Problem 1

Chords \(AB\) and \(CD\) of a circle intersect at a point \(E\) inside the circle. Let \(M\) be an interior point of the segment \(EB\). The tangent line at \(E\) to the circle through \(D\), \(E\), and \(M\) intersects the lines \(BC\) and \(AC\) at \(F\) and \(G\), respectively. If \[ \frac{AM}{AB}=t, \] find \[ \frac{EG}{EF} \] in terms of \(t\).

Solution →

Problem 2

Let \(n \geq 3\) and consider a set \(E\) of \(2n - 1\) distinct points on a circle. Suppose that exactly \(k\) of these points are to be colored black. Such a coloring is “good” if there is at least one pair of black points such that the interior of one of the arcs between them contains exactly \(n\) points from \(E\). Find the smallest value of \(k\) so that every such coloring of \(k\) points of \(E\) is good.

Solution →

Problem 3

Determine all integers \(n>1\) such that \[ \frac{2^n+1}{n^2} \] is an integer.

Solution →

Problem 4

Let \(\mathbb{Q}^{+}\) be the set of positive rational numbers. Construct a function \(f:\mathbb{Q}^{+}\to\mathbb{Q}^{+}\) such that \[ f(xf(y))=\frac{f(x)}{y} \] for all \(x,y\) in \(\mathbb{Q}^{+}\).

Solution →

Problem 5

Given an initial integer \(n_0>1\), two players, \(\mathcal A\) and \(\mathcal B\), choose integers \(n_1,n_2,n_3,\ldots\) alternately according to the following rules:

Knowing \(n_{2k}\), \(\mathcal A\) chooses any integer \(n_{2k+1}\) such that \[ n_{2k}\le n_{2k+1}\le n_{2k}^{2}. \]

Knowing \(n_{2k+1}\), \(\mathcal B\) chooses any integer \(n_{2k+2}\) such that \[ \frac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}} \] is a prime raised to a positive integer power.

Player \(\mathcal A\) wins the game by choosing the number 1990; player \(\mathcal B\) wins by choosing the number 1. For which \(n_0\) does:

(a) \(\mathcal A\) have a winning strategy?

(b) \(\mathcal B\) have a winning strategy?

(c) Neither player have a winning strategy?

Solution →

Problem 6

Prove that there exists a convex 1990-gon with the following two properties:

(a) All angles are equal.

(b) The lengths of the 1990 sides are the numbers \(1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 1990^2\) in some order.

Solution →

Aufgabe 1

Die Sehnen \(AB\) und \(CD\) eines Kreises schneiden sich in einem Punkt \(E\) im Inneren des Kreises. Sei \(M\) ein innerer Punkt der Strecke \(EB\). Die Tangente im Punkt \(E\) an den Kreis durch \(D\), \(E\) und \(M\) schneidet die Geraden \(BC\) und \(AC\) in \(F\) beziehungsweise \(G\). Falls \[ \frac{AM}{AB}=t, \] bestimme \[ \frac{EG}{EF} \] in Abhängigkeit von \(t\).

Lösung →

Aufgabe 2

Sei \(n \geq 3\), und betrachte eine Menge \(E\) von \(2n - 1\) verschiedenen Punkten auf einem Kreis. Genau \(k\) dieser Punkte sollen schwarz gefärbt werden. Eine solche Färbung heißt „gut“, wenn es mindestens ein Paar schwarzer Punkte gibt, sodass das Innere eines der Kreisbögen zwischen ihnen genau \(n\) Punkte aus \(E\) enthält. Bestimme den kleinsten Wert von \(k\), für den jede solche Färbung von \(k\) Punkten aus \(E\) gut ist.

Lösung →

Aufgabe 3

Bestimme alle ganzen Zahlen \(n>1\), für die \[ \frac{2^n+1}{n^2} \] eine ganze Zahl ist.

