Problem 1

Three players \(A, B\) and \(C\) play the following game: On each of three cards an integer is written. These three numbers \(p, q, r\) satisfy \(0 < p < q < r\). The three cards are shuffled and one is dealt to each player. Each then receives the number of counters indicated by the card he holds. Then the cards are shuffled again; the counters remain with the players.

This process (shuffling, dealing, giving out counters) takes place for at least two rounds. After the last round, \(A\) has 20 counters in all, \(B\) has 10 and \(C\) has 9. At the last round \(B\) received \(r\) counters. Who received \(q\) counters on the first round?

Solution →

Problem 2

In the triangle \(ABC\), prove that there is a point \(D\) on side \(AB\) such that \(CD\) is the geometric mean of \(AD\) and \(DB\) if and only if \[ \sin A\sin B\leq \sin^2\frac C2. \]

Solution →

Problem 3

Prove that the number \(\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}\) is not divisible by \(5\) for any integer \(n\geq 0\).

Solution →

Problem 4

Consider decompositions of an \(8 \times 8\) chessboard into \(p\) non-overlapping rectangles subject to the following conditions:

(i) Each rectangle has as many white squares as black squares.

(ii) If \(a_i\) is the number of white squares in the \(i\)-th rectangle, then \(a_1 < a_2 < \cdots < a_p\). Find the maximum value of \(p\) for which such a decomposition is possible. For this value of \(p\), determine all possible sequences \(a_1,a_2,\ldots,a_p\).

Solution →

Problem 5

Determine all possible values of \[ S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d} \] where \(a,b,c,d\) are arbitrary positive numbers.

Solution →

Problem 6

Let \(P\) be a non-constant polynomial with integer coefficients. If \(n(P)\) is the number of distinct integers \(k\) such that \((P(k))^2 = 1\), prove that \(n(P) - \deg(P) \leq 2\), where \(\deg(P)\) denotes the degree of the polynomial \(P\).

Solution →

Aufgabe 1

Drei Spieler \(A, B\) und \(C\) spielen folgendes Spiel: Auf jeder von drei Karten steht eine ganze Zahl. Diese drei Zahlen \(p, q, r\) erfüllen \(0 < p < q < r\). Die drei Karten werden gemischt, und jeder Spieler erhält eine davon. Anschließend erhält jeder so viele Spielmarken, wie die Zahl auf seiner Karte angibt. Danach werden die Karten erneut gemischt; die Spielmarken bleiben bei den Spielern.

Dieser Vorgang (Mischen, Austeilen der Karten, Verteilen der Spielmarken) wird in mindestens zwei Runden durchgeführt. Nach der letzten Runde hat \(A\) insgesamt 20 Spielmarken, \(B\) hat 10 und \(C\) hat 9. In der letzten Runde erhielt \(B\) genau \(r\) Spielmarken. Wer erhielt in der ersten Runde \(q\) Spielmarken?

Lösung →

Aufgabe 2

Beweise, dass es im Dreieck \(ABC\) genau dann einen Punkt \(D\) auf der Seite \(AB\) gibt, für den \(CD\) das geometrische Mittel von \(AD\) und \(DB\) ist, wenn \[ \sin A\sin B\leq \sin^2\frac C2. \]

Lösung →

Aufgabe 3

Beweise, dass die Zahl \(\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}\) für keine ganze Zahl \(n\geq 0\) durch \(5\) teilbar ist.

Lösung →

Aufgabe 4

Betrachte Zerlegungen eines \(8 \times 8\)-Schachbretts in \(p\) einander nicht überlappende Rechtecke unter den folgenden Bedingungen:

(i) Jedes Rechteck enthält ebenso viele weiße wie schwarze Felder.

(ii) Ist \(a_i\) die Anzahl der weißen Felder im \(i\)-ten Rechteck, so gilt \(a_1 < a_2 < \cdots < a_p\). Bestimme den größten Wert von \(p\), für den eine solche Zerlegung möglich ist. Bestimme für diesen Wert von \(p\) alle möglichen Folgen \(a_1,a_2,\ldots,a_p\).

Lösung →

Aufgabe 5

Bestimme alle möglichen Werte von \[ S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d} \] für beliebige positive Zahlen \(a,b,c,d\).

