Problem 1

Let \(m\) and \(n\) be positive integers. Let \(a_1,a_2,\ldots,a_m\) be distinct elements of \(\{1,2,\ldots,n\}\) such that whenever \(a_i+a_j\le n\) for some \(i,j\), \(1\le i\le j\le m\), there exists \(k\), \(1\le k\le m\), with \(a_i+a_j=a_k\). Prove that \[ \frac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{m}\ge\frac{n+1}{2}. \]

Solution →

Problem 2

\(ABC\) is an isosceles triangle with \(AB = AC\). Suppose that

1. \(M\) is the midpoint of \(BC\) and \(O\) is the point on the line \(AM\) such that \(OB\) is perpendicular to \(AB\);
2. \(Q\) is an arbitrary point on the segment \(BC\) different from \(B\) and \(C\);
3. \(E\) lies on the line \(AB\) and \(F\) lies on the line \(AC\) such that \(E, Q, F\) are distinct and collinear.

Prove that \(OQ\) is perpendicular to \(EF\) if and only if \(QE = QF\).

Solution →

Problem 3

For any positive integer \(k\), let \(f(k)\) be the number of elements in the set \(\{k+1,k+2,\ldots,2k\}\) whose base 2 representation has precisely three 1s.

• (a) Prove that, for each positive integer \(m\), there exists at least one positive integer \(k\) such that \(f(k)=m\).
• (b) Determine all positive integers \(m\) for which there exists exactly one \(k\) with \(f(k)=m\).

Solution →

Problem 4

Determine all ordered pairs \((m, n)\) of positive integers such that \[ \frac{n^3+1}{mn-1} \] is an integer.

Solution →

Problem 5

Let \(S\) be the set of real numbers strictly greater than \(-1\). Find all functions \(f:S\to S\) satisfying the two conditions:

1. \(f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)\) for all \(x\) and \(y\) in \(S\);
2. \(\dfrac{f(x)}{x}\) is strictly increasing on each of the intervals \(-1<x<0\) and \(0<x\).

Solution →

Problem 6

Show that there exists a set \(A\) of positive integers with the following property: For any infinite set \(S\) of primes there exist two positive integers \(m \in A\) and \(n \notin A\) each of which is a product of \(k\) distinct elements of \(S\) for some \(k \geq 2\).

Solution →

Aufgabe 1

Seien \(m\) und \(n\) positive ganze Zahlen. Seien \(a_1,a_2,\ldots,a_m\) verschiedene Elemente von \(\{1,2,\ldots,n\}\) mit folgender Eigenschaft: Wenn für gewisse \(i,j\), \(1\le i\le j\le m\), die Ungleichung \(a_i+a_j\le n\) gilt, so gibt es ein \(k\), \(1\le k\le m\), mit \(a_i+a_j=a_k\). Man beweise, dass \[ \frac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{m}\ge\frac{n+1}{2}. \]

Lösung →

Aufgabe 2

\(ABC\) ist ein gleichschenkliges Dreieck mit \(AB = AC\). Es gelte:

1. \(M\) ist der Mittelpunkt von \(BC\), und \(O\) ist derjenige Punkt auf der Geraden \(AM\), für den \(OB\) senkrecht auf \(AB\) steht;
2. \(Q\) ist ein beliebiger Punkt auf der Strecke \(BC\), der von \(B\) und \(C\) verschieden ist;
3. \(E\) liegt auf der Geraden \(AB\) und \(F\) auf der Geraden \(AC\), wobei \(E, Q, F\) verschieden sind und auf einer Geraden liegen.

Man beweise, dass \(OQ\) genau dann senkrecht auf \(EF\) steht, wenn \(QE = QF\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 3

Für jede positive ganze Zahl \(k\) sei \(f(k)\) die Anzahl der Elemente der Menge \(\{k+1,k+2,\ldots,2k\}\), deren Darstellung zur Basis 2 genau drei Einsen enthält.

