IMO 1972

6 problems with complete solutions · Official problem paper (PDF)

1. Problem 1

   Prove that from a set of ten distinct two-digit numbers (in the decimal system), it is possible to select two disjoint subsets whose members have the same sum.

   Solution →

2. Problem 2

   Prove that if \(n \geq 4\), every quadrilateral that can be inscribed in a circle can be dissected into \(n\) quadrilaterals each of which is inscribable in a circle.

   Solution →

3. Problem 3

   Let \(m\) and \(n\) be arbitrary non-negative integers. Prove that \[ \frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} \] is an integer. (\(0! = 1\).)

   Solution →

4. Problem 4

   Find all solutions \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\) of the system of inequalities \[ \begin{aligned} (x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)&\leq 0\\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)&\leq 0\\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)&\leq 0\\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)&\leq 0\\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)&\leq 0 \end{aligned} \] where \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) are positive real numbers.

   Solution →

5. Problem 5

   Let \(f\) and \(g\) be real-valued functions defined for all real values of \(x\) and \(y\), and satisfying the equation \[ f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y) \] for all \(x,y\). Prove that if \(f(x)\) is not identically zero, and if \(|f(x)|\leq 1\) for all \(x\), then \(|g(y)|\leq 1\) for all \(y\).

   Solution →

6. Problem 6

   Given four distinct parallel planes, prove that there exists a regular tetrahedron with a vertex on each plane.

   Solution →

All years

IMO 1972

6 Aufgaben mit vollständigen Lösungen · Offizielles Aufgabenblatt (PDF)

1. Aufgabe 1

   Beweise, dass man aus einer Menge von zehn verschiedenen zweistelligen Zahlen (im Dezimalsystem) zwei disjunkte Teilmengen auswählen kann, deren Elemente dieselbe Summe haben.

   Lösung →

2. Aufgabe 2

   Beweise, dass für \(n \geq 4\) jedes Viereck, das einem Kreis einbeschrieben werden kann, in \(n\) Vierecke zerlegt werden kann, von denen jedes einem Kreis einbeschrieben werden kann.

   Lösung →

3. Aufgabe 3

   Seien \(m\) und \(n\) beliebige nichtnegative ganze Zahlen. Beweise, dass \[ \frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} \] eine ganze Zahl ist. (\(0! = 1\).)

   Lösung →

4. Aufgabe 4

   Bestimme alle Lösungen \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\) des Ungleichungssystems \[ \begin{aligned} (x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)&\leq 0\\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)&\leq 0\\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)&\leq 0\\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)&\leq 0\\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)&\leq 0 \end{aligned} \] wobei \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) positive reelle Zahlen sind.

   Lösung →

5. Aufgabe 5

   Seien \(f\) und \(g\) reellwertige Funktionen, die für alle reellen Werte von \(x\) und \(y\) definiert sind und für alle \(x,y\) die Gleichung \[ f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y) \] erfüllen. Beweise: Wenn \(f(x)\) nicht identisch null ist und \(|f(x)|\leq 1\) für alle \(x\) gilt, dann gilt \(|g(y)|\leq 1\) für alle \(y\).

   Lösung →

6. Aufgabe 6

   Gegeben sind vier verschiedene parallele Ebenen. Beweise, dass es ein regelmäßiges Tetraeder gibt, von dem auf jeder Ebene ein Eckpunkt liegt.

   Lösung →

Alle Jahrgänge

IMO 1972

6 soru, tam çözümleriyle · Resmi soru kâğıdı (PDF)

1. Soru 1

   On farklı iki basamaklı sayıdan (onluk sayı sisteminde) oluşan bir kümeden, elemanlarının toplamları eşit olan iki ayrık alt küme seçilebileceğini kanıtlayınız.

   Çözüm →

2. Soru 2

   \(n \geq 4\) ise, bir çember içine çizilebilen her dörtgenin, her biri bir çember içine çizilebilen \(n\) dörtgene ayrılabileceğini kanıtlayınız.