Lösung →

Aufgabe 6

Sei \(P\) ein nicht konstantes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Ist \(n(P)\) die Anzahl der verschiedenen ganzen Zahlen \(k\), für die \((P(k))^2 = 1\) gilt, so beweise, dass \(n(P) - \deg(P) \leq 2\) ist, wobei \(\deg(P)\) den Grad des Polynoms \(P\) bezeichnet.

Lösung →

Soru 1

\(A, B\) ve \(C\) adlı üç oyuncu şu oyunu oynuyor: Üç kartın her birinin üzerine bir tam sayı yazılıyor. Bu üç sayı \(p, q, r\), \(0 < p < q < r\) koşulunu sağlıyor. Üç kart karıştırılıyor ve her oyuncuya bir kart dağıtılıyor. Ardından her oyuncu, elindeki kartta yazan sayı kadar pul alıyor. Daha sonra kartlar yeniden karıştırılıyor; pullar oyuncularda kalıyor.

Bu işlem (kartların karıştırılması, dağıtılması ve pulların verilmesi) en az iki tur boyunca yapılıyor. Son turun sonunda \(A\)'nın toplam 20, \(B\)'nin 10 ve \(C\)'nin 9 pulu oluyor. Son turda \(B\), \(r\) pul almıştır. İlk turda \(q\) pul alan oyuncu kimdir?

Çözüm →

Soru 2

\(ABC\) üçgeninde, \(AB\) kenarı üzerinde \(CD\)'nin \(AD\) ile \(DB\)'nin geometrik ortalaması olduğu bir \(D\) noktasının bulunması için gerek ve yeter koşulun \[ \sin A\sin B\leq \sin^2\frac C2 \] olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

\(\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}\) sayısının hiçbir \(n\geq 0\) tam sayısı için \(5\) ile bölünmediğini kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 4

Bir \(8 \times 8\) satranç tahtasının, aşağıdaki koşulları sağlayan ve birbiriyle örtüşmeyen \(p\) dikdörtgene ayrılışlarını ele alalım:

(i) Her dikdörtgende beyaz kare sayısı siyah kare sayısına eşittir.

(ii) \(a_i\), \(i\). dikdörtgendeki beyaz kare sayısı olmak üzere \(a_1 < a_2 < \cdots < a_p\) olur. Böyle bir ayrılışın mümkün olduğu en büyük \(p\) değerini bulunuz. Bu \(p\) değeri için mümkün olan tüm \(a_1,a_2,\ldots,a_p\) dizilerini belirleyiniz.

Çözüm →

Soru 5

\(a,b,c,d\) keyfî pozitif sayılar olmak üzere \[ S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d} \] ifadesinin alabileceği tüm değerleri belirleyiniz.

Çözüm →

Soru 6

\(P\), tam sayı katsayılı, sabit olmayan bir polinom olsun. \(n(P)\), \((P(k))^2 = 1\) eşitliğini sağlayan farklı \(k\) tam sayılarının sayısı ise \(n(P) - \deg(P) \leq 2\) olduğunu kanıtlayınız; burada \(\deg(P)\), \(P\) polinomunun derecesini gösterir.

Çözüm →

Problema 1

Tres jugadores \(A, B\) y \(C\) juegan al siguiente juego: en cada una de tres cartas está escrito un número entero. Estos tres números \(p, q, r\) satisfacen \(0 < p < q < r\). Se barajan las tres cartas y se reparte una a cada jugador. A continuación, cada uno recibe el número de fichas indicado por su carta. Después se vuelven a barajar las cartas; los jugadores conservan sus fichas.

Este proceso (barajar, repartir las cartas y entregar las fichas) se repite durante al menos dos rondas. Después de la última ronda, \(A\) tiene 20 fichas en total, \(B\) tiene 10 y \(C\) tiene 9. En la última ronda, \(B\) recibió \(r\) fichas. ¿Quién recibió \(q\) fichas en la primera ronda?

Solución →

Problema 2

En el triángulo \(ABC\), demostrar que existe un punto \(D\) en el lado \(AB\) tal que \(CD\) es la media geométrica de \(AD\) y \(DB\) si y solo si \[ \sin A\sin B\leq \sin^2\frac C2. \]

Solución →

Problema 3

Demostrar que el número \(\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}\) no es divisible por \(5\) para ningún entero \(n\geq 0\).

