IMO 1995

6 problems with complete solutions · Official problem paper (PDF)

1. Problem 1

   Let \(A, B, C, D\) be four distinct points on a line, in that order. The circles with diameters \(AC\) and \(BD\) intersect at \(X\) and \(Y\). The line \(XY\) meets \(BC\) at \(Z\). Let \(P\) be a point on the line \(XY\) other than \(Z\). The line \(CP\) intersects the circle with diameter \(AC\) at \(C\) and \(M\), and the line \(BP\) intersects the circle with diameter \(BD\) at \(B\) and \(N\). Prove that the lines \(AM, DN, XY\) are concurrent.

   Solution →

2. Problem 2

   Let \(a,b,c\) be positive real numbers such that \(abc=1\). Prove that \[ \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac32. \]

   Solution →

3. Problem 3

   Determine all integers \(n>3\) for which there exist \(n\) points \(A_1,\ldots,A_n\) in the plane, no three collinear, and real numbers \(r_1,\ldots,r_n\) such that for \(1\le i<j<k\le n\), the area of \(\triangle A_iA_jA_k\) is \(r_i+r_j+r_k\).

   Solution →

4. Problem 4

   Find the maximum value of \(x_0\) for which there exists a sequence \(x_0,x_1\ldots,x_{1995}\) of positive reals with \(x_0=x_{1995}\), such that for \(i=1,\ldots,1995\), \[ x_{i-1}+\frac{2}{x_{i-1}}=2x_i+\frac{1}{x_i}. \]

   Solution →

5. Problem 5

   Let \(ABCDEF\) be a convex hexagon with \(AB = BC = CD\) and \(DE = EF = FA\), such that \(\angle BCD = \angle EFA = \pi/3\). Suppose \(G\) and \(H\) are points in the interior of the hexagon such that \(\angle AGB = \angle DHE = 2\pi/3\). Prove that \(AG + GB + GH + DH + HE \ge CF\).

   Solution →

6. Problem 6

   Let \(p\) be an odd prime number. How many \(p\)-element subsets \(A\) of \(\{1,2,\ldots 2p\}\) are there, the sum of whose elements is divisible by \(p\)?

   Solution →

All years

IMO 1995

6 Aufgaben mit vollständigen Lösungen · Offizielles Aufgabenblatt (PDF)

1. Aufgabe 1

   Es seien \(A, B, C, D\) vier verschiedene Punkte auf einer Geraden, die in dieser Reihenfolge liegen. Die Kreise mit den Durchmessern \(AC\) und \(BD\) schneiden sich in \(X\) und \(Y\). Die Gerade \(XY\) schneidet \(BC\) in \(Z\). Es sei \(P\) ein von \(Z\) verschiedener Punkt auf der Geraden \(XY\). Die Gerade \(CP\) schneidet den Kreis mit dem Durchmesser \(AC\) in \(C\) und \(M\), und die Gerade \(BP\) schneidet den Kreis mit dem Durchmesser \(BD\) in \(B\) und \(N\). Man beweise, dass die Geraden \(AM, DN, XY\) durch einen gemeinsamen Punkt gehen.

   Lösung →

2. Aufgabe 2

   Es seien \(a,b,c\) positive reelle Zahlen mit \(abc=1\). Man beweise, dass \[ \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac32. \]

   Lösung →

3. Aufgabe 3

   Man bestimme alle ganzen Zahlen \(n>3\), für die es \(n\) Punkte \(A_1,\ldots,A_n\) in der Ebene, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, und reelle Zahlen \(r_1,\ldots,r_n\) gibt, sodass für \(1\le i<j<k\le n\) der Flächeninhalt von \(\triangle A_iA_jA_k\) gleich \(r_i+r_j+r_k\) ist.

   Lösung →

4. Aufgabe 4

   Man bestimme den größten Wert von \(x_0\), für den es eine Folge \(x_0,x_1\ldots,x_{1995}\) positiver reeller Zahlen mit \(x_0=x_{1995}\) gibt, sodass für \(i=1,\ldots,1995\) gilt: \[ x_{i-1}+\frac{2}{x_{i-1}}=2x_i+\frac{1}{x_i}. \]

   Lösung →

5. Aufgabe 5

   Es sei \(ABCDEF\) ein konvexes Sechseck mit \(AB = BC = CD\) und \(DE = EF = FA\), für das \(\angle BCD = \angle EFA = \pi/3\) gilt. Es seien \(G\) und \(H\) Punkte im Inneren des Sechsecks mit \(\angle AGB = \angle DHE = 2\pi/3\). Man beweise, dass \(AG + GB + GH + DH + HE \ge CF\).

