IMO 1976 · Problem 4
Determine, with proof, the largest number which is the product of positive integers whose sum is 1976.
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
\[ \boxed{2\cdot 3^{658}}. \]
Solution
There are only finitely many lists of positive integers with sum \(1976\), since each list has at most \(1976\) entries and each entry is at most \(1976\). Thus a maximum product exists. Choose a list attaining it.
No entry can be \(1\): if an entry is \(1\), there must be another entry \(a\), and replacing \(1,a\) by \(a+1\) preserves the sum while increasing the product.
No entry can be an integer \(a\ge5\), because replacing it by \(3,a-3\) preserves the sum and increases the product: \[ 3(a-3)-a=2a-9>0. \] Consequently, every entry is \(2\), \(3\), or \(4\).
Replace each \(4\) by two \(2\)'s. This preserves both the sum and the product, so we now have a maximizing list consisting only of \(2\)'s and \(3\)'s. It contains at most two \(2\)'s, since replacing three \(2\)'s by two \(3\)'s preserves their sum but increases their product from \(8\) to \(9\).
Let \(t\) and \(s\) denote the numbers of \(2\)'s and \(3\)'s, respectively. Then \[ 2t+3s=1976,\qquad t\in\{0,1,2\}. \] Reducing modulo \(3\) gives \(2t\equiv2\pmod3\), so \(t=1\). Hence \[ s=\frac{1976-2}{3}=658. \] Therefore the maximum product is \(2\cdot3^{658}\), attained by one \(2\) and \(658\) copies of \(3\), whose sum is indeed \(1976\).
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1976 · Aufgabe 4
Bestimme mit Beweis die größte Zahl, die sich als Produkt positiver ganzer Zahlen mit der Summe 1976 darstellen lässt.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
\[ \boxed{2\cdot 3^{658}}. \]
Lösung
Es gibt nur endlich viele Listen positiver ganzer Zahlen mit der Summe \(1976\), denn jede Liste hat höchstens \(1976\) Einträge, und jeder Eintrag ist höchstens \(1976\). Somit existiert ein maximales Produkt. Wähle eine Liste, die dieses erreicht.
Kein Eintrag kann \(1\) sein: Ist ein Eintrag gleich \(1\), so muss es einen weiteren Eintrag \(a\) geben, und das Ersetzen von \(1,a\) durch \(a+1\) erhält die Summe und vergrößert das Produkt.
Kein Eintrag kann eine ganze Zahl \(a\ge5\) sein, denn das Ersetzen durch \(3,a-3\) erhält die Summe und vergrößert das Produkt: \[ 3(a-3)-a=2a-9>0. \] Folglich ist jeder Eintrag \(2\), \(3\) oder \(4\).
Ersetze jede \(4\) durch zwei \(2\)en. Dies erhält sowohl die Summe als auch das Produkt, sodass wir nun eine Liste mit maximalem Produkt haben, die nur aus \(2\)en und \(3\)en besteht. Sie enthält höchstens zwei \(2\)en, denn das Ersetzen von drei \(2\)en durch zwei \(3\)en erhält ihre Summe, vergrößert aber ihr Produkt von \(8\) auf \(9\).
Es seien \(t\) und \(s\) die Anzahlen der \(2\)en bzw. \(3\)en. Dann gilt \[ 2t+3s=1976,\qquad t\in\{0,1,2\}. \] Reduktion modulo \(3\) ergibt \(2t\equiv2\pmod3\), also \(t=1\). Somit gilt \[ s=\frac{1976-2}{3}=658. \] Das maximale Produkt ist daher \(2\cdot3^{658}\), erreicht durch eine \(2\) und \(658\) Exemplare der Zahl \(3\), deren Summe tatsächlich \(1976\) ist.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1976 · Soru 4
Toplamları 1976 olan pozitif tam sayıların çarpımı olarak yazılabilen en büyük sayıyı kanıtlayarak belirleyiniz.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\[ \boxed{2\cdot 3^{658}}. \]
Çözüm
Toplamları \(1976\) olan pozitif tam sayı listelerinin sayısı sonludur, çünkü her listede en fazla \(1976\) terim vardır ve her terim en fazla \(1976\)'dır. Dolayısıyla en büyük çarpım vardır. Bu çarpımı veren bir liste seçelim.
Hiçbir terim \(1\) olamaz: bir terim \(1\) ise başka bir \(a\) terimi de bulunmalıdır ve \(1,a\) yerine \(a+1\) yazmak toplamı korurken çarpımı artırır.
