Problem 1

Let \(x_i,y_i\) \((i=1,2,\ldots,n)\) be real numbers such that \[ x_1\ge x_2\ge\cdots\ge x_n \quad\text{and}\quad y_1\ge y_2\ge\cdots\ge y_n. \] Prove that, if \(z_1,z_2,\ldots,z_n\) is any permutation of \(y_1,y_2,\ldots,y_n\), then \[ \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2. \]

Solution →

Problem 2

Let \(a_1,a_2,a_3,\cdots\) be an infinite increasing sequence of positive integers. Prove that for every \(p\ge 1\) there are infinitely many \(a_m\) which can be written in the form \[ a_m=xa_p+ya_q \] with \(x,y\) positive integers and \(q>p\).

Solution →

Problem 3

On the sides of an arbitrary triangle \(ABC\), triangles \(ABR, BCP, CAQ\) are constructed externally with \(\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ\), \(\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ\), \(\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ\). Prove that \(\angle QRP = 90^\circ\) and \(QR = RP\).

Solution →

Problem 4

When \(4444^{4444}\) is written in decimal notation, the sum of its digits is \(A\). Let \(B\) be the sum of the digits of \(A\). Find the sum of the digits of \(B\). (\(A\) and \(B\) are written in decimal notation.)

Solution →

Problem 5

Determine, with proof, whether or not one can find 1975 points on the circumference of a circle with unit radius such that the distance between any two of them is a rational number.

Solution →

Problem 6

Find all polynomials \(P\), in two variables, with the following properties:

(i) for a positive integer \(n\) and all real \(t,x,y\) \[ P(tx,ty)=t^nP(x,y) \] (that is, \(P\) is homogeneous of degree \(n\)),

(ii) for all real \(a,b,c\), \[ P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0, \]

(iii) \(P(1,0)=1\).

Solution →

Aufgabe 1

Es seien \(x_i,y_i\) \((i=1,2,\ldots,n)\) reelle Zahlen mit \[ x_1\ge x_2\ge\cdots\ge x_n \quad\text{und}\quad y_1\ge y_2\ge\cdots\ge y_n. \] Man beweise, dass für jede Permutation \(z_1,z_2,\ldots,z_n\) von \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) gilt: \[ \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2. \]

Lösung →

Aufgabe 2

Es sei \(a_1,a_2,a_3,\cdots\) eine unendliche streng wachsende Folge positiver ganzer Zahlen. Man beweise, dass es für jedes \(p\ge 1\) unendlich viele \(a_m\) gibt, die sich in der Form \[ a_m=xa_p+ya_q \] mit positiven ganzen Zahlen \(x,y\) und \(q>p\) darstellen lassen.

Lösung →

Aufgabe 3

Über den Seiten eines beliebigen Dreiecks \(ABC\) werden nach außen Dreiecke \(ABR, BCP, CAQ\) mit \(\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ\), \(\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ\), \(\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ\) errichtet. Man beweise, dass \(\angle QRP = 90^\circ\) und \(QR = RP\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 4

Die Quersumme der Zahl \(4444^{4444}\) in Dezimaldarstellung sei \(A\). Es sei \(B\) die Quersumme von \(A\). Man bestimme die Quersumme von \(B\). (\(A\) und \(B\) werden in Dezimaldarstellung geschrieben.)

Lösung →

Aufgabe 5

Man entscheide mit Beweis, ob sich auf einem Kreis mit Radius eins 1975 Punkte so wählen lassen, dass der Abstand zwischen je zwei dieser Punkte eine rationale Zahl ist.

Lösung →

Aufgabe 6

Man bestimme alle Polynome \(P\) in zwei Variablen mit den folgenden Eigenschaften:

(i) Für eine positive ganze Zahl \(n\) und alle reellen \(t,x,y\) gilt \[ P(tx,ty)=t^nP(x,y) \] (das heißt, \(P\) ist homogen vom Grad \(n\)),

(ii) Für alle reellen \(a,b,c\) gilt \[ P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0, \]

(iii) \(P(1,0)=1\).

Lösung →

Soru 1

\(x_i,y_i\) \((i=1,2,\ldots,n)\), \[ x_1\ge x_2\ge\cdots\ge x_n \quad\text{ve}\quad y_1\ge y_2\ge\cdots\ge y_n \] koşullarını sağlayan gerçel sayılar olsun. \(z_1,z_2,\ldots,z_n\), \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) sayılarının herhangi bir permütasyonu ise \[ \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2 \] olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 2

\(a_1,a_2,a_3,\cdots\), pozitif tam sayılardan oluşan sonsuz ve artan bir dizi olsun. Her \(p\ge 1\) için, \(x,y\) pozitif tam sayılar ve \(q>p\) olmak üzere \[ a_m=xa_p+ya_q \] biçiminde yazılabilen sonsuz sayıda \(a_m\) bulunduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

Herhangi bir \(ABC\) üçgeninin kenarları üzerine, üçgenin dışında kalacak şekilde, \(\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ\), \(\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ\), \(\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ\) koşullarını sağlayan \(ABR, BCP, CAQ\) üçgenleri çiziliyor. \(\angle QRP = 90^\circ\) ve \(QR = RP\) olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 4

\(4444^{4444}\) sayısı onluk tabanda yazıldığında rakamları toplamı \(A\)'dır. \(A\)'nın rakamları toplamı \(B\) olsun. \(B\)'nin rakamları toplamını bulunuz. (\(A\) ve \(B\) onluk tabanda yazılmıştır.)