• (a) Man beweise, dass es zu jeder positiven ganzen Zahl \(m\) mindestens eine positive ganze Zahl \(k\) mit \(f(k)=m\) gibt.
• (b) Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen \(m\), für die es genau ein \(k\) mit \(f(k)=m\) gibt.

Lösung →

Aufgabe 4

Man bestimme alle geordneten Paare \((m, n)\) positiver ganzer Zahlen, für die \[ \frac{n^3+1}{mn-1} \] eine ganze Zahl ist.

Lösung →

Aufgabe 5

Sei \(S\) die Menge der reellen Zahlen, die echt größer als \(-1\) sind. Man bestimme alle Funktionen \(f:S\to S\), die die folgenden beiden Bedingungen erfüllen:

1. \(f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)\) für alle \(x\) und \(y\) aus \(S\);
2. \(\dfrac{f(x)}{x}\) ist auf jedem der Intervalle \(-1<x<0\) und \(0<x\) streng monoton wachsend.

Lösung →

Aufgabe 6

Man zeige, dass es eine Menge \(A\) positiver ganzer Zahlen mit folgender Eigenschaft gibt: Zu jeder unendlichen Menge \(S\) von Primzahlen gibt es zwei positive ganze Zahlen \(m \in A\) und \(n \notin A\), die für ein \(k \geq 2\) jeweils ein Produkt von \(k\) verschiedenen Elementen von \(S\) sind.

Lösung →

Soru 1

\(m\) ve \(n\) pozitif tam sayılar olsun. \(a_1,a_2,\ldots,a_m\), \(\{1,2,\ldots,n\}\) kümesinin birbirinden farklı elemanları olsun ve şu koşulu sağlasın: \(1\le i\le j\le m\) olmak üzere bazı \(i,j\) için \(a_i+a_j\le n\) olduğunda, \(a_i+a_j=a_k\) olacak biçimde \(1\le k\le m\) koşulunu sağlayan bir \(k\) vardır. Şu eşitsizliği kanıtlayınız: \[ \frac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{m}\ge\frac{n+1}{2}. \]

Çözüm →

Soru 2

\(ABC\), \(AB = AC\) olan bir ikizkenar üçgendir. Aşağıdakiler sağlansın:

1. \(M\), \(BC\)'nin orta noktası ve \(O\), \(AM\) doğrusu üzerinde \(OB\)'nin \(AB\)'ye dik olduğu noktadır;
2. \(Q\), \(BC\) doğru parçası üzerinde \(B\) ve \(C\)'den farklı herhangi bir noktadır;
3. \(E\), \(AB\) doğrusu üzerinde ve \(F\), \(AC\) doğrusu üzerinde olup \(E, Q, F\) birbirinden farklı ve doğrudaştır.

\(OQ\)'nun \(EF\)'ye dik olması için gerek ve yeter koşulun \(QE = QF\) olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

Her pozitif \(k\) tam sayısı için \(f(k)\), \(\{k+1,k+2,\ldots,2k\}\) kümesinin 2 tabanındaki yazılışında tam olarak üç tane 1 bulunan elemanlarının sayısı olsun.

• (a) Her pozitif \(m\) tam sayısı için \(f(k)=m\) olacak biçimde en az bir pozitif \(k\) tam sayısının var olduğunu kanıtlayınız.
• (b) \(f(k)=m\) olacak biçimde tam olarak bir \(k\) bulunan tüm pozitif \(m\) tam sayılarını belirleyiniz.

Çözüm →

Soru 4

\[ \frac{n^3+1}{mn-1} \] ifadesinin bir tam sayı olduğu tüm pozitif tam sayı sıralı ikililerini \((m, n)\) belirleyiniz.