Hiçbir terim \(a\ge5\) olan bir tam sayı olamaz, çünkü onun yerine \(3,a-3\) yazmak toplamı korur ve çarpımı artırır: \[ 3(a-3)-a=2a-9>0. \] Dolayısıyla her terim \(2\), \(3\) veya \(4\)'tür.
Her \(4\)'ü iki tane \(2\) ile değiştirelim. Bu işlem hem toplamı hem de çarpımı korur; böylece yalnızca \(2\)'lerden ve \(3\)'lerden oluşan, en büyük çarpımı veren bir liste elde ederiz. Bu listede en fazla iki tane \(2\) bulunur, çünkü üç tane \(2\)'yi iki tane \(3\) ile değiştirmek toplamlarını korurken çarpımlarını \(8\)'den \(9\)'a çıkarır.
\(2\)'lerin ve \(3\)'lerin sayılarını sırasıyla \(t\) ve \(s\) ile gösterelim. O hâlde \[ 2t+3s=1976,\qquad t\in\{0,1,2\}. \] \(3\) modülünde \(2t\equiv2\pmod3\) elde edilir, dolayısıyla \(t=1\) olur. Böylece \[ s=\frac{1976-2}{3}=658. \] Bu nedenle en büyük çarpım \(2\cdot3^{658}\)'dir; bu değer, toplamları gerçekten de \(1976\) olan bir tane \(2\) ve \(658\) tane \(3\) ile elde edilir.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1976 · Problema 4
Determinar, con demostración, el mayor número que se puede obtener como producto de enteros positivos cuya suma es 1976.
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
\[ \boxed{2\cdot 3^{658}}. \]
Solución
Solo hay un número finito de listas de enteros positivos cuya suma es \(1976\), pues cada lista tiene a lo sumo \(1976\) términos y cada término es a lo sumo \(1976\). Por tanto, existe un producto máximo. Elijamos una lista que lo alcance.
Ningún término puede ser \(1\): si un término es \(1\), debe haber otro término \(a\), y sustituir \(1,a\) por \(a+1\) conserva la suma y aumenta el producto.
Ningún término puede ser un entero \(a\ge5\), pues sustituirlo por \(3,a-3\) conserva la suma y aumenta el producto: \[ 3(a-3)-a=2a-9>0. \] Por consiguiente, cada término es \(2\), \(3\) o \(4\).
Sustituyamos cada \(4\) por dos \(2\). Esto conserva tanto la suma como el producto, por lo que ahora tenemos una lista que maximiza el producto y está formada únicamente por \(2\) y \(3\). Contiene a lo sumo dos \(2\), pues sustituir tres \(2\) por dos \(3\) conserva su suma, pero aumenta su producto de \(8\) a \(9\).
Sean \(t\) y \(s\) las cantidades de \(2\) y de \(3\), respectivamente. Entonces \[ 2t+3s=1976,\qquad t\in\{0,1,2\}. \] Reduciendo módulo \(3\), se obtiene \(2t\equiv2\pmod3\), de modo que \(t=1\). Por tanto, \[ s=\frac{1976-2}{3}=658. \] Así pues, el producto máximo es \(2\cdot3^{658}\), y se alcanza con un \(2\) y \(658\) términos iguales a \(3\), cuya suma es, en efecto, \(1976\).
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1976 · 问题 4
求和为 1976 的若干个正整数的乘积的最大值，并给出证明。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
\[ \boxed{2\cdot 3^{658}}. \]
解答
和为 \(1976\) 的正整数列表只有有限多个，因为每个列表至多有 \(1976\) 项，且每项至多为 \(1976\)。因此，乘积的最大值存在。选取一个达到最大值的列表。
其中不可能有一项为 \(1\)：若有一项为 \(1\)，则必有另一项 \(a\)，将 \(1,a\) 替换为 \(a+1\)，总和不变，而乘积增大。
其中不可能有一项是整数 \(a\ge5\)，因为将它替换为 \(3,a-3\)，总和不变，而乘积增大： \[ 3(a-3)-a=2a-9>0. \] 因此，每项都是 \(2\)、\(3\) 或 \(4\)。
将每个 \(4\) 替换为两个 \(2\)。这样总和与乘积都不变，所以现在得到一个仅由 \(2\) 和 \(3\) 组成、乘积最大的列表。其中至多有两个 \(2\)，因为将三个 \(2\) 替换为两个 \(3\)，总和不变，而乘积从 \(8\) 增大到 \(9\)。
分别用 \(t\) 和 \(s\) 表示 \(2\) 和 \(3\) 的个数。则 \[ 2t+3s=1976,\qquad t\in\{0,1,2\}. \] 模 \(3\) 考虑，得 \(2t\equiv2\pmod3\)，所以 \(t=1\)。于是 \[ s=\frac{1976-2}{3}=658. \] 因此，乘积的最大值为 \(2\cdot3^{658}\)，由一个 \(2\) 和 \(658\) 个 \(3\) 达到，它们的和确实为 \(1976\)。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1976 · Задача 4
Найдите с доказательством наибольшее число, которое является произведением положительных целых чисел с суммой 1976.
