruent to and initially conincides with \(OAB\), moves in the plane in such a way that \(Y\) and \(Z\) each trace out the whole boundary of the polygon, \(X\) remaining inside the polygon. Find the locus of \(X\).

Solution →

Problem 5

Find all functions \(f\), defined on the non-negative real numbers and taking non-negative real values, such that:

\[ \begin{aligned} \text{(i)}\quad & f(xf(y))\cdot f(y)=f(x+y)\quad\text{for all }x,y\ge 0,\\ \text{(ii)}\quad & f(2)=0,\\ \text{(iii)}\quad & f(x)\ne 0\quad\text{for }0\le x<2. \end{aligned} \]

Solution →

Problem 6

One is given a finite set of points in the plane, each point having integer coordinates. Is it always possible to color some of the points in the set red and the remaining points white in such a way that for any straight line \(L\) parallel to either one of the coordinate axes the difference (in absolute value) between the numbers of white point and red points on \(L\) is not greater than 1?

Solution →

Aufgabe 1

Sei \(d\) eine beliebige positive ganze Zahl, die von \(2\), \(5\) und \(13\) verschieden ist. Zeige, dass man verschiedene \(a, b\) aus der Menge \(\{2, 5, 13, d\}\) so wählen kann, dass \(ab-1\) keine Quadratzahl ist.

Lösung →

Aufgabe 2

In der Ebene seien ein Dreieck \(A_1A_2A_3\) und ein Punkt \(P_0\) gegeben. Wir definieren \(A_s=A_{s-3}\) für alle \(s\geq 4\). Wir konstruieren eine Menge von Punkten \(P_1,P_2,P_3,\ldots\), sodass \(P_{k+1}\) das Bild von \(P_k\) unter einer Drehung um den Mittelpunkt \(A_{k+1}\) um den Winkel \(120^\circ\) im Uhrzeigersinn ist (für \(k=0,1,2,\ldots\)). Beweise, dass das Dreieck \(A_1A_2A_3\) gleichseitig ist, falls \(P_{1986}=P_0\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 3

Jedem Eckpunkt eines regelmäßigen Fünfecks wird eine ganze Zahl so zugeordnet, dass die Summe aller fünf Zahlen positiv ist. Sind drei aufeinanderfolgenden Eckpunkten die Zahlen \(x, y, z\) in dieser Reihenfolge zugeordnet und gilt \(y < 0\), so ist folgende Operation erlaubt: Die Zahlen \(x, y, z\) werden durch \(x+y, -y, z+y\) in dieser Reihenfolge ersetzt. Eine solche Operation wird wiederholt ausgeführt, solange mindestens eine der fünf Zahlen negativ ist. Entscheide, ob dieses Verfahren notwendigerweise nach endlich vielen Schritten endet.

Lösung →

Aufgabe 4

Seien \(A, B\) benachbarte Eckpunkte eines regelmäßigen \(n\)-Ecks \((n \geq 5)\) in der Ebene mit Mittelpunkt \(O\). Ein Dreieck \(XYZ\), das zu \(OAB\) kongruent ist und anfangs mit diesem zusammenfällt, bewegt sich in der Ebene so, dass \(Y\) und \(Z\) jeweils den gesamten Rand des Vielecks durchlaufen, während \(X\) im Inneren des Vielecks bleibt. Bestimme den geometrischen Ort von \(X\).

Lösung →

Aufgabe 5

Bestimme alle auf den nichtnegativen reellen Zahlen definierten Funktionen \(f\) mit nichtnegativen reellen Werten, für die gilt:

\[ \begin{aligned} \text{(i)}\quad & f(xf(y))\cdot f(y)=f(x+y)\quad\text{für alle }x,y\ge 0,\\ \text{(ii)}\quad & f(2)=0,\\ \text{(iii)}\quad & f(x)\ne 0\quad\text{für }0\le x<2. \end{aligned} \]

Lösung →

Aufgabe 6

Gegeben ist eine endliche Menge von Punkten in der Ebene, deren Koordinaten jeweils ganzzahlig sind. Ist es stets möglich, einige Punkte der Menge rot und die übrigen weiß zu färben, sodass für jede Gerade \(L\), die zu einer der beiden Koordinatenachsen parallel ist, der Betrag der Differenz zwischen der Anzahl der weißen und der Anzahl der roten Punkte auf \(L\) nicht größer als 1 ist?

Lösung →

Soru 1

\(d\), \(2\), \(5\) veya \(13\)'e eşit olmayan herhangi bir pozitif tam sayı olsun. \(\{2, 5, 13, d\}\) kümesinde, \(ab-1\) bir tam kare olmayacak şekilde birbirinden farklı \(a, b\) elemanlarının bulunabileceğini gösteriniz.

