Problem 1

Point \(O\) lies on line \(g\); \(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \ldots, \overrightarrow{OP_n}\) are unit vectors such that points \(P_1, P_2, \ldots, P_n\) all lie in a plane containing \(g\) and on one side of \(g\). Prove that if \(n\) is odd, \[ \left|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}\right|\geq 1 \] Here \(\left|\overrightarrow{OM}\right|\) denotes the length of vector \(\overrightarrow{OM}\).

Solution →

Problem 2

Determine whether or not there exists a finite set \(M\) of points in space not lying in the same plane such that, for any two points \(A\) and \(B\) of \(M\), one can select two other points \(C\) and \(D\) of \(M\) so that lines \(AB\) and \(CD\) are parallel and not coincident.

Solution →

Problem 3

Let \(a\) and \(b\) be real numbers for which the equation \[ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 \] has at least one real solution. For all such pairs \((a,b)\), find the minimum value of \(a^2+b^2\).

Solution →

Problem 4

A soldier needs to check on the presence of mines in a region having the shape of an equilateral triangle. The radius of action of his detector is equal to half the altitude of the triangle. The soldier leaves from one vertex of the triangle. What path should he follow in order to travel the least possible distance and still accomplish his mission?

Solution →

Problem 5

\(G\) is a set of non-constant functions of the real variable \(x\) of the form \[ f(x)=ax+b,\ a\text{ and }b\text{ are real numbers,} \] and \(G\) has the following properties:

(a) If \(f\) and \(g\) are in \(G\), then \(g\circ f\) is in \(G\); here \((g\circ f)(x)=g[f(x)]\).

(b) If \(f\) is in \(G\), then its inverse \(f^{-1}\) is in \(G\); here the inverse of \(f(x)=ax+b\) is \(f^{-1}(x)=(x-b)/a\).

(c) For every \(f\) in \(G\), there exists a real number \(x_f\) such that \(f(x_f)=x_f\).

Prove that there exists a real number \(k\) such that \(f(k)=k\) for all \(f\) in \(G\).

Solution →

Problem 6

Let \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) be \(n\) positive numbers, and let \(q\) be a given real number such that \(0<q<1\). Find \(n\) numbers \(b_1,b_2,\ldots,b_n\) for which

(a) \(a_k<b_k\) for \(k=1,2,\cdots,n\),

(b) \(q<\dfrac{b_{k+1}}{b_k}<\dfrac1q\) for \(k=1,2,\ldots,n-1\),

(c) \(b_1+b_2+\cdots+b_n<\dfrac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\cdots+a_n)\).

Solution →

Aufgabe 1

Der Punkt \(O\) liegt auf der Geraden \(g\); \(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \ldots, \overrightarrow{OP_n}\) sind Einheitsvektoren, wobei die Punkte \(P_1, P_2, \ldots, P_n\) alle in einer Ebene liegen, die \(g\) enthält, und auf derselben Seite von \(g\) liegen. Beweise, dass für ungerades \(n\) gilt: \[ \left|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}\right|\geq 1 \] Dabei bezeichnet \(\left|\overrightarrow{OM}\right|\) die Länge des Vektors \(\overrightarrow{OM}\).

Lösung →

Aufgabe 2

Untersuche, ob es eine endliche Menge \(M\) von Punkten im Raum gibt, die nicht alle in derselben Ebene liegen und die folgende Eigenschaft hat: Zu je zwei Punkten \(A\) und \(B\) von \(M\) lassen sich zwei weitere Punkte \(C\) und \(D\) von \(M\) so wählen, dass die Geraden \(AB\) und \(CD\) parallel und nicht identisch sind.

Lösung →

Aufgabe 3

Seien \(a\) und \(b\) reelle Zahlen, für die die Gleichung \[ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 \] mindestens eine reelle Lösung hat. Bestimme unter allen solchen Paaren \((a,b)\) den kleinsten Wert von \(a^2+b^2\).

Lösung →

Aufgabe 4

Ein Soldat muss ein Gebiet in Form eines gleichseitigen Dreiecks auf das Vorhandensein von Minen überprüfen. Der Wirkungsradius seines Detektors ist gleich der Hälfte der Höhe des Dreiecks. Der Soldat startet an einem Eckpunkt des Dreiecks. Welchen Weg soll er nehmen, um eine möglichst kurze Strecke zurückzulegen und dennoch seinen Auftrag zu erfüllen?