Lösung →

Aufgabe 4

Sei \(\mathbb{Q}^{+}\) die Menge der positiven rationalen Zahlen. Konstruiere eine Funktion \(f:\mathbb{Q}^{+}\to\mathbb{Q}^{+}\), sodass \[ f(xf(y))=\frac{f(x)}{y} \] für alle \(x,y\) aus \(\mathbb{Q}^{+}\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 5

Ausgehend von einer gegebenen ganzen Zahl \(n_0>1\) wählen zwei Spieler, \(\mathcal A\) und \(\mathcal B\), abwechselnd ganze Zahlen \(n_1,n_2,n_3,\ldots\) nach den folgenden Regeln:

Ist \(n_{2k}\) bekannt, so wählt \(\mathcal A\) eine beliebige ganze Zahl \(n_{2k+1}\) mit \[ n_{2k}\le n_{2k+1}\le n_{2k}^{2}. \]

Ist \(n_{2k+1}\) bekannt, so wählt \(\mathcal B\) eine beliebige ganze Zahl \(n_{2k+2}\), sodass \[ \frac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}} \] eine Potenz einer Primzahl mit positivem ganzzahligem Exponenten ist.

Spieler \(\mathcal A\) gewinnt das Spiel, indem er die Zahl 1990 wählt; Spieler \(\mathcal B\) gewinnt, indem er die Zahl 1 wählt. Für welche \(n_0\) gilt:

(a) \(\mathcal A\) hat eine Gewinnstrategie?

(b) \(\mathcal B\) hat eine Gewinnstrategie?

(c) Keiner der beiden Spieler hat eine Gewinnstrategie?

Lösung →

Aufgabe 6

Beweise, dass es ein konvexes 1990-Eck mit den folgenden beiden Eigenschaften gibt:

(a) Alle Winkel sind gleich groß.

(b) Die Längen der 1990 Seiten sind die Zahlen \(1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 1990^2\) in irgendeiner Reihenfolge.

Lösung →

Soru 1

Bir çemberin \(AB\) ve \(CD\) kirişleri, çemberin içindeki bir \(E\) noktasında kesişiyor. \(M\), \(EB\) doğru parçasının bir iç noktası olsun. \(D\), \(E\) ve \(M\) noktalarından geçen çembere \(E\) noktasında çizilen teğet, \(BC\) ve \(AC\) doğrularını sırasıyla \(F\) ve \(G\) noktalarında kesiyor. Eğer \[ \frac{AM}{AB}=t \] ise \[ \frac{EG}{EF} \] oranını \(t\) cinsinden bulunuz.

Çözüm →

Soru 2

\(n \geq 3\) olsun ve bir çember üzerindeki \(2n - 1\) farklı noktadan oluşan bir \(E\) kümesi ele alalım. Bu noktalardan tam \(k\) tanesi siyaha boyanacaktır. Aralarındaki yaylardan birinin iç kısmında \(E\) kümesinden tam \(n\) nokta bulunan en az bir siyah nokta çifti varsa, böyle bir boyamaya “iyi” denir. \(E\) kümesinin \(k\) noktasının bu şekilde boyandığı her boyamanın iyi olmasını sağlayan en küçük \(k\) değerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 3

\[ \frac{2^n+1}{n^2} \] ifadesinin bir tam sayı olmasını sağlayan tüm \(n>1\) tam sayılarını bulunuz.

Çözüm →

Soru 4

\(\mathbb{Q}^{+}\) pozitif rasyonel sayılar kümesi olsun. \(\mathbb{Q}^{+}\) kümesindeki tüm \(x,y\) için \[ f(xf(y))=\frac{f(x)}{y} \] eşitliğini sağlayan bir \(f:\mathbb{Q}^{+}\to\mathbb{Q}^{+}\) fonksiyonu oluşturunuz.

Çözüm →

Soru 5

Başlangıçta bir \(n_0>1\) tam sayısı veriliyor. \(\mathcal A\) ve \(\mathcal B\) adlı iki oyuncu, aşağıdaki kurallara göre sırayla \(n_1,n_2,n_3,\ldots\) tam sayılarını seçiyor:

\(n_{2k}\) sayısını bilen \(\mathcal A\), \[ n_{2k}\le n_{2k+1}\le n_{2k}^{2} \] koşulunu sağlayan herhangi bir \(n_{2k+1}\) tam sayısı seçer.

\(n_{2k+1}\) sayısını bilen \(\mathcal B\), \[ \frac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}} \] oranı bir asal sayının pozitif tam sayı kuvveti olacak şekilde herhangi bir \(n_{2k+2}\) tam sayısı seçer.

