IMO 1989 · Problem 5
Prove that for each positive integer \(n\) there exist \(n\) consecutive positive integers none of which is an integral power of a prime number.
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Solution
Let \(n\) be a positive integer and put \(F=(n+1)!\). We claim that the \(n\) consecutive positive integers \[ F^2+2,\ F^2+3,\ \ldots,\ F^2+n+1 \] have the required property.
Indeed, fix any integer \(k\) with \(2\le k\le n+1\). Since \(k\mid F\), we may write \(F=kr\), where \(r\) is a positive integer. Then \[ F^2+k=k(kr^2+1). \] Both factors exceed \(1\), and \[ \gcd(k,kr^2+1)=1, \] because any common divisor divides \((kr^2+1)-r^2k=1\).
Each factor therefore has a prime divisor, and their coprimality ensures that these prime divisors are distinct. Hence \(F^2+k\) has at least two distinct prime divisors and cannot be an integral power of a prime number.
This holds for every \(k=2,\ldots,n+1\), proving the assertion. \(\square\)
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1989 · Aufgabe 5
Man beweise, dass es zu jeder positiven ganzen Zahl \(n\) eine Folge von \(n\) aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen gibt, von denen keine eine ganzzahlige Potenz einer Primzahl ist.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Lösung
Es sei \(n\) eine positive ganze Zahl, und wir setzen \(F=(n+1)!\). Wir behaupten, dass die \(n\) aufeinanderfolgenden positiven ganzen Zahlen \[ F^2+2,\ F^2+3,\ \ldots,\ F^2+n+1 \] die geforderte Eigenschaft haben.
Dazu betrachten wir eine beliebige feste ganze Zahl \(k\) mit \(2\le k\le n+1\). Da \(k\mid F\), können wir \(F=kr\) schreiben, wobei \(r\) eine positive ganze Zahl ist. Dann gilt \[ F^2+k=k(kr^2+1). \] Beide Faktoren sind größer als \(1\), und es gilt \[ \operatorname{ggT}(k,kr^2+1)=1, \] denn jeder gemeinsame Teiler teilt \((kr^2+1)-r^2k=1\).
Jeder Faktor hat daher einen Primteiler, und ihre Teilerfremdheit gewährleistet, dass diese Primteiler verschieden sind. Somit hat \(F^2+k\) mindestens zwei verschiedene Primteiler und kann keine ganzzahlige Potenz einer Primzahl sein.
Dies gilt für jedes \(k=2,\ldots,n+1\), womit die Behauptung bewiesen ist. \(\square\)
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1989 · Soru 5
Her pozitif tam sayı \(n\) için, hiçbiri bir asal sayının tam sayı kuvveti olmayan \(n\) ardışık pozitif tam sayı bulunduğunu kanıtlayınız.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Çözüm
\(n\) bir pozitif tam sayı ve \(F=(n+1)!\) olsun. Ardışık \(n\) pozitif tam sayı olan \[ F^2+2,\ F^2+3,\ \ldots,\ F^2+n+1 \] sayılarının istenen özelliğe sahip olduğunu iddia ediyoruz.
Gerçekten de \(2\le k\le n+1\) koşulunu sağlayan herhangi bir \(k\) tam sayısını sabitleyelim. \(k\mid F\) olduğundan, \(r\) bir pozitif tam sayı olmak üzere \(F=kr\) yazabiliriz. O hâlde \[ F^2+k=k(kr^2+1). \] Her iki çarpan da \(1\)'den büyüktür ve \[ \operatorname{ebob}(k,kr^2+1)=1, \] çünkü her ortak bölen \((kr^2+1)-r^2k=1\)'i böler.
Dolayısıyla her çarpanın bir asal böleni vardır ve aralarında asal olmaları, bu asal bölenlerin farklı olmasını sağlar. Bu nedenle \(F^2+k\)'nın en az iki farklı asal böleni vardır ve bu sayı bir asal sayının tam sayı kuvveti olamaz.
Bu durum her \(k=2,\ldots,n+1\) için geçerli olduğundan iddia kanıtlanmış olur. \(\square\)
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1989 · Problema 5
Demostrar que para cada entero positivo \(n\) existen \(n\) enteros positivos consecutivos, ninguno de los cuales es una potencia de exponente entero de un número primo.
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Solución
Sea \(n\) un entero positivo y sea \(F=(n+1)!\). Afirmamos que los \(n\) enteros positivos consecutivos \[ F^2+2,\ F^2+3,\ \ldots,\ F^2+n+1 \] tienen la propiedad requerida.
