IMO 1992 · Problem 1
Find all integers \(a,b,c\) with \(1<a<b<c\) such that \[ (a-1)(b-1)(c-1)\quad\text{is a divisor of }abc-1. \]
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
\[ \boxed{(a,b,c)=(2,4,8)\ \text{or}\ (3,5,15).} \]
Solution
Let \[ k=\frac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}. \] By hypothesis, \(k\) is an integer. Moreover, \[ abc-1-(a-1)(b-1)(c-1) =a(b-1)+b(c-1)+c(a-1)>0, \] so \(k>1\).
The function \(t/(t-1)=1+1/(t-1)\) is decreasing for \(t>1\). Since \(a\ge2\), \(b\ge3\), and \(c\ge4\), we have \[ k< \frac{a}{a-1}\frac{b}{b-1}\frac{c}{c-1} \le 2\cdot\frac32\cdot\frac43=4. \] Thus \(k\in\{2,3\}\).
If \(a\ge4\), then \(b\ge5\) and \(c\ge6\), giving \[ k< \frac43\cdot\frac54\cdot\frac65=2, \] a contradiction. Hence \(a=2\) or \(a=3\).
Case 1: \(a=2\). Here \[ k-2 =\frac{2bc-1-2(b-1)(c-1)}{(b-1)(c-1)} =\frac{2b+2c-3}{(b-1)(c-1)}>0. \] Therefore \(k=3\), so \[ 2bc-1=3(b-1)(c-1). \] Rearranging yields \[ (b-3)(c-3)=5. \] Since \(3\le b<c\), the two factors are nonnegative and strictly increasing; their positive product makes both positive. As \(5\) is prime, they must be \(1\) and \(5\), respectively. Thus \[ (a,b,c)=(2,4,8). \]
Case 2: \(a=3\). Since \(b\ge4\) and \(c\ge5\), \[ k<\frac32\cdot\frac43\cdot\frac54=\frac52. \] Therefore \(k=2\), and \[ 3bc-1=4(b-1)(c-1). \] Rearranging yields \[ (b-4)(c-4)=11. \] Since \(4\le b<c\), these factors are positive and strictly increasing. As \(11\) is prime, they must be \(1\) and \(11\), respectively. Thus \[ (a,b,c)=(3,5,15). \]
Finally, both triples satisfy the required inequalities, and \[ 2\cdot4\cdot8-1=63=3(2-1)(4-1)(8-1), \] \[ 3\cdot5\cdot15-1=224=2(3-1)(5-1)(15-1). \] Hence both are solutions, and the cases above prove that there are no others.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1992 · Aufgabe 1
Bestimme alle ganzen Zahlen \(a,b,c\) mit \(1<a<b<c\), für die gilt: \[ (a-1)(b-1)(c-1)\quad\text{ist ein Teiler von }abc-1. \]
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
\[ \boxed{(a,b,c)=(2,4,8)\ \text{oder}\ (3,5,15).} \]
Lösung
Sei \[ k=\frac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}. \] Nach Voraussetzung ist \(k\) eine ganze Zahl. Außerdem gilt \[ abc-1-(a-1)(b-1)(c-1) =a(b-1)+b(c-1)+c(a-1)>0, \] also ist \(k>1\).
Die Funktion \(t/(t-1)=1+1/(t-1)\) ist für \(t>1\) streng monoton fallend. Wegen \(a\ge2\), \(b\ge3\) und \(c\ge4\) gilt \[ k< \frac{a}{a-1}\frac{b}{b-1}\frac{c}{c-1} \le 2\cdot\frac32\cdot\frac43=4. \] Somit ist \(k\in\{2,3\}\).
Ist \(a\ge4\), so sind \(b\ge5\) und \(c\ge6\), und es folgt \[ k< \frac43\cdot\frac54\cdot\frac65=2, \] ein Widerspruch. Daher ist \(a=2\) oder \(a=3\).
