Problem 1

Let \(f(x) = x^n + 5x^{n-1} + 3\), where \(n > 1\) is an integer. Prove that \(f(x)\) cannot be expressed as the product of two nonconstant polynomials with integer coefficients.

Solution →

Problem 2

Let \(D\) be a point inside acute triangle \(ABC\) such that \(\angle ADB = \angle ACB + \pi/2\) and \(AC \cdot BD = AD \cdot BC\).

(a) Calculate the ratio \((AB \cdot CD)/(AC \cdot BD)\).

(b) Prove that the tangents at \(C\) to the circumcircles of \(\triangle ACD\) and \(\triangle BCD\) are perpendicular.

Solution →

Problem 3

On an infinite chessboard, a game is played as follows. At the start, \(n^2\) pieces are arranged on the chessboard in an \(n\) by \(n\) block of adjoining squares, one piece in each square. A move in the game is a jump in a horizontal or vertical direction over an adjacent occupied square to an unoccupied square immediately beyond. The piece which has been jumped over is removed.

Find those values of \(n\) for which the game can end with only one piece remaining on the board.

Solution →

Problem 4

For three points \(P,Q,R\) in the plane, we define \(m(PQR)\) as the minimum length of the three altitudes of \(\triangle PQR\). (If the points are collinear, we set \(m(PQR)=0\).)

Prove that for points \(A,B,C,X\) in the plane, \[ m(ABC)\leq m(ABX)+m(AXC)+m(XBC). \]

Solution →

Problem 5

Does there exist a function \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) such that \(f(1) = 2\), \(f(f(n)) = f(n) + n\) for all \(n \in \mathbb{N}\), and \(f(n) < f(n + 1)\) for all \(n \in \mathbb{N}\)?

Solution →

Problem 6

There are \(n\) lamps \(L_0,\ldots,L_{n-1}\) in a circle \((n>1)\), where we denote \(L_{n+k}=L_k\). (A lamp at all times is either on or off.) Perform steps \(s_0,s_1,\ldots\) as follows: at step \(s_i\), if \(L_{i-1}\) is lit, switch \(L_i\) from on to off or vice versa, otherwise do nothing. Initially all lamps are on. Show that:

(a) There is a positive integer \(M(n)\) such that after \(M(n)\) steps all the lamps are on again;

(b) If \(n=2^k\), we can take \(M(n)=n^2-1\);

(c) If \(n=2^k+1\), we can take \(M(n)=n^2-n+1\).

Solution →

Aufgabe 1

Sei \(f(x) = x^n + 5x^{n-1} + 3\), wobei \(n > 1\) eine ganze Zahl ist. Beweise, dass sich \(f(x)\) nicht als Produkt zweier nichtkonstanter Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen lässt.

Lösung →

Aufgabe 2

Sei \(D\) ein Punkt im Inneren des spitzwinkligen Dreiecks \(ABC\), für den \(\angle ADB = \angle ACB + \pi/2\) und \(AC \cdot BD = AD \cdot BC\) gelten.

(a) Berechne das Verhältnis \((AB \cdot CD)/(AC \cdot BD)\).

(b) Beweise, dass die Tangenten in \(C\) an die Umkreise von \(\triangle ACD\) und \(\triangle BCD\) senkrecht aufeinander stehen.

Lösung →

Aufgabe 3

Auf einem unendlichen Schachbrett wird folgendes Spiel gespielt. Zu Beginn sind \(n^2\) Spielsteine auf dem Schachbrett in einem \(n\) mal \(n\) großen Block aus zusammenhängenden Feldern angeordnet, mit einem Spielstein auf jedem Feld. Ein Spielzug besteht darin, in waagerechter oder senkrechter Richtung über ein benachbartes besetztes Feld auf das unmittelbar dahinterliegende unbesetzte Feld zu springen. Der übersprungene Spielstein wird entfernt.

Bestimme alle Werte von \(n\), für die das Spiel so enden kann, dass nur noch ein Spielstein auf dem Brett verbleibt.

Lösung →

Aufgabe 4

Für drei Punkte \(P,Q,R\) in der Ebene definieren wir \(m(PQR)\) als die kleinste Länge der drei Höhen von \(\triangle PQR\). (Sind die Punkte kollinear, so setzen wir \(m(PQR)=0\).)

