Problem 1

Prove that the set \(\{1,2,\ldots,1989\}\) can be expressed as the disjoint union of subsets \(A_i\) \((i=1,2,\ldots,117)\) such that:

(i) Each \(A_i\) contains 17 elements;

(ii) The sum of all the elements in each \(A_i\) is the same.

Solution →

Problem 2

In an acute-angled triangle \(ABC\) the internal bisector of angle \(A\) meets the circumcircle of the triangle again at \(A_1\). Points \(B_1\) and \(C_1\) are defined similarly. Let \(A_0\) be the point of intersection of the line \(AA_1\) with the external bisectors of angles \(B\) and \(C\). Points \(B_0\) and \(C_0\) are defined similarly. Prove that:

(i) The area of the triangle \(A_0B_0C_0\) is twice the area of the hexagon \(AC_1BA_1CB_1\).

(ii) The area of the triangle \(A_0B_0C_0\) is at least four times the area of the triangle \(ABC\).

Solution →

Problem 3

Let \(n\) and \(k\) be positive integers and let \(S\) be a set of \(n\) points in the plane such that

(i) No three points of \(S\) are collinear, and

(ii) For any point \(P\) of \(S\) there are at least \(k\) points of \(S\) equidistant from \(P\).

Prove that: \[ k<\frac12+\sqrt{2n}. \]

Solution →

Problem 4

Let \(ABCD\) be a convex quadrilateral such that the sides \(AB, AD, BC\) satisfy \(AB = AD + BC\). There exists a point \(P\) inside the quadrilateral at a distance \(h\) from the line \(CD\) such that \(AP = h + AD\) and \(BP = h + BC\). Show that: \[ \frac{1}{\sqrt{h}}\geq \frac{1}{\sqrt{AD}}+\frac{1}{\sqrt{BC}}. \]

Solution →

Problem 5

Prove that for each positive integer \(n\) there exist \(n\) consecutive positive integers none of which is an integral power of a prime number.

Solution →

Problem 6

A permutation \((x_1,x_2,\ldots,x_m)\) of the set \(\{1,2,\ldots,2n\}\), where \(n\) is a positive integer, is said to have property \(P\) if \(|x_i-x_{i+1}|=n\) for at least one \(i\) in \(\{1,2,\ldots,2n-1\}\). Show that, for each \(n\), there are more permutations with property \(P\) than without.

Solution →

Aufgabe 1

Man beweise, dass sich die Menge \(\{1,2,\ldots,1989\}\) als disjunkte Vereinigung von Teilmengen \(A_i\) \((i=1,2,\ldots,117)\) darstellen lässt, sodass gilt:

(i) Jedes \(A_i\) enthält 17 Elemente;

(ii) Die Summe aller Elemente ist in jedem \(A_i\) gleich.

Lösung →

Aufgabe 2

In einem spitzwinkligen Dreieck \(ABC\) schneidet die innere Winkelhalbierende des Winkels \(A\) den Umkreis des Dreiecks ein zweites Mal in \(A_1\). Die Punkte \(B_1\) und \(C_1\) werden entsprechend definiert. Es sei \(A_0\) der Schnittpunkt der Geraden \(AA_1\) mit den äußeren Winkelhalbierenden der Winkel \(B\) und \(C\). Die Punkte \(B_0\) und \(C_0\) werden entsprechend definiert. Man beweise:

(i) Der Flächeninhalt des Dreiecks \(A_0B_0C_0\) ist doppelt so groß wie der Flächeninhalt des Sechsecks \(AC_1BA_1CB_1\).

(ii) Der Flächeninhalt des Dreiecks \(A_0B_0C_0\) ist mindestens viermal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\).

Lösung →

Aufgabe 3

Es seien \(n\) und \(k\) positive ganze Zahlen und \(S\) eine Menge von \(n\) Punkten in der Ebene, sodass gilt:

(i) Keine drei Punkte von \(S\) liegen auf einer Geraden, und

(ii) Zu jedem Punkt \(P\) von \(S\) gibt es mindestens \(k\) Punkte von \(S\), die von \(P\) den gleichen Abstand haben.

