Problem 1

Prove that the following assertion is true for \(n=3\) and \(n=5\), and that it is false for every other natural number \(n>2\):

If \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) are arbitrary real numbers, then \[ (a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n) +(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n) +\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\geq 0 \]

Solution →

Problem 2

Consider a convex polyhedron \(P_1\) with nine vertices \(A_1A_2,\ldots,A_9\); let \(P_i\) be the polyhedron obtained from \(P_1\) by a translation that moves vertex \(A_1\) to \(A_i(i=2,3,\ldots,9)\). Prove that at least two of the polyhedra \(P_1,P_2,\ldots,P_9\) have an interior point in common.

Solution →

Problem 3

Prove that the set of integers of the form \(2^k-3\) \((k=2,3,\ldots)\) contains an infinite subset in which every two members are relatively prime.

Solution →

Problem 4

All the faces of tetrahedron \(ABCD\) are acute-angled triangles. We consider all closed polygonal paths of the form \(XYZTX\) defined as follows: \(X\) is a point on edge \(AB\) distinct from \(A\) and \(B\); similarly, \(Y,Z,T\) are interior points of edges \(BCCD,DA\), respectively. Prove:

(a) If \(\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC\), then among the polygonal paths, there is none of minimal length.

(b) If \(\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC\), then there are infinitely many shortest polygonal paths, their common length being \(2AC\sin(\alpha/2)\), where \[ \alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB. \]

Solution →

Problem 5

Prove that for every natural number \(m\), there exists a finite set \(S\) of points in a plane with the following property: For every point \(A\) in \(S\), there are exactly \(m\) points in \(S\) which are at unit distance from \(A\).

Solution →

Problem 6

Let \(A=(a_{ij})(i,j=1,2,\ldots,n)\) be a square matrix whose elements are non-negative integers. Suppose that whenever an element \(a_{ij}=0\), the sum of the elements in the \(i\)th row and the \(j\)th column is \(\geq n\). Prove that the sum of all the elements of the matrix is \(\geq n^2/2\).

Solution →

Aufgabe 1

Beweise, dass die folgende Aussage für \(n=3\) und \(n=5\) wahr und für jede andere natürliche Zahl \(n>2\) falsch ist:

Sind \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) beliebige reelle Zahlen, so gilt \[ (a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n) +(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n) +\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\geq 0 \]

Lösung →

Aufgabe 2

Betrachte ein konvexes Polyeder \(P_1\) mit neun Eckpunkten \(A_1A_2,\ldots,A_9\); sei \(P_i\) das Polyeder, das aus \(P_1\) durch die Verschiebung entsteht, die den Eckpunkt \(A_1\) auf \(A_i(i=2,3,\ldots,9)\) abbildet. Beweise, dass mindestens zwei der Polyeder \(P_1,P_2,\ldots,P_9\) einen gemeinsamen inneren Punkt haben.

Lösung →

Aufgabe 3

Beweise, dass die Menge der ganzen Zahlen der Form \(2^k-3\) \((k=2,3,\ldots)\) eine unendliche Teilmenge enthält, deren Elemente paarweise teilerfremd sind.

Lösung →

Aufgabe 4

Alle Seitenflächen des Tetraeders \(ABCD\) sind spitzwinklige Dreiecke. Wir betrachten alle geschlossenen Streckenzüge der Form \(XYZTX\), die wie folgt definiert sind: \(X\) ist ein von \(A\) und \(B\) verschiedener Punkt auf der Kante \(AB\); entsprechend sind \(Y,Z,T\) innere Punkte der Kanten \(BCCD,DA\) in dieser Reihenfolge. Beweise:

(a) Ist \(\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC\), so gibt es unter diesen Streckenzügen keinen von minimaler Länge.

