Problem 1

Consider two coplanar circles of radii \(R\) and \(r\) (\(R>r\)) with the same center. Let \(P\) be a fixed point on the smaller circle and \(B\) a variable point on the larger circle. The line \(BP\) meets the larger circle again at \(C\). The perpendicular \(l\) to \(BP\) at \(P\) meets the smaller circle again at \(A\). (If \(l\) is tangent to the circle at \(P\) then \(A=P\).)

(i) Find the set of values of \(BC^2+CA^2+AB^2\).

(ii) Find the locus of the midpoint of \(BC\).

Solution →

Problem 2

Let \(n\) be a positive integer and let \(A_1, A_2, \ldots, A_{2n+1}\) be subsets of a set \(B\). Suppose that

(a) Each \(A_i\) has exactly \(2n\) elements,

(b) Each \(A_i \cap A_j\) \((1 \leq i < j \leq 2n+1)\) contains exactly one element, and

(c) Every element of \(B\) belongs to at least two of the \(A_i\).

For which values of \(n\) can one assign to every element of \(B\) one of the numbers 0 and 1 in such a way that \(A_i\) has 0 assigned to exactly \(n\) of its elements?

Solution →

Problem 3

A function \(f\) is defined on the positive integers by \[ \begin{aligned} f(1)&=1,\quad f(3)=3,\\ f(2n)&=f(n),\\ f(4n+1)&=2f(2n+1)-f(n),\\ f(4n+3)&=3f(2n+1)-2f(n), \end{aligned} \] for all positive integers \(n\).

Determine the number of positive integers \(n\), less than or equal to 1988, for which \(f(n)=n\).

Solution →

Problem 4

Show that set of real numbers \(x\) which satisfy the inequality \[ \sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}\geq\frac54 \] is a union of disjoint intervals, the sum of whose lengths is 1988.

Solution →

Problem 5

\(ABC\) is a triangle right-angled at \(A\), and \(D\) is the foot of the altitude from \(A\). The straight line joining the incenters of the triangles \(ABD\), \(ACD\) intersects the sides \(AB\), \(AC\) at the points \(K\), \(L\) respectively. \(S\) and \(T\) denote the areas of the triangles \(ABC\) and \(AKL\) respectively. Show that \(S \geq 2T\).

Solution →

Problem 6

Let \(a\) and \(b\) be positive integers such that \(ab+1\) divides \(a^2+b^2\). Show that \[ \frac{a^2+b^2}{ab+1} \] is the square of an integer.

Solution →

Aufgabe 1

Gegeben seien zwei Kreise in einer Ebene mit den Radien \(R\) und \(r\) (\(R>r\)) und demselben Mittelpunkt. Sei \(P\) ein fester Punkt auf dem kleineren Kreis und \(B\) ein veränderlicher Punkt auf dem größeren Kreis. Die Gerade \(BP\) schneidet den größeren Kreis ein zweites Mal in \(C\). Die Senkrechte \(l\) zu \(BP\) durch \(P\) schneidet den kleineren Kreis ein zweites Mal in \(A\). (Falls \(l\) den Kreis in \(P\) berührt, sei \(A=P\).)

(i) Bestimme die Menge der möglichen Werte von \(BC^2+CA^2+AB^2\).

(ii) Bestimme den geometrischen Ort des Mittelpunkts von \(BC\).

Lösung →

Aufgabe 2

Sei \(n\) eine positive ganze Zahl, und seien \(A_1, A_2, \ldots, A_{2n+1}\) Teilmengen einer Menge \(B\). Es gelte:

(a) Jede Menge \(A_i\) hat genau \(2n\) Elemente,

(b) jeder Durchschnitt \(A_i \cap A_j\) \((1 \leq i < j \leq 2n+1)\) enthält genau ein Element, und

(c) jedes Element von \(B\) gehört zu mindestens zwei der Mengen \(A_i\).

Für welche Werte von \(n\) kann man jedem Element von \(B\) eine der Zahlen 0 und 1 so zuordnen, dass genau \(n\) Elementen jeder Menge \(A_i\) die Zahl 0 zugeordnet wird?