Çözüm →

Soru 5

\(S\), \(-1\)'den büyük gerçel sayılar kümesi olsun. Aşağıdaki iki koşulu sağlayan tüm \(f:S\to S\) fonksiyonlarını bulunuz:

1. \(S\)'deki tüm \(x\) ve \(y\) için \(f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)\);
2. \(\dfrac{f(x)}{x}\), \(-1<x<0\) ve \(0<x\) aralıklarının her birinde kesin artandır.

Çözüm →

Soru 6

Şu özelliğe sahip bir pozitif tam sayılar kümesi \(A\)'nın var olduğunu gösteriniz: Asal sayılardan oluşan her sonsuz \(S\) kümesi için, bir \(k \geq 2\) için her biri \(S\)'nin birbirinden farklı \(k\) elemanının çarpımı olan \(m \in A\) ve \(n \notin A\) pozitif tam sayıları vardır.

Çözüm →

Problema 1

Sean \(m\) y \(n\) enteros positivos. Sean \(a_1,a_2,\ldots,a_m\) elementos distintos de \(\{1,2,\ldots,n\}\) tales que, siempre que \(a_i+a_j\le n\) para ciertos \(i,j\), \(1\le i\le j\le m\), existe \(k\), \(1\le k\le m\), con \(a_i+a_j=a_k\). Demostrar que \[ \frac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{m}\ge\frac{n+1}{2}. \]

Solución →

Problema 2

\(ABC\) es un triángulo isósceles con \(AB = AC\). Supongamos que

1. \(M\) es el punto medio de \(BC\) y \(O\) es el punto de la recta \(AM\) tal que \(OB\) es perpendicular a \(AB\);
2. \(Q\) es un punto arbitrario del segmento \(BC\) distinto de \(B\) y de \(C\);
3. \(E\) está en la recta \(AB\) y \(F\) está en la recta \(AC\), de modo que \(E, Q, F\) son distintos y están alineados.

Demostrar que \(OQ\) es perpendicular a \(EF\) si y solo si \(QE = QF\).

Solución →

Problema 3

Para cada entero positivo \(k\), sea \(f(k)\) el número de elementos del conjunto \(\{k+1,k+2,\ldots,2k\}\) cuya representación en base 2 tiene exactamente tres unos.

• (a) Demostrar que, para cada entero positivo \(m\), existe al menos un entero positivo \(k\) tal que \(f(k)=m\).
• (b) Determinar todos los enteros positivos \(m\) para los que existe exactamente un \(k\) con \(f(k)=m\).

Solución →

Problema 4

Determinar todos los pares ordenados \((m, n)\) de enteros positivos tales que \[ \frac{n^3+1}{mn-1} \] sea un entero.

Solución →

Problema 5

Sea \(S\) el conjunto de los números reales estrictamente mayores que \(-1\). Hallar todas las funciones \(f:S\to S\) que satisfacen las dos condiciones siguientes:

1. \(f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)\) para todos los \(x\) e \(y\) de \(S\);
2. \(\dfrac{f(x)}{x}\) es estrictamente creciente en cada uno de los intervalos \(-1<x<0\) y \(0<x\).

Solución →

Problema 6

Demostrar que existe un conjunto \(A\) de enteros positivos con la siguiente propiedad: para cualquier conjunto infinito \(S\) de números primos, existen dos enteros positivos \(m \in A\) y \(n \notin A\), cada uno de los cuales es un producto de \(k\) elementos distintos de \(S\) para algún \(k \geq 2\).

