Problem 1

We are given a positive integer \(r\) and a rectangular board \(ABCD\) with dimensions \(|AB| = 20, |BC| = 12\). The rectangle is divided into a grid of \(20 \times 12\) unit squares. The following moves are permitted on the board: one can move from one square to another only if the distance between the centers of the two squares is \(\sqrt{r}\). The task is to find a sequence of moves leading from the square with \(A\) as a vertex to the square with \(B\) as a vertex.

(a) Show that the task cannot be done if \(r\) is divisible by \(2\) or \(3\).

(b) Prove that the task is possible when \(r = 73\).

(c) Can the task be done when \(r = 97\)?

Solution →

Problem 2

Let \(P\) be a point inside triangle \(ABC\) such that \[ \angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC. \] Let \(D,E\) be the incenters of triangles \(APB,APC\), respectively. Show that \(AP,BD,CE\) meet at a point.

Solution →

Problem 3

Let \(S\) denote the set of nonnegative integers. Find all functions \(f\) from \(S\) to itself such that \[ f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)\qquad \forall m,n\in S. \]

Solution →

Problem 4

The positive integers \(a\) and \(b\) are such that the numbers \(15a + 16b\) and \(16a - 15b\) are both squares of positive integers. What is the least possible value that can be taken on by the smaller of these two squares?

Solution →

Problem 5

Let \(ABCDEF\) be a convex hexagon such that \(AB\) is parallel to \(DE\), \(BC\) is parallel to \(EF\), and \(CD\) is parallel to \(FA\). Let \(R_A,R_C,R_E\) denote the circumradii of triangles \(FAB,BCD,DEF\), respectively, and let \(P\) denote the perimeter of the hexagon. Prove that \[ R_A+R_C+R_E\ge \frac{P}{2}. \]

Solution →

Problem 6

Let \(p,q,n\) be three positive integers with \(p+q<n\). Let \((x_0,x_1,\ldots,x_n)\) be an \((n+1)\)-tuple of integers satisfying the following conditions:

(a) \(x_0=x_n=0\).

(b) For each \(i\) with \(1\le i\le n\), either \(x_i-x_{i-1}=p\) or \(x_i-x_{i-1}=-q\).

Show that there exist indices \(i<j\) with \((i,j)\ne(0,n)\), such that \(x_i=x_j\).

Solution →

Aufgabe 1

Gegeben sind eine positive ganze Zahl \(r\) und ein rechteckiges Spielbrett \(ABCD\) mit den Abmessungen \(|AB| = 20, |BC| = 12\). Das Rechteck ist in ein Gitter aus \(20 \times 12\) Einheitsquadraten unterteilt. Auf dem Spielbrett sind folgende Züge erlaubt: Man darf genau dann von einem Feld zu einem anderen ziehen, wenn der Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Felder \(\sqrt{r}\) beträgt. Gesucht ist eine Folge von Zügen, die von dem Feld mit dem Eckpunkt \(A\) zu dem Feld mit dem Eckpunkt \(B\) führt.

(a) Zeige, dass dies nicht möglich ist, wenn \(r\) durch \(2\) oder \(3\) teilbar ist.

(b) Beweise, dass dies für \(r = 73\) möglich ist.

(c) Ist dies für \(r = 97\) möglich?

Lösung →

Aufgabe 2

Sei \(P\) ein Punkt im Inneren des Dreiecks \(ABC\), für den \[ \angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC \] gilt. Seien \(D,E\) die Inkreismittelpunkte der Dreiecke \(APB,APC\) in dieser Reihenfolge. Zeige, dass sich \(AP,BD,CE\) in einem Punkt schneiden.

Lösung →

Aufgabe 3

Sei \(S\) die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen. Bestimme alle Funktionen \(f\) von \(S\) in sich selbst, für die \[ f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)\qquad \forall m,n\in S \] gilt.

