IMO 1974 · Problem 1
Three players \(A, B\) and \(C\) play the following game: On each of three cards an integer is written. These three numbers \(p, q, r\) satisfy \(0 < p < q < r\). The three cards are shuffled and one is dealt to each player. Each then receives the number of counters indicated by the card he holds. Then the cards are shuffled again; the counters remain with the players.
This process (shuffling, dealing, giving out counters) takes place for at least two rounds. After the last round, \(A\) has 20 counters in all, \(B\) has 10 and \(C\) has 9. At the last round \(B\) received \(r\) counters. Who received \(q\) counters on the first round?
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
Player \(C\).
Solution
Let \(n\ge 2\) be the number of rounds. Each round distributes \(p+q+r\) counters, so \[ n(p+q+r)=20+10+9=39. \] Since \(p,q,r\) are distinct positive integers, \(p+q+r\ge 1+2+3=6\). Thus \(2\le n\le 6\). The only divisor of \(39\) in this range is \(3\), hence \[ n=3,\qquad p+q+r=13. \]
Player \(B\) received \(r\) counters in the last round and at least \(p\) in each earlier round. Therefore \[ r+2p\le 10. \] In the last round, \(A\) received at most \(q\), because \(B\) received \(r\). In each earlier round, \(A\) received at most \(r\). Consequently, \[ 20\le 2r+q=13+r-p, \] which gives \(r\ge 7+p\). Combining the bounds, \[ 7+p\le r\le 10-2p, \] so \(3p\le 3\). Since \(p\) is a positive integer, \(p=1\), and the bounds then force \[ r=8,\qquad q=4. \]
Now \(A\)'s total equals its upper bound: \[ 20=8+8+4. \] Thus \(A\) received \(8\) in each of the first two rounds and \(4\) in the last. Similarly, \(B\)'s total equals its lower bound: \[ 10=1+1+8, \] so \(B\) received \(1\) in each of the first two rounds. Therefore \(C\) received the remaining number, \(q=4\), in the first round.
Indeed, the complete distribution is \[ \begin{array}{c|ccc|c} & \text{Round 1} & \text{Round 2} & \text{Round 3} & \text{Total}\\ \hline A&8&8&4&20\\ B&1&1&8&10\\ C&4&4&1&9 \end{array} \] and satisfies all the conditions.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1974 · Aufgabe 1
Drei Spieler \(A, B\) und \(C\) spielen folgendes Spiel: Auf jeder von drei Karten steht eine ganze Zahl. Diese drei Zahlen \(p, q, r\) erfüllen \(0 < p < q < r\). Die drei Karten werden gemischt, und jeder Spieler erhält eine davon. Anschließend erhält jeder so viele Spielmarken, wie die Zahl auf seiner Karte angibt. Danach werden die Karten erneut gemischt; die Spielmarken bleiben bei den Spielern.
Dieser Vorgang (Mischen, Austeilen der Karten, Verteilen der Spielmarken) wird in mindestens zwei Runden durchgeführt. Nach der letzten Runde hat \(A\) insgesamt 20 Spielmarken, \(B\) hat 10 und \(C\) hat 9. In der letzten Runde erhielt \(B\) genau \(r\) Spielmarken. Wer erhielt in der ersten Runde \(q\) Spielmarken?
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
Spieler \(C\).