Çözüm →

Soru 2

Düzlemde bir \(A_1A_2A_3\) üçgeni ve bir \(P_0\) noktası veriliyor. Her \(s\geq 4\) için \(A_s=A_{s-3}\) olarak tanımlayalım. \(P_{k+1}\), \(P_k\) noktasının \(A_{k+1}\) merkezi etrafında saat yönünde \(120^\circ\) döndürülmesiyle elde edilen görüntüsü olacak şekilde \(P_1,P_2,P_3,\ldots\) noktalarını oluşturalım (\(k=0,1,2,\ldots\) için). \(P_{1986}=P_0\) ise \(A_1A_2A_3\) üçgeninin eşkenar olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

Bir düzgün beşgenin her köşesine, beş sayının toplamı pozitif olacak şekilde bir tam sayı yazılıyor. Ardışık üç köşeye sırasıyla \(x, y, z\) sayıları yazılmışsa ve \(y < 0\) ise şu işlemin yapılmasına izin veriliyor: \(x, y, z\) sayıları sırasıyla \(x+y, -y, z+y\) ile değiştiriliyor. Beş sayıdan en az biri negatif olduğu sürece bu işlem tekrarlanıyor. Bu sürecin sonlu sayıda adımdan sonra mutlaka sona erip ermeyeceğini belirleyiniz.

Çözüm →

Soru 4

Düzlemde merkezi \(O\) olan bir düzgün \(n\)-genin \((n \geq 5)\) ardışık iki köşesi \(A, B\) olsun. \(OAB\) üçgenine eş olan ve başlangıçta onunla çakışan bir \(XYZ\) üçgeni, \(Y\) ve \(Z\) noktalarının her biri çokgenin sınırının tamamını tarayacak ve \(X\) çokgenin içinde kalacak şekilde düzlemde hareket ediyor. \(X\) noktasının geometrik yerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 5

Negatif olmayan gerçek sayılar üzerinde tanımlı, negatif olmayan gerçek değerler alan ve aşağıdaki koşulları sağlayan tüm \(f\) fonksiyonlarını bulunuz:

\[ \begin{aligned} \text{(i)}\quad & f(xf(y))\cdot f(y)=f(x+y)\quad\text{tüm }x,y\ge 0,\\ \text{(ii)}\quad & f(2)=0,\\ \text{(iii)}\quad & f(x)\ne 0\quad\text{şu aralıkta: }0\le x<2. \end{aligned} \]

Çözüm →

Soru 6

Düzlemde, her noktasının koordinatları tam sayı olan sonlu bir nokta kümesi veriliyor. Kümedeki noktaların bir kısmını kırmızıya, geri kalanını beyaza, koordinat eksenlerinden herhangi birine paralel olan her \(L\) doğrusu üzerindeki beyaz noktaların sayısı ile kırmızı noktaların sayısının farkının mutlak değeri 1'den büyük olmayacak şekilde boyamak her zaman mümkün müdür?

Çözüm →

Problema 1

Sea \(d\) un entero positivo distinto de \(2\), \(5\) y \(13\). Demostrar que se pueden encontrar \(a, b\) distintos en el conjunto \(\{2, 5, 13, d\}\) tales que \(ab-1\) no sea un cuadrado perfecto.

Solución →

Problema 2

Se dan en el plano un triángulo \(A_1A_2A_3\) y un punto \(P_0\). Definimos \(A_s=A_{s-3}\) para todo \(s\geq 4\). Construimos un conjunto de puntos \(P_1,P_2,P_3,\ldots\), de modo que \(P_{k+1}\) sea la imagen de \(P_k\) mediante una rotación de centro \(A_{k+1}\) y ángulo \(120^\circ\) en sentido horario (para \(k=0,1,2,\ldots\)). Demostrar que, si \(P_{1986}=P_0\), entonces el triángulo \(A_1A_2A_3\) es equilátero.

Solución →

Problema 3

A cada vértice de un pentágono regular se le asigna un entero de tal manera que la suma de los cinco números sea positiva. Si a tres vértices consecutivos se les han asignado los números \(x, y, z\), respectivamente, e \(y < 0\), se permite la siguiente operación: los números \(x, y, z\) se sustituyen por \(x+y, -y, z+y\), respectivamente. Esta operación se realiza repetidamente mientras al menos uno de los cinco números sea negativo. Determinar si este procedimiento termina necesariamente tras un número finito de pasos.

Solución →

Problema 4

Sean \(A, B\) dos vértices adyacentes de un polígono regular de \(n\) lados \((n \geq 5)\) en el plano, con centro en \(O\). Un triángulo \(XYZ\), congruente con \(OAB\) y que inicialmente coincide con él, se mueve en el plano de tal manera que tanto \(Y\) como \(Z\) recorren toda la frontera del polígono, mientras \(X\) permanece en el interior del polígono. Hallar el lugar geométrico de \(X\).

