Problem 1

Find all integers \(a,b,c\) with \(1<a<b<c\) such that \[ (a-1)(b-1)(c-1)\quad\text{is a divisor of }abc-1. \]

Solution →

Problem 2

Let \(\mathbf{R}\) denote the set of all real numbers. Find all functions \(f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}\) such that \[ f\left(x^2+f(y)\right)=y+(f(x))^2 \qquad\text{for all }x,y\in R. \]

Solution →

Problem 3

Consider nine points in space, no four of which are coplanar. Each pair of points is joined by an edge (that is, a line segment) and each edge is either colored blue or red or left uncolored. Find the smallest value of \(n\) such that whenever exactly \(n\) edges are colored, the set of colored edges necessarily contains a triangle all of whose edges have the same color.

Solution →

Problem 4

In the plane let \(C\) be a circle, \(L\) a line tangent to the circle \(C\), and \(M\) a point on \(L\). Find the locus of all points \(P\) with the following property: there exists two points \(Q, R\) on \(L\) such that \(M\) is the midpoint of \(QR\) and \(C\) is the inscribed circle of triangle \(PQR\).

Solution →

Problem 5

Let \(S\) be a finite set of points in three-dimensional space. Let \(S_x, S_y, S_z\) be the sets consisting of the orthogonal projections of the points of \(S\) onto the \(yz\)-plane, \(zx\)-plane, \(xy\)-plane, respectively. Prove that \[ |S|^2 \leq |S_x| \cdot |S_y| \cdot |S_z|, \] where \(|A|\) denotes the number of elements in the finite set \(|A|\). (Note: The orthogonal projection of a point onto a plane is the foot of the perpendicular from that point to the plane.)

Solution →

Problem 6

For each positive integer \(n\), \(S(n)\) is defined to be the greatest integer such that, for every positive integer \(k \le S(n)\), \(n^2\) can be written as the sum of \(k\) positive squares.

(a) Prove that \(S(n) \le n^2 - 14\) for each \(n \ge 4\).

(b) Find an integer \(n\) such that \(S(n) = n^2 - 14\).

(c) Prove that there are infinitely many integers \(n\) such that \(S(n) = n^2 - 14\).

Solution →

Aufgabe 1

Bestimme alle ganzen Zahlen \(a,b,c\) mit \(1<a<b<c\), für die gilt: \[ (a-1)(b-1)(c-1)\quad\text{ist ein Teiler von }abc-1. \]

Lösung →

Aufgabe 2

Es bezeichne \(\mathbf{R}\) die Menge aller reellen Zahlen. Bestimme alle Funktionen \(f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}\), für die gilt: \[ f\left(x^2+f(y)\right)=y+(f(x))^2 \qquad\text{für alle }x,y\in R. \]

Lösung →

Aufgabe 3

Gegeben seien neun Punkte im Raum, von denen keine vier in einer Ebene liegen. Je zwei Punkte werden durch eine Kante (also eine Strecke) verbunden, und jede Kante wird entweder blau oder rot gefärbt oder bleibt ungefärbt. Bestimme den kleinsten Wert von \(n\), für den gilt: Sind genau \(n\) Kanten gefärbt, so enthält die Menge der gefärbten Kanten notwendigerweise ein Dreieck, dessen Kanten alle dieselbe Farbe haben.

Lösung →

Aufgabe 4

In der Ebene seien \(C\) ein Kreis, \(L\) eine Tangente an den Kreis \(C\) und \(M\) ein Punkt auf \(L\). Bestimme den geometrischen Ort aller Punkte \(P\) mit folgender Eigenschaft: Es gibt zwei Punkte \(Q, R\) auf \(L\), sodass \(M\) der Mittelpunkt von \(QR\) und \(C\) der Inkreis des Dreiecks \(PQR\) ist.

Lösung →

Aufgabe 5

Sei \(S\) eine endliche Punktmenge im dreidimensionalen Raum. Seien \(S_x, S_y, S_z\) die Mengen der orthogonalen Projektionen der Punkte von \(S\) auf die \(yz\)-Ebene, die \(zx\)-Ebene bzw. die \(xy\)-Ebene. Beweise, dass \[ |S|^2 \leq |S_x| \cdot |S_y| \cdot |S_z|, \] wobei \(|A|\) die Anzahl der Elemente in der endlichen Menge \(|A|\) bezeichnet. (Hinweis: Die orthogonale Projektion eines Punktes auf eine Ebene ist der Fußpunkt des Lotes von diesem Punkt auf die Ebene.)