Solución →

Problema 4

Consideremos las descomposiciones de un tablero de ajedrez de \(8 \times 8\) en \(p\) rectángulos que no se superponen, sujetas a las siguientes condiciones:

(i) Cada rectángulo tiene tantas casillas blancas como negras.

(ii) Si \(a_i\) es el número de casillas blancas del \(i\)-ésimo rectángulo, entonces \(a_1 < a_2 < \cdots < a_p\). Hallar el valor máximo de \(p\) para el que es posible tal descomposición. Para este valor de \(p\), determinar todas las sucesiones posibles \(a_1,a_2,\ldots,a_p\).

Solución →

Problema 5

Determinar todos los valores posibles de \[ S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d} \] donde \(a,b,c,d\) son números positivos arbitrarios.

Solución →

Problema 6

Sea \(P\) un polinomio no constante con coeficientes enteros. Si \(n(P)\) es el número de enteros distintos \(k\) tales que \((P(k))^2 = 1\), demostrar que \(n(P) - \deg(P) \leq 2\), donde \(\deg(P)\) denota el grado del polinomio \(P\).

Solución →

问题 1

三位玩家 \(A, B\) 和 \(C\) 进行如下游戏：三张卡片上各写有一个整数。这三个数 \(p, q, r\) 满足 \(0 < p < q < r\)。将这三张卡片洗牌后，发给每位玩家一张。随后，每位玩家领取与自己手中卡片上的数相同数量的筹码。然后再次洗牌；筹码仍由各位玩家保留。

这一过程（洗牌、发牌、发放筹码）至少进行两轮。最后一轮结束后，\(A\) 共有 20 枚筹码，\(B\) 共有 10 枚，\(C\) 共有 9 枚。在最后一轮中，\(B\) 领取了 \(r\) 枚筹码。第一轮中是谁领取了 \(q\) 枚筹码？

解答 →

问题 2

在三角形 \(ABC\) 中，证明：边 \(AB\) 上存在一点 \(D\)，使得 \(CD\) 是 \(AD\) 与 \(DB\) 的几何平均数，当且仅当 \[ \sin A\sin B\leq \sin^2\frac C2. \]

解答 →

问题 3

证明：对于任意整数 \(n\geq 0\)，数 \(\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}\) 都不能被 \(5\) 整除。

解答 →

问题 4

考虑将一个 \(8 \times 8\) 的棋盘分割成 \(p\) 个互不重叠的矩形，且满足以下条件：

(i) 每个矩形中的白格数与黑格数相等。

(ii) 若 \(a_i\) 是第 \(i\) 个矩形中的白格数，则 \(a_1 < a_2 < \cdots < a_p\)。求使这种分割成为可能的 \(p\) 的最大值。对于这个 \(p\) 值，求出所有可能的数列 \(a_1,a_2,\ldots,a_p\)。

解答 →

问题 5

求 \[ S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d} \] 的所有可能值，其中 \(a,b,c,d\) 为任意正数。

解答 →

问题 6

设 \(P\) 是一个非常数的整系数多项式。若 \(n(P)\) 表示满足 \((P(k))^2 = 1\) 的不同整数 \(k\) 的个数，证明 \(n(P) - \deg(P) \leq 2\)，其中 \(\deg(P)\) 表示多项式 \(P\) 的次数。

解答 →

Задача 1

Три игрока \(A, B\) и \(C\) играют в следующую игру: на каждой из трёх карточек написано целое число. Эти три числа \(p, q, r\) удовлетворяют условию \(0 < p < q < r\). Три карточки перемешивают и раздают по одной каждому игроку. Затем каждый получает столько фишек, сколько указано на его карточке. После этого карточки снова перемешивают; фишки остаются у игроков.

Этот процесс (перемешивание карточек, их раздача и выдача фишек) повторяют не менее двух раз. После последнего раунда у \(A\) оказалось в общей сложности 20 фишек, у \(B\) — 10, а у \(C\) — 9. В последнем раунде \(B\) получил \(r\) фишек. Кто получил \(q\) фишек в первом раунде?

Решение →

Задача 2

Докажите, что в треугольнике \(ABC\) на стороне \(AB\) существует точка \(D\), для которой \(CD\) является средним геометрическим \(AD\) и \(DB\), тогда и только тогда, когда \[ \sin A\sin B\leq \sin^2\frac C2. \]

Решение →

Задача 3

Докажите, что число \(\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}\) не делится на \(5\) ни при каком целом \(n\geq 0\).

