Problem 1

In a plane convex quadrilateral of area 32, the sum of the lengths of two opposite sides and one diagonal is 16. Determine all possible lengths of the other diagonal.

Solution →

Problem 2

Let \(P_1(x)=x^2-2\) and \(P_j(x)=P_1(P_{j-1}(x))\) for \(j=2,3,\cdots\). Show that, for any positive integer \(n\), the roots of the equation \(P_n(x)=x\) are real and distinct.

Solution →

Problem 3

A rectangular box can be filled completely with unit cubes. If one places as many cubes as possible, each with volume 2, in the box, so that their edges are parallel to the edges of the box, one can fill exactly 40% of the box. Determine the possible dimensions of all such boxes.

Solution →

Problem 4

Determine, with proof, the largest number which is the product of positive integers whose sum is 1976.

Solution →

Problem 5

Consider the system of \(p\) equations in \(q = 2p\) unknowns \(x_1,x_2,\cdots,x_q\): \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1q}x_q&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2q}x_q&=0\\ &\cdots\\ a_{p1}x_1+a_{p2}x_2+\cdots+a_{pq}x_q&=0 \end{aligned} \] with every coefficient \(a_{ij}\) member of the set \(\{-1,0,1\}\). Prove that the system has a solution \((x_1,x_2,\cdots,x_q)\) such that

(a) all \(x_j\) \((j=1,2,\ldots,q)\) are integers,

(b) there is at least one value of \(j\) for which \(x_j\ne0\),

(c) \(|x_j|\le q\) \((j=1,2,\ldots,q)\).

Solution →

Problem 6

A sequence \(\{u_n\}\) is defined by \[ u_0=2,\ u_1=5/2,\ u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1 \quad\text{for }n=1,2,\cdots \] Prove that for positive integers \(n\), \[ [u_n]=2^{[2^n-(-1)^n]/3} \] where \([x]\) denotes the greatest integer \(\leq x\).

Solution →

Aufgabe 1

In einem ebenen konvexen Viereck mit dem Flächeninhalt 32 beträgt die Summe der Längen zweier gegenüberliegender Seiten und einer Diagonalen 16. Bestimme alle möglichen Längen der anderen Diagonalen.

Lösung →

Aufgabe 2

Es seien \(P_1(x)=x^2-2\) und \(P_j(x)=P_1(P_{j-1}(x))\) für \(j=2,3,\cdots\). Zeige, dass für jede positive ganze Zahl \(n\) die Wurzeln der Gleichung \(P_n(x)=x\) reell und paarweise verschieden sind.

Lösung →

Aufgabe 3

Ein Quader lässt sich vollständig mit Einheitswürfeln ausfüllen. Bringt man möglichst viele Würfel mit dem Volumen 2 so in dem Quader unter, dass ihre Kanten parallel zu den Kanten des Quaders sind, so lassen sich genau 40% des Quaders ausfüllen. Bestimme die möglichen Abmessungen aller solchen Quader.

Lösung →

Aufgabe 4

Bestimme mit Beweis die größte Zahl, die sich als Produkt positiver ganzer Zahlen mit der Summe 1976 darstellen lässt.

Lösung →

Aufgabe 5

Betrachte das System von \(p\) Gleichungen in \(q = 2p\) Unbekannten \(x_1,x_2,\cdots,x_q\): \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1q}x_q&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2q}x_q&=0\\ &\cdots\\ a_{p1}x_1+a_{p2}x_2+\cdots+a_{pq}x_q&=0 \end{aligned} \] wobei jeder Koeffizient \(a_{ij}\) zur Menge \(\{-1,0,1\}\) gehört. Beweise, dass das System eine Lösung \((x_1,x_2,\cdots,x_q)\) mit folgenden Eigenschaften besitzt:

(a) Alle \(x_j\) \((j=1,2,\ldots,q)\) sind ganze Zahlen,

(b) es gibt mindestens einen Wert von \(j\), für den \(x_j\ne0\) gilt,

(c) \(|x_j|\le q\) \((j=1,2,\ldots,q)\).