Lösung →

Aufgabe 6

Für jede positive ganze Zahl \(n\) sei \(S(n)\) die größte ganze Zahl mit der Eigenschaft, dass sich \(n^2\) für jede positive ganze Zahl \(k \le S(n)\) als Summe von \(k\) positiven Quadratzahlen schreiben lässt.

(a) Beweise, dass \(S(n) \le n^2 - 14\) für jedes \(n \ge 4\) gilt.

(b) Finde eine ganze Zahl \(n\), für die \(S(n) = n^2 - 14\) gilt.

(c) Beweise, dass es unendlich viele ganze Zahlen \(n\) gibt, für die \(S(n) = n^2 - 14\) gilt.

Lösung →

Soru 1

\(1<a<b<c\) ve \[ (a-1)(b-1)(c-1)\quad\text{şu sayının bir bölenidir: }abc-1 \] koşullarını sağlayan tüm \(a,b,c\) tam sayılarını bulunuz.

Çözüm →

Soru 2

\(\mathbf{R}\) tüm gerçel sayılar kümesini göstersin. \[ f\left(x^2+f(y)\right)=y+(f(x))^2 \qquad\text{tüm gerçel sayı çiftleri için }x,y\in R \] koşulunu sağlayan tüm \(f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}\) fonksiyonlarını bulunuz.

Çözüm →

Soru 3

Uzayda herhangi dördü aynı düzlemde bulunmayan dokuz nokta veriliyor. Her nokta çifti bir kenarla (yani bir doğru parçasıyla) birleştiriliyor ve her kenar ya maviye ya kırmızıya boyanıyor ya da boyanmadan bırakılıyor. Tam olarak \(n\) kenar boyandığında, boyalı kenarlar kümesinin mutlaka tüm kenarları aynı renkte olan bir üçgen içermesini sağlayan en küçük \(n\) değerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 4

Düzlemde bir \(C\) çemberi, \(C\) çemberine teğet bir \(L\) doğrusu ve \(L\) üzerinde bir \(M\) noktası veriliyor. Şu özelliği taşıyan tüm \(P\) noktalarının geometrik yerini bulunuz: \(L\) üzerinde, \(M\) noktası \(QR\)'nin orta noktası ve \(C\) çemberi \(PQR\) üçgeninin içteğet çemberi olacak şekilde iki \(Q, R\) noktası vardır.

Çözüm →

Soru 5

\(S\), üç boyutlu uzayda sonlu bir nokta kümesi olsun. \(S_x, S_y, S_z\), \(S\)'nin noktalarının sırasıyla \(yz\)-düzlemi, \(zx\)-düzlemi ve \(xy\)-düzlemi üzerindeki dik izdüşümlerinden oluşan kümeler olsun. \[ |S|^2 \leq |S_x| \cdot |S_y| \cdot |S_z|, \] eşitsizliğini kanıtlayınız; burada \(|A|\), sonlu \(|A|\) kümesinin eleman sayısını gösterir. (Not: Bir noktanın bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü, o noktadan düzleme indirilen dikmenin ayağıdır.)

Çözüm →

Soru 6

Her pozitif \(n\) tam sayısı için \(S(n)\), her pozitif \(k \le S(n)\) tam sayısı için \(n^2\) sayısının \(k\) pozitif tam kare toplamı olarak yazılabilmesini sağlayan en büyük tam sayı olarak tanımlanıyor.

(a) Her \(n \ge 4\) için \(S(n) \le n^2 - 14\) olduğunu kanıtlayınız.

(b) \(S(n) = n^2 - 14\) olacak şekilde bir \(n\) tam sayısı bulunuz.

(c) \(S(n) = n^2 - 14\) olacak şekilde sonsuz çoklukta \(n\) tam sayısı bulunduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Problema 1

Hallar todos los enteros \(a,b,c\) con \(1<a<b<c\) tales que \[ (a-1)(b-1)(c-1)\quad\text{es divisor de }abc-1. \]

Solución →

Problema 2

Sea \(\mathbf{R}\) el conjunto de todos los números reales. Hallar todas las funciones \(f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}\) tales que \[ f\left(x^2+f(y)\right)=y+(f(x))^2 \qquad\text{para todo }x,y\in R. \]

Solución →

Problema 3

Consideremos nueve puntos en el espacio, de los cuales no hay cuatro coplanarios. Cada par de puntos se une mediante una arista (es decir, un segmento de recta), y cada arista se colorea de azul o de rojo, o se deja sin colorear. Hallar el menor valor de \(n\) tal que, siempre que se coloreen exactamente \(n\) aristas, el conjunto de aristas coloreadas contenga necesariamente un triángulo cuyas aristas sean todas del mismo color.

