IMO 1974 · Problem 5
Determine all possible values of \[ S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d} \] where \(a,b,c,d\) are arbitrary positive numbers.
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
\[ \boxed{1<S<2} \] Every real number in this open interval is attained.
Solution
Put \(T=a+b+c+d\). Each denominator in the definition of \(S\) is strictly less than \(T\), so \[ S>\frac aT+\frac bT+\frac cT+\frac dT=1. \] On the other hand, positivity gives \[ \begin{aligned} S &<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b} +\frac{c}{c+d}+\frac{d}{c+d}\\ &=2. \end{aligned} \] Thus every possible value lies in \((1,2)\).
We now prove that every value in this interval occurs. For \(0<t<1\), fix \[ a=1,\qquad b=d=t, \] and regard \(S\) as the continuous function \[ F_t(c)=\frac{1}{1+2t}+\frac{2t}{1+t+c}+\frac{c}{2t+c}, \qquad c>0. \] At \(c=t^2\), \[ F_t(t^2)=\frac{1}{1+2t} +\frac{2t}{1+t+t^2} +\frac{t}{2+t} \longrightarrow 1 \quad\text{as }t\to0^+. \] At \(c=1\), \[ F_t(1)=\frac{2}{1+2t}+\frac{2t}{2+t} \longrightarrow 2 \quad\text{as }t\to0^+. \]
Let \(s\) be any number with \(1<s<2\). These limits allow us to choose \(t\in(0,1)\) sufficiently small that \[ F_t(t^2)<s<F_t(1). \] By the intermediate value theorem, some \(c\in(t^2,1)\) satisfies \(F_t(c)=s\). All four variables are positive, so this is an admissible choice.
Consequently, the set of possible values is exactly \((1,2)\).
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1974 · Aufgabe 5
Bestimme alle möglichen Werte von \[ S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d} \] für beliebige positive Zahlen \(a,b,c,d\).
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
\[ \boxed{1<S<2} \] Jede reelle Zahl in diesem offenen Intervall wird angenommen.
Lösung
Wir setzen \(T=a+b+c+d\). Jeder Nenner in der Definition von \(S\) ist echt kleiner als \(T\), also gilt \[ S>\frac aT+\frac bT+\frac cT+\frac dT=1. \] Andererseits ergibt sich aus der Positivität \[ \begin{aligned} S &<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b} +\frac{c}{c+d}+\frac{d}{c+d}\\ &=2. \end{aligned} \] Somit liegt jeder mögliche Wert in \((1,2)\).
Wir beweisen nun, dass jeder Wert in diesem Intervall angenommen wird. Für \(0<t<1\) legen wir \[ a=1,\qquad b=d=t, \] fest und betrachten \(S\) als die stetige Funktion \[ F_t(c)=\frac{1}{1+2t}+\frac{2t}{1+t+c}+\frac{c}{2t+c}, \qquad c>0. \] Für \(c=t^2\) gilt \[ F_t(t^2)=\frac{1}{1+2t} +\frac{2t}{1+t+t^2} +\frac{t}{2+t} \longrightarrow 1 \quad\text{für }t\to0^+. \] Für \(c=1\) gilt \[ F_t(1)=\frac{2}{1+2t}+\frac{2t}{2+t} \longrightarrow 2 \quad\text{für }t\to0^+. \]
Sei \(s\) eine beliebige Zahl mit \(1<s<2\). Aufgrund dieser Grenzwerte können wir \(t\in(0,1)\) so klein wählen, dass \[ F_t(t^2)<s<F_t(1). \] Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein \(c\in(t^2,1)\) mit \(F_t(c)=s\). Alle vier Variablen sind positiv, sodass dies eine zulässige Wahl ist.
Folglich ist die Menge der möglichen Werte genau \((1,2)\).
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1974 · Soru 5
\(a,b,c,d\) keyfî pozitif sayılar olmak üzere \[ S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d} \] ifadesinin alabileceği tüm değerleri belirleyiniz.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\[ \boxed{1<S<2} \] Bu açık aralıktaki her gerçek sayı elde edilir.
Çözüm
\(T=a+b+c+d\) olsun. \(S\)'nin tanımındaki her payda \(T\)'den kesin olarak küçük olduğundan \[ S>\frac aT+\frac bT+\frac cT+\frac dT=1. \] Öte yandan, değişkenlerin pozitifliğinden \[ \begin{aligned} S &<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b} +\frac{c}{c+d}+\frac{d}{c+d}\\ &=2 \end{aligned} \] elde edilir. Dolayısıyla mümkün olan her değer \((1,2)\) aralığındadır.