   Çözüm →

3. Soru 3

   \(m\) ve \(n\) herhangi iki negatif olmayan tam sayı olsun. \[ \frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} \] ifadesinin bir tam sayı olduğunu kanıtlayınız. (\(0! = 1\).)

   Çözüm →

4. Soru 4

   \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) pozitif gerçel sayılar olmak üzere, \[ \begin{aligned} (x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)&\leq 0\\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)&\leq 0\\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)&\leq 0\\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)&\leq 0\\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)&\leq 0 \end{aligned} \] eşitsizlik sisteminin tüm \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\) çözümlerini bulunuz.

   Çözüm →

5. Soru 5

   \(f\) ve \(g\), \(x\) ve \(y\) değişkenlerinin tüm gerçel değerleri için tanımlı, gerçel değerli fonksiyonlar olsun ve tüm \(x,y\) için \[ f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y) \] denklemini sağlasın. \(f(x)\) özdeş olarak sıfır değilse ve tüm \(x\) için \(|f(x)|\leq 1\) ise, tüm \(y\) için \(|g(y)|\leq 1\) olduğunu kanıtlayınız.

   Çözüm →

6. Soru 6

   Birbirinden farklı dört paralel düzlem veriliyor. Her düzlem üzerinde bir köşesi bulunan bir düzgün dörtyüzlünün var olduğunu kanıtlayınız.

   Çözüm →

Tüm yıllar

IMO 1972

6 problemas con soluciones completas · Enunciado oficial (PDF)

1. Problema 1

   Demostrar que, de un conjunto de diez números distintos de dos cifras (en el sistema decimal), se pueden elegir dos subconjuntos disjuntos cuyos elementos tengan la misma suma.

   Solución →

2. Problema 2

   Demostrar que, si \(n \geq 4\), todo cuadrilátero que puede inscribirse en una circunferencia puede dividirse en \(n\) cuadriláteros, cada uno de los cuales puede inscribirse en una circunferencia.

   Solución →

3. Problema 3

   Sean \(m\) y \(n\) enteros no negativos cualesquiera. Demostrar que \[ \frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} \] es un entero. (\(0! = 1\).)

   Solución →

4. Problema 4

   Hallar todas las soluciones \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\) del sistema de desigualdades \[ \begin{aligned} (x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)&\leq 0\\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)&\leq 0\\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)&\leq 0\\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)&\leq 0\\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)&\leq 0 \end{aligned} \] donde \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) son números reales positivos.

   Solución →

5. Problema 5

   Sean \(f\) y \(g\) funciones con valores reales, definidas para todos los valores reales de \(x\) e \(y\), que satisfacen la ecuación \[ f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y) \] para todos \(x,y\). Demostrar que, si \(f(x)\) no es idénticamente nula y \(|f(x)|\leq 1\) para todo \(x\), entonces \(|g(y)|\leq 1\) para todo \(y\).

   Solución →

6. Problema 6

   Dados cuatro planos paralelos distintos, demostrar que existe un tetraedro regular con un vértice en cada plano.

   Solución →

Todos los años

IMO 1972

6 道题及完整解答 · 官方试卷 (PDF)

1. 问题 1

   证明：从一个由十个互不相同的两位数（十进制）组成的集合中，可以选出两个互不相交的子集，使这两个子集的元素之和相等。

   解答 →

2. 问题 2

   证明：若 \(n \geq 4\)，则每个圆内接四边形都可以分割成 \(n\) 个四边形，且每个四边形都可以内接于一个圆。

   解答 →

3. 问题 3

   设 \(m\) 和 \(n\) 为任意非负整数。证明 \[ \frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} \] 是整数。（\(0! = 1\)。）

   解答 →

4. 问题 4

   求不等式组 \[ \begin{aligned} (x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)&\leq 0\\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)&\leq 0\\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)&\leq 0\\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)&\leq 0\\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)&\leq 0 \end{aligned} \] 的所有解 \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\)，其中 \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) 为正实数。