\(\mathcal A\) oyuncusu 1990 sayısını seçerek, \(\mathcal B\) oyuncusu ise 1 sayısını seçerek oyunu kazanır. Hangi \(n_0\) değerleri için:

(a) \(\mathcal A\) oyuncusunun bir kazanma stratejisi vardır?

(b) \(\mathcal B\) oyuncusunun bir kazanma stratejisi vardır?

(c) Hiçbir oyuncunun bir kazanma stratejisi yoktur?

Çözüm →

Soru 6

Aşağıdaki iki özelliği sağlayan dışbükey bir 1990-genin var olduğunu kanıtlayınız:

(a) Tüm açıları eşittir.

(b) 1990 kenarının uzunlukları, bir sırada, \(1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 1990^2\) sayılarıdır.

Çözüm →

Problema 1

Las cuerdas \(AB\) y \(CD\) de una circunferencia se cortan en un punto \(E\) interior a la circunferencia. Sea \(M\) un punto interior del segmento \(EB\). La recta tangente en \(E\) a la circunferencia que pasa por \(D\), \(E\) y \(M\) corta a las rectas \(BC\) y \(AC\) en \(F\) y \(G\), respectivamente. Si \[ \frac{AM}{AB}=t, \] hallar \[ \frac{EG}{EF} \] en función de \(t\).

Solución →

Problema 2

Sea \(n \geq 3\) y consideremos un conjunto \(E\) de \(2n - 1\) puntos distintos de una circunferencia. Supongamos que se van a colorear de negro exactamente \(k\) de estos puntos. Tal coloración es «buena» si existe al menos un par de puntos negros tal que el interior de uno de los arcos entre ellos contiene exactamente \(n\) puntos de \(E\). Hallar el menor valor de \(k\) para el que toda coloración de este tipo de \(k\) puntos de \(E\) sea buena.

Solución →

Problema 3

Determinar todos los enteros \(n>1\) tales que \[ \frac{2^n+1}{n^2} \] sea un entero.

Solución →

Problema 4

Sea \(\mathbb{Q}^{+}\) el conjunto de los números racionales positivos. Construir una función \(f:\mathbb{Q}^{+}\to\mathbb{Q}^{+}\) tal que \[ f(xf(y))=\frac{f(x)}{y} \] para todos los \(x,y\) de \(\mathbb{Q}^{+}\).

Solución →

Problema 5

Dado un entero inicial \(n_0>1\), dos jugadores, \(\mathcal A\) y \(\mathcal B\), eligen enteros \(n_1,n_2,n_3,\ldots\) alternativamente según las siguientes reglas:

Conocido \(n_{2k}\), \(\mathcal A\) elige cualquier entero \(n_{2k+1}\) tal que \[ n_{2k}\le n_{2k+1}\le n_{2k}^{2}. \]

Conocido \(n_{2k+1}\), \(\mathcal B\) elige cualquier entero \(n_{2k+2}\) tal que \[ \frac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}} \] sea un primo elevado a una potencia entera positiva.

El jugador \(\mathcal A\) gana la partida al elegir el número 1990; el jugador \(\mathcal B\) gana al elegir el número 1. ¿Para qué valores de \(n_0\) se cumple que:

(a) \(\mathcal A\) tiene una estrategia ganadora?

(b) \(\mathcal B\) tiene una estrategia ganadora?

(c) Ninguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora?

Solución →

Problema 6

Demostrar que existe un polígono convexo de 1990 lados con las dos propiedades siguientes:

(a) Todos sus ángulos son iguales.

(b) Las longitudes de los 1990 lados son los números \(1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 1990^2\) en algún orden.