Şimdi bu aralıktaki her değerin elde edildiğini kanıtlayacağız. \(0<t<1\) için \[ a=1,\qquad b=d=t, \] olarak sabitleyelim ve \(S\)'yi \[ F_t(c)=\frac{1}{1+2t}+\frac{2t}{1+t+c}+\frac{c}{2t+c}, \qquad c>0 \] sürekli fonksiyonu olarak ele alalım. \(c=t^2\) için \[ F_t(t^2)=\frac{1}{1+2t} +\frac{2t}{1+t+t^2} +\frac{t}{2+t} \longrightarrow 1 \quad\text{şu limitte: }t\to0^+. \] \(c=1\) için \[ F_t(1)=\frac{2}{1+2t}+\frac{2t}{2+t} \longrightarrow 2 \quad\text{şu limitte: }t\to0^+. \]
\(s\), \(1<s<2\) koşulunu sağlayan herhangi bir sayı olsun. Bu limitler sayesinde yeterince küçük bir \(t\in(0,1)\) seçerek \[ F_t(t^2)<s<F_t(1) \] olmasını sağlayabiliriz. Ara değer teoremine göre bir \(c\in(t^2,1)\) için \(F_t(c)=s\) olur. Dört değişken de pozitif olduğundan bu seçim geçerlidir.
Sonuç olarak, mümkün olan değerler kümesi tam olarak \((1,2)\)'dir.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1974 · Problema 5
Determinar todos los valores posibles de \[ S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d} \] donde \(a,b,c,d\) son números positivos arbitrarios.
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
\[ \boxed{1<S<2} \] Se alcanza todo número real de este intervalo abierto.
Solución
Sea \(T=a+b+c+d\). Cada denominador de la definición de \(S\) es estrictamente menor que \(T\), por lo que \[ S>\frac aT+\frac bT+\frac cT+\frac dT=1. \] Por otra parte, la positividad da \[ \begin{aligned} S &<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b} +\frac{c}{c+d}+\frac{d}{c+d}\\ &=2. \end{aligned} \] Así pues, todo valor posible pertenece a \((1,2)\).
Demostremos ahora que se alcanza todo valor de este intervalo. Para \(0<t<1\), fijemos \[ a=1,\qquad b=d=t, \] y consideremos \(S\) como la función continua \[ F_t(c)=\frac{1}{1+2t}+\frac{2t}{1+t+c}+\frac{c}{2t+c}, \qquad c>0. \] Para \(c=t^2\), \[ F_t(t^2)=\frac{1}{1+2t} +\frac{2t}{1+t+t^2} +\frac{t}{2+t} \longrightarrow 1 \quad\text{cuando }t\to0^+. \] Para \(c=1\), \[ F_t(1)=\frac{2}{1+2t}+\frac{2t}{2+t} \longrightarrow 2 \quad\text{cuando }t\to0^+. \]
Sea \(s\) un número cualquiera tal que \(1<s<2\). Estos límites nos permiten elegir \(t\in(0,1)\) suficientemente pequeño para que \[ F_t(t^2)<s<F_t(1). \] Por el teorema del valor intermedio, existe algún \(c\in(t^2,1)\) que satisface \(F_t(c)=s\). Las cuatro variables son positivas, por lo que esta elección es admisible.
En consecuencia, el conjunto de valores posibles es exactamente \((1,2)\).
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1974 · 问题 5
求 \[ S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d} \] 的所有可能值，其中 \(a,b,c,d\) 为任意正数。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
\[ \boxed{1<S<2} \] 这个开区间内的每个实数都能取到。
解答
令 \(T=a+b+c+d\)。\(S\) 的定义式中的每个分母都严格小于 \(T\)，因此 \[ S>\frac aT+\frac bT+\frac cT+\frac dT=1. \] 另一方面，由各变量的正性可得 \[ \begin{aligned} S &<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b} +\frac{c}{c+d}+\frac{d}{c+d}\\ &=2. \end{aligned} \] 因此，所有可能值都在 \((1,2)\) 内。
下面证明这个区间内的每个值都能取到。对于 \(0<t<1\)，固定 \[ a=1,\qquad b=d=t, \] 并将 \(S\) 看作连续函数 \[ F_t(c)=\frac{1}{1+2t}+\frac{2t}{1+t+c}+\frac{c}{2t+c}, \qquad c>0. \] 当 \(c=t^2\) 时， \[ F_t(t^2)=\frac{1}{1+2t} +\frac{2t}{1+t+t^2} +\frac{t}{2+t} \longrightarrow 1 \quad\text{当 }t\to0^+. \] 当 \(c=1\) 时， \[ F_t(1)=\frac{2}{1+2t}+\frac{2t}{2+t} \longrightarrow 2 \quad\text{当 }t\to0^+. \]
任取满足 \(1<s<2\) 的数 \(s\)。由这些极限，可以选取充分小的 \(t\in(0,1)\)，使得 \[ F_t(t^2)<s<F_t(1). \] 由介值定理，存在某个 \(c\in(t^2,1)\) 满足 \(F_t(c)=s\)。四个变量均为正数，所以这是符合条件的取值。
因此，所有可能值组成的集合恰好为 \((1,2)\)。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1974 · Задача 5
Найдите все возможные значения \[ S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d} \] где \(a,b,c,d\) — произвольные положительные числа.