Solución →

Problema 4

En el plano, sean \(C\) una circunferencia, \(L\) una recta tangente a la circunferencia \(C\) y \(M\) un punto de \(L\). Hallar el lugar geométrico de todos los puntos \(P\) con la siguiente propiedad: existen dos puntos \(Q, R\) en \(L\) tales que \(M\) es el punto medio de \(QR\) y \(C\) es la circunferencia inscrita del triángulo \(PQR\).

Solución →

Problema 5

Sea \(S\) un conjunto finito de puntos del espacio tridimensional. Sean \(S_x, S_y, S_z\) los conjuntos formados por las proyecciones ortogonales de los puntos de \(S\) sobre los planos \(yz\), \(zx\), \(xy\), respectivamente. Demostrar que \[ |S|^2 \leq |S_x| \cdot |S_y| \cdot |S_z|, \] donde \(|A|\) denota el número de elementos del conjunto finito \(|A|\). (Nota: La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular trazada desde ese punto al plano.)

Solución →

Problema 6

Para cada entero positivo \(n\), se define \(S(n)\) como el mayor entero tal que, para todo entero positivo \(k \le S(n)\), \(n^2\) se puede escribir como suma de \(k\) cuadrados positivos.

(a) Demostrar que \(S(n) \le n^2 - 14\) para todo \(n \ge 4\).

(b) Hallar un entero \(n\) tal que \(S(n) = n^2 - 14\).

(c) Demostrar que existen infinitos enteros \(n\) tales que \(S(n) = n^2 - 14\).

Solución →

问题 1

求所有满足 \(1<a<b<c\) 的整数 \(a,b,c\)，使得 \[ (a-1)(b-1)(c-1)\quad\text{整除 }abc-1. \]

解答 →

问题 2

用 \(\mathbf{R}\) 表示所有实数组成的集合。求所有函数 \(f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}\)，使得 \[ f\left(x^2+f(y)\right)=y+(f(x))^2 \qquad\text{对所有 }x,y\in R. \]

解答 →

问题 3

空间中有九个点，其中任意四点不共面。将每对点用一条边（即线段）连接，并将每条边染成蓝色、染成红色或不染色。求 \(n\) 的最小值，使得只要恰有 \(n\) 条边被染色，染色边中就必然包含一个三条边颜色相同的三角形。

解答 →

问题 4

在平面内，设 \(C\) 为一个圆，\(L\) 为圆 \(C\) 的一条切线，\(M\) 为 \(L\) 上的一点。求所有具有下述性质的点 \(P\) 的轨迹：在 \(L\) 上存在两点 \(Q, R\)，使得 \(M\) 是 \(QR\) 的中点，且 \(C\) 是三角形 \(PQR\) 的内切圆。

解答 →

问题 5

设 \(S\) 是三维空间中的一个有限点集。设 \(S_x, S_y, S_z\) 分别为 \(S\) 中各点在 \(yz\) 平面、\(zx\) 平面、\(xy\) 平面上的正投影所组成的集合。证明 \[ |S|^2 \leq |S_x| \cdot |S_y| \cdot |S_z|, \] 其中 \(|A|\) 表示有限集 \(|A|\) 中元素的个数。（注：一个点在平面上的正投影，是从该点向该平面所作垂线的垂足。）

解答 →

问题 6

对于每个正整数 \(n\)，定义 \(S(n)\) 为满足下述条件的最大整数：对于每个正整数 \(k \le S(n)\)，\(n^2\) 都能表示为 \(k\) 个正平方数之和。

(a) 证明：对于每个 \(n \ge 4\)，都有 \(S(n) \le n^2 - 14\)。

(b) 求一个整数 \(n\)，使得 \(S(n) = n^2 - 14\)。

(c) 证明：存在无穷多个整数 \(n\)，使得 \(S(n) = n^2 - 14\)。

解答 →

Задача 1

Найдите все целые числа \(a,b,c\), для которых \(1<a<b<c\) и \[ (a-1)(b-1)(c-1)\quad\text{является делителем }abc-1. \]

Решение →

Задача 2

Пусть \(\mathbf{R}\) обозначает множество всех действительных чисел. Найдите все функции \(f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}\), для которых \[ f\left(x^2+f(y)\right)=y+(f(x))^2 \qquad\text{для всех }x,y\in R. \]

Решение →

Задача 3

Даны девять точек в пространстве, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Каждая пара точек соединена ребром (то есть отрезком), и каждое ребро либо окрашено в синий или красный цвет, либо не окрашено. Найдите наименьшее значение \(n\), при котором, если окрашено ровно \(n\) рёбер, среди окрашенных рёбер обязательно найдётся треугольник, все рёбра которого имеют один и тот же цвет.