Solución →

问题 1

圆的两条弦 \(AB\) 与 \(CD\) 相交于圆内一点 \(E\)。设 \(M\) 为线段 \(EB\) 的内部一点。过 \(D\)、\(E\)、\(M\) 三点的圆在 \(E\) 点处的切线分别与直线 \(BC\)、\(AC\) 交于 \(F\)、\(G\)。若 \[ \frac{AM}{AB}=t, \] 求 \[ \frac{EG}{EF} \] 关于 \(t\) 的表达式。

解答 →

问题 2

设 \(n \geq 3\)，圆上 \(2n - 1\) 个不同的点组成集合 \(E\)。现将其中恰好 \(k\) 个点染成黑色。如果至少存在一对黑点，使得以它们为端点的两条弧中，有一条弧的内部恰好含有 \(E\) 中的 \(n\) 个点，就称这种染色为“好的”。求 \(k\) 的最小值，使得将 \(E\) 中 \(k\) 个点染成黑色的每一种染色都是好的。

解答 →

问题 3

求所有整数 \(n>1\)，使得 \[ \frac{2^n+1}{n^2} \] 为整数。

解答 →

问题 4

设 \(\mathbb{Q}^{+}\) 为正有理数集。构造一个函数 \(f:\mathbb{Q}^{+}\to\mathbb{Q}^{+}\)，使得 \[ f(xf(y))=\frac{f(x)}{y} \] 对所有 \(\mathbb{Q}^{+}\) 中的 \(x,y\) 都成立。

解答 →

问题 5

给定初始整数 \(n_0>1\)，两名选手 \(\mathcal A\) 和 \(\mathcal B\) 按照以下规则交替选择整数 \(n_1,n_2,n_3,\ldots\)：

已知 \(n_{2k}\)，\(\mathcal A\) 选择任意整数 \(n_{2k+1}\)，使得 \[ n_{2k}\le n_{2k+1}\le n_{2k}^{2}. \]

已知 \(n_{2k+1}\)，\(\mathcal B\) 选择任意整数 \(n_{2k+2}\)，使得 \[ \frac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}} \] 是某个素数的正整数次幂。

选手 \(\mathcal A\) 选出数 1990 时获胜；选手 \(\mathcal B\) 选出数 1 时获胜。对于哪些 \(n_0\)，有：

(a) \(\mathcal A\) 有必胜策略？

(b) \(\mathcal B\) 有必胜策略？

(c) 双方都没有必胜策略？

解答 →

问题 6

证明存在一个凸 1990 边形，具有以下两个性质：

(a) 所有内角相等。

(b) 1990 条边的长度按某种顺序排列，恰为 \(1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 1990^2\)。

解答 →

Задача 1

Хорды \(AB\) и \(CD\) окружности пересекаются в точке \(E\), лежащей внутри окружности. Пусть \(M\) — внутренняя точка отрезка \(EB\). Касательная в точке \(E\) к окружности, проходящей через \(D\), \(E\) и \(M\), пересекает прямые \(BC\) и \(AC\) в точках \(F\) и \(G\) соответственно. Если \[ \frac{AM}{AB}=t, \] найдите \[ \frac{EG}{EF} \] через \(t\).

Решение →

Задача 2

Пусть \(n \geq 3\), и рассмотрим множество \(E\), состоящее из \(2n - 1\) различных точек окружности. Предположим, что ровно \(k\) из этих точек нужно покрасить в чёрный цвет. Такая раскраска называется «хорошей», если существует хотя бы одна пара чёрных точек, для которой внутри одной из дуг между ними содержится ровно \(n\) точек множества \(E\). Найдите наименьшее значение \(k\), при котором любая такая раскраска \(k\) точек множества \(E\) является хорошей.

Решение →

Задача 3

Найдите все целые числа \(n>1\), для которых \[ \frac{2^n+1}{n^2} \] является целым числом.

Решение →

Задача 4

Пусть \(\mathbb{Q}^{+}\) — множество положительных рациональных чисел. Постройте функцию \(f:\mathbb{Q}^{+}\to\mathbb{Q}^{+}\), такую что \[ f(xf(y))=\frac{f(x)}{y} \] для всех \(x,y\) из \(\mathbb{Q}^{+}\).

Решение →

Задача 5

Дано начальное целое число \(n_0>1\). Два игрока, \(\mathcal A\) и \(\mathcal B\), поочерёдно выбирают целые числа \(n_1,n_2,n_3,\ldots\) по следующим правилам:

Зная \(n_{2k}\), игрок \(\mathcal A\) выбирает любое целое число \(n_{2k+1}\), такое что \[ n_{2k}\le n_{2k+1}\le n_{2k}^{2}. \]

Зная \(n_{2k+1}\), игрок \(\mathcal B\) выбирает любое целое число \(n_{2k+2}\), такое что \[ \frac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}} \] является натуральной степенью простого числа.