Beweise, dass für Punkte \(A,B,C,X\) in der Ebene \[ m(ABC)\leq m(ABX)+m(AXC)+m(XBC) \] gilt.

Lösung →

Aufgabe 5

Gibt es eine Funktion \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\), sodass \(f(1) = 2\), \(f(f(n)) = f(n) + n\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) und \(f(n) < f(n + 1)\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) gelten?

Lösung →

Aufgabe 6

Es sind \(n\) Lampen \(L_0,\ldots,L_{n-1}\) im Kreis angeordnet \((n>1)\), wobei wir \(L_{n+k}=L_k\) setzen. (Jede Lampe ist zu jedem Zeitpunkt entweder an oder aus.) Führe die Schritte \(s_0,s_1,\ldots\) wie folgt aus: Wenn beim Schritt \(s_i\) die Lampe \(L_{i-1}\) leuchtet, schalte \(L_i\) von an auf aus oder umgekehrt; andernfalls tue nichts. Anfangs sind alle Lampen an. Zeige:

(a) Es gibt eine positive ganze Zahl \(M(n)\), sodass nach \(M(n)\) Schritten wieder alle Lampen an sind;

(b) Ist \(n=2^k\), so können wir \(M(n)=n^2-1\) wählen;

(c) Ist \(n=2^k+1\), so können wir \(M(n)=n^2-n+1\) wählen.

Lösung →

Soru 1

\(n > 1\) bir tam sayı olmak üzere, \(f(x) = x^n + 5x^{n-1} + 3\) olsun. \(f(x)\)'in tam sayı katsayılı, sabit olmayan iki polinomun çarpımı olarak ifade edilemeyeceğini kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 2

\(D\), dar açılı \(ABC\) üçgeninin içinde bulunan, \(\angle ADB = \angle ACB + \pi/2\) ve \(AC \cdot BD = AD \cdot BC\) koşullarını sağlayan bir nokta olsun.

(a) \((AB \cdot CD)/(AC \cdot BD)\) oranını hesaplayınız.

(b) \(\triangle ACD\) ve \(\triangle BCD\)'nin çevrel çemberlerine \(C\) noktasında çizilen teğetlerin birbirine dik olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

Sonsuz bir satranç tahtasında aşağıdaki gibi bir oyun oynanıyor. Başlangıçta, \(n^2\) taş satranç tahtasında, bitişik karelerden oluşan \(n\) çarpı \(n\)'lik bir blok içine, her karede bir taş olacak şekilde yerleştiriliyor. Oyundaki bir hamle, bir taşın yatay veya düşey yönde, bitişiğindeki dolu bir karenin üzerinden atlayarak onun hemen ötesindeki boş kareye geçmesidir. Üzerinden atlanan taş tahtadan kaldırılır.

Oyunun tahtada yalnızca bir taş kalarak sona erebileceği \(n\) değerlerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 4

Düzlemdeki üç \(P,Q,R\) noktası için \(m(PQR)\)'yi, \(\triangle PQR\)'nin üç yüksekliğinin uzunluklarının en küçüğü olarak tanımlayalım. (Noktalar doğrusal ise \(m(PQR)=0\) alalım.)

Düzlemdeki \(A,B,C,X\) noktaları için \[ m(ABC)\leq m(ABX)+m(AXC)+m(XBC) \] olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 5

\(f(1) = 2\), her \(n \in \mathbb{N}\) için \(f(f(n)) = f(n) + n\) ve her \(n \in \mathbb{N}\) için \(f(n) < f(n + 1)\) koşullarını sağlayan bir \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) fonksiyonu var mıdır?