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
\[ \boxed{1<S<2} \] Каждое действительное число из этого открытого промежутка достигается.
Решение
Положим \(T=a+b+c+d\). Каждый знаменатель в определении \(S\) строго меньше \(T\), поэтому \[ S>\frac aT+\frac bT+\frac cT+\frac dT=1. \] С другой стороны, из положительности чисел следует \[ \begin{aligned} S &<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b} +\frac{c}{c+d}+\frac{d}{c+d}\\ &=2. \end{aligned} \] Таким образом, каждое возможное значение лежит в \((1,2)\).
Теперь докажем, что каждое значение из этого промежутка достигается. Для \(0<t<1\) зафиксируем \[ a=1,\qquad b=d=t, \] и будем рассматривать \(S\) как непрерывную функцию \[ F_t(c)=\frac{1}{1+2t}+\frac{2t}{1+t+c}+\frac{c}{2t+c}, \qquad c>0. \] При \(c=t^2\) \[ F_t(t^2)=\frac{1}{1+2t} +\frac{2t}{1+t+t^2} +\frac{t}{2+t} \longrightarrow 1 \quad\text{при }t\to0^+. \] При \(c=1\) \[ F_t(1)=\frac{2}{1+2t}+\frac{2t}{2+t} \longrightarrow 2 \quad\text{при }t\to0^+. \]
Пусть \(s\) — любое число, для которого \(1<s<2\). Эти пределы позволяют выбрать достаточно малое \(t\in(0,1)\), чтобы \[ F_t(t^2)<s<F_t(1). \] По теореме о промежуточном значении существует \(c\in(t^2,1)\), для которого \(F_t(c)=s\). Все четыре переменные положительны, поэтому такой выбор допустим.
Следовательно, множество возможных значений — в точности \((1,2)\).
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1974 · المسألة 5
حدد جميع القيم الممكنة للمقدار \[ S=\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d} \] حيث \(a,b,c,d\) أعداد موجبة كيفما كانت.
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
\[ \boxed{1<S<2} \] تتحقق كل قيمة حقيقية في هذا المجال المفتوح.
الحل
نضع \(T=a+b+c+d\). كل مقام في تعريف \(S\) أصغر تمامًا من \(T\)، ومن ثم \[ S>\frac aT+\frac bT+\frac cT+\frac dT=1. \] ومن جهة أخرى، فإن إيجابية الأعداد تعطي \[ \begin{aligned} S &<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b} +\frac{c}{c+d}+\frac{d}{c+d}\\ &=2. \end{aligned} \] إذن تقع كل قيمة ممكنة في \((1,2)\).
نثبت الآن أن كل قيمة في هذا المجال تتحقق. من أجل \(0<t<1\)، نثبت \[ a=1,\qquad b=d=t, \] وننظر إلى \(S\) بوصفه الدالة المتصلة \[ F_t(c)=\frac{1}{1+2t}+\frac{2t}{1+t+c}+\frac{c}{2t+c}, \qquad c>0. \] عند \(c=t^2\)، \[ F_t(t^2)=\frac{1}{1+2t} +\frac{2t}{1+t+t^2} +\frac{t}{2+t} \longrightarrow 1 \quad\text{عندما }t\to0^+. \] وعند \(c=1\)، \[ F_t(1)=\frac{2}{1+2t}+\frac{2t}{2+t} \longrightarrow 2 \quad\text{عندما }t\to0^+. \]
ليكن \(s\) أي عدد يحقق \(1<s<2\). تتيح لنا هاتان النهايتان اختيار \(t\in(0,1)\) صغير بما يكفي بحيث \[ F_t(t^2)<s<F_t(1). \] بمبرهنة القيمة المتوسطة، توجد قيمة \(c\in(t^2,1)\) تحقق \(F_t(c)=s\). والمتغيرات الأربعة كلها موجبة، لذا فهذا اختيار مقبول.
وبناءً عليه، فإن مجموعة القيم الممكنة هي \((1,2)\) بالضبط.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).