Solución →

问题 1

设 \(m\) 和 \(n\) 为正整数。设 \(a_1,a_2,\ldots,a_m\) 是 \(\{1,2,\ldots,n\}\) 中互不相同的元素，满足：对于任意 \(i,j\)，\(1\le i\le j\le m\)，只要 \(a_i+a_j\le n\)，就存在 \(k\)，\(1\le k\le m\)，使得 \(a_i+a_j=a_k\)。证明 \[ \frac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{m}\ge\frac{n+1}{2}. \]

解答 →

问题 2

\(ABC\) 是等腰三角形，其中 \(AB = AC\)。设

1. \(M\) 是 \(BC\) 的中点，\(O\) 是直线 \(AM\) 上满足 \(OB\) 垂直于 \(AB\) 的点；
2. \(Q\) 是线段 \(BC\) 上不同于 \(B\) 和 \(C\) 的任意一点；
3. \(E\) 在直线 \(AB\) 上，\(F\) 在直线 \(AC\) 上，且 \(E, Q, F\) 是互不相同的共线三点。

证明：\(OQ\) 垂直于 \(EF\) 当且仅当 \(QE = QF\)。

解答 →

问题 3

对于任意正整数 \(k\)，设 \(f(k)\) 表示集合 \(\{k+1,k+2,\ldots,2k\}\) 中二进制表示恰有三个 1 的元素个数。

• (a) 证明：对于每个正整数 \(m\)，至少存在一个正整数 \(k\)，使得 \(f(k)=m\)。
• (b) 求出所有使得恰有一个 \(k\) 满足 \(f(k)=m\) 的正整数 \(m\)。

解答 →

问题 4

求所有正整数有序对 \((m, n)\)，使得 \[ \frac{n^3+1}{mn-1} \] 为整数。

解答 →

问题 5

设 \(S\) 为所有严格大于 \(-1\) 的实数组成的集合。求所有满足以下两个条件的函数 \(f:S\to S\)：

1. 对任意 \(S\) 中的 \(x\) 和 \(y\)，都有 \(f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)\)；
2. \(\dfrac{f(x)}{x}\) 在区间 \(-1<x<0\) 和 \(0<x\) 上分别严格递增。

解答 →

问题 6

证明存在一个正整数集合 \(A\)，具有如下性质：对于任意无限素数集合 \(S\)，存在两个正整数 \(m \in A\) 和 \(n \notin A\)，使得对于某个 \(k \geq 2\)，它们各自都是 \(S\) 中 \(k\) 个互不相同的元素的乘积。

解答 →

Задача 1

Пусть \(m\) и \(n\) — положительные целые числа. Пусть \(a_1,a_2,\ldots,a_m\) — различные элементы множества \(\{1,2,\ldots,n\}\), такие, что всякий раз, когда \(a_i+a_j\le n\) для некоторых \(i,j\), \(1\le i\le j\le m\), существует \(k\), \(1\le k\le m\), для которого \(a_i+a_j=a_k\). Докажите, что \[ \frac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{m}\ge\frac{n+1}{2}. \]

Решение →

Задача 2

\(ABC\) — равнобедренный треугольник, в котором \(AB = AC\). Пусть

1. \(M\) — середина \(BC\), а \(O\) — точка на прямой \(AM\), такая, что \(OB\) перпендикулярна \(AB\);
2. \(Q\) — произвольная точка отрезка \(BC\), отличная от \(B\) и \(C\);
3. \(E\) лежит на прямой \(AB\), а \(F\) — на прямой \(AC\), причём точки \(E, Q, F\) различны и лежат на одной прямой.

Докажите, что \(OQ\) перпендикулярна \(EF\) тогда и только тогда, когда \(QE = QF\).

Решение →

Задача 3

Для любого положительного целого числа \(k\) обозначим через \(f(k)\) количество элементов множества \(\{k+1,k+2,\ldots,2k\}\), двоичная запись которых содержит ровно три единицы.

• (a) Докажите, что для каждого положительного целого числа \(m\) существует хотя бы одно положительное целое число \(k\), такое, что \(f(k)=m\).
• (b) Найдите все положительные целые числа \(m\), для которых существует ровно одно \(k\), удовлетворяющее равенству \(f(k)=m\).

Решение →

Задача 4

Найдите все упорядоченные пары \((m, n)\) положительных целых чисел, для которых \[ \frac{n^3+1}{mn-1} \] является целым числом.