Man beweise: \[ k<\frac12+\sqrt{2n}. \]

Lösung →

Aufgabe 4

Es sei \(ABCD\) ein konvexes Viereck, dessen Seiten \(AB, AD, BC\) die Gleichung \(AB = AD + BC\) erfüllen. Im Inneren des Vierecks gibt es einen Punkt \(P\) im Abstand \(h\) von der Geraden \(CD\), sodass \(AP = h + AD\) und \(BP = h + BC\) gelten. Man zeige: \[ \frac{1}{\sqrt{h}}\geq \frac{1}{\sqrt{AD}}+\frac{1}{\sqrt{BC}}. \]

Lösung →

Aufgabe 5

Man beweise, dass es zu jeder positiven ganzen Zahl \(n\) eine Folge von \(n\) aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen gibt, von denen keine eine ganzzahlige Potenz einer Primzahl ist.

Lösung →

Aufgabe 6

Eine Permutation \((x_1,x_2,\ldots,x_m)\) der Menge \(\{1,2,\ldots,2n\}\), wobei \(n\) eine positive ganze Zahl ist, hat die Eigenschaft \(P\), wenn \(|x_i-x_{i+1}|=n\) für mindestens ein \(i\) aus \(\{1,2,\ldots,2n-1\}\) gilt. Man zeige, dass es für jedes \(n\) mehr Permutationen mit der Eigenschaft \(P\) als ohne diese Eigenschaft gibt.

Lösung →

Soru 1

\(\{1,2,\ldots,1989\}\) kümesinin, aşağıdaki koşulları sağlayan \(A_i\) \((i=1,2,\ldots,117)\) alt kümelerinin ayrık birleşimi olarak ifade edilebileceğini kanıtlayınız:

(i) Her \(A_i\), 17 eleman içerir;

(ii) Her \(A_i\)'nin tüm elemanlarının toplamı aynıdır.

Çözüm →

Soru 2

Dar açılı bir \(ABC\) üçgeninde \(A\) açısının iç açıortayı, üçgenin çevrel çemberini ikinci kez \(A_1\) noktasında kesmektedir. \(B_1\) ve \(C_1\) noktaları da benzer biçimde tanımlanıyor. \(AA_1\) doğrusunun \(B\) ve \(C\) açılarının dış açıortaylarıyla kesişim noktası \(A_0\) olsun. \(B_0\) ve \(C_0\) noktaları da benzer biçimde tanımlanıyor. Aşağıdakileri kanıtlayınız:

(i) \(A_0B_0C_0\) üçgeninin alanı, \(AC_1BA_1CB_1\) altıgeninin alanının iki katıdır.

(ii) \(A_0B_0C_0\) üçgeninin alanı, \(ABC\) üçgeninin alanının en az dört katıdır.

Çözüm →

Soru 3

\(n\) ve \(k\) pozitif tam sayılar, \(S\) ise düzlemde aşağıdaki koşulları sağlayan \(n\) noktadan oluşan bir küme olsun:

(i) \(S\)'nin hiçbir üç noktası doğrusal değildir ve

(ii) \(S\)'nin her \(P\) noktası için, \(S\)'de \(P\)'ye eşit uzaklıkta en az \(k\) nokta vardır.

Aşağıdaki eşitsizliği kanıtlayınız: \[ k<\frac12+\sqrt{2n}. \]

Çözüm →

Soru 4

\(ABCD\), \(AB, AD, BC\) kenarları \(AB = AD + BC\) eşitliğini sağlayan dışbükey bir dörtgen olsun. Dörtgenin içinde, \(CD\) doğrusuna uzaklığı \(h\) olan ve \(AP = h + AD\) ile \(BP = h + BC\) eşitliklerini sağlayan bir \(P\) noktası vardır. Aşağıdaki eşitsizliği gösteriniz: \[ \frac{1}{\sqrt{h}}\geq \frac{1}{\sqrt{AD}}+\frac{1}{\sqrt{BC}}. \]

