Problem 1

Let \(p_n(k)\) be the number of permutations of the set \(\{1,\ldots,n\}\), \(n\geq 1\), which have exactly \(k\) fixed points. Prove that \[ \sum_{k=0}^{n} k\cdot p_n(k)=n!. \]

(Remark: A permutation \(f\) of a set \(S\) is a one-to-one mapping of \(S\) onto itself. An element \(i\) in \(S\) is called a fixed point of the permutation \(f\) if \(f(i)=i\).)

Solution →

Problem 2

In an acute-angled triangle \(ABC\) the interior bisector of the angle \(A\) intersects \(BC\) at \(L\) and intersects the circumcircle of \(ABC\) again at \(N\). From point \(L\) perpendiculars are drawn to \(AB\) and \(AC\), the feet of these perpendiculars being \(K\) and \(M\) respectively. Prove that the quadrilateral \(AKNM\) and the triangle \(ABC\) have equal areas.

Solution →

Problem 3

Let \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) be real numbers satisfying \(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1\). Prove that for every integer \(k\geq2\) there are integers \(a_1,a_2,\ldots,a_n\), not all \(0\), such that \(|a_i|\leq k-1\) for all \(i\) and \[ |a_1x_1+a_1x_2+\cdots+a_nx_n| \leq \frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}. \]

Solution →

Problem 4

Prove that there is no function \(f\) from the set of non-negative integers into itself such that \(f(f(n)) = n + 1987\) for every \(n\).

Solution →

Problem 5

Let \(n\) be an integer greater than or equal to 3. Prove that there is a set of \(n\) points in the plane such that the distance between any two points is irrational and each set of three points determines a non-degenerate triangle with rational area.

Solution →

Problem 6

Let \(n\) be an integer greater than or equal to \(2\). Prove that if \(k^2+k+n\) is prime for all integers \(k\) such that \(0\leq k\leq \sqrt{n/3}\), then \(k^2+k+n\) is prime for all integers \(k\) such that \(0\leq k\leq n-2\).

Solution →

Aufgabe 1

Sei \(p_n(k)\) die Anzahl der Permutationen der Menge \(\{1,\ldots,n\}\), \(n\geq 1\), die genau \(k\) Fixpunkte haben. Man beweise, dass \[ \sum_{k=0}^{n} k\cdot p_n(k)=n!. \]

(Bemerkung: Eine Permutation \(f\) einer Menge \(S\) ist eine bijektive Abbildung von \(S\) auf sich selbst. Ein Element \(i\) von \(S\) heißt Fixpunkt der Permutation \(f\), wenn \(f(i)=i\).)

Lösung →

Aufgabe 2

In einem spitzwinkligen Dreieck \(ABC\) schneidet die innere Winkelhalbierende des Winkels \(A\) die Seite \(BC\) in \(L\) und den Umkreis von \(ABC\) ein zweites Mal in \(N\). Vom Punkt \(L\) werden die Lote auf \(AB\) und \(AC\) gefällt; ihre Fußpunkte seien \(K\) bzw. \(M\). Man beweise, dass das Viereck \(AKNM\) und das Dreieck \(ABC\) denselben Flächeninhalt haben.

Lösung →

Aufgabe 3

Seien \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) reelle Zahlen mit \(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1\). Man beweise, dass es für jede ganze Zahl \(k\geq2\) ganze Zahlen \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) gibt, die nicht alle \(0\) sind, sodass \(|a_i|\leq k-1\) für alle \(i\) gilt und \[ |a_1x_1+a_1x_2+\cdots+a_nx_n| \leq \frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}. \]

Lösung →

Aufgabe 4

Man beweise, dass es keine Funktion \(f\) von der Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen in sich selbst gibt, für die \(f(f(n)) = n + 1987\) für jedes \(n\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 5

Sei \(n\) eine ganze Zahl größer oder gleich 3. Man beweise, dass es eine Menge von \(n\) Punkten in der Ebene gibt, sodass der Abstand zwischen je zwei Punkten irrational ist und je drei Punkte ein nicht entartetes Dreieck mit rationalem Flächeninhalt bestimmen.

