IMO 1976 · Problem 1
In a plane convex quadrilateral of area 32, the sum of the lengths of two opposite sides and one diagonal is 16. Determine all possible lengths of the other diagonal.
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
The only possible length is \(\boxed{8\sqrt{2}}\).
Solution
Label the vertices \(A,B,C,D\) in order so that \[ AB+CD+AC=16. \] Put \(a=AB\), \(c=CD\), and \(e=AC\).
The diagonal \(AC\) divides the quadrilateral into two triangles. Their altitudes to \(AC\) are at most \(a\) and \(c\), respectively. Consequently, \[ 32=[ABC]+[ACD] \le \frac12 e(a+c) \le \frac{(e+a+c)^2}{8} =32, \] where the second inequality follows from \[ 4e(a+c)\le (e+a+c)^2. \]
Thus equality holds throughout. Equality in the second inequality gives \(e=a+c\); together with \(e+a+c=16\), this yields \[ AC=8,\qquad AB+CD=8. \] Equality in the altitude bounds gives \[ AB\perp AC,\qquad CD\perp AC. \] Both triangle areas are therefore positive, and convexity places \(B\) and \(D\) on opposite sides of \(AC\).
Choosing coordinates accordingly, we may write \[ A=(0,0),\quad C=(8,0),\quad B=(0,a),\quad D=(8,-c). \] It follows that \[ BD^2=8^2+(a+c)^2=64+64=128, \] so \(BD=8\sqrt2\).
Finally, this value is attained. Take \[ A=(0,0),\quad B=(0,4),\quad C=(8,0),\quad D=(8,-4). \] These vertices form a convex parallelogram of area \(4\cdot8=32\), and \[ AB+CD+AC=4+4+8=16. \] Its other diagonal has length \(8\sqrt2\), as required.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1976 · Aufgabe 1
In einem ebenen konvexen Viereck mit dem Flächeninhalt 32 beträgt die Summe der Längen zweier gegenüberliegender Seiten und einer Diagonalen 16. Bestimme alle möglichen Längen der anderen Diagonalen.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
Die einzig mögliche Länge ist \(\boxed{8\sqrt{2}}\).
Lösung
Bezeichne die Eckpunkte der Reihe nach mit \(A,B,C,D\), sodass \[ AB+CD+AC=16. \] Setze \(a=AB\), \(c=CD\) und \(e=AC\).
Die Diagonale \(AC\) zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke. Ihre Höhen zur Seite \(AC\) sind höchstens \(a\) bzw. \(c\). Folglich gilt \[ 32=[ABC]+[ACD] \le \frac12 e(a+c) \le \frac{(e+a+c)^2}{8} =32, \] wobei die zweite Ungleichung aus \[ 4e(a+c)\le (e+a+c)^2 \] folgt.
Somit gilt überall Gleichheit. Aus der Gleichheit in der zweiten Ungleichung folgt \(e=a+c\); zusammen mit \(e+a+c=16\) ergibt dies \[ AC=8,\qquad AB+CD=8. \] Aus der Gleichheit in den Abschätzungen für die Höhen folgt \[ AB\perp AC,\qquad CD\perp AC. \] Beide Dreiecke haben daher einen positiven Flächeninhalt, und wegen der Konvexität liegen \(B\) und \(D\) auf verschiedenen Seiten von \(AC\).
Bei entsprechender Wahl der Koordinaten können wir schreiben \[ A=(0,0),\quad C=(8,0),\quad B=(0,a),\quad D=(8,-c). \] Daraus folgt \[ BD^2=8^2+(a+c)^2=64+64=128, \] also \(BD=8\sqrt2\).
Schließlich wird dieser Wert auch angenommen. Wähle \[ A=(0,0),\quad B=(0,4),\quad C=(8,0),\quad D=(8,-4). \] Diese Eckpunkte bilden ein konvexes Parallelogramm mit dem Flächeninhalt \(4\cdot8=32\), und es gilt \[ AB+CD+AC=4+4+8=16. \] Seine andere Diagonale hat wie verlangt die Länge \(8\sqrt2\).
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1976 · Soru 1
Düzlemde alanı 32 olan dışbükey bir dörtgende, karşılıklı iki kenarın ve bir köşegenin uzunlukları toplamı 16'dır. Diğer köşegenin alabileceği tüm uzunlukları belirleyiniz.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
Mümkün olan tek uzunluk \(\boxed{8\sqrt{2}}\)'dir.
Çözüm
Köşeleri sırasıyla \(A,B,C,D\) ile adlandıralım; öyle ki \[ AB+CD+AC=16. \] \(a=AB\), \(c=CD\) ve \(e=AC\) olsun.
\(AC\) köşegeni dörtgeni iki üçgene ayırır. Bu üçgenlerin \(AC\) kenarına ait yükseklikleri sırasıyla en fazla \(a\) ve \(c\)'dir. Dolayısıyla, \[ 32=[ABC]+[ACD] \le \frac12 e(a+c) \le \frac{(e+a+c)^2}{8} =32, \] burada ikinci eşitsizlik \[ 4e(a+c)\le (e+a+c)^2 \] eşitsizliğinden elde edilir.