(b) Ist \(\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC\), so gibt es unendlich viele kürzeste Streckenzüge; ihre gemeinsame Länge beträgt \(2AC\sin(\alpha/2)\), wobei \[ \alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB. \]

Lösung →

Aufgabe 5

Beweise, dass es zu jeder natürlichen Zahl \(m\) eine endliche Menge \(S\) von Punkten in einer Ebene mit der folgenden Eigenschaft gibt: Zu jedem Punkt \(A\) in \(S\) gibt es genau \(m\) Punkte in \(S\), die von \(A\) den Abstand eins haben.

Lösung →

Aufgabe 6

Sei \(A=(a_{ij})(i,j=1,2,\ldots,n)\) eine quadratische Matrix, deren Einträge nichtnegative ganze Zahlen sind. Es gelte: Wenn ein Eintrag \(a_{ij}=0\) ist, so ist die Summe der Einträge in der \(i\)-ten Zeile und der \(j\)-ten Spalte \(\geq n\). Beweise, dass die Summe aller Einträge der Matrix \(\geq n^2/2\) ist.

Lösung →

Soru 1

Aşağıdaki önermenin \(n=3\) ve \(n=5\) için doğru, diğer bütün \(n>2\) doğal sayıları için yanlış olduğunu kanıtlayınız:

\(a_1,a_2,\ldots,a_n\) keyfî gerçek sayılar ise \[ (a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n) +(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n) +\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\geq 0 \]

Çözüm →

Soru 2

Dokuz köşesi \(A_1A_2,\ldots,A_9\) olan bir \(P_1\) dışbükey çokyüzlüsünü ele alalım; \(A_1\) köşesini \(A_i(i=2,3,\ldots,9)\) köşesine götüren öteleme ile \(P_1\)'den elde edilen çokyüzlü \(P_i\) olsun. \(P_1,P_2,\ldots,P_9\) çokyüzlülerinden en az ikisinin ortak bir iç noktası olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

\(2^k-3\) \((k=2,3,\ldots)\) biçimindeki tam sayıların kümesinin, herhangi iki elemanı aralarında asal olan sonsuz bir alt küme içerdiğini kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 4

\(ABCD\) dörtyüzlüsünün bütün yüzleri dar açılı üçgenlerdir. Aşağıdaki gibi tanımlanan \(XYZTX\) biçimindeki bütün kapalı kırık çizgileri ele alalım: \(X\), \(AB\) ayrıtı üzerinde \(A\) ve \(B\)'den farklı bir noktadır; benzer biçimde \(Y,Z,T\), sırasıyla \(BCCD,DA\) ayrıtlarının iç noktalarıdır. Aşağıdakileri kanıtlayınız:

(a) \(\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC\) ise bu kırık çizgiler arasında en küçük uzunluğa sahip olan yoktur.

(b) \(\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC\) ise en kısa uzunluğa sahip sonsuz sayıda kırık çizgi vardır ve bunların ortak uzunluğu \(2AC\sin(\alpha/2)\)'dir; burada \[ \alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB. \]

Çözüm →

Soru 5

Her \(m\) doğal sayısı için, düzlemde şu özelliğe sahip sonlu bir \(S\) noktalar kümesinin var olduğunu kanıtlayınız: \(S\)'deki her \(A\) noktası için, \(S\)'de \(A\)'ya uzaklığı bir birim olan tam olarak \(m\) nokta vardır.

Çözüm →

Soru 6

\(A=(a_{ij})(i,j=1,2,\ldots,n)\), elemanları negatif olmayan tam sayılar olan bir kare matris olsun. Bir \(a_{ij}=0\) elemanı bulunduğunda, \(i\). satır ile \(j\). sütundaki elemanların toplamının \(\geq n\) olduğunu varsayalım. Matrisin bütün elemanlarının toplamının \(\geq n^2/2\) olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Problema 1

Demuestre que la siguiente afirmación es verdadera para \(n=3\) y \(n=5\), y que es falsa para cualquier otro número natural \(n>2\):

Si \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) son números reales cualesquiera, entonces \[ (a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n) +(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n) +\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\geq 0 \]

Solución →

Problema 2

Considere un poliedro convexo \(P_1\) con nueve vértices \(A_1A_2,\ldots,A_9\); sea \(P_i\) el poliedro obtenido a partir de \(P_1\) mediante una traslación que lleva el vértice \(A_1\) a \(A_i(i=2,3,\ldots,9)\). Demuestre que al menos dos de los poliedros \(P_1,P_2,\ldots,P_9\) tienen un punto interior en común.