   解答 →

5. 问题 5

   设 \(f\) 和 \(g\) 是对 \(x\) 和 \(y\) 的所有实数值都有定义的实值函数，且对所有 \(x,y\) 满足以下方程： \[ f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y) \] 证明：若 \(f(x)\) 不恒为零，且对所有 \(x\) 都有 \(|f(x)|\leq 1\)，则对所有 \(y\) 都有 \(|g(y)|\leq 1\)。

   解答 →

6. 问题 6

   给定四个互不相同的平行平面，证明存在一个正四面体，使每个平面上都有它的一个顶点。

   解答 →

所有年份

IMO 1972

6 задач с полными решениями · Официальный текст задач (PDF)

1. Задача 1

   Докажите, что из множества десяти различных двузначных чисел (в десятичной системе счисления) можно выбрать два непересекающихся подмножества с одинаковыми суммами элементов.

   Решение →

2. Задача 2

   Докажите, что при \(n \geq 4\) любой четырёхугольник, который можно вписать в окружность, можно разрезать на \(n\) четырёхугольников, каждый из которых можно вписать в окружность.

   Решение →

3. Задача 3

   Пусть \(m\) и \(n\) — произвольные неотрицательные целые числа. Докажите, что \[ \frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} \] является целым числом. (\(0! = 1\).)

   Решение →

4. Задача 4

   Найдите все решения \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\) системы неравенств \[ \begin{aligned} (x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)&\leq 0\\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)&\leq 0\\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)&\leq 0\\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)&\leq 0\\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)&\leq 0 \end{aligned} \] где \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) — положительные действительные числа.

   Решение →

5. Задача 5

   Пусть \(f\) и \(g\) — действительнозначные функции, определённые при всех действительных значениях \(x\) и \(y\) и удовлетворяющие уравнению \[ f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y) \] для всех \(x,y\). Докажите, что если \(f(x)\) не равна тождественно нулю и \(|f(x)|\leq 1\) для всех \(x\), то \(|g(y)|\leq 1\) для всех \(y\).

   Решение →

6. Задача 6

   Даны четыре различные параллельные плоскости. Докажите, что существует правильный тетраэдр, у которого на каждой из этих плоскостей лежит по одной вершине.

   Решение →

Все годы

IMO 1972

6 مسائل مع حلول كاملة · ورقة المسائل الرسمية (PDF)

1. المسألة 1

   أثبت أنه يمكن اختيار مجموعتين جزئيتين متباينتين من مجموعة تضم عشرة أعداد مختلفة مكوّنة من رقمين (في النظام العشري)، بحيث يكون مجموع عناصر إحداهما مساويًا لمجموع عناصر الأخرى.

   ← الحل

2. المسألة 2

   أثبت أنه إذا كان \(n \geq 4\)، فإن كل رباعي يمكن رسم دائرة تمر برؤوسه يمكن تقسيمه إلى \(n\) رباعيات يمكن رسم دائرة تمر برؤوس كل منها.

   ← الحل

3. المسألة 3

   ليكن \(m\) و\(n\) عددين صحيحين غير سالبين كيفيين. أثبت أن \[ \frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} \] عدد صحيح. (\(0! = 1\).)

   ← الحل

4. المسألة 4

   أوجد جميع حلول \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\) نظام المتباينات \[ \begin{aligned} (x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)&\leq 0\\ (x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)&\leq 0\\ (x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)&\leq 0\\ (x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)&\leq 0\\ (x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)&\leq 0 \end{aligned} \] حيث \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) أعداد حقيقية موجبة.

   ← الحل

5. المسألة 5

   لتكن \(f\) و\(g\) دالتين حقيقيتي القيم معرفتين لجميع القيم الحقيقية للمتغيرين \(x\) و\(y\)، وتحققان المعادلة \[ f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y) \] لكل \(x,y\). أثبت أنه إذا لم تكن \(f(x)\) منعدمة تطابقيًا، وكان \(|f(x)|\leq 1\) لكل \(x\)، فإن \(|g(y)|\leq 1\) لكل \(y\).

   ← الحل

6. المسألة 6

   إذا أُعطيت أربعة مستويات متوازية مختلفة، فأثبت وجود رباعي وجوه منتظم له رأس على كل مستوى.

   ← الحل

جميع السنوات