Lösung →

Aufgabe 5

\(G\) ist eine Menge nichtkonstanter Funktionen der reellen Variablen \(x\) von der Form \[ f(x)=ax+b,\ a\text{ und }b\text{ sind reelle Zahlen,} \] und \(G\) hat die folgenden Eigenschaften:

(a) Wenn \(f\) und \(g\) zu \(G\) gehören, dann gehört auch \(g\circ f\) zu \(G\); dabei ist \((g\circ f)(x)=g[f(x)]\).

(b) Wenn \(f\) zu \(G\) gehört, dann gehört auch die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) zu \(G\); dabei ist die Umkehrfunktion von \(f(x)=ax+b\) durch \(f^{-1}(x)=(x-b)/a\) gegeben.

(c) Für jedes \(f\) in \(G\) gibt es eine reelle Zahl \(x_f\), sodass \(f(x_f)=x_f\).

Beweise, dass es eine reelle Zahl \(k\) gibt, sodass \(f(k)=k\) für alle \(f\) in \(G\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 6

Seien \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) beliebige \(n\) positive Zahlen, und sei \(q\) eine gegebene reelle Zahl mit \(0<q<1\). Finde \(n\) Zahlen \(b_1,b_2,\ldots,b_n\), für die gilt:

(a) \(a_k<b_k\) für \(k=1,2,\cdots,n\),

(b) \(q<\dfrac{b_{k+1}}{b_k}<\dfrac1q\) für \(k=1,2,\ldots,n-1\),

(c) \(b_1+b_2+\cdots+b_n<\dfrac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\cdots+a_n)\).

Lösung →

Soru 1

\(O\) noktası \(g\) doğrusu üzerinde olsun; \(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \ldots, \overrightarrow{OP_n}\), \(P_1, P_2, \ldots, P_n\) noktalarının tümü \(g\) doğrusunu içeren bir düzlemde ve \(g\) doğrusunun aynı tarafında bulunacak şekilde birim vektörler olsun. \(n\) tek ise \[ \left|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}\right|\geq 1 \] olduğunu kanıtlayınız. Burada \(\left|\overrightarrow{OM}\right|\), \(\overrightarrow{OM}\) vektörünün uzunluğunu göstermektedir.

Çözüm →

Soru 2

Uzayda, tüm noktaları aynı düzlemde bulunmayan ve herhangi iki \(A\) ve \(B\) noktası için, \(AB\) ve \(CD\) doğruları paralel ve çakışık olmayacak şekilde başka iki \(C\) ve \(D\) noktası seçilebilen sonlu bir \(M\) noktalar kümesinin var olup olmadığını belirleyiniz.

Çözüm →

Soru 3

\(a\) ve \(b\), \[ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 \] denkleminin en az bir gerçel çözümü olmasını sağlayan gerçel sayılar olsun. Bu koşulu sağlayan tüm \((a,b)\) çiftleri için \(a^2+b^2\) ifadesinin en küçük değerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 4

Bir askerin eşkenar üçgen biçimindeki bir bölgede mayın bulunup bulunmadığını kontrol etmesi gerekmektedir. Dedektörünün etki yarıçapı, üçgenin yüksekliğinin yarısına eşittir. Asker, üçgenin bir köşesinden yola çıkmaktadır. Görevini yerine getirirken mümkün olan en kısa mesafeyi katetmek için hangi yolu izlemelidir?

Çözüm →

Soru 5

\(G\), \(x\) gerçel değişkenine bağlı, \[ f(x)=ax+b,\ a\text{ ve }b\text{ gerçel sayılardır,} \] biçimindeki sabit olmayan fonksiyonlardan oluşan bir küme olsun ve \(G\) aşağıdaki özelliklere sahip olsun:

(a) \(f\) ve \(g\), \(G\) kümesindeyse \(g\circ f\) de \(G\) kümesindedir; burada \((g\circ f)(x)=g[f(x)]\) olur.

(b) \(f\), \(G\) kümesindeyse tersi \(f^{-1}\) de \(G\) kümesindedir; burada \(f(x)=ax+b\) fonksiyonunun tersi \(f^{-1}(x)=(x-b)/a\) olur.

(c) \(G\) kümesindeki her \(f\) için, \(f(x_f)=x_f\) olacak şekilde bir \(x_f\) gerçel sayısı vardır.