Lösung →

Aufgabe 3

Eine Funktion \(f\) ist auf den positiven ganzen Zahlen durch \[ \begin{aligned} f(1)&=1,\quad f(3)=3,\\ f(2n)&=f(n),\\ f(4n+1)&=2f(2n+1)-f(n),\\ f(4n+3)&=3f(2n+1)-2f(n), \end{aligned} \] für alle positiven ganzen Zahlen \(n\) definiert.

Bestimme die Anzahl der positiven ganzen Zahlen \(n\), die kleiner oder gleich 1988 sind und für die \(f(n)=n\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 4

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen \(x\), die die Ungleichung \[ \sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}\geq\frac54 \] erfüllen, eine Vereinigung disjunkter Intervalle ist, deren Längen die Summe 1988 haben.

Lösung →

Aufgabe 5

\(ABC\) ist ein bei \(A\) rechtwinkliges Dreieck, und \(D\) ist der Fußpunkt der Höhe von \(A\). Die Verbindungsgerade der Inkreismittelpunkte der Dreiecke \(ABD\), \(ACD\) schneidet die Seiten \(AB\), \(AC\) in den Punkten \(K\) beziehungsweise \(L\). Mit \(S\) und \(T\) werden die Flächeninhalte der Dreiecke \(ABC\) beziehungsweise \(AKL\) bezeichnet. Zeige, dass \(S \geq 2T\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 6

Seien \(a\) und \(b\) positive ganze Zahlen, für die \(ab+1\) ein Teiler von \(a^2+b^2\) ist. Zeige, dass \[ \frac{a^2+b^2}{ab+1} \] das Quadrat einer ganzen Zahl ist.

Lösung →

Soru 1

Aynı düzlemde bulunan, merkezleri ortak ve yarıçapları \(R\) ve \(r\) (\(R>r\)) olan iki çember veriliyor. \(P\), küçük çember üzerinde sabit bir nokta, \(B\) ise büyük çember üzerinde değişken bir nokta olsun. \(BP\) doğrusu büyük çemberi ikinci kez \(C\) noktasında kesiyor. \(P\) noktasından \(BP\)'ye çizilen \(l\) dik doğrusu, küçük çemberi ikinci kez \(A\) noktasında kesiyor. (\(l\) doğrusu çembere \(P\) noktasında teğetse \(A=P\) alınır.)

(i) \(BC^2+CA^2+AB^2\) ifadesinin alabileceği değerler kümesini bulunuz.

(ii) \(BC\)'nin orta noktasının geometrik yerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 2

\(n\) bir pozitif tam sayı ve \(A_1, A_2, \ldots, A_{2n+1}\), bir \(B\) kümesinin alt kümeleri olsun. Aşağıdaki koşulların sağlandığını varsayalım:

(a) Her \(A_i\) tam olarak \(2n\) elemanlıdır,

(b) Her \(A_i \cap A_j\) \((1 \leq i < j \leq 2n+1)\) tam olarak bir eleman içerir ve

(c) \(B\)'nin her elemanı, \(A_i\) kümelerinin en az ikisine aittir.

\(n\)'nin hangi değerleri için \(B\)'nin her elemanına 0 ve 1 sayılarından biri, her \(A_i\)'nin tam olarak \(n\) elemanına 0 atanacak biçimde atanabilir?

Çözüm →

Soru 3

Pozitif tam sayılar üzerinde tanımlı bir \(f\) fonksiyonu, tüm pozitif tam sayılar \(n\) için \[ \begin{aligned} f(1)&=1,\quad f(3)=3,\\ f(2n)&=f(n),\\ f(4n+1)&=2f(2n+1)-f(n),\\ f(4n+3)&=3f(2n+1)-2f(n), \end{aligned} \] bağıntılarıyla tanımlanıyor.

1988'den küçük veya eşit olan ve \(f(n)=n\) eşitliğini sağlayan pozitif tam sayıların sayısını bulunuz.