Lösung →

Aufgabe 6

Sei \(n\) eine ganze Zahl größer oder gleich \(2\). Man beweise: Wenn \(k^2+k+n\) für alle ganzen Zahlen \(k\) mit \(0\leq k\leq \sqrt{n/3}\) eine Primzahl ist, dann ist \(k^2+k+n\) für alle ganzen Zahlen \(k\) mit \(0\leq k\leq n-2\) eine Primzahl.

Lösung →

Soru 1

\(n\geq 1\) olmak üzere, \(p_n(k)\), \(\{1,\ldots,n\}\) kümesinin tam olarak \(k\) sabit noktası olan permütasyonlarının sayısı olsun. Aşağıdaki eşitliği kanıtlayınız: \[ \sum_{k=0}^{n} k\cdot p_n(k)=n!. \]

(Açıklama: Bir \(S\) kümesinin bir \(f\) permütasyonu, \(S\)'den kendisine bire bir ve örten bir dönüşümdür. \(S\)'nin bir \(i\) elemanı, \(f(i)=i\) ise \(f\) permütasyonunun sabit noktası olarak adlandırılır.)

Çözüm →

Soru 2

Dar açılı bir \(ABC\) üçgeninde \(A\) açısının iç açıortayı, \(BC\)'yi \(L\) noktasında ve \(ABC\)'nin çevrel çemberini ikinci kez \(N\) noktasında kesiyor. \(L\) noktasından \(AB\) ve \(AC\)'ye indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla \(K\) ve \(M\) olsun. \(AKNM\) dörtgeni ile \(ABC\) üçgeninin alanlarının eşit olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

\(x_1,x_2,\ldots,x_n\), \(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1\) eşitliğini sağlayan gerçel sayılar olsun. Her \(k\geq2\) tam sayısı için, hepsi birden \(0\) olmayan, her \(i\) için \(|a_i|\leq k-1\) koşulunu ve \[ |a_1x_1+a_1x_2+\cdots+a_nx_n| \leq \frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1} \] eşitsizliğini sağlayan \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) tam sayılarının var olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 4

Negatif olmayan tam sayılar kümesinden kendisine tanımlı ve her \(n\) için \(f(f(n)) = n + 1987\) eşitliğini sağlayan bir \(f\) fonksiyonunun bulunmadığını kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 5

\(n\), 3'ten büyük veya 3'e eşit bir tam sayı olsun. Düzlemde, herhangi iki noktası arasındaki uzaklık irrasyonel olan ve herhangi üç noktası alanı rasyonel olan dejenere olmayan bir üçgen belirleyen, \(n\) noktadan oluşan bir kümenin var olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 6

\(n\), \(2\)'den büyük veya \(2\)'ye eşit bir tam sayı olsun. \(0\leq k\leq \sqrt{n/3}\) koşulunu sağlayan tüm \(k\) tam sayıları için \(k^2+k+n\) asal ise, \(0\leq k\leq n-2\) koşulunu sağlayan tüm \(k\) tam sayıları için de \(k^2+k+n\)'nin asal olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Problema 1

Sea \(p_n(k)\) el número de permutaciones del conjunto \(\{1,\ldots,n\}\), \(n\geq 1\), que tienen exactamente \(k\) puntos fijos. Demostrar que \[ \sum_{k=0}^{n} k\cdot p_n(k)=n!. \]

(Observación: Una permutación \(f\) de un conjunto \(S\) es una aplicación biyectiva de \(S\) sobre sí mismo. Un elemento \(i\) de \(S\) se llama punto fijo de la permutación \(f\) si \(f(i)=i\).)

Solución →

Problema 2

En un triángulo acutángulo \(ABC\), la bisectriz interior del ángulo \(A\) corta a \(BC\) en \(L\) y vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita de \(ABC\) en \(N\). Desde el punto \(L\) se trazan perpendiculares a \(AB\) y \(AC\), cuyos pies son \(K\) y \(M\), respectivamente. Demostrar que el cuadrilátero \(AKNM\) y el triángulo \(ABC\) tienen la misma área.