Fall 1: \(a=2\). Hier gilt \[ k-2 =\frac{2bc-1-2(b-1)(c-1)}{(b-1)(c-1)} =\frac{2b+2c-3}{(b-1)(c-1)}>0. \] Also ist \(k=3\), und damit \[ 2bc-1=3(b-1)(c-1). \] Umformen ergibt \[ (b-3)(c-3)=5. \] Wegen \(3\le b<c\) sind die beiden Faktoren nichtnegativ, und der zweite ist größer als der erste; da ihr Produkt positiv ist, sind beide positiv. Da \(5\) eine Primzahl ist, müssen sie \(1\) bzw. \(5\) sein. Somit gilt \[ (a,b,c)=(2,4,8). \]
Fall 2: \(a=3\). Wegen \(b\ge4\) und \(c\ge5\) gilt \[ k<\frac32\cdot\frac43\cdot\frac54=\frac52. \] Also ist \(k=2\), und es gilt \[ 3bc-1=4(b-1)(c-1). \] Umformen ergibt \[ (b-4)(c-4)=11. \] Wegen \(4\le b<c\) sind diese Faktoren positiv, und der zweite ist größer als der erste. Da \(11\) eine Primzahl ist, müssen sie \(1\) bzw. \(11\) sein. Somit gilt \[ (a,b,c)=(3,5,15). \]
Schließlich erfüllen beide Tripel die geforderten Ungleichungen, und es gilt \[ 2\cdot4\cdot8-1=63=3(2-1)(4-1)(8-1), \] \[ 3\cdot5\cdot15-1=224=2(3-1)(5-1)(15-1). \] Daher sind beide Tripel Lösungen, und die obige Fallunterscheidung beweist, dass es keine weiteren gibt.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1992 · Soru 1
\(1<a<b<c\) ve \[ (a-1)(b-1)(c-1)\quad\text{şu sayının bir bölenidir: }abc-1 \] koşullarını sağlayan tüm \(a,b,c\) tam sayılarını bulunuz.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\[ \boxed{(a,b,c)=(2,4,8)\ \text{veya}\ (3,5,15).} \]
Çözüm
\[ k=\frac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)} \] olsun. Varsayım gereği \(k\) bir tam sayıdır. Ayrıca, \[ abc-1-(a-1)(b-1)(c-1) =a(b-1)+b(c-1)+c(a-1)>0, \] olduğundan \(k>1\) olur.
\(t/(t-1)=1+1/(t-1)\) fonksiyonu \(t>1\) için azalandır. \(a\ge2\), \(b\ge3\) ve \(c\ge4\) olduğundan \[ k< \frac{a}{a-1}\frac{b}{b-1}\frac{c}{c-1} \le 2\cdot\frac32\cdot\frac43=4. \] Dolayısıyla \(k\in\{2,3\}\) olur.
\(a\ge4\) olsaydı \(b\ge5\) ve \(c\ge6\) olur, buradan \[ k< \frac43\cdot\frac54\cdot\frac65=2, \] çelişkisi elde edilirdi. O hâlde \(a=2\) veya \(a=3\) olur.