Решение →

Задача 4

Рассмотрим разбиения шахматной доски \(8 \times 8\) на \(p\) неперекрывающихся прямоугольников, удовлетворяющие следующим условиям:

(i) В каждом прямоугольнике столько же белых клеток, сколько чёрных.

(ii) Если \(a_i\) — число белых клеток в \(i\)-м прямоугольнике, то \(a_1 < a_2 < \cdots < a_p\). Найдите наибольшее значение \(p\), при котором такое разбиение возможно. Для этого значения \(p\) определите все возможные последовательности \(a_1,a_2,\ldots,a_p\).

Решение →

Задача 5

Найдите все возможные значения \[ S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d} \] где \(a,b,c,d\) — произвольные положительные числа.

Решение →

Задача 6

Пусть \(P\) — непостоянный многочлен с целыми коэффициентами. Если \(n(P)\) — число различных целых чисел \(k\), для которых \((P(k))^2 = 1\), докажите, что \(n(P) - \deg(P) \leq 2\), где \(\deg(P)\) обозначает степень многочлена \(P\).

Решение →

المسألة 1

يلعب ثلاثة لاعبين \(A, B\) و\(C\) اللعبة الآتية: يُكتب عدد صحيح على كل واحدة من ثلاث بطاقات. وتحقق هذه الأعداد الثلاثة \(p, q, r\) العلاقة \(0 < p < q < r\). تُخلط البطاقات الثلاث وتُوزَّع بطاقة واحدة على كل لاعب. ثم يتلقى كل لاعب عددًا من قطع العد يساوي العدد المكتوب على بطاقته. ثم تُخلط البطاقات مرة أخرى، وتبقى قطع العد لدى اللاعبين.

تتكرر هذه العملية (خلط البطاقات وتوزيعها وإعطاء قطع العد) لجولتين على الأقل. بعد الجولة الأخيرة، يكون لدى \(A\) ما مجموعه 20 قطعة عد، ولدى \(B\) 10 قطع، ولدى \(C\) 9 قطع. في الجولة الأخيرة، تلقى \(B\) عددًا من قطع العد يساوي \(r\). من الذي تلقى \(q\) قطعة عد في الجولة الأولى؟

← الحل

المسألة 2

في المثلث \(ABC\)، أثبت أنه توجد نقطة \(D\) على الضلع \(AB\) بحيث يكون \(CD\) الوسط الهندسي للطولين \(AD\) و\(DB\) إذا وفقط إذا \[ \sin A\sin B\leq \sin^2\frac C2. \]

← الحل

المسألة 3

أثبت أن العدد \(\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}\) لا يقبل القسمة على \(5\) لأي عدد صحيح \(n\geq 0\).

← الحل

المسألة 4

ننظر في تقسيمات رقعة شطرنج أبعادها \(8 \times 8\) إلى \(p\) مستطيلات غير متداخلة، تخضع للشروط الآتية:

(i) يحتوي كل مستطيل على عدد من المربعات البيضاء يساوي عدد المربعات السوداء فيه.

(ii) إذا كان \(a_i\) عدد المربعات البيضاء في المستطيل ذي الرقم \(i\)، فإن \(a_1 < a_2 < \cdots < a_p\). أوجد أكبر قيمة للعدد \(p\) يمكن من أجلها إجراء مثل هذا التقسيم. ولهذه القيمة من \(p\)، حدد جميع المتتاليات الممكنة \(a_1,a_2,\ldots,a_p\).

← الحل

المسألة 5

حدد جميع القيم الممكنة للمقدار \[ S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d} \] حيث \(a,b,c,d\) أعداد موجبة كيفما كانت.

← الحل

المسألة 6

لتكن \(P\) كثيرة حدود غير ثابتة ذات معاملات صحيحة. إذا كان \(n(P)\) عدد الأعداد الصحيحة المتمايزة \(k\) التي تحقق \((P(k))^2 = 1\)، فأثبت أن \(n(P) - \deg(P) \leq 2\)، حيث ترمز \(\deg(P)\) إلى درجة كثيرة الحدود \(P\).

← الحل