Lösung →

Aufgabe 6

Eine Folge \(\{u_n\}\) ist definiert durch \[ u_0=2,\ u_1=5/2,\ u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1 \quad\text{für }n=1,2,\cdots \] Beweise, dass für positive ganze Zahlen \(n\) gilt: \[ [u_n]=2^{[2^n-(-1)^n]/3} \] Dabei bezeichnet \([x]\) die größte ganze Zahl \(\leq x\).

Lösung →

Soru 1

Düzlemde alanı 32 olan dışbükey bir dörtgende, karşılıklı iki kenarın ve bir köşegenin uzunlukları toplamı 16'dır. Diğer köşegenin alabileceği tüm uzunlukları belirleyiniz.

Çözüm →

Soru 2

\(P_1(x)=x^2-2\) ve \(j=2,3,\cdots\) için \(P_j(x)=P_1(P_{j-1}(x))\) olsun. Her pozitif \(n\) tam sayısı için \(P_n(x)=x\) denkleminin köklerinin gerçek ve birbirinden farklı olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 3

Dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kutu birim küplerle tamamen doldurulabilmektedir. Bu kutuya, her birinin hacmi 2 olan küplerden, ayrıtları kutunun ayrıtlarına paralel olacak şekilde mümkün olduğunca çok sayıda yerleştirildiğinde, kutunun tam olarak %40'ı doldurulabilmektedir. Bu özelliğe sahip tüm kutuların olası boyutlarını belirleyiniz.

Çözüm →

Soru 4

Toplamları 1976 olan pozitif tam sayıların çarpımı olarak yazılabilen en büyük sayıyı kanıtlayarak belirleyiniz.

Çözüm →

Soru 5

\(q = 2p\) tane \(x_1,x_2,\cdots,x_q\) bilinmeyeni içeren ve \(p\) denklemden oluşan \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1q}x_q&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2q}x_q&=0\\ &\cdots\\ a_{p1}x_1+a_{p2}x_2+\cdots+a_{pq}x_q&=0 \end{aligned} \] sistemini ele alalım; burada her \(a_{ij}\) katsayısı \(\{-1,0,1\}\) kümesinin bir elemanıdır. Sistemin aşağıdaki koşulları sağlayan bir \((x_1,x_2,\cdots,x_q)\) çözümü olduğunu kanıtlayınız:

(a) tüm \(x_j\) \((j=1,2,\ldots,q)\) sayıları tam sayıdır,

(b) \(x_j\ne0\) olacak şekilde en az bir \(j\) değeri vardır,

(c) \(|x_j|\le q\) \((j=1,2,\ldots,q)\).

Çözüm →

Soru 6

\(\{u_n\}\) dizisi \[ u_0=2,\ u_1=5/2,\ u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1 \quad\text{şu değerler için: }n=1,2,\cdots \] bağıntısıyla tanımlanıyor. Pozitif \(n\) tam sayıları için \[ [u_n]=2^{[2^n-(-1)^n]/3} \] olduğunu kanıtlayınız; burada \([x]\), \(\leq x\) olan en büyük tam sayıyı gösterir.

Çözüm →

Problema 1

En un cuadrilátero convexo plano de área 32, la suma de las longitudes de dos lados opuestos y una diagonal es 16. Determinar todas las longitudes posibles de la otra diagonal.

Solución →

Problema 2

Sean \(P_1(x)=x^2-2\) y \(P_j(x)=P_1(P_{j-1}(x))\) para \(j=2,3,\cdots\). Demostrar que, para cualquier entero positivo \(n\), las raíces de la ecuación \(P_n(x)=x\) son reales y distintas.

Solución →

Problema 3

Una caja rectangular se puede llenar por completo con cubos unitarios. Si se coloca en la caja el mayor número posible de cubos de volumen 2, de modo que sus aristas sean paralelas a las aristas de la caja, se puede llenar exactamente el 40% de la caja. Determinar las dimensiones posibles de todas estas cajas.

Solución →

Problema 4

Determinar, con demostración, el mayor número que se puede obtener como producto de enteros positivos cuya suma es 1976.