Решение →

Задача 4

На плоскости даны окружность \(C\), прямая \(L\), касающаяся окружности \(C\), и точка \(M\) на \(L\). Найдите геометрическое место всех точек \(P\), обладающих следующим свойством: существуют две точки \(Q, R\) на \(L\), для которых \(M\) является серединой \(QR\), а \(C\) — вписанной окружностью треугольника \(PQR\).

Решение →

Задача 5

Пусть \(S\) — конечное множество точек в трёхмерном пространстве. Пусть \(S_x, S_y, S_z\) — множества, состоящие из ортогональных проекций точек множества \(S\) на плоскости \(yz\), \(zx\), \(xy\) соответственно. Докажите, что \[ |S|^2 \leq |S_x| \cdot |S_y| \cdot |S_z|, \] где \(|A|\) обозначает число элементов конечного множества \(|A|\). (Примечание: ортогональная проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.)

Решение →

Задача 6

Для каждого положительного целого числа \(n\) величина \(S(n)\) определяется как наибольшее целое число, для которого при каждом положительном целом \(k \le S(n)\) число \(n^2\) можно представить в виде суммы \(k\) квадратов положительных целых чисел.

(a) Докажите, что \(S(n) \le n^2 - 14\) для каждого \(n \ge 4\).

(b) Найдите целое число \(n\), для которого \(S(n) = n^2 - 14\).

(c) Докажите, что существует бесконечно много целых чисел \(n\), для которых \(S(n) = n^2 - 14\).

Решение →

المسألة 1

أوجد جميع الأعداد الصحيحة \(a,b,c\) التي تحقق \(1<a<b<c\) بحيث \[ (a-1)(b-1)(c-1)\quad\text{قاسم للعدد }abc-1. \]

← الحل

المسألة 2

لتكن \(\mathbf{R}\) مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. أوجد جميع الدوال \(f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}\) التي تحقق \[ f\left(x^2+f(y)\right)=y+(f(x))^2 \qquad\text{لكل }x,y\in R. \]

← الحل

المسألة 3

لتكن لدينا تسع نقاط في الفضاء، لا تقع أي أربع منها في مستوى واحد. نصل كل زوج من النقاط بحافة (أي قطعة مستقيمة)، ونلوّن كل حافة بالأزرق أو بالأحمر أو نتركها دون تلوين. أوجد أصغر قيمة لـ\(n\) بحيث، كلما لوّنا \(n\) حافة بالضبط، احتوت مجموعة الحواف الملوّنة بالضرورة على مثلث جميع حوافه من اللون نفسه.

← الحل

المسألة 4

في المستوى، لتكن \(C\) دائرة، و\(L\) مستقيمًا مماسًا للدائرة \(C\)، و\(M\) نقطة على \(L\). أوجد المحل الهندسي لجميع النقاط \(P\) التي تتمتع بالخاصية الآتية: توجد نقطتان \(Q, R\) على \(L\) بحيث تكون \(M\) منتصف \(QR\)، وتكون \(C\) الدائرة الداخلية للمثلث \(PQR\).

← الحل

المسألة 5

لتكن \(S\) مجموعة منتهية من النقاط في الفضاء الثلاثي الأبعاد. ولتكن \(S_x, S_y, S_z\) المجموعات المؤلفة من المساقط العمودية لنقاط \(S\) على المستويات \(yz\)، و\(zx\)، و\(xy\)، على الترتيب. أثبت أن \[ |S|^2 \leq |S_x| \cdot |S_y| \cdot |S_z|, \] حيث يرمز \(|A|\) إلى عدد عناصر المجموعة المنتهية \(|A|\). (ملاحظة: المسقط العمودي لنقطة على مستوى هو قدم العمود النازل من تلك النقطة على المستوى.)

← الحل

المسألة 6

لكل عدد صحيح موجب \(n\)، يُعرَّف \(S(n)\) بأنه أكبر عدد صحيح بحيث يمكن، لكل عدد صحيح موجب \(k \le S(n)\)، كتابة \(n^2\) على صورة مجموع \(k\) مربعات موجبة.

(a) أثبت أن \(S(n) \le n^2 - 14\) لكل \(n \ge 4\).

(b) أوجد عددًا صحيحًا \(n\) بحيث \(S(n) = n^2 - 14\).

(c) أثبت وجود عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة \(n\) التي تحقق \(S(n) = n^2 - 14\).

← الحل