Solución →

Problema 5

Hallar todas las funciones \(f\), definidas en los números reales no negativos y con valores reales no negativos, tales que:

\[ \begin{aligned} \text{(i)}\quad & f(xf(y))\cdot f(y)=f(x+y)\quad\text{para todo }x,y\ge 0,\\ \text{(ii)}\quad & f(2)=0,\\ \text{(iii)}\quad & f(x)\ne 0\quad\text{para }0\le x<2. \end{aligned} \]

Solución →

Problema 6

Se da un conjunto finito de puntos del plano, cada uno de ellos con coordenadas enteras. ¿Es siempre posible colorear de rojo algunos de los puntos del conjunto y de blanco los restantes, de tal manera que, para cualquier recta \(L\) paralela a cualquiera de los ejes de coordenadas, la diferencia (en valor absoluto) entre el número de puntos blancos y el de puntos rojos sobre \(L\) no sea mayor que 1?

Solución →

问题 1

设 \(d\) 为任意一个不等于 \(2\)、\(5\) 或 \(13\) 的正整数。证明：在集合 \(\{2, 5, 13, d\}\) 中可以找到两个不同的数 \(a, b\)，使得 \(ab-1\) 不是完全平方数。

解答 →

问题 2

在平面内给定三角形 \(A_1A_2A_3\) 和一点 \(P_0\)。对所有 \(s\geq 4\)，定义 \(A_s=A_{s-3}\)。构造一列点 \(P_1,P_2,P_3,\ldots\)，使得 \(P_{k+1}\) 是将 \(P_k\) 绕中心 \(A_{k+1}\) 顺时针旋转 \(120^\circ\) 所得的像（\(k=0,1,2,\ldots\)）。证明：若 \(P_{1986}=P_0\)，则三角形 \(A_1A_2A_3\) 为等边三角形。

解答 →

问题 3

在一个正五边形的每个顶点上各标一个整数，使这五个数的和为正。若三个连续顶点上所标的数依次为 \(x, y, z\)，且 \(y < 0\)，则允许进行如下操作：将 \(x, y, z\) 分别替换为 \(x+y, -y, z+y\)。只要五个数中至少有一个为负，就反复进行这样的操作。判断这一过程是否必定在有限步后终止。

解答 →

问题 4

设 \(A, B\) 是平面内一个以 \(O\) 为中心的正 \(n\) 边形 \((n \geq 5)\) 的两个相邻顶点。三角形 \(XYZ\) 与 \(OAB\) 全等，且初始时与其重合，它在平面内运动，使得 \(Y\) 和 \(Z\) 各自遍历该多边形的整个边界，而 \(X\) 始终位于多边形内部。求 \(X\) 的轨迹。

解答 →

问题 5

求所有定义在非负实数上、取非负实数值的函数 \(f\)，使得：

\[ \begin{aligned} \text{(i)}\quad & f(xf(y))\cdot f(y)=f(x+y)\quad\text{对所有 }x,y\ge 0,\\ \text{(ii)}\quad & f(2)=0,\\ \text{(iii)}\quad & f(x)\ne 0\quad\text{当 }0\le x<2. \end{aligned} \]

解答 →

问题 6

给定平面内的一个有限点集，每个点的坐标均为整数。是否总能将集合中的一部分点染成红色，其余点染成白色，使得对于任意一条平行于某一坐标轴的直线 \(L\)，\(L\) 上白点数与红点数之差的绝对值不大于 1？

解答 →

Задача 1

Пусть \(d\) — произвольное положительное целое число, не равное \(2\), \(5\) или \(13\). Докажите, что в множестве \(\{2, 5, 13, d\}\) можно найти различные числа \(a, b\), для которых \(ab-1\) не является полным квадратом.

Решение →

Задача 2

На плоскости даны треугольник \(A_1A_2A_3\) и точка \(P_0\). Положим \(A_s=A_{s-3}\) для всех \(s\geq 4\). Построим последовательность точек \(P_1,P_2,P_3,\ldots\) так, что \(P_{k+1}\) является образом \(P_k\) при повороте с центром \(A_{k+1}\) на угол \(120^\circ\) по часовой стрелке (для \(k=0,1,2,\ldots\)). Докажите, что если \(P_{1986}=P_0\), то треугольник \(A_1A_2A_3\) равносторонний.

Решение →

Задача 3

В каждой вершине правильного пятиугольника записано целое число так, что сумма всех пяти чисел положительна. Если в трёх последовательных вершинах записаны числа \(x, y, z\) соответственно и \(y < 0\), то разрешается следующая операция: числа \(x, y, z\) заменяются на \(x+y, -y, z+y\) соответственно. Такую операцию повторяют, пока хотя бы одно из пяти чисел отрицательно. Определите, обязательно ли этот процесс заканчивается через конечное число шагов.