Böylece tüm eşitsizliklerde eşitlik sağlanır. İkinci eşitsizlikte eşitlik olması \(e=a+c\) verir; bunu \(e+a+c=16\) ile birleştirince \[ AC=8,\qquad AB+CD=8 \] elde edilir. Yükseklikler için kullanılan sınırlarda eşitlik olması \[ AB\perp AC,\qquad CD\perp AC \] verir. Dolayısıyla her iki üçgenin alanı da pozitiftir ve dışbükeylik nedeniyle \(B\) ile \(D\), \(AC\)'nin farklı taraflarında bulunur.
Koordinatları buna göre seçerek \[ A=(0,0),\quad C=(8,0),\quad B=(0,a),\quad D=(8,-c) \] yazabiliriz. Buradan \[ BD^2=8^2+(a+c)^2=64+64=128, \] dolayısıyla \(BD=8\sqrt2\) elde edilir.
Son olarak, bu değer elde edilebilir. Şu noktaları alalım: \[ A=(0,0),\quad B=(0,4),\quad C=(8,0),\quad D=(8,-4). \] Bu köşeler, alanı \(4\cdot8=32\) olan dışbükey bir paralelkenar oluşturur ve \[ AB+CD+AC=4+4+8=16. \] Diğer köşegeninin uzunluğu, istendiği gibi \(8\sqrt2\)'dir.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1976 · Problema 1
En un cuadrilátero convexo plano de área 32, la suma de las longitudes de dos lados opuestos y una diagonal es 16. Determinar todas las longitudes posibles de la otra diagonal.
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
La única longitud posible es \(\boxed{8\sqrt{2}}\).
Solución
Denotemos los vértices por \(A,B,C,D\), en ese orden, de modo que \[ AB+CD+AC=16. \] Sean \(a=AB\), \(c=CD\) y \(e=AC\).
La diagonal \(AC\) divide el cuadrilátero en dos triángulos. Sus alturas respecto de \(AC\) son, a lo sumo, \(a\) y \(c\), respectivamente. Por consiguiente, \[ 32=[ABC]+[ACD] \le \frac12 e(a+c) \le \frac{(e+a+c)^2}{8} =32, \] donde la segunda desigualdad se deduce de \[ 4e(a+c)\le (e+a+c)^2. \]
Por tanto, se da la igualdad en todas las desigualdades. La igualdad en la segunda desigualdad implica \(e=a+c\); junto con \(e+a+c=16\), esto da \[ AC=8,\qquad AB+CD=8. \] La igualdad en las cotas de las alturas implica \[ AB\perp AC,\qquad CD\perp AC. \] Por tanto, las áreas de ambos triángulos son positivas, y la convexidad sitúa a \(B\) y \(D\) en lados opuestos de \(AC\).
Eligiendo las coordenadas de acuerdo con lo anterior, podemos escribir \[ A=(0,0),\quad C=(8,0),\quad B=(0,a),\quad D=(8,-c). \] Se sigue que \[ BD^2=8^2+(a+c)^2=64+64=128, \] por lo que \(BD=8\sqrt2\).
Finalmente, este valor se alcanza. Tomemos \[ A=(0,0),\quad B=(0,4),\quad C=(8,0),\quad D=(8,-4). \] Estos vértices forman un paralelogramo convexo de área \(4\cdot8=32\), y \[ AB+CD+AC=4+4+8=16. \] Su otra diagonal tiene longitud \(8\sqrt2\), como se requería.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1976 · 问题 1
一个平面凸四边形的面积为 32，其中两条对边与一条对角线的长度之和为 16。求另一条对角线所有可能的长度。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
唯一可能的长度为 \(\boxed{8\sqrt{2}}\)。
解答
将顶点依次标记为 \(A,B,C,D\)，使得 \[ AB+CD+AC=16. \] 令 \(a=AB\)、\(c=CD\)、\(e=AC\)。
对角线 \(AC\) 将四边形分成两个三角形。它们以 \(AC\) 为底的高分别不超过 \(a\) 和 \(c\)。因此， \[ 32=[ABC]+[ACD] \le \frac12 e(a+c) \le \frac{(e+a+c)^2}{8} =32, \] 其中第二个不等式由 \[ 4e(a+c)\le (e+a+c)^2. \] 得到。
因此，以上各处均取等号。第二个不等式取等号给出 \(e=a+c\)；结合 \(e+a+c=16\)，可得 \[ AC=8,\qquad AB+CD=8. \] 高的上界取等号给出 \[ AB\perp AC,\qquad CD\perp AC. \] 因此，两个三角形的面积均为正，而由四边形的凸性，\(B\) 与 \(D\) 位于 \(AC\) 的两侧。
据此选取坐标系，可写成 \[ A=(0,0),\quad C=(8,0),\quad B=(0,a),\quad D=(8,-c). \] 于是 \[ BD^2=8^2+(a+c)^2=64+64=128, \] 所以 \(BD=8\sqrt2\)。
最后，这个值可以达到。取 \[ A=(0,0),\quad B=(0,4),\quad C=(8,0),\quad D=(8,-4). \] 这些顶点构成一个面积为 \(4\cdot8=32\) 的凸平行四边形，且 \[ AB+CD+AC=4+4+8=16. \] 它的另一条对角线长为 \(8\sqrt2\)，符合要求。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1976 · Задача 1
В выпуклом четырёхугольнике на плоскости площадью 32 сумма длин двух противоположных сторон и одной диагонали равна 16. Найдите все возможные длины другой диагонали.