   Lösung →

6. Aufgabe 6

   Es sei \(p\) eine ungerade Primzahl. Wie viele \(p\)-elementige Teilmengen \(A\) von \(\{1,2,\ldots 2p\}\) gibt es, deren Elementsumme durch \(p\) teilbar ist?

   Lösung →

Alle Jahrgänge

IMO 1995

6 soru, tam çözümleriyle · Resmi soru kâğıdı (PDF)

1. Soru 1

   Bir doğru üzerinde bu sırayla bulunan dört farklı nokta \(A, B, C, D\) olsun. Çapları \(AC\) ve \(BD\) olan çemberler \(X\) ve \(Y\) noktalarında kesişmektedir. \(XY\) doğrusu \(BC\)'yi \(Z\) noktasında kesmektedir. \(P\), \(XY\) doğrusu üzerinde \(Z\)'den farklı bir nokta olsun. \(CP\) doğrusu, çapı \(AC\) olan çemberi \(C\) ve \(M\) noktalarında; \(BP\) doğrusu ise çapı \(BD\) olan çemberi \(B\) ve \(N\) noktalarında kesmektedir. \(AM, DN, XY\) doğrularının bir noktada kesiştiğini kanıtlayınız.

   Çözüm →

2. Soru 2

   \(a,b,c\), \(abc=1\) koşulunu sağlayan pozitif gerçel sayılar olsun. \[ \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac32 \] eşitsizliğini kanıtlayınız.

   Çözüm →

3. Soru 3

   Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan \(n\) tane \(A_1,\ldots,A_n\) noktası ve \(1\le i<j<k\le n\) için \(\triangle A_iA_jA_k\)'nın alanı \(r_i+r_j+r_k\) olacak şekilde \(r_1,\ldots,r_n\) gerçel sayılarının bulunabildiği tüm \(n>3\) tam sayılarını belirleyiniz.

   Çözüm →

4. Soru 4

   \(x_0=x_{1995}\) ve \(i=1,\ldots,1995\) için \[ x_{i-1}+\frac{2}{x_{i-1}}=2x_i+\frac{1}{x_i} \] koşullarını sağlayan pozitif gerçel sayılardan oluşan bir \(x_0,x_1\ldots,x_{1995}\) dizisinin var olduğu en büyük \(x_0\) değerini bulunuz.

   Çözüm →

5. Soru 5

   \(ABCDEF\), \(AB = BC = CD\) ve \(DE = EF = FA\) eşitliklerini ve \(\angle BCD = \angle EFA = \pi/3\) koşulunu sağlayan bir dışbükey altıgen olsun. \(G\) ve \(H\), altıgenin iç bölgesinde bulunan ve \(\angle AGB = \angle DHE = 2\pi/3\) koşulunu sağlayan noktalar olsun. \(AG + GB + GH + DH + HE \ge CF\) olduğunu kanıtlayınız.

   Çözüm →

6. Soru 6

   \(p\) bir tek asal sayı olsun. \(\{1,2,\ldots 2p\}\) kümesinin, elemanlarının toplamı \(p\)'ye bölünebilen kaç tane \(p\) elemanlı \(A\) alt kümesi vardır?

   Çözüm →

Tüm yıllar

IMO 1995

6 problemas con soluciones completas · Enunciado oficial (PDF)

1. Problema 1

   Sean \(A, B, C, D\) cuatro puntos distintos de una recta, en ese orden. Las circunferencias de diámetros \(AC\) y \(BD\) se cortan en \(X\) e \(Y\). La recta \(XY\) corta a \(BC\) en \(Z\). Sea \(P\) un punto de la recta \(XY\) distinto de \(Z\). La recta \(CP\) corta a la circunferencia de diámetro \(AC\) en \(C\) y \(M\), y la recta \(BP\) corta a la circunferencia de diámetro \(BD\) en \(B\) y \(N\). Demuestre que las rectas \(AM, DN, XY\) son concurrentes.

   Solución →

2. Problema 2

   Sean \(a,b,c\) números reales positivos tales que \(abc=1\). Demuestre que \[ \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac32. \]

   Solución →

3. Problema 3

   Determine todos los enteros \(n>3\) para los que existen \(n\) puntos \(A_1,\ldots,A_n\) en el plano, sin que haya tres colineales, y números reales \(r_1,\ldots,r_n\) tales que, para \(1\le i<j<k\le n\), el área de \(\triangle A_iA_jA_k\) es \(r_i+r_j+r_k\).

