Problem 1

Given a triangle \(ABC\), let \(I\) be the center of its inscribed circle. The internal bisectors of the angles \(A,B,C\) meet the opposite sides in \(A',B',C'\) respectively. Prove that \[ \frac14<\frac{AI\cdot BI\cdot CI}{AA'\cdot BB'\cdot CC'}\leq\frac8{27}. \]

Solution →

Problem 2

Let \(n>6\) be an integer and \(a_1,a_2,\ldots,a_k\) be all the natural numbers less than \(n\) and relatively prime to \(n\). If \[ a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots=a_k-a_{k-1}>0, \] prove that \(n\) must be either a prime number or a power of \(2\).

Solution →

Problem 3

Let \(S = \{1, 2, 3, \ldots, 280\}\). Find the smallest integer \(n\) such that each \(n\)-element subset of \(S\) contains five numbers which are pairwise relatively prime.

Solution →

Problem 4

Suppose \(G\) is a connected graph with \(k\) edges. Prove that it is possible to label the edges \(1,2,\ldots,k\) in such a way that at each vertex which belongs to two or more edges, the greatest common divisor of the integers labeling those edges is equal to \(1\).

[A graph consists of a set of points, called vertices, together with a set of edges joining certain pairs of distinct vertices. Each pair of vertices \(u,v\) belongs to at most one edge. The graph \(G\) is connected if for each pair of distinct vertices \(x,y\) there is some sequence of vertices \(x=v_0,v_1,v_2,\ldots,v_m=y\) such that each pair \(v_i,v_{i+1}\) \((0\leq i<m)\) is joined by an edge of \(G\).]

Solution →

Problem 5

Let \(ABC\) be a triangle and \(P\) an interior point of \(ABC\). Show that at least one of the angles \(\angle PAB,\angle PBC,\angle PCA\) is less than or equal to \(30^\circ\).

Solution →

Problem 6

An infinite sequence \(x_0,x_1,x_2,\ldots\) of real numbers is said to be bounded if there is a constant \(C\) such that \(|x_i|\le C\) for every \(i\ge0\).

Given any real number \(a>1\), construct a bounded infinite sequence \(x_0,x_1,x_2,\ldots\) such that \[ |x_i-x_j||i-j|^a\ge1 \] for every pair of distinct nonnegative integers \(i,j\).

Solution →

Aufgabe 1

Gegeben sei ein Dreieck \(ABC\), und \(I\) sei der Mittelpunkt seines Inkreises. Die inneren Winkelhalbierenden der Winkel \(A,B,C\) schneiden die gegenüberliegenden Seiten in \(A',B',C'\). Man beweise, dass \[ \frac14<\frac{AI\cdot BI\cdot CI}{AA'\cdot BB'\cdot CC'}\leq\frac8{27}. \]

Lösung →

Aufgabe 2

Es sei \(n>6\) eine ganze Zahl, und \(a_1,a_2,\ldots,a_k\) seien sämtliche natürlichen Zahlen, die kleiner als \(n\) und teilerfremd zu \(n\) sind. Falls \[ a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots=a_k-a_{k-1}>0, \] beweise man, dass \(n\) entweder eine Primzahl oder eine Potenz von \(2\) sein muss.

Lösung →

Aufgabe 3

Es sei \(S = \{1, 2, 3, \ldots, 280\}\). Man bestimme die kleinste ganze Zahl \(n\), für die jede \(n\)-elementige Teilmenge von \(S\) fünf paarweise teilerfremde Zahlen enthält.

Lösung →

Aufgabe 4

Es sei \(G\) ein zusammenhängender Graph mit \(k\) Kanten. Man beweise, dass man die Kanten so mit \(1,2,\ldots,k\) beschriften kann, dass an jedem Knoten, der zu mindestens zwei Kanten gehört, der größte gemeinsame Teiler der Zahlen, mit denen diese Kanten beschriftet sind, gleich \(1\) ist.

[Ein Graph besteht aus einer Menge von Punkten, die Knoten genannt werden, zusammen mit einer Menge von Kanten, die bestimmte Paare verschiedener Knoten verbinden. Jedes Knotenpaar \(u,v\) gehört zu höchstens einer Kante. Der Graph \(G\) heißt zusammenhängend, wenn es für jedes Paar verschiedener Knoten \(x,y\) eine Knotenfolge \(x=v_0,v_1,v_2,\ldots,v_m=y\) gibt, sodass jedes Paar \(v_i,v_{i+1}\) \((0\leq i<m)\) durch eine Kante von \(G\) verbunden ist.]

Lösung →

Aufgabe 5

Es sei \(ABC\) ein Dreieck und \(P\) ein Punkt im Inneren von \(ABC\). Man zeige, dass mindestens einer der Winkel \(\angle PAB,\angle PBC,\angle PCA\) kleiner oder gleich \(30^\circ\) ist.