Lösung →

Aufgabe 4

Die positiven ganzen Zahlen \(a\) und \(b\) seien so gewählt, dass die Zahlen \(15a + 16b\) und \(16a - 15b\) beide Quadrate positiver ganzer Zahlen sind. Welches ist der kleinstmögliche Wert, den das kleinere dieser beiden Quadrate annehmen kann?

Lösung →

Aufgabe 5

Sei \(ABCDEF\) ein konvexes Sechseck, in dem \(AB\) parallel zu \(DE\), \(BC\) parallel zu \(EF\) und \(CD\) parallel zu \(FA\) ist. Seien \(R_A,R_C,R_E\) die Umkreisradien der Dreiecke \(FAB,BCD,DEF\) in dieser Reihenfolge, und sei \(P\) der Umfang des Sechsecks. Beweise, dass \[ R_A+R_C+R_E\ge \frac{P}{2}. \]

Lösung →

Aufgabe 6

Seien \(p,q,n\) drei positive ganze Zahlen mit \(p+q<n\). Sei \((x_0,x_1,\ldots,x_n)\) ein \((n+1)\)-Tupel ganzer Zahlen, das die folgenden Bedingungen erfüllt:

(a) \(x_0=x_n=0\).

(b) Für jedes \(i\) mit \(1\le i\le n\) gilt entweder \(x_i-x_{i-1}=p\) oder \(x_i-x_{i-1}=-q\).

Zeige, dass es Indizes \(i<j\) mit \((i,j)\ne(0,n)\) gibt, für die \(x_i=x_j\) gilt.

Lösung →

Soru 1

Bir pozitif tam sayı \(r\) ve kenar uzunlukları \(|AB| = 20, |BC| = 12\) olan dikdörtgen biçiminde bir \(ABCD\) tahtası verilmiştir. Dikdörtgen, \(20 \times 12\) birim kareden oluşan bir ızgaraya bölünmüştür. Tahta üzerinde şu hamlelere izin verilmektedir: Bir kareden başka bir kareye ancak bu iki karenin merkezleri arasındaki uzaklık \(\sqrt{r}\) ise geçilebilir. Amaç, bir köşesi \(A\) olan kareden bir köşesi \(B\) olan kareye götüren bir hamle dizisi bulmaktır.

(a) \(r\), \(2\) veya \(3\) ile bölünüyorsa bunun yapılamayacağını gösteriniz.

(b) \(r = 73\) olduğunda bunun yapılabileceğini kanıtlayınız.

(c) \(r = 97\) olduğunda bu yapılabilir mi?

Çözüm →

Soru 2

\(P\), \(ABC\) üçgeninin içinde \[ \angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC \] eşitliğini sağlayan bir nokta olsun. \(D,E\), sırasıyla \(APB,APC\) üçgenlerinin içteğet çemberlerinin merkezleri olsun. \(AP,BD,CE\) doğrularının bir noktada kesiştiğini gösteriniz.

Çözüm →

Soru 3

\(S\), negatif olmayan tam sayılar kümesini göstersin. \(S\) kümesinden kendisine tanımlı ve \[ f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)\qquad \forall m,n\in S \] eşitliğini sağlayan tüm \(f\) fonksiyonlarını bulunuz.

Çözüm →

Soru 4

\(a\) ve \(b\), \(15a + 16b\) ve \(16a - 15b\) sayılarının her ikisi de pozitif tam sayıların kareleri olacak şekilde pozitif tam sayılardır. Bu iki kareden küçük olanının alabileceği en küçük değer nedir?