Durum 1: \(a=2\). Bu durumda \[ k-2 =\frac{2bc-1-2(b-1)(c-1)}{(b-1)(c-1)} =\frac{2b+2c-3}{(b-1)(c-1)}>0. \] Bu nedenle \(k=3\) olur ve \[ 2bc-1=3(b-1)(c-1). \] Düzenlersek \[ (b-3)(c-3)=5. \] \(3\le b<c\) olduğundan iki çarpan da negatif değildir ve birincisi ikincisinden küçüktür; çarpımları pozitif olduğundan ikisi de pozitiftir. \(5\) asal olduğundan bu çarpanlar sırasıyla \(1\) ve \(5\) olmalıdır. Böylece \[ (a,b,c)=(2,4,8). \]
Durum 2: \(a=3\). \(b\ge4\) ve \(c\ge5\) olduğundan \[ k<\frac32\cdot\frac43\cdot\frac54=\frac52. \] Bu nedenle \(k=2\) olur ve \[ 3bc-1=4(b-1)(c-1). \] Düzenlersek \[ (b-4)(c-4)=11. \] \(4\le b<c\) olduğundan bu çarpanlar pozitiftir ve birincisi ikincisinden küçüktür. \(11\) asal olduğundan bu çarpanlar sırasıyla \(1\) ve \(11\) olmalıdır. Böylece \[ (a,b,c)=(3,5,15). \]
Son olarak, her iki üçlü de istenen eşitsizlikleri sağlar ve \[ 2\cdot4\cdot8-1=63=3(2-1)(4-1)(8-1), \] \[ 3\cdot5\cdot15-1=224=2(3-1)(5-1)(15-1). \] Dolayısıyla her ikisi de çözümdür ve yukarıdaki durumlar başka çözüm olmadığını kanıtlar.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1992 · Problema 1
Hallar todos los enteros \(a,b,c\) con \(1<a<b<c\) tales que \[ (a-1)(b-1)(c-1)\quad\text{es divisor de }abc-1. \]
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
\[ \boxed{(a,b,c)=(2,4,8)\ \text{o}\ (3,5,15).} \]
Solución
Sea \[ k=\frac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}. \] Por hipótesis, \(k\) es un entero. Además, \[ abc-1-(a-1)(b-1)(c-1) =a(b-1)+b(c-1)+c(a-1)>0, \] por lo que \(k>1\).
La función \(t/(t-1)=1+1/(t-1)\) es decreciente para \(t>1\). Como \(a\ge2\), \(b\ge3\) y \(c\ge4\), tenemos \[ k< \frac{a}{a-1}\frac{b}{b-1}\frac{c}{c-1} \le 2\cdot\frac32\cdot\frac43=4. \] Por tanto, \(k\in\{2,3\}\).
Si \(a\ge4\), entonces \(b\ge5\) y \(c\ge6\), de donde \[ k< \frac43\cdot\frac54\cdot\frac65=2, \] lo cual es una contradicción. Así pues, \(a=2\) o \(a=3\).
Caso 1: \(a=2\). En este caso, \[ k-2 =\frac{2bc-1-2(b-1)(c-1)}{(b-1)(c-1)} =\frac{2b+2c-3}{(b-1)(c-1)}>0. \] Por tanto, \(k=3\), de modo que \[ 2bc-1=3(b-1)(c-1). \] Reordenando, obtenemos \[ (b-3)(c-3)=5. \] Como \(3\le b<c\), los dos factores son no negativos y el segundo es estrictamente mayor que el primero; al ser su producto positivo, ambos son positivos. Como \(5\) es primo, deben ser \(1\) y \(5\), respectivamente. Por tanto, \[ (a,b,c)=(2,4,8). \]
Caso 2: \(a=3\). Como \(b\ge4\) y \(c\ge5\), \[ k<\frac32\cdot\frac43\cdot\frac54=\frac52. \] Por tanto, \(k=2\), y \[ 3bc-1=4(b-1)(c-1). \] Reordenando, obtenemos \[ (b-4)(c-4)=11. \] Como \(4\le b<c\), estos factores son positivos y el segundo es estrictamente mayor que el primero. Como \(11\) es primo, deben ser \(1\) y \(11\), respectivamente. Por tanto, \[ (a,b,c)=(3,5,15). \]