Lösung
Sei \(n\ge 2\) die Anzahl der Runden. In jeder Runde werden \(p+q+r\) Spielmarken verteilt, also gilt \[ n(p+q+r)=20+10+9=39. \] Da \(p,q,r\) verschiedene positive ganze Zahlen sind, gilt \(p+q+r\ge 1+2+3=6\). Somit ist \(2\le n\le 6\). Der einzige Teiler von \(39\) in diesem Bereich ist \(3\), daher gilt \[ n=3,\qquad p+q+r=13. \]
Spieler \(B\) erhielt in der letzten Runde \(r\) Spielmarken und in jeder vorherigen Runde mindestens \(p\). Daher gilt \[ r+2p\le 10. \] In der letzten Runde erhielt \(A\) höchstens \(q\) Spielmarken, da \(B\) genau \(r\) erhielt. In jeder vorherigen Runde erhielt \(A\) höchstens \(r\) Spielmarken. Folglich gilt \[ 20\le 2r+q=13+r-p, \] woraus \(r\ge 7+p\) folgt. Zusammen ergeben die Schranken \[ 7+p\le r\le 10-2p, \] also \(3p\le 3\). Da \(p\) eine positive ganze Zahl ist, gilt \(p=1\), und die Schranken erzwingen dann \[ r=8,\qquad q=4. \]
Nun ist die Gesamtzahl der Spielmarken von \(A\) gleich ihrer oberen Schranke: \[ 20=8+8+4. \] Somit erhielt \(A\) in jeder der ersten beiden Runden \(8\) und in der letzten Runde \(4\) Spielmarken. Ebenso ist die Gesamtzahl der Spielmarken von \(B\) gleich ihrer unteren Schranke: \[ 10=1+1+8, \] also erhielt \(B\) in jeder der ersten beiden Runden \(1\) Spielmarke. Daher erhielt \(C\) in der ersten Runde die verbleibende Anzahl \(q=4\) an Spielmarken.
Tatsächlich lautet die vollständige Verteilung \[ \begin{array}{c|ccc|c} & \text{Runde 1} & \text{Runde 2} & \text{Runde 3} & \text{Gesamt}\\ \hline A&8&8&4&20\\ B&1&1&8&10\\ C&4&4&1&9 \end{array} \] und erfüllt alle Bedingungen.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1974 · Soru 1
\(A, B\) ve \(C\) adlı üç oyuncu şu oyunu oynuyor: Üç kartın her birinin üzerine bir tam sayı yazılıyor. Bu üç sayı \(p, q, r\), \(0 < p < q < r\) koşulunu sağlıyor. Üç kart karıştırılıyor ve her oyuncuya bir kart dağıtılıyor. Ardından her oyuncu, elindeki kartta yazan sayı kadar pul alıyor. Daha sonra kartlar yeniden karıştırılıyor; pullar oyuncularda kalıyor.
Bu işlem (kartların karıştırılması, dağıtılması ve pulların verilmesi) en az iki tur boyunca yapılıyor. Son turun sonunda \(A\)'nın toplam 20, \(B\)'nin 10 ve \(C\)'nin 9 pulu oluyor. Son turda \(B\), \(r\) pul almıştır. İlk turda \(q\) pul alan oyuncu kimdir?
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\(C\) oyuncusu.
Çözüm
Tur sayısı \(n\ge 2\) olsun. Her turda \(p+q+r\) pul dağıtıldığından \[ n(p+q+r)=20+10+9=39. \] \(p,q,r\) birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğundan \(p+q+r\ge 1+2+3=6\) olur. Dolayısıyla \(2\le n\le 6\). Bu aralıkta \(39\)'un tek böleni \(3\) olduğundan \[ n=3,\qquad p+q+r=13. \]
\(B\) oyuncusu son turda \(r\) pul, önceki turların her birinde ise en az \(p\) pul almıştır. Bu nedenle \[ r+2p\le 10. \] Son turda \(B\), \(r\) pul aldığı için \(A\) en fazla \(q\) pul almıştır. Önceki turların her birinde \(A\) en fazla \(r\) pul almıştır. Dolayısıyla \[ 20\le 2r+q=13+r-p, \] buradan \(r\ge 7+p\) elde edilir. Bu sınırları birleştirirsek \[ 7+p\le r\le 10-2p, \] dolayısıyla \(3p\le 3\) olur. \(p\) pozitif bir tam sayı olduğundan \(p=1\) olur ve bu durumda sınırlar zorunlu olarak \[ r=8,\qquad q=4 \] sonucunu verir.
Şimdi \(A\)'nın toplam pul sayısı üst sınırına eşittir: \[ 20=8+8+4. \] Dolayısıyla \(A\), ilk iki turun her birinde \(8\), son turda ise \(4\) pul almıştır. Benzer şekilde \(B\)'nin toplam pul sayısı alt sınırına eşittir: \[ 10=1+1+8, \] dolayısıyla \(B\), ilk iki turun her birinde \(1\) pul almıştır. Bu nedenle ilk turda \(C\), geriye kalan sayı olan \(q=4\) kadar pul almıştır.