   Solución →

4. Problema 4

   Halle el valor máximo de \(x_0\) para el que existe una sucesión \(x_0,x_1\ldots,x_{1995}\) de números reales positivos con \(x_0=x_{1995}\), tal que, para \(i=1,\ldots,1995\), \[ x_{i-1}+\frac{2}{x_{i-1}}=2x_i+\frac{1}{x_i}. \]

   Solución →

5. Problema 5

   Sea \(ABCDEF\) un hexágono convexo con \(AB = BC = CD\) y \(DE = EF = FA\), tal que \(\angle BCD = \angle EFA = \pi/3\). Suponga que \(G\) y \(H\) son puntos del interior del hexágono tales que \(\angle AGB = \angle DHE = 2\pi/3\). Demuestre que \(AG + GB + GH + DH + HE \ge CF\).

   Solución →

6. Problema 6

   Sea \(p\) un número primo impar. ¿Cuántos subconjuntos \(A\) de \(\{1,2,\ldots 2p\}\) con \(p\) elementos hay cuya suma de elementos es divisible por \(p\)?

   Solución →

Todos los años

IMO 1995

6 道题及完整解答 · 官方试卷 (PDF)

1. 问题 1

   设 \(A, B, C, D\) 是一条直线上依次排列的四个不同的点。以 \(AC\) 和 \(BD\) 为直径的两圆相交于 \(X\) 和 \(Y\)。直线 \(XY\) 与 \(BC\) 相交于 \(Z\)。设 \(P\) 是直线 \(XY\) 上异于 \(Z\) 的一点。直线 \(CP\) 与以 \(AC\) 为直径的圆相交于 \(C\) 和 \(M\)，直线 \(BP\) 与以 \(BD\) 为直径的圆相交于 \(B\) 和 \(N\)。证明：直线 \(AM, DN, XY\) 共点。

   解答 →

2. 问题 2

   设 \(a,b,c\) 是满足 \(abc=1\) 的正实数。证明： \[ \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac32. \]

   解答 →

3. 问题 3

   求所有整数 \(n>3\)，使得平面上存在 \(n\) 个点 \(A_1,\ldots,A_n\)，其中任意三点不共线，并且存在实数 \(r_1,\ldots,r_n\)，使得对 \(1\le i<j<k\le n\)，\(\triangle A_iA_jA_k\) 的面积为 \(r_i+r_j+r_k\)。

   解答 →

4. 问题 4

   求 \(x_0\) 的最大值，使得存在正实数列 \(x_0,x_1\ldots,x_{1995}\)，满足 \(x_0=x_{1995}\)，且对 \(i=1,\ldots,1995\)，有 \[ x_{i-1}+\frac{2}{x_{i-1}}=2x_i+\frac{1}{x_i}. \]

   解答 →

5. 问题 5

   设 \(ABCDEF\) 是一个凸六边形，满足 \(AB = BC = CD\)、\(DE = EF = FA\)，且 \(\angle BCD = \angle EFA = \pi/3\)。设 \(G\) 和 \(H\) 是六边形内部的点，满足 \(\angle AGB = \angle DHE = 2\pi/3\)。证明：\(AG + GB + GH + DH + HE \ge CF\)。

   解答 →

6. 问题 6

   设 \(p\) 是奇素数。集合 \(\{1,2,\ldots 2p\}\) 有多少个含 \(p\) 个元素的子集 \(A\)，使得其元素之和能被 \(p\) 整除？

   解答 →

所有年份

IMO 1995

6 задач с полными решениями · Официальный текст задач (PDF)

1. Задача 1

   Пусть \(A, B, C, D\) — четыре различные точки, лежащие на одной прямой в указанном порядке. Окружности с диаметрами \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точках \(X\) и \(Y\). Прямая \(XY\) пересекает \(BC\) в точке \(Z\). Пусть \(P\) — точка на прямой \(XY\), отличная от \(Z\). Прямая \(CP\) пересекает окружность с диаметром \(AC\) в точках \(C\) и \(M\), а прямая \(BP\) пересекает окружность с диаметром \(BD\) в точках \(B\) и \(N\). Докажите, что прямые \(AM, DN, XY\) проходят через одну точку.