Finalmente, ambas ternas satisfacen las desigualdades requeridas, y \[ 2\cdot4\cdot8-1=63=3(2-1)(4-1)(8-1), \] \[ 3\cdot5\cdot15-1=224=2(3-1)(5-1)(15-1). \] Por tanto, ambas son soluciones, y los casos anteriores demuestran que no hay otras.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1992 · 问题 1
求所有满足 \(1<a<b<c\) 的整数 \(a,b,c\)，使得 \[ (a-1)(b-1)(c-1)\quad\text{整除 }abc-1. \]
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
\[ \boxed{(a,b,c)=(2,4,8)\ \text{或}\ (3,5,15).} \]
解答
设 \[ k=\frac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}. \] 由题设，\(k\) 是整数。此外， \[ abc-1-(a-1)(b-1)(c-1) =a(b-1)+b(c-1)+c(a-1)>0, \] 所以 \(k>1\)。
函数 \(t/(t-1)=1+1/(t-1)\) 在 \(t>1\) 时单调递减。由于 \(a\ge2\)、\(b\ge3\) 且 \(c\ge4\)，有 \[ k< \frac{a}{a-1}\frac{b}{b-1}\frac{c}{c-1} \le 2\cdot\frac32\cdot\frac43=4. \] 因此 \(k\in\{2,3\}\)。
若 \(a\ge4\)，则 \(b\ge5\) 且 \(c\ge6\)，从而 \[ k< \frac43\cdot\frac54\cdot\frac65=2, \] 矛盾。因此 \(a=2\) 或 \(a=3\)。
情形 1：\(a=2\)。 此时 \[ k-2 =\frac{2bc-1-2(b-1)(c-1)}{(b-1)(c-1)} =\frac{2b+2c-3}{(b-1)(c-1)}>0. \] 因此 \(k=3\)，所以 \[ 2bc-1=3(b-1)(c-1). \] 整理得 \[ (b-3)(c-3)=5. \] 由于 \(3\le b<c\)，这两个因子均非负，且前者严格小于后者；它们的乘积为正，故两者均为正。由于 \(5\) 是质数，它们只能分别为 \(1\) 和 \(5\)。因此 \[ (a,b,c)=(2,4,8). \]
情形 2：\(a=3\)。 由于 \(b\ge4\) 且 \(c\ge5\)， \[ k<\frac32\cdot\frac43\cdot\frac54=\frac52. \] 因此 \(k=2\)，且 \[ 3bc-1=4(b-1)(c-1). \] 整理得 \[ (b-4)(c-4)=11. \] 由于 \(4\le b<c\)，这两个因子均为正，且前者严格小于后者。由于 \(11\) 是质数，它们只能分别为 \(1\) 和 \(11\)。因此 \[ (a,b,c)=(3,5,15). \]
最后，这两个三元组都满足所要求的不等式，且 \[ 2\cdot4\cdot8-1=63=3(2-1)(4-1)(8-1), \] \[ 3\cdot5\cdot15-1=224=2(3-1)(5-1)(15-1). \] 故两者均为解，而上述分类讨论证明了没有其他解。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1992 · Задача 1
Найдите все целые числа \(a,b,c\), для которых \(1<a<b<c\) и \[ (a-1)(b-1)(c-1)\quad\text{является делителем }abc-1. \]
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
\[ \boxed{(a,b,c)=(2,4,8)\ \text{или}\ (3,5,15).} \]
Решение
Пусть \[ k=\frac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}. \] По условию \(k\) — целое число. Кроме того, \[ abc-1-(a-1)(b-1)(c-1) =a(b-1)+b(c-1)+c(a-1)>0, \] поэтому \(k>1\).
Функция \(t/(t-1)=1+1/(t-1)\) убывает при \(t>1\). Так как \(a\ge2\), \(b\ge3\) и \(c\ge4\), получаем \[ k< \frac{a}{a-1}\frac{b}{b-1}\frac{c}{c-1} \le 2\cdot\frac32\cdot\frac43=4. \] Таким образом, \(k\in\{2,3\}\).
Если \(a\ge4\), то \(b\ge5\) и \(c\ge6\), откуда \[ k< \frac43\cdot\frac54\cdot\frac65=2, \] что приводит к противоречию. Следовательно, \(a=2\) или \(a=3\).
