IMO 1982 · Problem 1
The function \(f(n)\) is defined for all positive integers \(n\) and takes on non-negative integer values. Also, for all \(m,n\) \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ or }1 \] \[ f(2)=0,\ f(3)>0,\text{ and }f(9999)=3333. \] Determine \(f(1982)\).
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
\[ \boxed{f(1982)=660}. \]
Solution
The given condition implies \[ f(m+n)\ge f(m)+f(n). \] Consequently, induction on \(k\) gives \[ f(kn)\ge kf(n) \] for all positive integers \(k,n\). Also, since \(f(3)\) is a positive integer, \(f(3)\ge1\).
Using \(1982=660\cdot3+2\), we obtain \[ f(1982)\ge f(660\cdot3)+f(2) \ge660f(3)\ge660. \]
For the opposite bound, observe that \[ 9999=3\cdot1982+1351\cdot3. \] Therefore, \[ \begin{aligned} 3333=f(9999) &\ge f(3\cdot1982)+f(1351\cdot3)\\ &\ge3f(1982)+1351f(3)\\ &\ge3f(1982)+1351. \end{aligned} \] It follows that \[ f(1982)\le\frac{3333-1351}{3} =660+\frac23. \] Since \(f(1982)\) is an integer, it is at most \(660\). Together with the lower bound, this proves \(f(1982)=660\).
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1982 · Aufgabe 1
Die Funktion \(f(n)\) ist für alle positiven ganzen Zahlen \(n\) definiert und nimmt nichtnegative ganzzahlige Werte an. Außerdem gilt für alle \(m,n\) \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ oder }1 \] \[ f(2)=0,\ f(3)>0,\text{ und }f(9999)=3333. \] Bestimme \(f(1982)\).
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
\[ \boxed{f(1982)=660}. \]
Lösung
Aus der gegebenen Bedingung folgt \[ f(m+n)\ge f(m)+f(n). \] Induktion nach \(k\) ergibt daher \[ f(kn)\ge kf(n) \] für alle positiven ganzen Zahlen \(k,n\). Da \(f(3)\) eine positive ganze Zahl ist, gilt außerdem \(f(3)\ge1\).
Mit \(1982=660\cdot3+2\) erhalten wir \[ f(1982)\ge f(660\cdot3)+f(2) \ge660f(3)\ge660. \]
Für die Abschätzung nach oben beachten wir, dass \[ 9999=3\cdot1982+1351\cdot3. \] Somit gilt \[ \begin{aligned} 3333=f(9999) &\ge f(3\cdot1982)+f(1351\cdot3)\\ &\ge3f(1982)+1351f(3)\\ &\ge3f(1982)+1351. \end{aligned} \] Daraus folgt \[ f(1982)\le\frac{3333-1351}{3} =660+\frac23. \] Da \(f(1982)\) ganzzahlig ist, ist es höchstens \(660\). Zusammen mit der unteren Schranke beweist dies \(f(1982)=660\).
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1982 · Soru 1
\(f(n)\) fonksiyonu tüm pozitif tam sayılar \(n\) için tanımlıdır ve negatif olmayan tam sayı değerler almaktadır. Ayrıca, tüm \(m,n\) için \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ veya }1 \] \[ f(2)=0,\ f(3)>0,\text{ ve }f(9999)=3333. \] \(f(1982)\) değerini bulunuz.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\[ \boxed{f(1982)=660}. \]
Çözüm
Verilen koşuldan \[ f(m+n)\ge f(m)+f(n) \] elde edilir. Dolayısıyla, \(k\) üzerinden tümevarımla tüm pozitif tam sayılar \(k,n\) için \[ f(kn)\ge kf(n) \] elde edilir. Ayrıca, \(f(3)\) pozitif bir tam sayı olduğundan \(f(3)\ge1\) olur.
\(1982=660\cdot3+2\) eşitliğini kullanarak \[ f(1982)\ge f(660\cdot3)+f(2) \ge660f(3)\ge660 \] elde ederiz.
Üst sınır için \[ 9999=3\cdot1982+1351\cdot3 \] olduğunu gözlemleyelim. Buna göre, \[ \begin{aligned} 3333=f(9999) &\ge f(3\cdot1982)+f(1351\cdot3)\\ &\ge3f(1982)+1351f(3)\\ &\ge3f(1982)+1351. \end{aligned} \] Buradan \[ f(1982)\le\frac{3333-1351}{3} =660+\frac23 \] elde edilir. \(f(1982)\) bir tam sayı olduğundan en fazla \(660\) olabilir. Alt sınırla birlikte bu, \(f(1982)=660\) olduğunu kanıtlar.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1982 · Problema 1
La función \(f(n)\) está definida para todos los enteros positivos \(n\) y toma valores enteros no negativos. Además, para todos \(m,n\) \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ o }1 \] \[ f(2)=0,\ f(3)>0,\text{ y }f(9999)=3333. \] Determinar \(f(1982)\).
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
\[ \boxed{f(1982)=660}. \]
Solución
La condición dada implica \[ f(m+n)\ge f(m)+f(n). \] Por consiguiente, por inducción sobre \(k\) se obtiene \[ f(kn)\ge kf(n) \] para todos los enteros positivos \(k,n\). Además, como \(f(3)\) es un entero positivo, \(f(3)\ge1\).