Lösung →

Aufgabe 6

Eine unendliche Folge \(x_0,x_1,x_2,\ldots\) reeller Zahlen heißt beschränkt, wenn es eine Konstante \(C\) gibt, sodass \(|x_i|\le C\) für jedes \(i\ge0\) gilt.

Zu einer beliebigen gegebenen reellen Zahl \(a>1\) konstruiere man eine beschränkte unendliche Folge \(x_0,x_1,x_2,\ldots\), sodass \[ |x_i-x_j||i-j|^a\ge1 \] für jedes Paar verschiedener nichtnegativer ganzer Zahlen \(i,j\) gilt.

Lösung →

Soru 1

Verilen bir \(ABC\) üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi \(I\) olsun. \(A,B,C\) açılarının iç açıortayları karşı kenarları sırasıyla \(A',B',C'\) noktalarında kesmektedir. Aşağıdaki eşitsizlikleri kanıtlayınız: \[ \frac14<\frac{AI\cdot BI\cdot CI}{AA'\cdot BB'\cdot CC'}\leq\frac8{27}. \]

Çözüm →

Soru 2

\(n>6\) bir tam sayı ve \(a_1,a_2,\ldots,a_k\), \(n\)'den küçük ve \(n\) ile aralarında asal olan doğal sayıların tümü olsun. Eğer \[ a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots=a_k-a_{k-1}>0 \] ise, \(n\)'nin bir asal sayı ya da \(2\)'nin bir kuvveti olması gerektiğini kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

\(S = \{1, 2, 3, \ldots, 280\}\) olsun. \(S\)'nin her \(n\) elemanlı alt kümesinin, herhangi ikisi aralarında asal olan beş sayı içermesini sağlayan en küçük \(n\) tam sayısını bulunuz.

Çözüm →

Soru 4

\(G\), \(k\) kenarlı bağlantılı bir çizge olsun. Kenarları \(1,2,\ldots,k\) ile, iki veya daha fazla kenarın birleştiği her köşede bu kenarlara verilen tam sayıların en büyük ortak böleni \(1\) olacak biçimde numaralandırmanın mümkün olduğunu kanıtlayınız.

[Bir çizge, köşe adı verilen bir noktalar kümesi ile farklı köşelerin bazı çiftlerini birleştiren kenarlardan oluşan bir kümeden meydana gelir. Her \(u,v\) köşe çifti en fazla bir kenara aittir. Her farklı \(x,y\) köşe çifti için, her \(v_i,v_{i+1}\) \((0\leq i<m)\) çifti \(G\)'nin bir kenarıyla birleştirilmiş olacak biçimde bir \(x=v_0,v_1,v_2,\ldots,v_m=y\) köşe dizisi varsa, \(G\) çizgesine bağlantılı denir.]

Çözüm →

Soru 5

\(ABC\) bir üçgen ve \(P\), \(ABC\)'nin bir iç noktası olsun. \(\angle PAB,\angle PBC,\angle PCA\) açılarından en az birinin \(30^\circ\)'den küçük veya eşit olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 6

Gerçek sayılardan oluşan sonsuz bir \(x_0,x_1,x_2,\ldots\) dizisi için, her \(i\ge0\) için \(|x_i|\le C\) olacak biçimde bir \(C\) sabiti varsa, bu diziye sınırlı denir.

Verilen herhangi bir \(a>1\) gerçek sayısı için, birbirinden farklı her negatif olmayan \(i,j\) tam sayı çifti için \[ |x_i-x_j||i-j|^a\ge1 \] olacak biçimde sınırlı bir sonsuz \(x_0,x_1,x_2,\ldots\) dizisi oluşturunuz.

Çözüm →

Problema 1

Dado un triángulo \(ABC\), sea \(I\) el centro de su circunferencia inscrita. Las bisectrices interiores de los ángulos \(A,B,C\) cortan los lados opuestos en \(A',B',C'\), respectivamente. Demostrar que \[ \frac14<\frac{AI\cdot BI\cdot CI}{AA'\cdot BB'\cdot CC'}\leq\frac8{27}. \]

Solución →

Problema 2

Sea \(n>6\) un entero y sean \(a_1,a_2,\ldots,a_k\) todos los números naturales menores que \(n\) y primos con \(n\). Si \[ a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots=a_k-a_{k-1}>0, \] demostrar que \(n\) debe ser un número primo o una potencia de \(2\).

Solución →

Problema 3

Sea \(S = \{1, 2, 3, \ldots, 280\}\). Hallar el menor entero \(n\) tal que todo subconjunto de \(S\) con \(n\) elementos contenga cinco números primos entre sí dos a dos.