\(G\) kümesindeki tüm \(f\) fonksiyonları için \(f(k)=k\) olacak şekilde bir \(k\) gerçel sayısının var olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 6

\(a_1,a_2,\ldots,a_n\), \(n\) tane pozitif sayı ve \(q\), \(0<q<1\) koşulunu sağlayan verilmiş bir gerçel sayı olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan \(n\) tane \(b_1,b_2,\ldots,b_n\) sayısı bulunuz:

(a) \(a_k<b_k\), her \(k=1,2,\cdots,n\) için,

(b) \(q<\dfrac{b_{k+1}}{b_k}<\dfrac1q\), her \(k=1,2,\ldots,n-1\) için,

(c) \(b_1+b_2+\cdots+b_n<\dfrac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\cdots+a_n)\).

Çözüm →

Problema 1

El punto \(O\) pertenece a la recta \(g\); \(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \ldots, \overrightarrow{OP_n}\) son vectores unitarios tales que los puntos \(P_1, P_2, \ldots, P_n\) están todos en un plano que contiene a \(g\) y en un mismo lado de \(g\). Demostrar que, si \(n\) es impar, \[ \left|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}\right|\geq 1 \] Aquí \(\left|\overrightarrow{OM}\right|\) denota la longitud del vector \(\overrightarrow{OM}\).

Solución →

Problema 2

Determinar si existe un conjunto finito \(M\) de puntos del espacio que no estén todos en un mismo plano, tal que, para cualesquiera dos puntos \(A\) y \(B\) de \(M\), se puedan elegir otros dos puntos \(C\) y \(D\) de \(M\) de modo que las rectas \(AB\) y \(CD\) sean paralelas y no coincidentes.

Solución →

Problema 3

Sean \(a\) y \(b\) números reales para los cuales la ecuación \[ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 \] tiene al menos una solución real. Entre todos esos pares \((a,b)\), hallar el valor mínimo de \(a^2+b^2\).

Solución →

Problema 4

Un soldado debe comprobar la presencia de minas en una región con forma de triángulo equilátero. El radio de acción de su detector es igual a la mitad de la altura del triángulo. El soldado parte de uno de los vértices del triángulo. ¿Qué camino debe seguir para recorrer la menor distancia posible y cumplir su misión?

Solución →

Problema 5

\(G\) es un conjunto de funciones no constantes de la variable real \(x\) de la forma \[ f(x)=ax+b,\ a\text{ y }b\text{ son números reales,} \] y \(G\) tiene las siguientes propiedades:

(a) Si \(f\) y \(g\) pertenecen a \(G\), entonces \(g\circ f\) pertenece a \(G\); aquí \((g\circ f)(x)=g[f(x)]\).

(b) Si \(f\) pertenece a \(G\), entonces su inversa \(f^{-1}\) pertenece a \(G\); aquí la inversa de \(f(x)=ax+b\) es \(f^{-1}(x)=(x-b)/a\).

(c) Para toda \(f\) de \(G\), existe un número real \(x_f\) tal que \(f(x_f)=x_f\).

Demostrar que existe un número real \(k\) tal que \(f(k)=k\) para toda \(f\) de \(G\).

Solución →

Problema 6

Sean \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) \(n\) números positivos, y sea \(q\) un número real dado tal que \(0<q<1\). Hallar \(n\) números \(b_1,b_2,\ldots,b_n\) para los cuales

(a) \(a_k<b_k\) para \(k=1,2,\cdots,n\),

(b) \(q<\dfrac{b_{k+1}}{b_k}<\dfrac1q\) para \(k=1,2,\ldots,n-1\),

(c) \(b_1+b_2+\cdots+b_n<\dfrac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\cdots+a_n)\).