Игрок \(\mathcal A\) выигрывает, выбрав число 1990; игрок \(\mathcal B\) выигрывает, выбрав число 1. При каких \(n_0\):

(a) у \(\mathcal A\) есть выигрышная стратегия?

(b) у \(\mathcal B\) есть выигрышная стратегия?

(c) ни у одного из игроков нет выигрышной стратегии?

Решение →

Задача 6

Докажите, что существует выпуклый 1990-угольник со следующими двумя свойствами:

(a) Все углы равны.

(b) Длины его 1990 сторон равны числам \(1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 1990^2\) в некотором порядке.

Решение →

المسألة 1

يتقاطع الوتران \(AB\) و\(CD\) لدائرة في نقطة \(E\) داخل الدائرة. لتكن \(M\) نقطة داخلية من القطعة \(EB\). يقطع المماس عند \(E\) للدائرة المارة بالنقاط \(D\) و\(E\) و\(M\) المستقيمين \(BC\) و\(AC\) في \(F\) و\(G\)، على الترتيب. إذا كان \[ \frac{AM}{AB}=t, \] فأوجد \[ \frac{EG}{EF} \] بدلالة \(t\).

← الحل

المسألة 2

ليكن \(n \geq 3\)، ولنعتبر مجموعة \(E\) مؤلفة من \(2n - 1\) نقطة متميزة على دائرة. لنفترض أننا نريد تلوين \(k\) نقطة بالضبط من هذه النقاط بالأسود. نسمّي هذا التلوين «جيدًا» إذا وُجد زوج واحد على الأقل من النقاط السوداء بحيث يحتوي داخل أحد القوسين بينهما على \(n\) نقطة بالضبط من \(E\). أوجد أصغر قيمة لـ \(k\) بحيث يكون كل تلوين من هذا النوع لـ \(k\) نقطة من \(E\) جيدًا.

← الحل

المسألة 3

أوجد جميع الأعداد الصحيحة \(n>1\) التي يكون من أجلها \[ \frac{2^n+1}{n^2} \] عددًا صحيحًا.

← الحل

المسألة 4

لتكن \(\mathbb{Q}^{+}\) مجموعة الأعداد النسبية الموجبة. أنشئ دالة \(f:\mathbb{Q}^{+}\to\mathbb{Q}^{+}\) بحيث \[ f(xf(y))=\frac{f(x)}{y} \] لكل \(x,y\) في \(\mathbb{Q}^{+}\).

← الحل

المسألة 5

انطلاقًا من عدد صحيح معطى \(n_0>1\)، يختار لاعبان، \(\mathcal A\) و\(\mathcal B\)، أعدادًا صحيحة \(n_1,n_2,n_3,\ldots\) بالتناوب وفق القواعد الآتية:

بمعرفة \(n_{2k}\)، يختار \(\mathcal A\) أي عدد صحيح \(n_{2k+1}\) بحيث \[ n_{2k}\le n_{2k+1}\le n_{2k}^{2}. \]

بمعرفة \(n_{2k+1}\)، يختار \(\mathcal B\) أي عدد صحيح \(n_{2k+2}\) بحيث يكون \[ \frac{n_{2k+1}}{n_{2k+2}} \] قوة لعدد أولي ذات أس صحيح موجب.

يفوز اللاعب \(\mathcal A\) باللعبة باختيار العدد 1990؛ ويفوز اللاعب \(\mathcal B\) باختيار العدد 1. لأي قيم \(n_0\):

(a) يمتلك \(\mathcal A\) استراتيجية فوز؟

(b) يمتلك \(\mathcal B\) استراتيجية فوز؟

(c) لا يمتلك أي من اللاعبين استراتيجية فوز؟

← الحل

المسألة 6

أثبت أنه يوجد مضلع محدب ذو 1990 ضلعًا له الخاصيتان الآتيتان:

(a) جميع زواياه متساوية.

(b) أطوال أضلاعه الـ 1990 هي الأعداد \(1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 1990^2\) بترتيب ما.

← الحل