Solución →

Problema 4

Sea \(G\) un grafo conexo con \(k\) aristas. Demostrar que es posible etiquetar las aristas con \(1,2,\ldots,k\) de tal manera que, en cada vértice que pertenezca a dos o más aristas, el máximo común divisor de los enteros que etiquetan esas aristas sea igual a \(1\).

[Un grafo consta de un conjunto de puntos, llamados vértices, junto con un conjunto de aristas que unen ciertos pares de vértices distintos. Cada par de vértices \(u,v\) pertenece a lo sumo a una arista. El grafo \(G\) es conexo si para cada par de vértices distintos \(x,y\) existe una sucesión de vértices \(x=v_0,v_1,v_2,\ldots,v_m=y\) tal que cada par \(v_i,v_{i+1}\) \((0\leq i<m)\) está unido por una arista de \(G\).]

Solución →

Problema 5

Sea \(ABC\) un triángulo y \(P\) un punto interior de \(ABC\). Demostrar que al menos uno de los ángulos \(\angle PAB,\angle PBC,\angle PCA\) es menor o igual que \(30^\circ\).

Solución →

Problema 6

Se dice que una sucesión infinita \(x_0,x_1,x_2,\ldots\) de números reales es acotada si existe una constante \(C\) tal que \(|x_i|\le C\) para todo \(i\ge0\).

Dado un número real cualquiera \(a>1\), construir una sucesión infinita acotada \(x_0,x_1,x_2,\ldots\) tal que \[ |x_i-x_j||i-j|^a\ge1 \] para todo par de enteros no negativos distintos \(i,j\).

Solución →

问题 1

给定三角形 \(ABC\)，设 \(I\) 为其内切圆的圆心。角 \(A,B,C\) 的内角平分线分别交对边于 \(A',B',C'\)。证明 \[ \frac14<\frac{AI\cdot BI\cdot CI}{AA'\cdot BB'\cdot CC'}\leq\frac8{27}. \]

解答 →

问题 2

设 \(n>6\) 为整数，\(a_1,a_2,\ldots,a_k\) 为所有小于 \(n\) 且与 \(n\) 互素的自然数。若 \[ a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots=a_k-a_{k-1}>0, \] 证明 \(n\) 必为素数或 \(2\) 的幂。

解答 →

问题 3

设 \(S = \{1, 2, 3, \ldots, 280\}\)。求最小的整数 \(n\)，使得 \(S\) 的每个含 \(n\) 个元素的子集都包含五个两两互素的数。

解答 →

问题 4

设 \(G\) 是一个有 \(k\) 条边的连通图。证明：可以用 \(1,2,\ldots,k\) 给这些边标号，使得对于每个与两条或更多条边关联的顶点，这些边的标号的最大公因数等于 \(1\)。

[一个图由一组称为顶点的点，以及一组连接某些不同顶点对的边组成。每对顶点 \(u,v\) 至多由一条边连接。若对于每对不同的顶点 \(x,y\)，都存在一个顶点序列 \(x=v_0,v_1,v_2,\ldots,v_m=y\)，使得每对 \(v_i,v_{i+1}\) \((0\leq i<m)\) 都由 \(G\) 的一条边连接，则称图 \(G\) 是连通的。]

解答 →

问题 5

设 \(ABC\) 为三角形，\(P\) 为 \(ABC\) 的一个内点。证明：\(\angle PAB,\angle PBC,\angle PCA\) 中至少有一个角小于或等于 \(30^\circ\)。

解答 →

问题 6

实数无穷数列 \(x_0,x_1,x_2,\ldots\) 称为有界的，是指存在常数 \(C\)，使得 \(|x_i|\le C\) 对每个 \(i\ge0\) 都成立。

给定任意实数 \(a>1\)，构造一个有界无穷数列 \(x_0,x_1,x_2,\ldots\)，使得 \[ |x_i-x_j||i-j|^a\ge1 \] 对每对不同的非负整数 \(i,j\) 都成立。

解答 →

Задача 1

Дан треугольник \(ABC\). Пусть \(I\) — центр его вписанной окружности. Биссектрисы внутренних углов \(A,B,C\) пересекают противоположные стороны в точках \(A',B',C'\) соответственно. Докажите, что \[ \frac14<\frac{AI\cdot BI\cdot CI}{AA'\cdot BB'\cdot CC'}\leq\frac8{27}. \]

Решение →

Задача 2

Пусть \(n>6\) — целое число, а \(a_1,a_2,\ldots,a_k\) — все натуральные числа, меньшие \(n\) и взаимно простые с \(n\). Если \[ a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots=a_k-a_{k-1}>0, \] докажите, что \(n\) является либо простым числом, либо степенью \(2\).

Решение →

Задача 3

Пусть \(S = \{1, 2, 3, \ldots, 280\}\). Найдите наименьшее целое число \(n\), для которого каждое \(n\)-элементное подмножество \(S\) содержит пять попарно взаимно простых чисел.