Çözüm →

Soru 5

\(ABCDEF\), \(AB\) kenarı \(DE\) kenarına, \(BC\) kenarı \(EF\) kenarına ve \(CD\) kenarı \(FA\) kenarına paralel olan bir dışbükey altıgen olsun. \(R_A,R_C,R_E\), sırasıyla \(FAB,BCD,DEF\) üçgenlerinin çevrel çemberlerinin yarıçaplarını, \(P\) ise altıgenin çevresini göstersin. \[ R_A+R_C+R_E\ge \frac{P}{2} \] olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 6

\(p,q,n\), \(p+q<n\) koşulunu sağlayan üç pozitif tam sayı olsun. \((x_0,x_1,\ldots,x_n)\), aşağıdaki koşulları sağlayan bir tam sayı \((n+1)\)-lisi olsun:

(a) \(x_0=x_n=0\).

(b) \(1\le i\le n\) koşulunu sağlayan her \(i\) için ya \(x_i-x_{i-1}=p\) ya da \(x_i-x_{i-1}=-q\) olur.

\(i<j\) ve \((i,j)\ne(0,n)\) koşullarını sağlayan ve \(x_i=x_j\) olacak şekilde indislerin var olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Problema 1

Se dan un entero positivo \(r\) y un tablero rectangular \(ABCD\) de dimensiones \(|AB| = 20, |BC| = 12\). El rectángulo está dividido en una cuadrícula de \(20 \times 12\) cuadrados de lado unidad. En el tablero se permiten los siguientes movimientos: solo se puede pasar de una casilla a otra si la distancia entre sus centros es \(\sqrt{r}\). Se trata de encontrar una sucesión de movimientos que lleve de la casilla que tiene a \(A\) como vértice a la casilla que tiene a \(B\) como vértice.

(a) Demostrar que esto no es posible si \(r\) es divisible por \(2\) o por \(3\).

(b) Demostrar que es posible cuando \(r = 73\).

(c) ¿Es posible cuando \(r = 97\)?

Solución →

Problema 2

Sea \(P\) un punto interior al triángulo \(ABC\) tal que \[ \angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC. \] Sean \(D,E\) los incentros de los triángulos \(APB,APC\), respectivamente. Demostrar que \(AP,BD,CE\) concurren en un punto.

Solución →

Problema 3

Sea \(S\) el conjunto de los enteros no negativos. Hallar todas las funciones \(f\) de \(S\) en sí mismo tales que \[ f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)\qquad \forall m,n\in S. \]

Solución →

Problema 4

Los enteros positivos \(a\) y \(b\) son tales que los números \(15a + 16b\) y \(16a - 15b\) son ambos cuadrados de enteros positivos. ¿Cuál es el menor valor posible que puede tomar el menor de estos dos cuadrados?

Solución →

Problema 5

Sea \(ABCDEF\) un hexágono convexo tal que \(AB\) es paralelo a \(DE\), \(BC\) es paralelo a \(EF\), y \(CD\) es paralelo a \(FA\). Sean \(R_A,R_C,R_E\) los radios de las circunferencias circunscritas a los triángulos \(FAB,BCD,DEF\), respectivamente, y sea \(P\) el perímetro del hexágono. Demostrar que \[ R_A+R_C+R_E\ge \frac{P}{2}. \]

Solución →

Problema 6

Sean \(p,q,n\) tres enteros positivos con \(p+q<n\). Sea \((x_0,x_1,\ldots,x_n)\) una \((n+1)\)-tupla de enteros que satisface las siguientes condiciones:

(a) \(x_0=x_n=0\).

(b) Para cada \(i\) con \(1\le i\le n\), se tiene \(x_i-x_{i-1}=p\) o \(x_i-x_{i-1}=-q\).

Demostrar que existen índices \(i<j\) con \((i,j)\ne(0,n)\), tales que \(x_i=x_j\).