Solución →

问题 1

点 \(O\) 在直线 \(g\) 上；\(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \ldots, \overrightarrow{OP_n}\) 是单位向量，点 \(P_1, P_2, \ldots, P_n\) 都在包含 \(g\) 的同一平面内，且位于 \(g\) 的同一侧。证明：若 \(n\) 为奇数，则 \[ \left|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}\right|\geq 1 \] 这里，\(\left|\overrightarrow{OM}\right|\) 表示向量 \(\overrightarrow{OM}\) 的长度。

解答 →

问题 2

判断是否存在一个由空间中不共面的点组成的有限集 \(M\)，使得对于 \(M\) 中任意两点 \(A\) 和 \(B\)，都能在 \(M\) 中另选两点 \(C\) 和 \(D\)，使直线 \(AB\) 与 \(CD\) 平行且不重合。

解答 →

问题 3

设 \(a\) 和 \(b\) 为实数，使方程 \[ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 \] 至少有一个实数解。在所有这样的数对 \((a,b)\) 中，求 \(a^2+b^2\) 的最小值。

解答 →

问题 4

一名士兵需要检查一个正三角形区域内是否有地雷。他的探雷器的探测半径等于该三角形高的一半。士兵从三角形的一个顶点出发。他应沿怎样的路线行进，才能在完成任务的同时使行进距离尽可能短？

解答 →

问题 5

\(G\) 是由实变量 \(x\) 的形如 \[ f(x)=ax+b,\ a\text{ 和 }b\text{ 为实数，} \] 的非常值函数组成的集合，且 \(G\) 具有以下性质：

(a) 若 \(f\) 和 \(g\) 属于 \(G\)，则 \(g\circ f\) 属于 \(G\)；这里 \((g\circ f)(x)=g[f(x)]\)。

(b) 若 \(f\) 属于 \(G\)，则其反函数 \(f^{-1}\) 属于 \(G\)；这里，\(f(x)=ax+b\) 的反函数为 \(f^{-1}(x)=(x-b)/a\)。

(c) 对于 \(G\) 中的每个 \(f\)，存在实数 \(x_f\)，使得 \(f(x_f)=x_f\)。

证明：存在实数 \(k\)，使得对 \(G\) 中的所有 \(f\)，都有 \(f(k)=k\)。

解答 →

问题 6

设 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) 为 \(n\) 个正数，\(q\) 为给定的实数，且 \(0<q<1\)。求 \(n\) 个数 \(b_1,b_2,\ldots,b_n\)，使得

(a) \(a_k<b_k\)，其中 \(k=1,2,\cdots,n\)，

(b) \(q<\dfrac{b_{k+1}}{b_k}<\dfrac1q\)，其中 \(k=1,2,\ldots,n-1\)，

(c) \(b_1+b_2+\cdots+b_n<\dfrac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\cdots+a_n)\)。

解答 →

Задача 1

Точка \(O\) лежит на прямой \(g\); \(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \ldots, \overrightarrow{OP_n}\) — единичные векторы, причём точки \(P_1, P_2, \ldots, P_n\) лежат в одной плоскости, содержащей \(g\), и по одну сторону от \(g\). Докажите, что если \(n\) нечётно, то \[ \left|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}\right|\geq 1 \] Здесь \(\left|\overrightarrow{OM}\right|\) обозначает длину вектора \(\overrightarrow{OM}\).

Решение →

Задача 2

Определите, существует ли конечное множество \(M\) точек пространства, не лежащих в одной плоскости, такое, что для любых двух точек \(A\) и \(B\) множества \(M\) можно выбрать две другие точки \(C\) и \(D\) множества \(M\) так, чтобы прямые \(AB\) и \(CD\) были параллельны и не совпадали.

Решение →

Задача 3

Пусть \(a\) и \(b\) — действительные числа, для которых уравнение \[ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 \] имеет хотя бы одно действительное решение. Найдите наименьшее значение \(a^2+b^2\) по всем таким парам \((a,b)\).

Решение →

Задача 4

Солдат должен проверить наличие мин на участке, имеющем форму равностороннего треугольника. Радиус действия его миноискателя равен половине высоты треугольника. Солдат начинает движение из одной из вершин треугольника. По какому пути ему следует идти, чтобы пройти наименьшее возможное расстояние и при этом выполнить свою задачу?

Решение →

Задача 5

\(G\) — множество непостоянных функций действительной переменной \(x\) вида \[ f(x)=ax+b,\ a\text{ и }b\text{ — действительные числа,} \] причём \(G\) обладает следующими свойствами:

(a) Если \(f\) и \(g\) принадлежат \(G\), то \(g\circ f\) принадлежит \(G\); здесь \((g\circ f)(x)=g[f(x)]\).

(b) Если \(f\) принадлежит \(G\), то обратная к ней функция \(f^{-1}\) принадлежит \(G\); здесь обратной к \(f(x)=ax+b\) является функция \(f^{-1}(x)=(x-b)/a\).