Solución →

Problema 5

Consideremos el sistema de \(p\) ecuaciones con \(q = 2p\) incógnitas \(x_1,x_2,\cdots,x_q\): \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1q}x_q&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2q}x_q&=0\\ &\cdots\\ a_{p1}x_1+a_{p2}x_2+\cdots+a_{pq}x_q&=0 \end{aligned} \] en el que cada coeficiente \(a_{ij}\) pertenece al conjunto \(\{-1,0,1\}\). Demostrar que el sistema tiene una solución \((x_1,x_2,\cdots,x_q)\) tal que

(a) todos los \(x_j\) \((j=1,2,\ldots,q)\) son enteros,

(b) existe al menos un valor de \(j\) para el que \(x_j\ne0\),

(c) \(|x_j|\le q\) \((j=1,2,\ldots,q)\).

Solución →

Problema 6

Una sucesión \(\{u_n\}\) se define mediante \[ u_0=2,\ u_1=5/2,\ u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1 \quad\text{para }n=1,2,\cdots \] Demostrar que, para los enteros positivos \(n\), \[ [u_n]=2^{[2^n-(-1)^n]/3} \] donde \([x]\) denota el mayor entero \(\leq x\).

Solución →

问题 1

一个平面凸四边形的面积为 32，其中两条对边与一条对角线的长度之和为 16。求另一条对角线所有可能的长度。

解答 →

问题 2

设 \(P_1(x)=x^2-2\)，且 \(P_j(x)=P_1(P_{j-1}(x))\)，其中 \(j=2,3,\cdots\)。证明：对任意正整数 \(n\)，方程 \(P_n(x)=x\) 的根均为实数且互不相同。

解答 →

问题 3

一个长方体盒子可以用单位正方体完全填满。如果在盒中放入尽可能多的体积均为 2 的正方体，使它们的棱平行于盒子的棱，那么恰好可以填充盒子体积的 40%。求所有这样的盒子可能的尺寸。

解答 →

问题 4

求和为 1976 的若干个正整数的乘积的最大值，并给出证明。

解答 →

问题 5

考虑由 \(p\) 个方程组成、含有 \(q = 2p\) 个未知数 \(x_1,x_2,\cdots,x_q\) 的方程组： \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1q}x_q&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2q}x_q&=0\\ &\cdots\\ a_{p1}x_1+a_{p2}x_2+\cdots+a_{pq}x_q&=0 \end{aligned} \] 其中每个系数 \(a_{ij}\) 都属于集合 \(\{-1,0,1\}\)。证明：该方程组有一个解 \((x_1,x_2,\cdots,x_q)\)，满足

(a) 所有 \(x_j\) \((j=1,2,\ldots,q)\) 都是整数，

(b) 至少存在一个 \(j\)，使得 \(x_j\ne0\)，

(c) \(|x_j|\le q\) \((j=1,2,\ldots,q)\)。

解答 →

问题 6

数列 \(\{u_n\}\) 定义为 \[ u_0=2,\ u_1=5/2,\ u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1 \quad\text{当 }n=1,2,\cdots \] 证明：对正整数 \(n\)， \[ [u_n]=2^{[2^n-(-1)^n]/3} \] 其中 \([x]\) 表示 \(\leq x\) 的最大整数。

解答 →

Задача 1

В выпуклом четырёхугольнике на плоскости площадью 32 сумма длин двух противоположных сторон и одной диагонали равна 16. Найдите все возможные длины другой диагонали.

Решение →

Задача 2

Пусть \(P_1(x)=x^2-2\) и \(P_j(x)=P_1(P_{j-1}(x))\) при \(j=2,3,\cdots\). Докажите, что для любого положительного целого числа \(n\) корни уравнения \(P_n(x)=x\) действительны и попарно различны.

Решение →

Задача 3

Прямоугольный параллелепипед можно полностью заполнить единичными кубами. Если поместить в него максимально возможное число кубов объёма 2 каждый так, чтобы их рёбра были параллельны рёбрам параллелепипеда, то будет заполнено ровно 40% его объёма. Найдите возможные размеры всех таких параллелепипедов.