Solución →

问题 1

给定一个正整数 \(r\) 和一块矩形棋盘 \(ABCD\)，其边长为 \(|AB| = 20, |BC| = 12\)。该矩形被划分成 \(20 \times 12\) 个单位正方形组成的网格。在棋盘上允许进行如下移动：只有当两个方格中心之间的距离为 \(\sqrt{r}\) 时，才能从一个方格移动到另一个方格。任务是找出一系列移动，从以 \(A\) 为顶点的方格到达以 \(B\) 为顶点的方格。

(a) 证明：若 \(r\) 能被 \(2\) 或 \(3\) 整除，则无法完成该任务。

(b) 证明：当 \(r = 73\) 时，可以完成该任务。

(c) 当 \(r = 97\) 时，能否完成该任务？

解答 →

问题 2

设 \(P\) 是三角形 \(ABC\) 内部的一点，满足 \[ \angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC. \] 设 \(D,E\) 分别是三角形 \(APB,APC\) 的内心。证明：\(AP,BD,CE\) 交于一点。

解答 →

问题 3

用 \(S\) 表示非负整数集。求所有从 \(S\) 到自身的函数 \(f\)，使得 \[ f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)\qquad \forall m,n\in S. \]

解答 →

问题 4

正整数 \(a\) 和 \(b\) 满足：\(15a + 16b\) 和 \(16a - 15b\) 都是正整数的平方。这两个平方数中较小的一个所能取到的最小值是多少？

解答 →

问题 5

设 \(ABCDEF\) 是一个凸六边形，满足 \(AB\) 平行于 \(DE\)，\(BC\) 平行于 \(EF\)，且 \(CD\) 平行于 \(FA\)。用 \(R_A,R_C,R_E\) 分别表示三角形 \(FAB,BCD,DEF\) 的外接圆半径，用 \(P\) 表示该六边形的周长。证明： \[ R_A+R_C+R_E\ge \frac{P}{2}. \]

解答 →

问题 6

设 \(p,q,n\) 是三个正整数，且 \(p+q<n\)。设 \((x_0,x_1,\ldots,x_n)\) 是一个由整数组成的 \((n+1)\) 元组，满足以下条件：

(a) \(x_0=x_n=0\)。

(b) 对每个满足 \(1\le i\le n\) 的 \(i\)，都有 \(x_i-x_{i-1}=p\) 或 \(x_i-x_{i-1}=-q\)。

证明：存在下标 \(i<j\)，满足 \((i,j)\ne(0,n)\)，使得 \(x_i=x_j\)。

解答 →

Задача 1

Даны положительное целое число \(r\) и прямоугольная доска \(ABCD\) с размерами \(|AB| = 20, |BC| = 12\). Прямоугольник разбит на сетку из \(20 \times 12\) единичных квадратов. На доске разрешены следующие ходы: из одной клетки можно перейти в другую только в том случае, если расстояние между центрами этих клеток равно \(\sqrt{r}\). Требуется найти последовательность ходов, ведущую из клетки, одной из вершин которой является \(A\), в клетку, одной из вершин которой является \(B\).

(a) Покажите, что выполнить это требование невозможно, если \(r\) делится на \(2\) или на \(3\).

(b) Докажите, что при \(r = 73\) это возможно.

(c) Можно ли выполнить это требование при \(r = 97\)?

Решение →

Задача 2

Пусть \(P\) — точка внутри треугольника \(ABC\), для которой \[ \angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC. \] Пусть \(D,E\) — центры вписанных окружностей треугольников \(APB,APC\) соответственно. Докажите, что прямые \(AP,BD,CE\) пересекаются в одной точке.

Решение →

Задача 3

Пусть \(S\) — множество неотрицательных целых чисел. Найдите все функции \(f\) из \(S\) в себя, для которых \[ f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)\qquad \forall m,n\in S. \]

Решение →

Задача 4

Положительные целые числа \(a\) и \(b\) таковы, что числа \(15a + 16b\) и \(16a - 15b\) являются квадратами положительных целых чисел. Каково наименьшее возможное значение меньшего из этих двух квадратов?