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
Единственная возможная длина равна \(\boxed{8\sqrt{2}}\).
Решение
Обозначим вершины последовательно через \(A,B,C,D\) так, чтобы \[ AB+CD+AC=16. \] Положим \(a=AB\), \(c=CD\) и \(e=AC\).
Диагональ \(AC\) делит четырёхугольник на два треугольника. Их высоты, проведённые к \(AC\), не превосходят соответственно \(a\) и \(c\). Следовательно, \[ 32=[ABC]+[ACD] \le \frac12 e(a+c) \le \frac{(e+a+c)^2}{8} =32, \] где второе неравенство следует из \[ 4e(a+c)\le (e+a+c)^2. \]
Таким образом, во всех неравенствах достигается равенство. Равенство во втором неравенстве даёт \(e=a+c\); вместе с \(e+a+c=16\) это приводит к \[ AC=8,\qquad AB+CD=8. \] Равенство в оценках высот даёт \[ AB\perp AC,\qquad CD\perp AC. \] Поэтому площади обоих треугольников положительны, а из выпуклости следует, что \(B\) и \(D\) лежат по разные стороны от \(AC\).
Выбирая соответствующую систему координат, можно записать \[ A=(0,0),\quad C=(8,0),\quad B=(0,a),\quad D=(8,-c). \] Отсюда следует, что \[ BD^2=8^2+(a+c)^2=64+64=128, \] так что \(BD=8\sqrt2\).
Наконец, это значение достигается. Возьмём \[ A=(0,0),\quad B=(0,4),\quad C=(8,0),\quad D=(8,-4). \] Эти вершины образуют выпуклый параллелограмм площадью \(4\cdot8=32\), причём \[ AB+CD+AC=4+4+8=16. \] Его другая диагональ имеет длину \(8\sqrt2\), что и требовалось.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1976 · المسألة 1
في رباعي محدب في المستوى مساحته 32، مجموع طولي ضلعين متقابلين وطول أحد القطرين يساوي 16. أوجد جميع الأطوال الممكنة للقطر الآخر.
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
الطول الوحيد الممكن هو \(\boxed{8\sqrt{2}}\).
الحل
لنسمِّ الرؤوس \(A,B,C,D\) بالترتيب بحيث \[ AB+CD+AC=16. \] نضع \(a=AB\)، و\(c=CD\)، و\(e=AC\).
يقسم القطر \(AC\) الرباعي إلى مثلثين. ولا يزيد ارتفاعاهما على القاعدة \(AC\) على \(a\) و\(c\)، على الترتيب. ومن ثم، \[ 32=[ABC]+[ACD] \le \frac12 e(a+c) \le \frac{(e+a+c)^2}{8} =32, \] حيث تنتج المتباينة الثانية من \[ 4e(a+c)\le (e+a+c)^2. \]
إذن تتحقق المساواة في جميع الخطوات. وتعطي المساواة في المتباينة الثانية \(e=a+c\)؛ وبضم ذلك إلى \(e+a+c=16\)، نحصل على \[ AC=8,\qquad AB+CD=8. \] وتعطي المساواة في تقديري الارتفاعين \[ AB\perp AC,\qquad CD\perp AC. \] وعليه، فإن مساحتي المثلثين موجبتان، وبحكم التحدب تقع النقطتان \(B\) و\(D\) على جهتين متقابلتين من \(AC\).
وباختيار الإحداثيات وفقًا لذلك، يمكننا أن نكتب \[ A=(0,0),\quad C=(8,0),\quad B=(0,a),\quad D=(8,-c). \] وينتج أن \[ BD^2=8^2+(a+c)^2=64+64=128, \] ومن ثم \(BD=8\sqrt2\).
وأخيرًا، يمكن تحقيق هذه القيمة. لنأخذ \[ A=(0,0),\quad B=(0,4),\quad C=(8,0),\quad D=(8,-4). \] تشكل هذه الرؤوس متوازي أضلاع محدبًا مساحته \(4\cdot8=32\)، ولدينا \[ AB+CD+AC=4+4+8=16. \] وطول قطره الآخر هو \(8\sqrt2\)، كما هو مطلوب.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).