Çözüm →

Soru 5

Her pozitif tam sayı \(n\) için, hiçbiri bir asal sayının tam sayı kuvveti olmayan \(n\) ardışık pozitif tam sayı bulunduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 6

\(n\) bir pozitif tam sayı olmak üzere, \(\{1,2,\ldots,2n\}\) kümesinin bir \((x_1,x_2,\ldots,x_m)\) permütasyonunda \(\{1,2,\ldots,2n-1\}\) kümesindeki en az bir \(i\) için \(|x_i-x_{i+1}|=n\) oluyorsa bu permütasyonun \(P\) özelliğine sahip olduğu söylenir. Her \(n\) için, \(P\) özelliğine sahip permütasyonların sayısının bu özelliğe sahip olmayanların sayısından fazla olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Problema 1

Demostrar que el conjunto \(\{1,2,\ldots,1989\}\) puede expresarse como unión disjunta de subconjuntos \(A_i\) \((i=1,2,\ldots,117)\) tales que:

(i) Cada \(A_i\) contiene 17 elementos;

(ii) La suma de todos los elementos de cada \(A_i\) es la misma.

Solución →

Problema 2

En un triángulo acutángulo \(ABC\), la bisectriz interior del ángulo \(A\) vuelve a cortar a la circunferencia circunscrita al triángulo en \(A_1\). Los puntos \(B_1\) y \(C_1\) se definen de manera análoga. Sea \(A_0\) el punto de intersección de la recta \(AA_1\) con las bisectrices exteriores de los ángulos \(B\) y \(C\). Los puntos \(B_0\) y \(C_0\) se definen de manera análoga. Demostrar que:

(i) El área del triángulo \(A_0B_0C_0\) es el doble del área del hexágono \(AC_1BA_1CB_1\).

(ii) El área del triángulo \(A_0B_0C_0\) es al menos cuatro veces el área del triángulo \(ABC\).

Solución →

Problema 3

Sean \(n\) y \(k\) enteros positivos y sea \(S\) un conjunto de \(n\) puntos del plano tales que

(i) No hay tres puntos de \(S\) colineales, y

(ii) Para cualquier punto \(P\) de \(S\), hay al menos \(k\) puntos de \(S\) equidistantes de \(P\).

Demostrar que: \[ k<\frac12+\sqrt{2n}. \]

Solución →

Problema 4

Sea \(ABCD\) un cuadrilátero convexo cuyos lados \(AB, AD, BC\) satisfacen \(AB = AD + BC\). Existe un punto \(P\) en el interior del cuadrilátero, a una distancia \(h\) de la recta \(CD\), tal que \(AP = h + AD\) y \(BP = h + BC\). Demostrar que: \[ \frac{1}{\sqrt{h}}\geq \frac{1}{\sqrt{AD}}+\frac{1}{\sqrt{BC}}. \]

Solución →

Problema 5

Demostrar que para cada entero positivo \(n\) existen \(n\) enteros positivos consecutivos, ninguno de los cuales es una potencia de exponente entero de un número primo.

Solución →

Problema 6

Se dice que una permutación \((x_1,x_2,\ldots,x_m)\) del conjunto \(\{1,2,\ldots,2n\}\), donde \(n\) es un entero positivo, tiene la propiedad \(P\) si \(|x_i-x_{i+1}|=n\) para al menos un \(i\) de \(\{1,2,\ldots,2n-1\}\). Demostrar que, para cada \(n\), hay más permutaciones con la propiedad \(P\) que sin ella.