Gerçekten de dağılımın tamamı \[ \begin{array}{c|ccc|c} & \text{1. Tur} & \text{2. Tur} & \text{3. Tur} & \text{Toplam}\\ \hline A&8&8&4&20\\ B&1&1&8&10\\ C&4&4&1&9 \end{array} \] şeklindedir ve tüm koşulları sağlar.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1974 · Problema 1
Tres jugadores \(A, B\) y \(C\) juegan al siguiente juego: en cada una de tres cartas está escrito un número entero. Estos tres números \(p, q, r\) satisfacen \(0 < p < q < r\). Se barajan las tres cartas y se reparte una a cada jugador. A continuación, cada uno recibe el número de fichas indicado por su carta. Después se vuelven a barajar las cartas; los jugadores conservan sus fichas.
Este proceso (barajar, repartir las cartas y entregar las fichas) se repite durante al menos dos rondas. Después de la última ronda, \(A\) tiene 20 fichas en total, \(B\) tiene 10 y \(C\) tiene 9. En la última ronda, \(B\) recibió \(r\) fichas. ¿Quién recibió \(q\) fichas en la primera ronda?
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
El jugador \(C\).
Solución
Sea \(n\ge 2\) el número de rondas. En cada ronda se reparten \(p+q+r\) fichas, de modo que \[ n(p+q+r)=20+10+9=39. \] Como \(p,q,r\) son enteros positivos distintos, \(p+q+r\ge 1+2+3=6\). Por tanto, \(2\le n\le 6\). El único divisor de \(39\) en este intervalo es \(3\), luego \[ n=3,\qquad p+q+r=13. \]
El jugador \(B\) recibió \(r\) fichas en la última ronda y al menos \(p\) en cada ronda anterior. Por tanto, \[ r+2p\le 10. \] En la última ronda, \(A\) recibió a lo sumo \(q\), pues \(B\) recibió \(r\). En cada ronda anterior, \(A\) recibió a lo sumo \(r\). En consecuencia, \[ 20\le 2r+q=13+r-p, \] lo que da \(r\ge 7+p\). Combinando las cotas, \[ 7+p\le r\le 10-2p, \] por lo que \(3p\le 3\). Como \(p\) es un entero positivo, \(p=1\), y las cotas obligan entonces a que \[ r=8,\qquad q=4. \]
Ahora, el total de \(A\) es igual a su cota superior: \[ 20=8+8+4. \] Así pues, \(A\) recibió \(8\) en cada una de las dos primeras rondas y \(4\) en la última. Análogamente, el total de \(B\) es igual a su cota inferior: \[ 10=1+1+8, \] por lo que \(B\) recibió \(1\) en cada una de las dos primeras rondas. Por tanto, \(C\) recibió la cantidad restante, \(q=4\), en la primera ronda.