Solución →

Problema 3

Demuestre que el conjunto de los enteros de la forma \(2^k-3\) \((k=2,3,\ldots)\) contiene un subconjunto infinito cuyos elementos son primos entre sí dos a dos.

Solución →

Problema 4

Todas las caras del tetraedro \(ABCD\) son triángulos acutángulos. Consideramos todos los caminos poligonales cerrados de la forma \(XYZTX\) definidos del siguiente modo: \(X\) es un punto de la arista \(AB\) distinto de \(A\) y \(B\); análogamente, \(Y,Z,T\) son puntos interiores de las aristas \(BCCD,DA\), respectivamente. Demuestre:

(a) Si \(\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC\), entonces entre los caminos poligonales no hay ninguno de longitud mínima.

(b) Si \(\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC\), entonces hay infinitos caminos poligonales de longitud mínima, y su longitud común es \(2AC\sin(\alpha/2)\), donde \[ \alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB. \]

Solución →

Problema 5

Demuestre que, para todo número natural \(m\), existe un conjunto finito \(S\) de puntos de un plano con la siguiente propiedad: para todo punto \(A\) de \(S\), hay exactamente \(m\) puntos de \(S\) que están a distancia unidad de \(A\).

Solución →

Problema 6

Sea \(A=(a_{ij})(i,j=1,2,\ldots,n)\) una matriz cuadrada cuyos elementos son enteros no negativos. Supongamos que, siempre que un elemento \(a_{ij}=0\), la suma de los elementos de la fila \(i\) y de la columna \(j\) es \(\geq n\). Demuestre que la suma de todos los elementos de la matriz es \(\geq n^2/2\).

Solución →

问题 1

证明：下述命题在 \(n=3\) 和 \(n=5\) 时成立，而对其余所有自然数 \(n>2\) 均不成立：

若 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) 为任意实数，则 \[ (a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n) +(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n) +\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\geq 0 \]

解答 →

问题 2

设凸多面体 \(P_1\) 有九个顶点 \(A_1A_2,\ldots,A_9\)；将 \(P_1\) 平移，使顶点 \(A_1\) 移到 \(A_i(i=2,3,\ldots,9)\)，所得的多面体记为 \(P_i\)。证明：多面体 \(P_1,P_2,\ldots,P_9\) 中至少有两个具有一个公共内点。

解答 →

问题 3

证明：形如 \(2^k-3\) \((k=2,3,\ldots)\) 的整数所组成的集合含有一个无限子集，其中任意两个元素互素。

解答 →

问题 4

四面体 \(ABCD\) 的所有面都是锐角三角形。考虑所有形如 \(XYZTX\) 的闭折线，其定义如下：\(X\) 是棱 \(AB\) 上异于 \(A\) 和 \(B\) 的一点；类似地，\(Y,Z,T\) 分别是棱 \(BCCD,DA\) 的内部点。证明：

(a) 若 \(\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC\)，则这些折线中不存在长度最小者。

(b) 若 \(\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC\)，则存在无穷多条最短折线，其共同长度为 \(2AC\sin(\alpha/2)\)，其中 \[ \alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB. \]

解答 →

问题 5

证明：对于每个自然数 \(m\)，平面内都存在一个有限点集 \(S\)，具有如下性质：对于 \(S\) 中的每一点 \(A\)，\(S\) 中恰有 \(m\) 个点与 \(A\) 的距离为单位长度。