Çözüm →

Soru 6

Bir çember üzerinde \(n\) tane \(L_0,\ldots,L_{n-1}\) lambası vardır \((n>1)\) ve \(L_{n+k}=L_k\) olarak gösterilmektedir. (Bir lamba her an ya yanar ya da sönüktür.) \(s_0,s_1,\ldots\) adımları şu şekilde uygulanır: \(s_i\) adımında, \(L_{i-1}\) yanıyorsa \(L_i\) yanar durumdan sönük duruma veya sönük durumdan yanar duruma geçirilir; aksi hâlde hiçbir şey yapılmaz. Başlangıçta tüm lambalar yanmaktadır. Aşağıdakileri gösteriniz:

(a) \(M(n)\) adım sonra tüm lambaların yeniden yanmasını sağlayan bir \(M(n)\) pozitif tam sayısı vardır;

(b) \(n=2^k\) ise \(M(n)=n^2-1\) alınabilir;

(c) \(n=2^k+1\) ise \(M(n)=n^2-n+1\) alınabilir.

Çözüm →

Problema 1

Sea \(f(x) = x^n + 5x^{n-1} + 3\), donde \(n > 1\) es un entero. Demostrar que \(f(x)\) no puede expresarse como producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

Solución →

Problema 2

Sea \(D\) un punto interior al triángulo acutángulo \(ABC\) tal que \(\angle ADB = \angle ACB + \pi/2\) y \(AC \cdot BD = AD \cdot BC\).

(a) Calcular la razón \((AB \cdot CD)/(AC \cdot BD)\).

(b) Demostrar que las tangentes en \(C\) a las circunferencias circunscritas a \(\triangle ACD\) y \(\triangle BCD\) son perpendiculares.

Solución →

Problema 3

En un tablero de ajedrez infinito se juega de la siguiente manera. Al principio, se colocan \(n^2\) fichas en el tablero formando un bloque de \(n\) por \(n\) casillas contiguas, con una ficha en cada casilla. Una jugada consiste en saltar en dirección horizontal o vertical sobre una casilla adyacente ocupada hasta la casilla desocupada situada inmediatamente después. Se retira la ficha sobre la que se ha saltado.

Hallar los valores de \(n\) para los cuales el juego puede terminar con una sola ficha en el tablero.

Solución →

Problema 4

Para tres puntos \(P,Q,R\) del plano, definimos \(m(PQR)\) como la menor de las longitudes de las tres alturas de \(\triangle PQR\). (Si los puntos son colineales, tomamos \(m(PQR)=0\).)

Demostrar que, para puntos \(A,B,C,X\) del plano, \[ m(ABC)\leq m(ABX)+m(AXC)+m(XBC). \]

Solución →

Problema 5

¿Existe una función \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) tal que \(f(1) = 2\), \(f(f(n)) = f(n) + n\) para todo \(n \in \mathbb{N}\), y \(f(n) < f(n + 1)\) para todo \(n \in \mathbb{N}\)?

Solución →

Problema 6

Hay \(n\) lámparas \(L_0,\ldots,L_{n-1}\) dispuestas en círculo \((n>1)\), y usamos la notación \(L_{n+k}=L_k\). (En todo momento, cada lámpara está encendida o apagada.) Se realizan los pasos \(s_0,s_1,\ldots\) de la siguiente manera: en el paso \(s_i\), si \(L_{i-1}\) está encendida, se cambia el estado de \(L_i\) de encendida a apagada o viceversa; en caso contrario, no se hace nada. Inicialmente, todas las lámparas están encendidas. Demostrar que:

(a) Existe un entero positivo \(M(n)\) tal que, después de \(M(n)\) pasos, todas las lámparas vuelven a estar encendidas;

(b) Si \(n=2^k\), podemos tomar \(M(n)=n^2-1\);

(c) Si \(n=2^k+1\), podemos tomar \(M(n)=n^2-n+1\).

Solución →

问题 1

设 \(f(x) = x^n + 5x^{n-1} + 3\)，其中 \(n > 1\) 为整数。证明：\(f(x)\) 不能表示为两个非常数整系数多项式的乘积。

解答 →

问题 2

设 \(D\) 是锐角三角形 \(ABC\) 内的一点，满足 \(\angle ADB = \angle ACB + \pi/2\) 且 \(AC \cdot BD = AD \cdot BC\)。