Случай 1: \(a=2\). Здесь \[ k-2 =\frac{2bc-1-2(b-1)(c-1)}{(b-1)(c-1)} =\frac{2b+2c-3}{(b-1)(c-1)}>0. \] Следовательно, \(k=3\), поэтому \[ 2bc-1=3(b-1)(c-1). \] После преобразований получаем \[ (b-3)(c-3)=5. \] Так как \(3\le b<c\), оба множителя неотрицательны, причём первый строго меньше второго; поскольку их произведение положительно, оба они положительны. Число \(5\) простое, поэтому множители равны соответственно \(1\) и \(5\). Таким образом, \[ (a,b,c)=(2,4,8). \]
Случай 2: \(a=3\). Так как \(b\ge4\) и \(c\ge5\), \[ k<\frac32\cdot\frac43\cdot\frac54=\frac52. \] Следовательно, \(k=2\), и \[ 3bc-1=4(b-1)(c-1). \] После преобразований получаем \[ (b-4)(c-4)=11. \] Так как \(4\le b<c\), эти множители положительны, причём первый строго меньше второго. Число \(11\) простое, поэтому множители равны соответственно \(1\) и \(11\). Таким образом, \[ (a,b,c)=(3,5,15). \]
Наконец, обе тройки удовлетворяют требуемым неравенствам, и \[ 2\cdot4\cdot8-1=63=3(2-1)(4-1)(8-1), \] \[ 3\cdot5\cdot15-1=224=2(3-1)(5-1)(15-1). \] Следовательно, обе тройки являются решениями, а рассмотренные выше случаи доказывают, что других решений нет.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1992 · المسألة 1
أوجد جميع الأعداد الصحيحة \(a,b,c\) التي تحقق \(1<a<b<c\) بحيث \[ (a-1)(b-1)(c-1)\quad\text{قاسم للعدد }abc-1. \]
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
\[ \boxed{(a,b,c)=(2,4,8)\ \text{أو}\ (3,5,15).} \]
الحل
لنضع \[ k=\frac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}. \] بحسب الفرض، \(k\) عدد صحيح. وعلاوة على ذلك، \[ abc-1-(a-1)(b-1)(c-1) =a(b-1)+b(c-1)+c(a-1)>0, \] ومن ثم \(k>1\).
الدالة \(t/(t-1)=1+1/(t-1)\) متناقصة عندما \(t>1\). وبما أن \(a\ge2\)، و\(b\ge3\)، و\(c\ge4\)، فإن \[ k< \frac{a}{a-1}\frac{b}{b-1}\frac{c}{c-1} \le 2\cdot\frac32\cdot\frac43=4. \] إذن \(k\in\{2,3\}\).
إذا كان \(a\ge4\)، فإن \(b\ge5\) و\(c\ge6\)، مما يعطي \[ k< \frac43\cdot\frac54\cdot\frac65=2, \] وهذا تناقض. لذا \(a=2\) أو \(a=3\).
الحالة 1: \(a=2\). في هذه الحالة \[ k-2 =\frac{2bc-1-2(b-1)(c-1)}{(b-1)(c-1)} =\frac{2b+2c-3}{(b-1)(c-1)}>0. \] وعليه \(k=3\)، ومن ثم \[ 2bc-1=3(b-1)(c-1). \] بإعادة الترتيب نحصل على \[ (b-3)(c-3)=5. \] بما أن \(3\le b<c\)، فإن العاملين غير سالبين، وأولهما أصغر من الثاني قطعًا؛ وبما أن حاصل ضربهما موجب، فكلاهما موجب. ولأن \(5\) عدد أولي، فلا بد أن يكونا \(1\) و\(5\)، على الترتيب. إذن \[ (a,b,c)=(2,4,8). \]
الحالة 2: \(a=3\). بما أن \(b\ge4\) و\(c\ge5\)، فإن \[ k<\frac32\cdot\frac43\cdot\frac54=\frac52. \] وعليه \(k=2\)، و \[ 3bc-1=4(b-1)(c-1). \] بإعادة الترتيب نحصل على \[ (b-4)(c-4)=11. \] بما أن \(4\le b<c\)، فإن هذين العاملين موجبان، وأولهما أصغر من الثاني قطعًا. ولأن \(11\) عدد أولي، فلا بد أن يكونا \(1\) و\(11\)، على الترتيب. إذن \[ (a,b,c)=(3,5,15). \]
أخيرًا، تحقق كلتا الثلاثيتين المتباينات المطلوبة، كما أن \[ 2\cdot4\cdot8-1=63=3(2-1)(4-1)(8-1), \] \[ 3\cdot5\cdot15-1=224=2(3-1)(5-1)(15-1). \] ومن ثم فكلتاهما حل، وتثبت الحالات السابقة عدم وجود حلول أخرى.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).