Решение →

Задача 5

Пусть \(S\) — множество действительных чисел, строго больших \(-1\). Найдите все функции \(f:S\to S\), удовлетворяющие двум условиям:

1. \(f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)\) для всех \(x\) и \(y\) из \(S\);
2. \(\dfrac{f(x)}{x}\) строго возрастает на каждом из промежутков \(-1<x<0\) и \(0<x\).

Решение →

Задача 6

Докажите, что существует множество \(A\) положительных целых чисел со следующим свойством: для любого бесконечного множества \(S\) простых чисел найдутся два положительных целых числа \(m \in A\) и \(n \notin A\), каждое из которых является произведением \(k\) различных элементов \(S\) для некоторого \(k \geq 2\).

Решение →

المسألة 1

ليكن \(m\) و\(n\) عددين صحيحين موجبين. ولتكن \(a_1,a_2,\ldots,a_m\) عناصر متمايزة من \(\{1,2,\ldots,n\}\) بحيث كلما كان \(a_i+a_j\le n\) لبعض \(i,j\)، حيث \(1\le i\le j\le m\)، وُجد \(k\)، حيث \(1\le k\le m\)، يحقق \(a_i+a_j=a_k\). أثبت أن \[ \frac{a_1+a_2+\cdots+a_m}{m}\ge\frac{n+1}{2}. \]

← الحل

المسألة 2

\(ABC\) مثلث متساوي الساقين فيه \(AB = AC\). افترض أن

1. \(M\) منتصف \(BC\)، و\(O\) النقطة الواقعة على المستقيم \(AM\) بحيث يكون \(OB\) عموديًا على \(AB\)؛
2. \(Q\) نقطة كيفما اتفق على القطعة \(BC\)، تختلف عن \(B\) و\(C\)؛
3. تقع \(E\) على المستقيم \(AB\)، وتقع \(F\) على المستقيم \(AC\)، بحيث تكون \(E, Q, F\) نقاطًا متمايزة وعلى استقامة واحدة.

أثبت أن \(OQ\) عمودي على \(EF\) إذا وفقط إذا كان \(QE = QF\).

← الحل

المسألة 3

لكل عدد صحيح موجب \(k\)، ليكن \(f(k)\) عدد عناصر المجموعة \(\{k+1,k+2,\ldots,2k\}\) التي يحتوي تمثيلها في الأساس 2 على ثلاثة أرقام 1 بالضبط.

• (أ) أثبت أنه لكل عدد صحيح موجب \(m\)، يوجد عدد صحيح موجب واحد على الأقل \(k\) بحيث \(f(k)=m\).
• (ب) أوجد جميع الأعداد الصحيحة الموجبة \(m\) التي يوجد من أجلها عدد واحد فقط \(k\) يحقق \(f(k)=m\).

← الحل

المسألة 4

أوجد جميع الأزواج المرتبة \((m, n)\) من الأعداد الصحيحة الموجبة بحيث يكون \[ \frac{n^3+1}{mn-1} \] عددًا صحيحًا.

← الحل

المسألة 5

لتكن \(S\) مجموعة الأعداد الحقيقية الأكبر تمامًا من \(-1\). أوجد جميع الدوال \(f:S\to S\) التي تحقق الشرطين:

1. \(f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)\) لكل \(x\) و\(y\) في \(S\)؛
2. \(\dfrac{f(x)}{x}\) متزايدة تمامًا على كل من الفترتين \(-1<x<0\) و\(0<x\).

← الحل

المسألة 6

أثبت وجود مجموعة \(A\) من الأعداد الصحيحة الموجبة تتمتع بالخاصية الآتية: لكل مجموعة غير منتهية \(S\) من الأعداد الأولية، يوجد عددان صحيحان موجبان \(m \in A\) و\(n \notin A\)، كل منهما حاصل ضرب \(k\) عناصر متمايزة من \(S\) لبعض \(k \geq 2\).

← الحل