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
\[ \boxed{2\cdot 3^{658}}. \]
Решение
Существует лишь конечное число списков положительных целых чисел с суммой \(1976\), поскольку каждый список содержит не более \(1976\) чисел и каждое число не превосходит \(1976\). Поэтому наибольшее произведение существует. Выберем список, на котором оно достигается.
Ни одно число в списке не может равняться \(1\): если в списке есть \(1\), то в нём должно быть и другое число \(a\), а замена \(1,a\) на \(a+1\) сохраняет сумму и увеличивает произведение.
Ни одно число в списке не может быть целым числом \(a\ge5\), поскольку замена его на \(3,a-3\) сохраняет сумму и увеличивает произведение: \[ 3(a-3)-a=2a-9>0. \] Следовательно, каждое число в списке равно \(2\), \(3\) или \(4\).
Заменим каждую \(4\) двумя числами \(2\). Это сохраняет и сумму, и произведение, так что теперь у нас есть список, дающий наибольшее произведение и состоящий только из чисел \(2\) и \(3\). В нём не более двух чисел \(2\), поскольку замена трёх чисел \(2\) двумя числами \(3\) сохраняет их сумму, но увеличивает произведение с \(8\) до \(9\).
Обозначим через \(t\) и \(s\) количества чисел \(2\) и \(3\) соответственно. Тогда \[ 2t+3s=1976,\qquad t\in\{0,1,2\}. \] Переходя к сравнению по модулю \(3\), получаем \(2t\equiv2\pmod3\), так что \(t=1\). Следовательно, \[ s=\frac{1976-2}{3}=658. \] Поэтому наибольшее произведение равно \(2\cdot3^{658}\) и достигается на одном числе \(2\) и \(658\) числах \(3\), сумма которых действительно равна \(1976\).
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1976 · المسألة 4
أوجد، مع البرهان، أكبر عدد يمكن أن يكون حاصل ضرب أعداد صحيحة موجبة مجموعها 1976.
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
\[ \boxed{2\cdot 3^{658}}. \]
الحل
عدد قوائم الأعداد الصحيحة الموجبة التي مجموعها \(1976\) منتهٍ، إذ إن كل قائمة تحتوي على \(1976\) عنصرًا على الأكثر، وكل عنصر لا يتجاوز \(1976\). لذا توجد قيمة عظمى لحاصل الضرب. لنختر قائمة تحققها.
لا يمكن أن يكون أي عنصر مساويًا لـ\(1\): فإذا كان أحد العناصر \(1\)، فلا بد من وجود عنصر آخر \(a\)، واستبدال \(1,a\) بـ\(a+1\) يحافظ على المجموع ويزيد حاصل الضرب.
ولا يمكن أن يكون أي عنصر عددًا صحيحًا \(a\ge5\)، لأن استبداله بـ\(3,a-3\) يحافظ على المجموع ويزيد حاصل الضرب: \[ 3(a-3)-a=2a-9>0. \] ومن ثم، فإن كل عنصر هو \(2\)، أو \(3\)، أو \(4\).
لنستبدل كل \(4\) بعددين يساوي كل منهما \(2\). يحافظ ذلك على كل من المجموع وحاصل الضرب، فتصبح لدينا قائمة تحقق القيمة العظمى وتتكون فقط من أعداد تساوي \(2\) أو \(3\). ولا تحتوي على أكثر من عددين يساويان \(2\)، لأن استبدال ثلاثة أعداد تساوي \(2\) بعددين يساويان \(3\) يحافظ على مجموعها، لكنه يزيد حاصل ضربها من \(8\) إلى \(9\).
ليرمز \(t\) و\(s\) إلى عدد مرات ورود \(2\) و\(3\)، على الترتيب. عندئذٍ \[ 2t+3s=1976,\qquad t\in\{0,1,2\}. \] بأخذ الطرفين بترديد \(3\)، نحصل على \(2t\equiv2\pmod3\)، ومن ثم \(t=1\). وعليه، \[ s=\frac{1976-2}{3}=658. \] إذن أكبر حاصل ضرب هو \(2\cdot3^{658}\)، ويتحقق بعدد واحد يساوي \(2\) و\(658\) عددًا يساوي كل منها \(3\)، ومجموعها بالفعل \(1976\).
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).