Решение →

Задача 5

Пусть \(ABCDEF\) — выпуклый шестиугольник, в котором \(AB\) параллельна \(DE\), \(BC\) параллельна \(EF\), а \(CD\) параллельна \(FA\). Пусть \(R_A,R_C,R_E\) — радиусы описанных окружностей треугольников \(FAB,BCD,DEF\) соответственно, а \(P\) — периметр шестиугольника. Докажите, что \[ R_A+R_C+R_E\ge \frac{P}{2}. \]

Решение →

Задача 6

Пусть \(p,q,n\) — три положительных целых числа, для которых \(p+q<n\). Пусть \((x_0,x_1,\ldots,x_n)\) — набор из \((n+1)\) целых чисел, удовлетворяющий следующим условиям:

(a) \(x_0=x_n=0\).

(b) Для каждого \(i\), где \(1\le i\le n\), либо \(x_i-x_{i-1}=p\), либо \(x_i-x_{i-1}=-q\).

Докажите, что существуют индексы \(i<j\), для которых \((i,j)\ne(0,n)\) и \(x_i=x_j\).

Решение →

المسألة 1

لدينا عدد صحيح موجب \(r\) ولوح مستطيل \(ABCD\) أبعاده \(|AB| = 20, |BC| = 12\). قُسِّم المستطيل إلى شبكة من \(20 \times 12\) مربعًا طول ضلع كل منها وحدة واحدة. يُسمح بالحركات الآتية على اللوح: لا يجوز الانتقال من مربع إلى آخر إلا إذا كانت المسافة بين مركزي المربعين تساوي \(\sqrt{r}\). والمطلوب إيجاد سلسلة من الحركات تؤدي من المربع الذي أحد رؤوسه \(A\) إلى المربع الذي أحد رؤوسه \(B\).

(a) بيّن أن ذلك غير ممكن إذا كان \(r\) يقبل القسمة على \(2\) أو \(3\).

(b) أثبت أن ذلك ممكن عندما \(r = 73\).

(c) هل يمكن القيام بذلك عندما \(r = 97\)؟

← الحل

المسألة 2

لتكن \(P\) نقطة داخل المثلث \(ABC\) بحيث \[ \angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC. \] ولتكن \(D,E\) مركزي الدائرتين الداخليتين للمثلثين \(APB,APC\)، على الترتيب. بيّن أن \(AP,BD,CE\) تتلاقى في نقطة واحدة.

← الحل

المسألة 3

لتكن \(S\) مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة. أوجد جميع الدوال \(f\) من \(S\) إلى نفسها التي تحقق \[ f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)\qquad \forall m,n\in S. \]

← الحل

المسألة 4

العددان الصحيحان الموجبان \(a\) و\(b\) يحققان أن العددين \(15a + 16b\) و\(16a - 15b\) كلاهما مربع عدد صحيح موجب. ما أصغر قيمة ممكنة لأصغر هذين المربعين؟

← الحل

المسألة 5

ليكن \(ABCDEF\) مسدسًا محدبًا بحيث \(AB\) يوازي \(DE\)، و\(BC\) يوازي \(EF\)، و\(CD\) يوازي \(FA\). ولترمز \(R_A,R_C,R_E\) إلى أنصاف أقطار الدوائر المحيطة بالمثلثات \(FAB,BCD,DEF\)، على الترتيب، وليرمز \(P\) إلى محيط المسدس. أثبت أن \[ R_A+R_C+R_E\ge \frac{P}{2}. \]

← الحل

المسألة 6

لتكن \(p,q,n\) ثلاثة أعداد صحيحة موجبة تحقق \(p+q<n\). ولتكن \((x_0,x_1,\ldots,x_n)\) قائمة مرتبة من \((n+1)\) عددًا صحيحًا تحقق الشروط الآتية:

(a) \(x_0=x_n=0\).

(b) لكل \(i\) يحقق \(1\le i\le n\)، إما \(x_i-x_{i-1}=p\) وإما \(x_i-x_{i-1}=-q\).

بيّن أنه يوجد دليلان \(i<j\) يحققان \((i,j)\ne(0,n)\)، بحيث \(x_i=x_j\).

← الحل