   Решение →

2. Задача 2

   Пусть \(a,b,c\) — положительные действительные числа, для которых \(abc=1\). Докажите, что \[ \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac32. \]

   Решение →

3. Задача 3

   Найдите все целые числа \(n>3\), для которых существуют \(n\) точек \(A_1,\ldots,A_n\) на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и действительные числа \(r_1,\ldots,r_n\), такие, что при \(1\le i<j<k\le n\) площадь \(\triangle A_iA_jA_k\) равна \(r_i+r_j+r_k\).

   Решение →

4. Задача 4

   Найдите наибольшее значение \(x_0\), для которого существует последовательность \(x_0,x_1\ldots,x_{1995}\) положительных действительных чисел, удовлетворяющая условию \(x_0=x_{1995}\), такая, что при \(i=1,\ldots,1995\) \[ x_{i-1}+\frac{2}{x_{i-1}}=2x_i+\frac{1}{x_i}. \]

   Решение →

5. Задача 5

   Пусть \(ABCDEF\) — выпуклый шестиугольник, в котором \(AB = BC = CD\) и \(DE = EF = FA\), причём \(\angle BCD = \angle EFA = \pi/3\). Пусть \(G\) и \(H\) — точки внутри шестиугольника, для которых \(\angle AGB = \angle DHE = 2\pi/3\). Докажите, что \(AG + GB + GH + DH + HE \ge CF\).

   Решение →

6. Задача 6

   Пусть \(p\) — нечётное простое число. Сколько существует \(p\)-элементных подмножеств \(A\) множества \(\{1,2,\ldots 2p\}\), сумма элементов которых делится на \(p\)?

   Решение →

Все годы

IMO 1995

6 مسائل مع حلول كاملة · ورقة المسائل الرسمية (PDF)

1. المسألة 1

   لتكن \(A, B, C, D\) أربع نقاط متمايزة على مستقيم، بهذا الترتيب. تتقاطع الدائرتان اللتان قطراهما \(AC\) و\(BD\) في النقطتين \(X\) و\(Y\). يقطع المستقيم \(XY\) القطعة \(BC\) في النقطة \(Z\). ولتكن \(P\) نقطة على المستقيم \(XY\) غير \(Z\). يقطع المستقيم \(CP\) الدائرة التي قطرها \(AC\) في \(C\) و\(M\)، ويقطع المستقيم \(BP\) الدائرة التي قطرها \(BD\) في \(B\) و\(N\). أثبت أن المستقيمات \(AM, DN, XY\) تتلاقى في نقطة واحدة.

   ← الحل

2. المسألة 2

   لتكن \(a,b,c\) أعدادًا حقيقية موجبة بحيث \(abc=1\). أثبت أن \[ \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq\frac32. \]

   ← الحل

3. المسألة 3

   أوجد جميع الأعداد الصحيحة \(n>3\) التي توجد من أجلها \(n\) نقطة \(A_1,\ldots,A_n\) في المستوى، لا تقع أي ثلاث منها على استقامة واحدة، وأعداد حقيقية \(r_1,\ldots,r_n\)، بحيث تكون مساحة \(\triangle A_iA_jA_k\) مساوية لـ \(r_i+r_j+r_k\) لكل \(1\le i<j<k\le n\).

   ← الحل

4. المسألة 4

   أوجد أكبر قيمة لـ \(x_0\) توجد من أجلها متتالية \(x_0,x_1\ldots,x_{1995}\) من الأعداد الحقيقية الموجبة تحقق \(x_0=x_{1995}\)، بحيث يكون لكل \(i=1,\ldots,1995\)، \[ x_{i-1}+\frac{2}{x_{i-1}}=2x_i+\frac{1}{x_i}. \]

   ← الحل

5. المسألة 5

   ليكن \(ABCDEF\) سداسيًا محدبًا يحقق \(AB = BC = CD\) و\(DE = EF = FA\)، بحيث \(\angle BCD = \angle EFA = \pi/3\). افترض أن \(G\) و\(H\) نقطتان داخل السداسي بحيث \(\angle AGB = \angle DHE = 2\pi/3\). أثبت أن \(AG + GB + GH + DH + HE \ge CF\).

   ← الحل

6. المسألة 6

   ليكن \(p\) عددًا أوليًا فرديًا. كم عدد المجموعات الجزئية \(A\) من \(\{1,2,\ldots 2p\}\) التي تتألف من \(p\) عنصرًا ويقبل مجموع عناصرها القسمة على \(p\)؟

   ← الحل

جميع السنوات