(a) 求比值 \((AB \cdot CD)/(AC \cdot BD)\)。

(b) 证明：\(\triangle ACD\) 与 \(\triangle BCD\) 的外接圆在 \(C\) 点处的切线互相垂直。

解答 →

问题 3

在一个无限大的棋盘上进行如下游戏。开始时，\(n^2\) 枚棋子排列在棋盘上一个由相邻方格组成的 \(n\) 行 \(n\) 列的方阵中，每格一枚棋子。游戏的每一步是让一枚棋子沿水平或竖直方向，跳过相邻的一个有棋子的方格，落到紧接其后的一个空格上。被跳过的棋子随即移去。

求所有能使游戏结束时棋盘上只剩一枚棋子的 \(n\) 值。

解答 →

问题 4

对于平面上的三个点 \(P,Q,R\)，定义 \(m(PQR)\) 为 \(\triangle PQR\) 的三条高的长度中的最小值。（若三点共线，则规定 \(m(PQR)=0\)。）

证明：对于平面上的点 \(A,B,C,X\)，有 \[ m(ABC)\leq m(ABX)+m(AXC)+m(XBC). \]

解答 →

问题 5

是否存在函数 \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\)，使得 \(f(1) = 2\)，对所有 \(n \in \mathbb{N}\) 都有 \(f(f(n)) = f(n) + n\)，且对所有 \(n \in \mathbb{N}\) 都有 \(f(n) < f(n + 1)\)？

解答 →

问题 6

有 \(n\) 盏灯 \(L_0,\ldots,L_{n-1}\) 排成一圈 \((n>1)\)，约定 \(L_{n+k}=L_k\)。（每盏灯在任何时刻都处于亮或灭两种状态之一。）依次执行步骤 \(s_0,s_1,\ldots\)，规则如下：在步骤 \(s_i\) 中，若 \(L_{i-1}\) 亮着，则将 \(L_i\) 从亮变为灭，或从灭变为亮；否则不作任何操作。初始时所有灯都亮着。证明：

(a) 存在正整数 \(M(n)\)，使得经过 \(M(n)\) 步后，所有灯再次亮着；

(b) 若 \(n=2^k\)，则可取 \(M(n)=n^2-1\)；

(c) 若 \(n=2^k+1\)，则可取 \(M(n)=n^2-n+1\)。

解答 →

Задача 1

Пусть \(f(x) = x^n + 5x^{n-1} + 3\), где \(n > 1\) — целое число. Докажите, что \(f(x)\) нельзя представить в виде произведения двух многочленов положительной степени с целыми коэффициентами.

Решение →

Задача 2

Пусть \(D\) — точка внутри остроугольного треугольника \(ABC\), такая, что \(\angle ADB = \angle ACB + \pi/2\) и \(AC \cdot BD = AD \cdot BC\).

(a) Найдите отношение \((AB \cdot CD)/(AC \cdot BD)\).

(b) Докажите, что касательные в точке \(C\) к окружностям, описанным около \(\triangle ACD\) и \(\triangle BCD\), перпендикулярны.

Решение →

Задача 3

На бесконечной шахматной доске играют в следующую игру. Вначале \(n^2\) фишек расположены на доске в квадрате из \(n\) на \(n\) соседних клеток, по одной фишке в каждой клетке. Ход состоит в прыжке фишки по горизонтали или вертикали через соседнюю занятую клетку на свободную клетку непосредственно за ней. Фишка, через которую перепрыгнули, снимается с доски.

Найдите все значения \(n\), при которых игра может закончиться так, что на доске останется ровно одна фишка.

Решение →

Задача 4

Для трёх точек \(P,Q,R\) на плоскости определим \(m(PQR)\) как наименьшую из длин трёх высот \(\triangle PQR\). (Если точки лежат на одной прямой, положим \(m(PQR)=0\).)

Докажите, что для точек \(A,B,C,X\) на плоскости \[ m(ABC)\leq m(ABX)+m(AXC)+m(XBC). \]

Решение →

Задача 5

Существует ли функция \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\), такая, что \(f(1) = 2\), \(f(f(n)) = f(n) + n\) для всех \(n \in \mathbb{N}\) и \(f(n) < f(n + 1)\) для всех \(n \in \mathbb{N}\)?