Çözüm →

Soru 5

Birim yarıçaplı bir çember üzerinde, herhangi ikisi arasındaki uzaklık bir rasyonel sayı olacak şekilde 1975 nokta bulunup bulunamayacağını kanıtlayarak belirleyiniz.

Çözüm →

Soru 6

Aşağıdaki özellikleri sağlayan iki değişkenli tüm \(P\) polinomlarını bulunuz:

(i) bir \(n\) pozitif tam sayısı ve tüm \(t,x,y\) gerçel sayıları için \[ P(tx,ty)=t^nP(x,y) \] (yani \(P\), \(n\). dereceden homojendir),

(ii) tüm \(a,b,c\) gerçel sayıları için, \[ P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0, \]

(iii) \(P(1,0)=1\).

Çözüm →

Problema 1

Sean \(x_i,y_i\) \((i=1,2,\ldots,n)\) números reales tales que \[ x_1\ge x_2\ge\cdots\ge x_n \quad\text{y}\quad y_1\ge y_2\ge\cdots\ge y_n. \] Demostrar que, si \(z_1,z_2,\ldots,z_n\) es cualquier permutación de \(y_1,y_2,\ldots,y_n\), entonces \[ \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2. \]

Solución →

Problema 2

Sea \(a_1,a_2,a_3,\cdots\) una sucesión infinita creciente de enteros positivos. Demostrar que para todo \(p\ge 1\) existen infinitos términos \(a_m\) que pueden escribirse en la forma \[ a_m=xa_p+ya_q \] con \(x,y\) enteros positivos y \(q>p\).

Solución →

Problema 3

Sobre los lados de un triángulo cualquiera \(ABC\), se construyen exteriormente los triángulos \(ABR, BCP, CAQ\) con \(\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ\), \(\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ\), \(\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ\). Demostrar que \(\angle QRP = 90^\circ\) y \(QR = RP\).

Solución →

Problema 4

Al escribir \(4444^{4444}\) en notación decimal, la suma de sus cifras es \(A\). Sea \(B\) la suma de las cifras de \(A\). Hallar la suma de las cifras de \(B\). (\(A\) y \(B\) están escritos en notación decimal.)

Solución →

Problema 5

Determinar, con demostración, si es posible encontrar 1975 puntos sobre una circunferencia de radio unidad tales que la distancia entre dos cualesquiera de ellos sea un número racional.

Solución →

Problema 6

Hallar todos los polinomios \(P\), en dos variables, con las siguientes propiedades:

(i) para un entero positivo \(n\) y todos los números reales \(t,x,y\) \[ P(tx,ty)=t^nP(x,y) \] (es decir, \(P\) es homogéneo de grado \(n\)),

(ii) para todos los números reales \(a,b,c\), \[ P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0, \]

(iii) \(P(1,0)=1\).

Solución →

问题 1

设实数 \(x_i,y_i\) \((i=1,2,\ldots,n)\) 满足 \[ x_1\ge x_2\ge\cdots\ge x_n \quad\text{且}\quad y_1\ge y_2\ge\cdots\ge y_n. \] 证明：若 \(z_1,z_2,\ldots,z_n\) 是 \(y_1,y_2,\ldots,y_n\) 的任意一个排列，则 \[ \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2. \]

解答 →

问题 2

设 \(a_1,a_2,a_3,\cdots\) 是一个无穷递增正整数数列。证明：对每个 \(p\ge 1\)，都有无穷多个 \(a_m\) 可以写成 \[ a_m=xa_p+ya_q \] 的形式，其中 \(x,y\) 为正整数，且 \(q>p\)。

解答 →

问题 3

在任意三角形 \(ABC\) 的各边上向外作三角形 \(ABR, BCP, CAQ\)，使得 \(\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ\)，\(\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ\)，\(\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ\)。证明：\(\angle QRP = 90^\circ\)，且 \(QR = RP\)。

解答 →

问题 4

将 \(4444^{4444}\) 写成十进制数，其各位数字之和为 \(A\)。设 \(B\) 为 \(A\) 的各位数字之和。求 \(B\) 的各位数字之和。（\(A\) 和 \(B\) 均用十进制表示。）