Solución →

问题 1

证明：集合 \(\{1,2,\ldots,1989\}\) 可以表示为子集 \(A_i\) \((i=1,2,\ldots,117)\) 的不交并，使得：

(i) 每个 \(A_i\) 含有 17 个元素；

(ii) 每个 \(A_i\) 中所有元素的和都相等。

解答 →

问题 2

在锐角三角形 \(ABC\) 中，角 \(A\) 的内角平分线与三角形的外接圆再次相交于 \(A_1\)。类似地定义点 \(B_1\) 和 \(C_1\)。设 \(A_0\) 为直线 \(AA_1\) 与角 \(B\)、角 \(C\) 的外角平分线的交点。类似地定义点 \(B_0\) 和 \(C_0\)。证明：

(i) 三角形 \(A_0B_0C_0\) 的面积是六边形 \(AC_1BA_1CB_1\) 面积的两倍。

(ii) 三角形 \(A_0B_0C_0\) 的面积至少是三角形 \(ABC\) 面积的四倍。

解答 →

问题 3

设 \(n\) 和 \(k\) 为正整数，\(S\) 为平面上由 \(n\) 个点组成的集合，满足

(i) \(S\) 中任意三点不共线，且

(ii) 对 \(S\) 中任意一点 \(P\)，\(S\) 中至少有 \(k\) 个点到 \(P\) 的距离相等。

证明： \[ k<\frac12+\sqrt{2n}. \]

解答 →

问题 4

设 \(ABCD\) 为凸四边形，其边 \(AB, AD, BC\) 满足 \(AB = AD + BC\)。四边形内部存在一点 \(P\)，它到直线 \(CD\) 的距离为 \(h\)，且满足 \(AP = h + AD\) 和 \(BP = h + BC\)。证明： \[ \frac{1}{\sqrt{h}}\geq \frac{1}{\sqrt{AD}}+\frac{1}{\sqrt{BC}}. \]

解答 →

问题 5

证明：对每个正整数 \(n\)，都存在 \(n\) 个连续正整数，其中没有一个是素数的整数次幂。

解答 →

问题 6

设 \(n\) 为正整数。若集合 \(\{1,2,\ldots,2n\}\) 的一个排列 \((x_1,x_2,\ldots,x_m)\) 满足：在 \(\{1,2,\ldots,2n-1\}\) 中至少存在一个 \(i\)，使得 \(|x_i-x_{i+1}|=n\)，则称该排列具有性质 \(P\)。证明：对每个 \(n\)，具有性质 \(P\) 的排列比不具有该性质的排列多。

解答 →

Задача 1

Докажите, что множество \(\{1,2,\ldots,1989\}\) можно представить в виде объединения попарно непересекающихся подмножеств \(A_i\) \((i=1,2,\ldots,117)\), таких что:

(i) Каждое \(A_i\) содержит 17 элементов;

(ii) Сумма всех элементов каждого \(A_i\) одна и та же.

Решение →

Задача 2

В остроугольном треугольнике \(ABC\) биссектриса внутреннего угла \(A\) вторично пересекает описанную окружность треугольника в точке \(A_1\). Точки \(B_1\) и \(C_1\) определяются аналогично. Пусть \(A_0\) — точка пересечения прямой \(AA_1\) с биссектрисами внешних углов при вершинах \(B\) и \(C\). Точки \(B_0\) и \(C_0\) определяются аналогично. Докажите, что:

(i) Площадь треугольника \(A_0B_0C_0\) вдвое больше площади шестиугольника \(AC_1BA_1CB_1\).

(ii) Площадь треугольника \(A_0B_0C_0\) не меньше учетверённой площади треугольника \(ABC\).

Решение →

Задача 3

Пусть \(n\) и \(k\) — положительные целые числа, а \(S\) — множество из \(n\) точек плоскости, такое что

(i) Никакие три точки множества \(S\) не лежат на одной прямой, и

(ii) Для любой точки \(P\) множества \(S\) найдутся по крайней мере \(k\) точек множества \(S\), равноудалённых от \(P\).

Докажите, что: \[ k<\frac12+\sqrt{2n}. \]

Решение →

Задача 4

Пусть \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник, стороны \(AB, AD, BC\) которого удовлетворяют равенству \(AB = AD + BC\). Внутри четырёхугольника существует точка \(P\), находящаяся на расстоянии \(h\) от прямой \(CD\), такая что \(AP = h + AD\) и \(BP = h + BC\). Докажите, что: \[ \frac{1}{\sqrt{h}}\geq \frac{1}{\sqrt{AD}}+\frac{1}{\sqrt{BC}}. \]

Решение →

Задача 5

Докажите, что для каждого положительного целого числа \(n\) существуют \(n\) последовательных положительных целых чисел, ни одно из которых не является целой степенью простого числа.