Çözüm →

Soru 4

\[ \sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}\geq\frac54 \] eşitsizliğini sağlayan gerçek sayılar \(x\) kümesinin, uzunlukları toplamı 1988 olan ayrık aralıkların birleşimi olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 5

\(ABC\), \(A\) köşesi dik olan bir üçgen ve \(D\), \(A\)'dan çizilen yüksekliğin ayağıdır. \(ABD\) ve \(ACD\) üçgenlerinin içteğet çemberlerinin merkezlerini birleştiren doğru, \(AB\) ve \(AC\) kenarlarını sırasıyla \(K\) ve \(L\) noktalarında kesiyor. \(S\) ve \(T\), sırasıyla \(ABC\) ve \(AKL\) üçgenlerinin alanlarını göstersin. \(S \geq 2T\) olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 6

\(a\) ve \(b\), \(ab+1\) sayısı \(a^2+b^2\) sayısını bölecek biçimde pozitif tam sayılar olsun. \[ \frac{a^2+b^2}{ab+1} \] ifadesinin bir tam sayının karesi olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Problema 1

Considérense dos circunferencias coplanarias de radios \(R\) y \(r\) (\(R>r\)) con el mismo centro. Sea \(P\) un punto fijo de la circunferencia menor y \(B\) un punto variable de la circunferencia mayor. La recta \(BP\) corta de nuevo a la circunferencia mayor en \(C\). La perpendicular \(l\) a \(BP\) por \(P\) corta de nuevo a la circunferencia menor en \(A\). (Si \(l\) es tangente a la circunferencia en \(P\), entonces \(A=P\).)

(i) Hallar el conjunto de valores de \(BC^2+CA^2+AB^2\).

(ii) Hallar el lugar geométrico del punto medio de \(BC\).

Solución →

Problema 2

Sea \(n\) un entero positivo y sean \(A_1, A_2, \ldots, A_{2n+1}\) subconjuntos de un conjunto \(B\). Supongamos que

(a) Cada \(A_i\) tiene exactamente \(2n\) elementos,

(b) Cada \(A_i \cap A_j\) \((1 \leq i < j \leq 2n+1)\) contiene exactamente un elemento, y

(c) Todo elemento de \(B\) pertenece al menos a dos de los \(A_i\).

¿Para qué valores de \(n\) se puede asignar a cada elemento de \(B\) uno de los números 0 y 1 de tal manera que en cada \(A_i\) haya exactamente \(n\) elementos a los que se haya asignado 0?

Solución →

Problema 3

Una función \(f\) está definida en los enteros positivos por \[ \begin{aligned} f(1)&=1,\quad f(3)=3,\\ f(2n)&=f(n),\\ f(4n+1)&=2f(2n+1)-f(n),\\ f(4n+3)&=3f(2n+1)-2f(n), \end{aligned} \] para todo entero positivo \(n\).

Determinar el número de enteros positivos \(n\), menores o iguales que 1988, para los cuales \(f(n)=n\).

Solución →

Problema 4

Demostrar que el conjunto de números reales \(x\) que satisfacen la desigualdad \[ \sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}\geq\frac54 \] es una unión de intervalos disjuntos, la suma de cuyas longitudes es 1988.

Solución →

Problema 5

\(ABC\) es un triángulo rectángulo en \(A\), y \(D\) es el pie de la altura trazada desde \(A\). La recta que une los incentros de los triángulos \(ABD\), \(ACD\) corta a los lados \(AB\), \(AC\) en los puntos \(K\), \(L\), respectivamente. \(S\) y \(T\) denotan las áreas de los triángulos \(ABC\) y \(AKL\), respectivamente. Demostrar que \(S \geq 2T\).

Solución →

Problema 6

Sean \(a\) y \(b\) enteros positivos tales que \(ab+1\) divide a \(a^2+b^2\). Demostrar que \[ \frac{a^2+b^2}{ab+1} \] es el cuadrado de un entero.