解答 →

问题 5

判断能否在半径为一的圆的圆周上找到 1975 个点，使得其中任意两点之间的距离都是有理数，并给出证明。

解答 →

问题 6

求所有满足下列性质的二元多项式 \(P\)：

(i) 存在正整数 \(n\)，使得对所有实数 \(t,x,y\)，都有 \[ P(tx,ty)=t^nP(x,y) \] （即 \(P\) 是 \(n\) 次齐次多项式），

(ii) 对所有实数 \(a,b,c\)，都有 \[ P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0, \]

(iii) \(P(1,0)=1\)。

解答 →

Задача 1

Пусть \(x_i,y_i\) \((i=1,2,\ldots,n)\) — действительные числа, такие что \[ x_1\ge x_2\ge\cdots\ge x_n \quad\text{и}\quad y_1\ge y_2\ge\cdots\ge y_n. \] Докажите, что если \(z_1,z_2,\ldots,z_n\) — произвольная перестановка чисел \(y_1,y_2,\ldots,y_n\), то \[ \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2. \]

Решение →

Задача 2

Пусть \(a_1,a_2,a_3,\cdots\) — бесконечная возрастающая последовательность положительных целых чисел. Докажите, что для каждого \(p\ge 1\) существует бесконечно много членов \(a_m\), которые можно представить в виде \[ a_m=xa_p+ya_q \] с положительными целыми \(x,y\) и \(q>p\).

Решение →

Задача 3

На сторонах произвольного треугольника \(ABC\) вне его построены треугольники \(ABR, BCP, CAQ\), в которых \(\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ\), \(\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ\), \(\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ\). Докажите, что \(\angle QRP = 90^\circ\) и \(QR = RP\).

Решение →

Задача 4

Сумма цифр десятичной записи числа \(4444^{4444}\) равна \(A\). Пусть \(B\) — сумма цифр числа \(A\). Найдите сумму цифр числа \(B\). (Числа \(A\) и \(B\) записаны в десятичной системе счисления.)

Решение →

Задача 5

Выясните, можно ли найти на окружности единичного радиуса 1975 точек так, чтобы расстояние между любыми двумя из них было рациональным числом. Ответ обоснуйте.

Решение →

Задача 6

Найдите все многочлены \(P\) от двух переменных, обладающие следующими свойствами:

(i) для некоторого положительного целого числа \(n\) и всех действительных \(t,x,y\) \[ P(tx,ty)=t^nP(x,y) \] (то есть \(P\) — однородный многочлен степени \(n\)),

(ii) для всех действительных \(a,b,c\) \[ P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0, \]

(iii) \(P(1,0)=1\).

Решение →

المسألة 1

لتكن \(x_i,y_i\) \((i=1,2,\ldots,n)\) أعدادًا حقيقية بحيث \[ x_1\ge x_2\ge\cdots\ge x_n \quad\text{و}\quad y_1\ge y_2\ge\cdots\ge y_n. \] أثبت أنه إذا كانت \(z_1,z_2,\ldots,z_n\) تبديلًا كيفما كان للأعداد \(y_1,y_2,\ldots,y_n\)، فإن \[ \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n}(x_i-z_i)^2. \]

← الحل

المسألة 2

لتكن \(a_1,a_2,a_3,\cdots\) متتالية متزايدة غير منتهية من الأعداد الصحيحة الموجبة. أثبت أنه لكل \(p\ge 1\) يوجد عدد غير منتهٍ من الحدود \(a_m\) التي يمكن كتابتها على الصورة \[ a_m=xa_p+ya_q \] حيث \(x,y\) عددان صحيحان موجبان و\(q>p\).

← الحل

المسألة 3

على أضلاع مثلث كيفما كان \(ABC\)، تُنشأ المثلثات \(ABR, BCP, CAQ\) خارج المثلث بحيث \(\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ\)، و\(\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ\)، و\(\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ\). أثبت أن \(\angle QRP = 90^\circ\) وأن \(QR = RP\).

← الحل

المسألة 4

عند كتابة \(4444^{4444}\) بالنظام العشري، يكون مجموع أرقامه \(A\). وليكن \(B\) مجموع أرقام \(A\). أوجد مجموع أرقام \(B\). (يُكتب \(A\) و\(B\) بالنظام العشري.)

← الحل

المسألة 5

حدّد، مع البرهان، ما إذا كان يمكن إيجاد 1975 نقطة على محيط دائرة نصف قطرها واحد، بحيث تكون المسافة بين أي نقطتين منها عددًا نسبيًا.

← الحل

المسألة 6

أوجد جميع كثيرات الحدود \(P\)، في متغيرين، التي تحقق الخواص الآتية:

(i) يوجد عدد صحيح موجب \(n\) بحيث، لكل أعداد حقيقية \(t,x,y\)، \[ P(tx,ty)=t^nP(x,y) \] (أي إن \(P\) متجانسة من الدرجة \(n\))،

(ii) لكل أعداد حقيقية \(a,b,c\)، \[ P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0, \]

(iii) \(P(1,0)=1\).

← الحل