(c) Для каждой функции \(f\) из \(G\) существует действительное число \(x_f\), такое, что \(f(x_f)=x_f\).

Докажите, что существует действительное число \(k\), такое, что \(f(k)=k\) для всех \(f\) из \(G\).

Решение →

Задача 6

Пусть \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) — \(n\) положительных чисел, а \(q\) — данное действительное число, такое, что \(0<q<1\). Найдите \(n\) чисел \(b_1,b_2,\ldots,b_n\), для которых

(a) \(a_k<b_k\) при \(k=1,2,\cdots,n\),

(b) \(q<\dfrac{b_{k+1}}{b_k}<\dfrac1q\) при \(k=1,2,\ldots,n-1\),

(c) \(b_1+b_2+\cdots+b_n<\dfrac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\cdots+a_n)\).

Решение →

المسألة 1

تقع النقطة \(O\) على المستقيم \(g\)؛ و\(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \ldots, \overrightarrow{OP_n}\) متجهات وحدة بحيث تقع النقاط \(P_1, P_2, \ldots, P_n\) جميعها في مستوى يحتوي على \(g\) وفي جهة واحدة من \(g\). أثبت أنه إذا كان \(n\) فرديًا، فإن \[ \left|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}\right|\geq 1 \] حيث يرمز \(\left|\overrightarrow{OM}\right|\) إلى طول المتجه \(\overrightarrow{OM}\).

← الحل

المسألة 2

حدد ما إذا كانت توجد مجموعة منتهية \(M\) من نقاط في الفضاء لا تقع جميعها في مستوى واحد، بحيث يمكن، لأي نقطتين \(A\) و\(B\) من \(M\)، اختيار نقطتين أخريين \(C\) و\(D\) من \(M\) بحيث يكون المستقيمان \(AB\) و\(CD\) متوازيين وغير منطبقين.

← الحل

المسألة 3

ليكن \(a\) و\(b\) عددين حقيقيين بحيث يكون للمعادلة \[ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 \] حل حقيقي واحد على الأقل. أوجد القيمة الصغرى للمقدار \(a^2+b^2\) على جميع هذه الأزواج \((a,b)\).

← الحل

المسألة 4

يحتاج جندي إلى فحص منطقة على شكل مثلث متساوي الأضلاع للتحقق من وجود ألغام فيها. يساوي نصف قطر مدى عمل جهاز الكشف لديه نصف ارتفاع المثلث. ينطلق الجندي من أحد رؤوس المثلث. ما المسار الذي ينبغي له اتباعه ليقطع أقل مسافة ممكنة مع إنجاز مهمته؟

← الحل

المسألة 5

\(G\) مجموعة من الدوال غير الثابتة في المتغير الحقيقي \(x\) من الشكل \[ f(x)=ax+b,\ a\text{ و }b\text{ عددان حقيقيان،} \] وتتمتع \(G\) بالخصائص الآتية:

(a) إذا كانت \(f\) و\(g\) تنتميان إلى \(G\)، فإن \(g\circ f\) تنتمي إلى \(G\)؛ حيث \((g\circ f)(x)=g[f(x)]\).

(b) إذا كانت \(f\) تنتمي إلى \(G\)، فإن دالتها العكسية \(f^{-1}\) تنتمي إلى \(G\)؛ حيث الدالة العكسية لـ \(f(x)=ax+b\) هي \(f^{-1}(x)=(x-b)/a\).

(c) لكل \(f\) في \(G\)، يوجد عدد حقيقي \(x_f\) بحيث \(f(x_f)=x_f\).

أثبت أنه يوجد عدد حقيقي \(k\) بحيث \(f(k)=k\) لكل \(f\) في \(G\).

← الحل

المسألة 6

لتكن \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) أعدادًا موجبة عددها \(n\)، وليكن \(q\) عددًا حقيقيًا معطى بحيث \(0<q<1\). أوجد \(n\) عددًا \(b_1,b_2,\ldots,b_n\) تحقق

(a) \(a_k<b_k\) لكل \(k=1,2,\cdots,n\)،

(b) \(q<\dfrac{b_{k+1}}{b_k}<\dfrac1q\) لكل \(k=1,2,\ldots,n-1\)،

(c) \(b_1+b_2+\cdots+b_n<\dfrac{1+q}{1-q}(a_1+a_2+\cdots+a_n)\).

← الحل