Solución →

Problema 3

Sean \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) números reales que satisfacen \(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1\). Demostrar que para todo entero \(k\geq2\) existen enteros \(a_1,a_2,\ldots,a_n\), no todos iguales a \(0\), tales que \(|a_i|\leq k-1\) para todo \(i\) y \[ |a_1x_1+a_1x_2+\cdots+a_nx_n| \leq \frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}. \]

Solución →

Problema 4

Demostrar que no existe ninguna función \(f\) del conjunto de los enteros no negativos en sí mismo tal que \(f(f(n)) = n + 1987\) para todo \(n\).

Solución →

Problema 5

Sea \(n\) un entero mayor o igual que 3. Demostrar que existe un conjunto de \(n\) puntos en el plano tal que la distancia entre dos puntos cualesquiera es irracional y cada conjunto de tres puntos determina un triángulo no degenerado de área racional.

Solución →

Problema 6

Sea \(n\) un entero mayor o igual que \(2\). Demostrar que si \(k^2+k+n\) es primo para todos los enteros \(k\) tales que \(0\leq k\leq \sqrt{n/3}\), entonces \(k^2+k+n\) es primo para todos los enteros \(k\) tales que \(0\leq k\leq n-2\).

Solución →

问题 1

设 \(p_n(k)\) 表示集合 \(\{1,\ldots,n\}\)（\(n\geq 1\)）的恰有 \(k\) 个不动点的排列的个数。证明 \[ \sum_{k=0}^{n} k\cdot p_n(k)=n!. \]

（注：集合 \(S\) 的一个排列 \(f\) 是从 \(S\) 到自身的一一映射。若 \(S\) 中的元素 \(i\) 满足 \(f(i)=i\)，则称 \(i\) 为排列 \(f\) 的一个不动点。）

解答 →

问题 2

在锐角三角形 \(ABC\) 中，角 \(A\) 的内角平分线与 \(BC\) 相交于 \(L\)，并与 \(ABC\) 的外接圆再次相交于 \(N\)。从点 \(L\) 分别向 \(AB\) 和 \(AC\) 作垂线，垂足分别为 \(K\) 和 \(M\)。证明四边形 \(AKNM\) 与三角形 \(ABC\) 的面积相等。

解答 →

问题 3

设实数 \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) 满足 \(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1\)。证明：对每个整数 \(k\geq2\)，都存在不全为 \(0\) 的整数 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\)，使得对所有 \(i\) 都有 \(|a_i|\leq k-1\)，且 \[ |a_1x_1+a_1x_2+\cdots+a_nx_n| \leq \frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}. \]

解答 →

问题 4

证明：不存在从非负整数集到自身的函数 \(f\)，使得对每个 \(n\) 都有 \(f(f(n)) = n + 1987\)。

解答 →

问题 5

设 \(n\) 是大于或等于 3 的整数。证明：平面上存在由 \(n\) 个点组成的集合，使得任意两点之间的距离都是无理数，且任意三个点都确定一个面积为有理数的非退化三角形。

解答 →

问题 6

设 \(n\) 是大于或等于 \(2\) 的整数。证明：若对所有满足 \(0\leq k\leq \sqrt{n/3}\) 的整数 \(k\)，\(k^2+k+n\) 都是素数，则对所有满足 \(0\leq k\leq n-2\) 的整数 \(k\)，\(k^2+k+n\) 都是素数。

解答 →

Задача 1

Пусть \(p_n(k)\) — число перестановок множества \(\{1,\ldots,n\}\), \(n\geq 1\), имеющих ровно \(k\) неподвижных точек. Докажите, что \[ \sum_{k=0}^{n} k\cdot p_n(k)=n!. \]

(Замечание: Перестановкой \(f\) множества \(S\) называется взаимно однозначное отображение \(S\) на себя. Элемент \(i\) множества \(S\) называется неподвижной точкой перестановки \(f\), если \(f(i)=i\).)

Решение →

Задача 2

В остроугольном треугольнике \(ABC\) биссектриса внутреннего угла \(A\) пересекает \(BC\) в точке \(L\) и вторично пересекает описанную окружность треугольника \(ABC\) в точке \(N\). Из точки \(L\) проведены перпендикуляры к \(AB\) и \(AC\); основания этих перпендикуляров обозначены соответственно через \(K\) и \(M\). Докажите, что четырёхугольник \(AKNM\) и треугольник \(ABC\) имеют равные площади.