Solución →

问题 1

平面内有两个同心圆，半径分别为 \(R\) 和 \(r\)（\(R>r\)）。 设 \(P\) 为小圆上的一个定点，\(B\) 为大圆上的一个动点。直线 \(BP\) 与大圆的另一个交点为 \(C\)。过 \(P\) 作 \(BP\) 的垂线 \(l\)，与小圆的另一个交点为 \(A\)。（若 \(l\) 在 \(P\) 点与小圆相切，则令 \(A=P\)。）

(i) 求 \(BC^2+CA^2+AB^2\) 的取值集合。

(ii) 求 \(BC\) 中点的轨迹。

解答 →

问题 2

设 \(n\) 为正整数，\(A_1, A_2, \ldots, A_{2n+1}\) 为集合 \(B\) 的子集。假设

(a) 每个 \(A_i\) 恰有 \(2n\) 个元素，

(b) 每个 \(A_i \cap A_j\) \((1 \leq i < j \leq 2n+1)\) 恰含一个元素，且

(c) \(B\) 的每个元素至少属于其中两个 \(A_i\)。

对于哪些 \(n\)，可以给 \(B\) 的每个元素赋予数字 0 或 1，使每个 \(A_i\) 中恰有 \(n\) 个元素被赋予 0？

解答 →

问题 3

定义在正整数上的函数 \(f\) 满足 \[ \begin{aligned} f(1)&=1,\quad f(3)=3,\\ f(2n)&=f(n),\\ f(4n+1)&=2f(2n+1)-f(n),\\ f(4n+3)&=3f(2n+1)-2f(n), \end{aligned} \] 其中 \(n\) 为任意正整数。

求不大于 1988 且满足 \(f(n)=n\) 的正整数 \(n\) 的个数。

解答 →

问题 4

证明：满足不等式 \[ \sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}\geq\frac54 \] 的实数 \(x\) 所组成的集合是若干个互不相交的区间的并，且这些区间的长度之和为 1988。

解答 →

问题 5

\(ABC\) 是以 \(A\) 为直角顶点的直角三角形，\(D\) 是从 \(A\) 所作高的垂足。连接三角形 \(ABD\)、\(ACD\) 的内心的直线分别与边 \(AB\)、\(AC\) 交于点 \(K\)、\(L\)。\(S\) 和 \(T\) 分别表示三角形 \(ABC\) 和 \(AKL\) 的面积。证明 \(S \geq 2T\)。

解答 →

问题 6

设 \(a\) 和 \(b\) 为正整数，且 \(ab+1\) 整除 \(a^2+b^2\)。证明 \[ \frac{a^2+b^2}{ab+1} \] 是一个整数的平方。

解答 →

Задача 1

Рассмотрим две лежащие в одной плоскости окружности радиусов \(R\) и \(r\) (\(R>r\)) с общим центром. Пусть \(P\) — фиксированная точка меньшей окружности, а \(B\) — переменная точка большей окружности. Прямая \(BP\) вторично пересекает большую окружность в точке \(C\). Перпендикуляр \(l\) к \(BP\), проведённый через \(P\), вторично пересекает меньшую окружность в точке \(A\). (Если \(l\) касается окружности в точке \(P\), то \(A=P\).)

(i) Найдите множество значений \(BC^2+CA^2+AB^2\).

(ii) Найдите геометрическое место середин отрезков \(BC\).

Решение →

Задача 2

Пусть \(n\) — натуральное число, а \(A_1, A_2, \ldots, A_{2n+1}\) — подмножества множества \(B\). Предположим, что

(a) каждое \(A_i\) содержит ровно \(2n\) элементов,

(b) каждое \(A_i \cap A_j\) \((1 \leq i < j \leq 2n+1)\) содержит ровно один элемент и

(c) каждый элемент множества \(B\) принадлежит по крайней мере двум из множеств \(A_i\).

При каких значениях \(n\) можно приписать каждому элементу множества \(B\) одно из чисел 0 и 1 так, чтобы ровно \(n\) элементам каждого \(A_i\) был приписан 0?

Решение →

Задача 3

Функция \(f\) определена на натуральных числах соотношениями \[ \begin{aligned} f(1)&=1,\quad f(3)=3,\\ f(2n)&=f(n),\\ f(4n+1)&=2f(2n+1)-f(n),\\ f(4n+3)&=3f(2n+1)-2f(n), \end{aligned} \] для всех натуральных \(n\).

Найдите количество натуральных чисел \(n\), не превосходящих 1988, для которых \(f(n)=n\).

Решение →

Задача 4

Докажите, что множество действительных чисел \(x\), удовлетворяющих неравенству \[ \sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}\geq\frac54 \] является объединением попарно непересекающихся промежутков, сумма длин которых равна 1988.