Решение →

Задача 4

Пусть \(A, B\) — соседние вершины правильного \(n\)-угольника \((n \geq 5)\) на плоскости с центром \(O\). Треугольник \(XYZ\), равный треугольнику \(OAB\) и первоначально совпадающий с ним, движется на плоскости так, что каждая из точек \(Y\) и \(Z\) описывает всю границу многоугольника, а точка \(X\) остаётся внутри многоугольника. Найдите геометрическое место точек \(X\).

Решение →

Задача 5

Найдите все функции \(f\), определённые на множестве неотрицательных действительных чисел и принимающие неотрицательные действительные значения, такие, что:

\[ \begin{aligned} \text{(i)}\quad & f(xf(y))\cdot f(y)=f(x+y)\quad\text{для всех }x,y\ge 0,\\ \text{(ii)}\quad & f(2)=0,\\ \text{(iii)}\quad & f(x)\ne 0\quad\text{при }0\le x<2. \end{aligned} \]

Решение →

Задача 6

Дано конечное множество точек на плоскости, каждая из которых имеет целочисленные координаты. Всегда ли можно раскрасить часть точек этого множества в красный цвет, а остальные — в белый так, чтобы для любой прямой \(L\), параллельной одной из координатных осей, разность (по абсолютной величине) между числом белых и числом красных точек на \(L\) не превышала 1?

Решение →

المسألة 1

ليكن \(d\) أي عدد صحيح موجب لا يساوي \(2\) أو \(5\) أو \(13\). أثبت أنه يمكن إيجاد عنصرين مختلفين \(a, b\) من المجموعة \(\{2, 5, 13, d\}\) بحيث لا يكون \(ab-1\) مربعًا كاملًا.

← الحل

المسألة 2

أُعطي في المستوى مثلث \(A_1A_2A_3\) ونقطة \(P_0\). نعرّف \(A_s=A_{s-3}\) لكل \(s\geq 4\). ننشئ مجموعة من النقاط \(P_1,P_2,P_3,\ldots\)، بحيث تكون \(P_{k+1}\) صورة \(P_k\) بدوران مركزه \(A_{k+1}\) وزاويته \(120^\circ\) في اتجاه عقارب الساعة (لكل \(k=0,1,2,\ldots\)). أثبت أنه إذا كان \(P_{1986}=P_0\)، فإن المثلث \(A_1A_2A_3\) متساوي الأضلاع.

← الحل

المسألة 3

نُسب إلى كل رأس من رؤوس خماسي منتظم عدد صحيح بحيث يكون مجموع الأعداد الخمسة موجبًا. إذا كانت الأعداد المنسوبة إلى ثلاثة رؤوس متتالية هي \(x, y, z\) على الترتيب، وكان \(y < 0\)، فيُسمح بالعملية الآتية: تُستبدل الأعداد \(x, y, z\) بالأعداد \(x+y, -y, z+y\) على الترتيب. تُكرَّر هذه العملية ما دام واحد على الأقل من الأعداد الخمسة سالبًا. حدّد ما إذا كان هذا الإجراء ينتهي بالضرورة بعد عدد منتهٍ من الخطوات.

← الحل

المسألة 4

لتكن \(A, B\) رأسين متجاورين في مضلع منتظم ذي \(n\) ضلعًا \((n \geq 5)\) في المستوى، مركزه \(O\). يتحرك في المستوى مثلث \(XYZ\)، مطابق للمثلث \(OAB\) ومنطبق عليه في البداية، بحيث ترسم كل من \(Y\) و\(Z\) حدود المضلع كاملة، وتبقى \(X\) داخل المضلع. أوجد المحل الهندسي للنقطة \(X\).

← الحل

المسألة 5

أوجد جميع الدوال \(f\)، المعرّفة على الأعداد الحقيقية غير السالبة والتي تأخذ قيمًا حقيقية غير سالبة، بحيث:

\[ \begin{aligned} \text{(i)}\quad & f(xf(y))\cdot f(y)=f(x+y)\quad\text{لكل }x,y\ge 0,\\ \text{(ii)}\quad & f(2)=0,\\ \text{(iii)}\quad & f(x)\ne 0\quad\text{عندما }0\le x<2. \end{aligned} \]

← الحل

المسألة 6

أُعطيت مجموعة منتهية من النقاط في المستوى، إحداثيا كل نقطة منها عددان صحيحان. هل يمكن دائمًا تلوين بعض نقاط المجموعة بالأحمر وبقية النقاط بالأبيض، بحيث، لأي مستقيم \(L\) موازٍ لأحد محوري الإحداثيات، لا تزيد القيمة المطلقة للفرق بين عدد النقاط البيضاء وعدد النقاط الحمراء الواقعة على \(L\) على 1؟

← الحل