Usando \(1982=660\cdot3+2\), obtenemos \[ f(1982)\ge f(660\cdot3)+f(2) \ge660f(3)\ge660. \]
Para obtener la cota opuesta, observemos que \[ 9999=3\cdot1982+1351\cdot3. \] Por lo tanto, \[ \begin{aligned} 3333=f(9999) &\ge f(3\cdot1982)+f(1351\cdot3)\\ &\ge3f(1982)+1351f(3)\\ &\ge3f(1982)+1351. \end{aligned} \] Se deduce que \[ f(1982)\le\frac{3333-1351}{3} =660+\frac23. \] Como \(f(1982)\) es un entero, es a lo sumo \(660\). Junto con la cota inferior, esto demuestra que \(f(1982)=660\).
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1982 · 问题 1
函数 \(f(n)\) 对所有正整数 \(n\) 都有定义，且取非负整数值。此外，对所有 \(m,n\)，都有 \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ 或 }1 \] \[ f(2)=0,\ f(3)>0,\text{ 且 }f(9999)=3333. \] 求 \(f(1982)\)。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
\[ \boxed{f(1982)=660}. \]
解答
由已知条件可得 \[ f(m+n)\ge f(m)+f(n). \] 因此，对 \(k\) 用数学归纳法可得 \[ f(kn)\ge kf(n) \] 对所有正整数 \(k,n\) 成立。此外，由于 \(f(3)\) 是正整数，故 \(f(3)\ge1\)。
利用 \(1982=660\cdot3+2\)，可得 \[ f(1982)\ge f(660\cdot3)+f(2) \ge660f(3)\ge660. \]
为了求出上界，注意到 \[ 9999=3\cdot1982+1351\cdot3. \] 因此， \[ \begin{aligned} 3333=f(9999) &\ge f(3\cdot1982)+f(1351\cdot3)\\ &\ge3f(1982)+1351f(3)\\ &\ge3f(1982)+1351. \end{aligned} \] 于是 \[ f(1982)\le\frac{3333-1351}{3} =660+\frac23. \] 由于 \(f(1982)\) 是整数，故它至多为 \(660\)。结合下界，即得 \(f(1982)=660\)。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1982 · Задача 1
Функция \(f(n)\) определена для всех положительных целых чисел \(n\) и принимает неотрицательные целые значения. Кроме того, для всех \(m,n\) \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ или }1 \] \[ f(2)=0,\ f(3)>0,\text{ и }f(9999)=3333. \] Найдите \(f(1982)\).
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
\[ \boxed{f(1982)=660}. \]
Решение
Из данного условия следует \[ f(m+n)\ge f(m)+f(n). \] Следовательно, по индукции по \(k\) получаем \[ f(kn)\ge kf(n) \] для всех положительных целых чисел \(k,n\). Кроме того, поскольку \(f(3)\) — положительное целое число, \(f(3)\ge1\).
Используя \(1982=660\cdot3+2\), получаем \[ f(1982)\ge f(660\cdot3)+f(2) \ge660f(3)\ge660. \]
Для оценки сверху заметим, что \[ 9999=3\cdot1982+1351\cdot3. \] Поэтому \[ \begin{aligned} 3333=f(9999) &\ge f(3\cdot1982)+f(1351\cdot3)\\ &\ge3f(1982)+1351f(3)\\ &\ge3f(1982)+1351. \end{aligned} \] Отсюда следует, что \[ f(1982)\le\frac{3333-1351}{3} =660+\frac23. \] Поскольку \(f(1982)\) — целое число, оно не превосходит \(660\). Вместе с оценкой снизу это доказывает, что \(f(1982)=660\).
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1982 · المسألة 1
الدالة \(f(n)\) معرّفة لكل عدد صحيح موجب \(n\)، وتأخذ قيمًا صحيحة غير سالبة. كذلك، لكل \(m,n\)، \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{ أو }1 \] \[ f(2)=0,\ f(3)>0,\text{ و }f(9999)=3333. \] أوجد \(f(1982)\).
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
\[ \boxed{f(1982)=660}. \]
الحل
يترتب على الشرط المعطى أن \[ f(m+n)\ge f(m)+f(n). \] ومن ثم، يعطينا الاستقراء على \(k\) أن \[ f(kn)\ge kf(n) \] لكل عددين صحيحين موجبين \(k,n\). كذلك، بما أن \(f(3)\) عدد صحيح موجب، فإن \(f(3)\ge1\).
باستخدام \(1982=660\cdot3+2\)، نحصل على \[ f(1982)\ge f(660\cdot3)+f(2) \ge660f(3)\ge660. \]
ولإيجاد حد من الجهة الأخرى، نلاحظ أن \[ 9999=3\cdot1982+1351\cdot3. \] وعليه، \[ \begin{aligned} 3333=f(9999) &\ge f(3\cdot1982)+f(1351\cdot3)\\ &\ge3f(1982)+1351f(3)\\ &\ge3f(1982)+1351. \end{aligned} \] ويترتب على ذلك أن \[ f(1982)\le\frac{3333-1351}{3} =660+\frac23. \] وبما أن \(f(1982)\) عدد صحيح، فإنه لا يتجاوز \(660\). وبضم هذا إلى الحد الأدنى، نثبت أن \(f(1982)=660\).
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).