Решение →

Задача 4

Найдите с доказательством наибольшее число, которое является произведением положительных целых чисел с суммой 1976.

Решение →

Задача 5

Рассмотрим систему из \(p\) уравнений с \(q = 2p\) неизвестными \(x_1,x_2,\cdots,x_q\): \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1q}x_q&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2q}x_q&=0\\ &\cdots\\ a_{p1}x_1+a_{p2}x_2+\cdots+a_{pq}x_q&=0 \end{aligned} \] в которой каждый коэффициент \(a_{ij}\) принадлежит множеству \(\{-1,0,1\}\). Докажите, что система имеет решение \((x_1,x_2,\cdots,x_q)\), такое что

(a) все \(x_j\) \((j=1,2,\ldots,q)\) — целые числа,

(b) существует хотя бы одно значение \(j\), для которого \(x_j\ne0\),

(c) \(|x_j|\le q\) \((j=1,2,\ldots,q)\).

Решение →

Задача 6

Последовательность \(\{u_n\}\) задана соотношениями \[ u_0=2,\ u_1=5/2,\ u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1 \quad\text{при }n=1,2,\cdots \] Докажите, что для положительных целых чисел \(n\) \[ [u_n]=2^{[2^n-(-1)^n]/3} \] где \([x]\) обозначает наибольшее целое число \(\leq x\).

Решение →

المسألة 1

في رباعي محدب في المستوى مساحته 32، مجموع طولي ضلعين متقابلين وطول أحد القطرين يساوي 16. أوجد جميع الأطوال الممكنة للقطر الآخر.

← الحل

المسألة 2

لتكن \(P_1(x)=x^2-2\) و\(P_j(x)=P_1(P_{j-1}(x))\) من أجل \(j=2,3,\cdots\). أثبت أنه، لأي عدد صحيح موجب \(n\)، تكون جذور المعادلة \(P_n(x)=x\) حقيقية ومتمايزة.

← الحل

المسألة 3

يمكن ملء صندوق على شكل متوازي مستطيلات بالكامل بمكعبات طول حرف كل منها وحدة واحدة. إذا وضعنا في الصندوق أكبر عدد ممكن من المكعبات التي حجم كل منها 2، بحيث تكون أحرفها موازية لأحرف الصندوق، أمكن ملء 40% من حجم الصندوق بالضبط. أوجد الأبعاد الممكنة لجميع هذه الصناديق.

← الحل

المسألة 4

أوجد، مع البرهان، أكبر عدد يمكن أن يكون حاصل ضرب أعداد صحيحة موجبة مجموعها 1976.

← الحل

المسألة 5

لننظر إلى نظام المعادلات الـ\(p\) في المجاهيل الـ\(q = 2p\)، وهي \(x_1,x_2,\cdots,x_q\): \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1q}x_q&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2q}x_q&=0\\ &\cdots\\ a_{p1}x_1+a_{p2}x_2+\cdots+a_{pq}x_q&=0 \end{aligned} \] حيث ينتمي كل معامل \(a_{ij}\) إلى المجموعة \(\{-1,0,1\}\). أثبت أن للنظام حلًّا \((x_1,x_2,\cdots,x_q)\) بحيث

(أ) جميع \(x_j\) \((j=1,2,\ldots,q)\) أعداد صحيحة،

(ب) توجد قيمة واحدة على الأقل لـ\(j\) يكون عندها \(x_j\ne0\)،

(ج) \(|x_j|\le q\) \((j=1,2,\ldots,q)\).

← الحل

المسألة 6

تُعرَّف متتالية \(\{u_n\}\) بالعلاقات \[ u_0=2,\ u_1=5/2,\ u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1 \quad\text{من أجل }n=1,2,\cdots \] أثبت أنه لكل عدد صحيح موجب \(n\)، \[ [u_n]=2^{[2^n-(-1)^n]/3} \] حيث يرمز \([x]\) إلى أكبر عدد صحيح \(\leq x\).

← الحل