Решение →

Задача 6

По кругу расположены \(n\) ламп \(L_0,\ldots,L_{n-1}\) \((n>1)\), причём обозначим \(L_{n+k}=L_k\). (В любой момент каждая лампа либо включена, либо выключена.) Выполняются шаги \(s_0,s_1,\ldots\) по следующему правилу: на шаге \(s_i\), если \(L_{i-1}\) горит, состояние \(L_i\) меняют с включённого на выключенное или наоборот; в противном случае ничего не делают. Изначально все лампы включены. Докажите, что:

(a) Существует положительное целое число \(M(n)\), такое, что после \(M(n)\) шагов все лампы снова будут включены;

(b) Если \(n=2^k\), то можно взять \(M(n)=n^2-1\);

(c) Если \(n=2^k+1\), то можно взять \(M(n)=n^2-n+1\).

Решение →

المسألة 1

لتكن \(f(x) = x^n + 5x^{n-1} + 3\)، حيث \(n > 1\) عدد صحيح. أثبت أنه لا يمكن التعبير عن \(f(x)\) على صورة حاصل ضرب كثيرتي حدود غير ثابتتين بمعاملات صحيحة.

← الحل

المسألة 2

لتكن \(D\) نقطة داخل مثلث حاد الزوايا \(ABC\) بحيث \(\angle ADB = \angle ACB + \pi/2\) و\(AC \cdot BD = AD \cdot BC\).

(a) احسب النسبة \((AB \cdot CD)/(AC \cdot BD)\).

(b) أثبت أن المماسين عند \(C\) للدائرتين المحيطتين بالمثلثين \(\triangle ACD\) و\(\triangle BCD\) متعامدان.

← الحل

المسألة 3

تُلعَب لعبة على رقعة شطرنج غير منتهية على النحو الآتي. في البداية، تُرتَّب \(n^2\) قطعة على الرقعة في كتلة من المربعات المتجاورة أبعادها \(n\) في \(n\)، بواقع قطعة واحدة في كل مربع. تتكون الحركة في اللعبة من قفزة أفقية أو رأسية فوق مربع مجاور مشغول إلى مربع خالٍ يليه مباشرة. وتُزال القطعة التي جرى القفز فوقها.

أوجد قيم \(n\) التي يمكن أن تنتهي اللعبة عندها ببقاء قطعة واحدة فقط على الرقعة.

← الحل

المسألة 4

لثلاث نقاط \(P,Q,R\) في المستوى، نعرّف \(m(PQR)\) بأنه أصغر أطوال الارتفاعات الثلاثة للمثلث \(\triangle PQR\). (إذا كانت النقاط على استقامة واحدة، نضع \(m(PQR)=0\).)

أثبت أنه لأي نقاط \(A,B,C,X\) في المستوى، \[ m(ABC)\leq m(ABX)+m(AXC)+m(XBC). \]

← الحل

المسألة 5

هل توجد دالة \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) بحيث \(f(1) = 2\)، و\(f(f(n)) = f(n) + n\) لكل \(n \in \mathbb{N}\)، و\(f(n) < f(n + 1)\) لكل \(n \in \mathbb{N}\)؟

← الحل

المسألة 6

توجد \(n\) مصابيح \(L_0,\ldots,L_{n-1}\) مرتبة على دائرة \((n>1)\)، ونرمز بـ \(L_{n+k}=L_k\). (يكون كل مصباح في كل لحظة إما مضاءً وإما مطفأً.) ننفذ الخطوات \(s_0,s_1,\ldots\) على النحو الآتي: في الخطوة \(s_i\)، إذا كان \(L_{i-1}\) مضاءً، نبدّل حالة \(L_i\) من الإضاءة إلى الانطفاء أو بالعكس، وإلا فلا نفعل شيئًا. في البداية تكون جميع المصابيح مضاءة. أثبت ما يأتي:

(a) يوجد عدد صحيح موجب \(M(n)\) بحيث تكون جميع المصابيح مضاءة من جديد بعد \(M(n)\) خطوة؛

(b) إذا كان \(n=2^k\)، فيمكننا أخذ \(M(n)=n^2-1\)؛

(c) إذا كان \(n=2^k+1\)، فيمكننا أخذ \(M(n)=n^2-n+1\).

← الحل