En efecto, la distribución completa es \[ \begin{array}{c|ccc|c} & \text{Ronda 1} & \text{Ronda 2} & \text{Ronda 3} & \text{Total}\\ \hline A&8&8&4&20\\ B&1&1&8&10\\ C&4&4&1&9 \end{array} \] y satisface todas las condiciones.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1974 · 问题 1
三位玩家 \(A, B\) 和 \(C\) 进行如下游戏：三张卡片上各写有一个整数。这三个数 \(p, q, r\) 满足 \(0 < p < q < r\)。将这三张卡片洗牌后，发给每位玩家一张。随后，每位玩家领取与自己手中卡片上的数相同数量的筹码。然后再次洗牌；筹码仍由各位玩家保留。
这一过程（洗牌、发牌、发放筹码）至少进行两轮。最后一轮结束后，\(A\) 共有 20 枚筹码，\(B\) 共有 10 枚，\(C\) 共有 9 枚。在最后一轮中，\(B\) 领取了 \(r\) 枚筹码。第一轮中是谁领取了 \(q\) 枚筹码？
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
玩家 \(C\)。
解答
设游戏共进行了 \(n\ge 2\) 轮。每轮共发放 \(p+q+r\) 枚筹码，因此 \[ n(p+q+r)=20+10+9=39. \] 由于 \(p,q,r\) 是互不相同的正整数，\(p+q+r\ge 1+2+3=6\)。所以 \(2\le n\le 6\)。\(39\) 在此范围内的约数只有 \(3\)，故 \[ n=3,\qquad p+q+r=13. \]
玩家 \(B\) 在最后一轮领取了 \(r\) 枚筹码，在此前的每一轮中至少领取了 \(p\) 枚。因此 \[ r+2p\le 10. \] 在最后一轮中，由于 \(B\) 领取了 \(r\) 枚筹码，\(A\) 至多领取了 \(q\) 枚。在此前的每一轮中，\(A\) 至多领取了 \(r\) 枚。因此， \[ 20\le 2r+q=13+r-p, \] 从而 \(r\ge 7+p\)。结合上下界，得 \[ 7+p\le r\le 10-2p, \] 所以 \(3p\le 3\)。由于 \(p\) 是正整数，\(p=1\)，此时上述界限又迫使 \[ r=8,\qquad q=4. \]
现在，\(A\) 的筹码总数恰好等于其上界： \[ 20=8+8+4. \] 因此，\(A\) 在前两轮中每轮领取了 \(8\) 枚，在最后一轮领取了 \(4\) 枚。同样，\(B\) 的筹码总数恰好等于其下界： \[ 10=1+1+8, \] 所以 \(B\) 在前两轮中每轮领取了 \(1\) 枚。因此，\(C\) 在第一轮领取的筹码数是剩下的那个数，即 \(q=4\)。
事实上，完整的分配情况为 \[ \begin{array}{c|ccc|c} & \text{第 1 轮} & \text{第 2 轮} & \text{第 3 轮} & \text{总计}\\ \hline A&8&8&4&20\\ B&1&1&8&10\\ C&4&4&1&9 \end{array} \] 且满足所有条件。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1974 · Задача 1
Три игрока \(A, B\) и \(C\) играют в следующую игру: на каждой из трёх карточек написано целое число. Эти три числа \(p, q, r\) удовлетворяют условию \(0 < p < q < r\). Три карточки перемешивают и раздают по одной каждому игроку. Затем каждый получает столько фишек, сколько указано на его карточке. После этого карточки снова перемешивают; фишки остаются у игроков.
Этот процесс (перемешивание карточек, их раздача и выдача фишек) повторяют не менее двух раз. После последнего раунда у \(A\) оказалось в общей сложности 20 фишек, у \(B\) — 10, а у \(C\) — 9. В последнем раунде \(B\) получил \(r\) фишек. Кто получил \(q\) фишек в первом раунде?
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
Игрок \(C\).
Решение
Пусть \(n\ge 2\) — число раундов. В каждом раунде раздают \(p+q+r\) фишек, поэтому \[ n(p+q+r)=20+10+9=39. \] Поскольку \(p,q,r\) — различные положительные целые числа, \(p+q+r\ge 1+2+3=6\). Значит, \(2\le n\le 6\). Единственный делитель числа \(39\) в этом промежутке — \(3\), следовательно, \[ n=3,\qquad p+q+r=13. \]
Игрок \(B\) получил \(r\) фишек в последнем раунде и не менее \(p\) в каждом из предыдущих. Поэтому \[ r+2p\le 10. \] В последнем раунде \(A\) получил не более \(q\) фишек, поскольку \(B\) получил \(r\). В каждом из предыдущих раундов \(A\) получил не более \(r\) фишек. Следовательно, \[ 20\le 2r+q=13+r-p, \] откуда \(r\ge 7+p\). Объединяя эти оценки, получаем \[ 7+p\le r\le 10-2p, \] так что \(3p\le 3\). Поскольку \(p\) — положительное целое число, \(p=1\), и тогда из полученных оценок следует \[ r=8,\qquad q=4. \]
Теперь общее число фишек у \(A\) равно своей верхней границе: \[ 20=8+8+4. \] Значит, \(A\) получил по \(8\) фишек в каждом из первых двух раундов и \(4\) в последнем. Аналогично, общее число фишек у \(B\) равно своей нижней границе: \[ 10=1+1+8, \] поэтому \(B\) получил по \(1\) фишке в каждом из первых двух раундов. Следовательно, в первом раунде \(C\) получил оставшееся число фишек, \(q=4\).