Решение →

Задача 6

Говорят, что перестановка \((x_1,x_2,\ldots,x_m)\) множества \(\{1,2,\ldots,2n\}\), где \(n\) — положительное целое число, обладает свойством \(P\), если \(|x_i-x_{i+1}|=n\) хотя бы для одного \(i\) из \(\{1,2,\ldots,2n-1\}\). Докажите, что при каждом \(n\) перестановок, обладающих свойством \(P\), больше, чем перестановок, не обладающих этим свойством.

Решение →

المسألة 1

أثبت أنه يمكن التعبير عن المجموعة \(\{1,2,\ldots,1989\}\) بوصفها اتحادًا لمجموعات جزئية متباينة مثنى مثنى \(A_i\) \((i=1,2,\ldots,117)\) بحيث:

(i) تحتوي كل مجموعة \(A_i\) على 17 عنصرًا؛

(ii) يكون مجموع جميع العناصر في كل مجموعة \(A_i\) واحدًا.

← الحل

المسألة 2

في مثلث حاد الزوايا \(ABC\)، يلتقي المنصف الداخلي للزاوية \(A\) بالدائرة المحيطة بالمثلث مرة أخرى عند \(A_1\). وتُعرَّف النقطتان \(B_1\) و\(C_1\) على نحو مماثل. لتكن \(A_0\) نقطة تقاطع المستقيم \(AA_1\) مع المنصفين الخارجيين للزاويتين \(B\) و\(C\). وتُعرَّف النقطتان \(B_0\) و\(C_0\) على نحو مماثل. أثبت أن:

(i) مساحة المثلث \(A_0B_0C_0\) تساوي ضعفي مساحة السداسي \(AC_1BA_1CB_1\).

(ii) مساحة المثلث \(A_0B_0C_0\) لا تقل عن أربعة أمثال مساحة المثلث \(ABC\).

← الحل

المسألة 3

ليكن \(n\) و\(k\) عددين صحيحين موجبين، ولتكن \(S\) مجموعة من \(n\) نقطة في المستوى بحيث

(i) لا تقع أي ثلاث نقاط من \(S\) على استقامة واحدة، و

(ii) لكل نقطة \(P\) من \(S\)، توجد على الأقل \(k\) نقطة من \(S\) متساوية البعد عن \(P\).

أثبت أن: \[ k<\frac12+\sqrt{2n}. \]

← الحل

المسألة 4

ليكن \(ABCD\) رباعيًا محدبًا تحقق أضلاعه \(AB, AD, BC\) العلاقة \(AB = AD + BC\). توجد نقطة \(P\) داخل الرباعي تبعد مسافة \(h\) عن المستقيم \(CD\)، بحيث \(AP = h + AD\) و\(BP = h + BC\). أثبت أن: \[ \frac{1}{\sqrt{h}}\geq \frac{1}{\sqrt{AD}}+\frac{1}{\sqrt{BC}}. \]

← الحل

المسألة 5

أثبت أنه لكل عدد صحيح موجب \(n\) توجد \(n\) أعداد صحيحة موجبة متتالية لا يكون أي منها قوة ذات أس صحيح لعدد أولي.

← الحل

المسألة 6

نقول إن تبديلًا \((x_1,x_2,\ldots,x_m)\) للمجموعة \(\{1,2,\ldots,2n\}\)، حيث \(n\) عدد صحيح موجب، يتمتع بالخاصية \(P\) إذا كان \(|x_i-x_{i+1}|=n\) لقيمة واحدة على الأقل لـ\(i\) في \(\{1,2,\ldots,2n-1\}\). أثبت أنه، لكل \(n\)، عدد التبديلات التي تتمتع بالخاصية \(P\) أكبر من عدد التبديلات التي لا تتمتع بها.

← الحل