Решение →

Задача 4

Пусть \(G\) — связный граф с \(k\) рёбрами. Докажите, что его рёбра можно пронумеровать числами \(1,2,\ldots,k\) так, чтобы в каждой вершине, принадлежащей двум или более рёбрам, наибольший общий делитель номеров этих рёбер был равен \(1\).

[Граф состоит из множества точек, называемых вершинами, и множества рёбер, соединяющих некоторые пары различных вершин. Каждая пара вершин \(u,v\) принадлежит не более чем одному ребру. Граф \(G\) называется связным, если для каждой пары различных вершин \(x,y\) существует последовательность вершин \(x=v_0,v_1,v_2,\ldots,v_m=y\), в которой каждая пара \(v_i,v_{i+1}\) \((0\leq i<m)\) соединена ребром графа \(G\).]

Решение →

Задача 5

Пусть \(ABC\) — треугольник, а \(P\) — точка внутри него. Докажите, что хотя бы один из углов \(\angle PAB,\angle PBC,\angle PCA\) не превосходит \(30^\circ\).

Решение →

Задача 6

Бесконечная последовательность действительных чисел \(x_0,x_1,x_2,\ldots\) называется ограниченной, если существует постоянная \(C\), такая что \(|x_i|\le C\) для каждого \(i\ge0\).

Для любого заданного действительного числа \(a>1\) постройте ограниченную бесконечную последовательность \(x_0,x_1,x_2,\ldots\), такую что \[ |x_i-x_j||i-j|^a\ge1 \] для каждой пары различных неотрицательных целых чисел \(i,j\).

Решение →

المسألة 1

ليكن \(ABC\) مثلثًا، وليكن \(I\) مركز دائرته الداخلية. تتقاطع منصفات الزوايا الداخلية \(A,B,C\) مع الأضلاع المقابلة لها في \(A',B',C'\) على الترتيب. أثبت أن \[ \frac14<\frac{AI\cdot BI\cdot CI}{AA'\cdot BB'\cdot CC'}\leq\frac8{27}. \]

← الحل

المسألة 2

ليكن \(n>6\) عددًا صحيحًا، ولتكن \(a_1,a_2,\ldots,a_k\) جميع الأعداد الطبيعية الأصغر من \(n\) والأولية نسبيًا معه. إذا كان \[ a_2-a_1=a_3-a_2=\cdots=a_k-a_{k-1}>0, \] فأثبت أن \(n\) لا بد أن يكون عددًا أوليًا أو قوة للعدد \(2\).

← الحل

المسألة 3

لتكن \(S = \{1, 2, 3, \ldots, 280\}\). أوجد أصغر عدد صحيح \(n\) بحيث تحتوي كل مجموعة جزئية من \(S\) ذات \(n\) عنصرًا على خمسة أعداد أولية نسبيًا مثنى مثنى.

← الحل

المسألة 4

افترض أن \(G\) رسم بياني متصل له \(k\) ضلعًا. أثبت أنه يمكن ترقيم الأضلاع بالأعداد \(1,2,\ldots,k\) بحيث يكون، عند كل رأس ينتمي إلى ضلعين أو أكثر، القاسم المشترك الأكبر للأعداد التي ترقم تلك الأضلاع مساويًا لـ\(1\).

[يتكون الرسم البياني من مجموعة من النقاط، تسمى رؤوسًا، مع مجموعة من الأضلاع تصل بين بعض أزواج الرؤوس المختلفة. وينتمي كل زوج من الرؤوس \(u,v\) إلى ضلع واحد على الأكثر. ويكون الرسم البياني \(G\) متصلًا إذا وجدت، لكل زوج من الرؤوس المختلفة \(x,y\)، متتالية من الرؤوس \(x=v_0,v_1,v_2,\ldots,v_m=y\) بحيث يصل بين كل زوج \(v_i,v_{i+1}\) \((0\leq i<m)\) ضلع من \(G\).]

← الحل

المسألة 5

ليكن \(ABC\) مثلثًا، ولتكن \(P\) نقطة داخلية فيه. أثبت أن واحدة على الأقل من الزوايا \(\angle PAB,\angle PBC,\angle PCA\) أصغر من أو تساوي \(30^\circ\).

← الحل

المسألة 6

نقول إن متتالية لا نهائية \(x_0,x_1,x_2,\ldots\) من الأعداد الحقيقية محدودة إذا وجد ثابت \(C\) بحيث يكون \(|x_i|\le C\) لكل \(i\ge0\).

لكل عدد حقيقي معطى \(a>1\)، أنشئ متتالية لا نهائية محدودة \(x_0,x_1,x_2,\ldots\) بحيث \[ |x_i-x_j||i-j|^a\ge1 \] لكل زوج من الأعداد الصحيحة غير السالبة المختلفة \(i,j\).

← الحل