Решение →

Задача 5

\(ABC\) — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине \(A\), а \(D\) — основание высоты, проведённой из \(A\). Прямая, соединяющая центры вписанных окружностей треугольников \(ABD\), \(ACD\), пересекает стороны \(AB\), \(AC\) в точках \(K\), \(L\) соответственно. Через \(S\) и \(T\) обозначены площади треугольников \(ABC\) и \(AKL\) соответственно. Докажите, что \(S \geq 2T\).

Решение →

Задача 6

Пусть \(a\) и \(b\) — натуральные числа, для которых \(ab+1\) делит \(a^2+b^2\). Докажите, что \[ \frac{a^2+b^2}{ab+1} \] является квадратом целого числа.

Решение →

المسألة 1

لتكن دائرتان في مستوى واحد، نصفا قطريهما \(R\) و\(r\) (\(R>r\)) ولهما المركز نفسه. لتكن \(P\) نقطة ثابتة على الدائرة الصغرى و\(B\) نقطة متغيرة على الدائرة الكبرى. يقطع المستقيم \(BP\) الدائرة الكبرى مرة أخرى عند \(C\). ويقطع المستقيم \(l\) العمودي على \(BP\) عند \(P\) الدائرة الصغرى مرة أخرى عند \(A\). (إذا كان \(l\) مماسًا للدائرة عند \(P\)، فإن \(A=P\).)

(i) أوجد مجموعة قيم \(BC^2+CA^2+AB^2\).

(ii) أوجد المحل الهندسي لمنتصف \(BC\).

← الحل

المسألة 2

ليكن \(n\) عددًا صحيحًا موجبًا، ولتكن \(A_1, A_2, \ldots, A_{2n+1}\) مجموعات جزئية من مجموعة \(B\). افترض أن

(a) كل مجموعة \(A_i\) تحتوي على \(2n\) عنصرًا بالضبط،

(b) كل تقاطع \(A_i \cap A_j\) \((1 \leq i < j \leq 2n+1)\) يحتوي على عنصر واحد بالضبط، و

(c) كل عنصر من \(B\) ينتمي إلى مجموعتين على الأقل من المجموعات \(A_i\).

لأي قيم \(n\) يمكن إسناد أحد العددين 0 و1 إلى كل عنصر من \(B\)، بحيث تحتوي كل مجموعة \(A_i\) على \(n\) عنصرًا بالضبط أُسند إليها العدد 0؟

← الحل

المسألة 3

تُعرَّف دالة \(f\) على الأعداد الصحيحة الموجبة بالعلاقات \[ \begin{aligned} f(1)&=1,\quad f(3)=3,\\ f(2n)&=f(n),\\ f(4n+1)&=2f(2n+1)-f(n),\\ f(4n+3)&=3f(2n+1)-2f(n), \end{aligned} \] لكل عدد صحيح موجب \(n\).

حدد عدد الأعداد الصحيحة الموجبة \(n\) التي لا تزيد على 1988 وتحقق \(f(n)=n\).

← الحل

المسألة 4

أثبت أن مجموعة الأعداد الحقيقية \(x\) التي تحقق المتباينة \[ \sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}\geq\frac54 \] هي اتحاد فترات متباينة اثنتين اثنتين، مجموع أطوالها 1988.

← الحل

المسألة 5

\(ABC\) مثلث قائم الزاوية عند \(A\)، و\(D\) قدم الارتفاع النازل من \(A\). يقطع المستقيم الواصل بين مركزي الدائرتين الداخليتين للمثلثين \(ABD\)، \(ACD\) الضلعين \(AB\)، \(AC\) في النقطتين \(K\)، \(L\) على الترتيب. يرمز \(S\) و\(T\) إلى مساحتي المثلثين \(ABC\) و\(AKL\) على الترتيب. أثبت أن \(S \geq 2T\).

← الحل

المسألة 6

ليكن \(a\) و\(b\) عددين صحيحين موجبين بحيث يقسم \(ab+1\) العدد \(a^2+b^2\). أثبت أن \[ \frac{a^2+b^2}{ab+1} \] هو مربع عدد صحيح.

← الحل