Решение →

Задача 3

Пусть \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) — действительные числа, удовлетворяющие условию \(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1\). Докажите, что для любого целого \(k\geq2\) существуют целые числа \(a_1,a_2,\ldots,a_n\), не все равные \(0\), такие, что \(|a_i|\leq k-1\) для всех \(i\) и \[ |a_1x_1+a_1x_2+\cdots+a_nx_n| \leq \frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}. \]

Решение →

Задача 4

Докажите, что не существует функции \(f\) из множества неотрицательных целых чисел в себя, такой, что \(f(f(n)) = n + 1987\) для любого \(n\).

Решение →

Задача 5

Пусть \(n\) — целое число, большее или равное 3. Докажите, что на плоскости существует множество из \(n\) точек, такое, что расстояние между любыми двумя точками иррационально, а любые три точки образуют невырожденный треугольник с рациональной площадью.

Решение →

Задача 6

Пусть \(n\) — целое число, большее или равное \(2\). Докажите, что если \(k^2+k+n\) — простое число для всех целых \(k\), таких, что \(0\leq k\leq \sqrt{n/3}\), то \(k^2+k+n\) — простое число для всех целых \(k\), таких, что \(0\leq k\leq n-2\).

Решение →

المسألة 1

ليكن \(p_n(k)\) عدد تبديلات المجموعة \(\{1,\ldots,n\}\)، حيث \(n\geq 1\)، التي لها بالضبط \(k\) نقاط ثابتة. أثبت أن \[ \sum_{k=0}^{n} k\cdot p_n(k)=n!. \]

(ملاحظة: تبديل \(f\) لمجموعة \(S\) هو تطبيق تقابلي من \(S\) إلى نفسها. ويُسمّى العنصر \(i\) من \(S\) نقطة ثابتة للتبديل \(f\) إذا كان \(f(i)=i\).)

← الحل

المسألة 2

في مثلث حاد الزوايا \(ABC\)، يقطع المنصف الداخلي للزاوية \(A\) الضلع \(BC\) في \(L\)، ويقطع الدائرة المحيطة بالمثلث \(ABC\) مرة أخرى في \(N\). نرسم من النقطة \(L\) عمودين على \(AB\) و\(AC\)، ولتكن قدما هذين العمودين \(K\) و\(M\) على الترتيب. أثبت أن مساحة الرباعي \(AKNM\) تساوي مساحة المثلث \(ABC\).

← الحل

المسألة 3

لتكن \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) أعدادًا حقيقية تحقق \(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1\). أثبت أنه لكل عدد صحيح \(k\geq2\) توجد أعداد صحيحة \(a_1,a_2,\ldots,a_n\)، ليست كلها \(0\)، بحيث \(|a_i|\leq k-1\) لكل \(i\)، و \[ |a_1x_1+a_1x_2+\cdots+a_nx_n| \leq \frac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}. \]

← الحل

المسألة 4

أثبت أنه لا توجد دالة \(f\) من مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة إلى نفسها تحقق \(f(f(n)) = n + 1987\) لكل \(n\).

← الحل

المسألة 5

ليكن \(n\) عددًا صحيحًا أكبر من أو يساوي 3. أثبت أنه توجد مجموعة من \(n\) نقطة في المستوى بحيث تكون المسافة بين أي نقطتين عددًا غير نسبي، وتحدد كل مجموعة من ثلاث نقاط مثلثًا غير منعدم مساحته عدد نسبي.

← الحل

المسألة 6

ليكن \(n\) عددًا صحيحًا أكبر من أو يساوي \(2\). أثبت أنه إذا كان \(k^2+k+n\) عددًا أوليًّا لكل عدد صحيح \(k\) يحقق \(0\leq k\leq \sqrt{n/3}\)، فإن \(k^2+k+n\) عدد أولي لكل عدد صحيح \(k\) يحقق \(0\leq k\leq n-2\).

← الحل