En efecto, fijemos un entero cualquiera \(k\) con \(2\le k\le n+1\). Como \(k\mid F\), podemos escribir \(F=kr\), donde \(r\) es un entero positivo. Entonces \[ F^2+k=k(kr^2+1). \] Ambos factores son mayores que \(1\), y \[ \operatorname{mcd}(k,kr^2+1)=1, \] porque cualquier divisor común divide a \((kr^2+1)-r^2k=1\).
Por tanto, cada factor tiene un divisor primo, y el hecho de que sean coprimos garantiza que estos divisores primos son distintos. Así, \(F^2+k\) tiene al menos dos divisores primos distintos y no puede ser una potencia de exponente entero de un número primo.
Esto se cumple para todo \(k=2,\ldots,n+1\), lo que demuestra la afirmación. \(\square\)
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1989 · 问题 5
证明：对每个正整数 \(n\)，都存在 \(n\) 个连续正整数，其中没有一个是素数的整数次幂。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
解答
设 \(n\) 为正整数，并令 \(F=(n+1)!\)。我们断言，以下 \(n\) 个连续正整数 \[ F^2+2,\ F^2+3,\ \ldots,\ F^2+n+1 \] 具有所要求的性质。
事实上，任取满足 \(2\le k\le n+1\) 的整数 \(k\)。由于 \(k\mid F\)，可写成 \(F=kr\)，其中 \(r\) 为正整数。于是 \[ F^2+k=k(kr^2+1). \] 两个因子都大于 \(1\)，且 \[ \gcd(k,kr^2+1)=1, \] 因为它们的任意公因子都整除 \((kr^2+1)-r^2k=1\)。
因此，每个因子都有一个素因子，而这两个因子互素，保证了这些素因子互不相同。所以 \(F^2+k\) 至少有两个不同的素因子，不可能是素数的整数次幂。
上述结论对每个 \(k=2,\ldots,n+1\) 都成立，命题得证。\(\square\)
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1989 · Задача 5
Докажите, что для каждого положительного целого числа \(n\) существуют \(n\) последовательных положительных целых чисел, ни одно из которых не является целой степенью простого числа.
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Решение
Пусть \(n\) — положительное целое число, и положим \(F=(n+1)!\). Утверждаем, что \(n\) последовательных положительных целых чисел \[ F^2+2,\ F^2+3,\ \ldots,\ F^2+n+1 \] обладают требуемым свойством.
Действительно, зафиксируем произвольное целое число \(k\), удовлетворяющее условию \(2\le k\le n+1\). Поскольку \(k\mid F\), можно записать \(F=kr\), где \(r\) — положительное целое число. Тогда \[ F^2+k=k(kr^2+1). \] Оба множителя больше \(1\), причём \[ \operatorname{НОД}(k,kr^2+1)=1, \] поскольку любой их общий делитель делит \((kr^2+1)-r^2k=1\).
Следовательно, каждый множитель имеет простой делитель, а из взаимной простоты множителей следует, что эти простые делители различны. Значит, \(F^2+k\) имеет по крайней мере два различных простых делителя и не может быть целой степенью простого числа.
Это верно для каждого \(k=2,\ldots,n+1\), что доказывает утверждение. \(\square\)
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1989 · المسألة 5
أثبت أنه لكل عدد صحيح موجب \(n\) توجد \(n\) أعداد صحيحة موجبة متتالية لا يكون أي منها قوة ذات أس صحيح لعدد أولي.
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الحل
ليكن \(n\) عددًا صحيحًا موجبًا، ونضع \(F=(n+1)!\). ندّعي أن الأعداد الصحيحة الموجبة المتتالية وعددها \(n\) \[ F^2+2,\ F^2+3,\ \ldots,\ F^2+n+1 \] تتمتع بالخاصية المطلوبة.
بالفعل، نثبت أي عدد صحيح \(k\) يحقق \(2\le k\le n+1\). بما أن \(k\mid F\)، يمكننا أن نكتب \(F=kr\)، حيث \(r\) عدد صحيح موجب. عندئذ \[ F^2+k=k(kr^2+1). \] كلا العاملين أكبر من \(1\)، ولدينا \[ \gcd(k,kr^2+1)=1, \] لأن أي قاسم مشترك يقسم \((kr^2+1)-r^2k=1\).
إذن لكل عامل قاسم أولي، وكون العاملين أوليين فيما بينهما يضمن أن هذين القاسمين الأوليين مختلفان. ومن ثم فإن \(F^2+k\) له قاسمان أوليان مختلفان على الأقل، ولا يمكن أن يكون قوة ذات أس صحيح لعدد أولي.
وهذا صحيح لكل \(k=2,\ldots,n+1\)، مما يثبت المطلوب. \(\square\)
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).