Действительно, полное распределение имеет вид \[ \begin{array}{c|ccc|c} & \text{Раунд 1} & \text{Раунд 2} & \text{Раунд 3} & \text{Всего}\\ \hline A&8&8&4&20\\ B&1&1&8&10\\ C&4&4&1&9 \end{array} \] и удовлетворяет всем условиям.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1974 · المسألة 1
يلعب ثلاثة لاعبين \(A, B\) و\(C\) اللعبة الآتية: يُكتب عدد صحيح على كل واحدة من ثلاث بطاقات. وتحقق هذه الأعداد الثلاثة \(p, q, r\) العلاقة \(0 < p < q < r\). تُخلط البطاقات الثلاث وتُوزَّع بطاقة واحدة على كل لاعب. ثم يتلقى كل لاعب عددًا من قطع العد يساوي العدد المكتوب على بطاقته. ثم تُخلط البطاقات مرة أخرى، وتبقى قطع العد لدى اللاعبين.
تتكرر هذه العملية (خلط البطاقات وتوزيعها وإعطاء قطع العد) لجولتين على الأقل. بعد الجولة الأخيرة، يكون لدى \(A\) ما مجموعه 20 قطعة عد، ولدى \(B\) 10 قطع، ولدى \(C\) 9 قطع. في الجولة الأخيرة، تلقى \(B\) عددًا من قطع العد يساوي \(r\). من الذي تلقى \(q\) قطعة عد في الجولة الأولى؟
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
اللاعب \(C\).
الحل
ليكن \(n\ge 2\) عدد الجولات. يُوزَّع في كل جولة \(p+q+r\) قطعة عد، ومن ثم \[ n(p+q+r)=20+10+9=39. \] بما أن \(p,q,r\) أعداد صحيحة موجبة متمايزة، فإن \(p+q+r\ge 1+2+3=6\). إذن \(2\le n\le 6\). والقاسم الوحيد للعدد \(39\) في هذا المجال هو \(3\)، وبالتالي \[ n=3,\qquad p+q+r=13. \]
تلقى اللاعب \(B\) في الجولة الأخيرة \(r\) قطعة عد، وفي كل جولة سابقة \(p\) قطعة على الأقل. لذلك \[ r+2p\le 10. \] في الجولة الأخيرة، تلقى \(A\) ما لا يزيد على \(q\) قطعة، لأن \(B\) تلقى \(r\) قطعة. وفي كل جولة سابقة، تلقى \(A\) ما لا يزيد على \(r\) قطعة. وبناءً عليه، \[ 20\le 2r+q=13+r-p, \] مما يعطي \(r\ge 7+p\). وبالجمع بين الحدين، \[ 7+p\le r\le 10-2p, \] ومن ثم \(3p\le 3\). وبما أن \(p\) عدد صحيح موجب، فإن \(p=1\)، وعندئذ يقتضي الحدان أن \[ r=8,\qquad q=4. \]
الآن يساوي مجموع قطع \(A\) حده الأعلى: \[ 20=8+8+4. \] إذن تلقى \(A\) عددًا من القطع يساوي \(8\) في كل من الجولتين الأوليين، و\(4\) في الجولة الأخيرة. وبالمثل، يساوي مجموع قطع \(B\) حده الأدنى: \[ 10=1+1+8, \] ومن ثم تلقى \(B\) عددًا من القطع يساوي \(1\) في كل من الجولتين الأوليين. لذلك تلقى \(C\) العدد المتبقي، وهو \(q=4\)، في الجولة الأولى.
وبالفعل، فإن التوزيع الكامل هو \[ \begin{array}{c|ccc|c} & \text{الجولة 1} & \text{الجولة 2} & \text{الجولة 3} & \text{المجموع}\\ \hline A&8&8&4&20\\ B&1&1&8&10\\ C&4&4&1&9 \end{array} \] وهو يحقق جميع الشروط.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).