解答 →

问题 6

设 \(A=(a_{ij})(i,j=1,2,\ldots,n)\) 是一个元素均为非负整数的方阵。假设只要元素 \(a_{ij}=0\)，第 \(i\) 行与第 \(j\) 列的元素之和就满足 \(\geq n\)。证明：矩阵所有元素之和满足 \(\geq n^2/2\)。

解答 →

Задача 1

Докажите, что следующее утверждение верно при \(n=3\) и \(n=5\) и неверно для любого другого натурального числа \(n>2\):

Если \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) — произвольные действительные числа, то \[ (a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n) +(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n) +\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\geq 0 \]

Решение →

Задача 2

Рассмотрим выпуклый многогранник \(P_1\) с девятью вершинами \(A_1A_2,\ldots,A_9\); пусть \(P_i\) — многогранник, полученный из \(P_1\) параллельным переносом, переводящим вершину \(A_1\) в \(A_i(i=2,3,\ldots,9)\). Докажите, что хотя бы два из многогранников \(P_1,P_2,\ldots,P_9\) имеют общую внутреннюю точку.

Решение →

Задача 3

Докажите, что множество целых чисел вида \(2^k-3\) \((k=2,3,\ldots)\) содержит бесконечное подмножество, любые два элемента которого взаимно просты.

Решение →

Задача 4

Все грани тетраэдра \(ABCD\) — остроугольные треугольники. Рассмотрим все замкнутые ломаные вида \(XYZTX\), заданные следующим образом: \(X\) — точка ребра \(AB\), отличная от \(A\) и \(B\); аналогично, \(Y,Z,T\) — внутренние точки рёбер \(BCCD,DA\) соответственно. Докажите:

(a) Если \(\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC\), то среди этих ломаных нет ломаной наименьшей длины.

(b) Если \(\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC\), то существует бесконечно много кратчайших ломаных, и их общая длина равна \(2AC\sin(\alpha/2)\), где \[ \alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB. \]

Решение →

Задача 5

Докажите, что для каждого натурального числа \(m\) существует конечное множество \(S\) точек плоскости со следующим свойством: для каждой точки \(A\) из \(S\) в \(S\) имеется ровно \(m\) точек, находящихся на единичном расстоянии от \(A\).

Решение →

Задача 6

Пусть \(A=(a_{ij})(i,j=1,2,\ldots,n)\) — квадратная матрица, элементы которой являются неотрицательными целыми числами. Предположим, что всякий раз, когда элемент \(a_{ij}=0\), сумма элементов в \(i\)-й строке и \(j\)-м столбце составляет \(\geq n\). Докажите, что сумма всех элементов матрицы составляет \(\geq n^2/2\).

Решение →

المسألة 1

أثبت أن العبارة الآتية صحيحة عندما \(n=3\) وعندما \(n=5\)، وأنها خاطئة لكل عدد طبيعي آخر \(n>2\):

إذا كانت \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) أعدادًا حقيقية كيفما اتفق، فإن \[ (a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n) +(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n) +\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\geq 0 \]

← الحل

المسألة 2

ليكن \(P_1\) متعدد وجوه محدبًا له تسعة رؤوس \(A_1A_2,\ldots,A_9\)؛ وليكن \(P_i\) متعدد الوجوه الناتج من \(P_1\) بانسحاب ينقل الرأس \(A_1\) إلى \(A_i(i=2,3,\ldots,9)\). أثبت أن اثنين على الأقل من متعددات الوجوه \(P_1,P_2,\ldots,P_9\) لهما نقطة داخلية مشتركة.

← الحل

المسألة 3

أثبت أن مجموعة الأعداد الصحيحة التي على الصورة \(2^k-3\) \((k=2,3,\ldots)\) تحتوي على مجموعة جزئية غير منتهية كل عنصرين مختلفين فيها أوليان فيما بينهما.

← الحل

المسألة 4

جميع أوجه رباعي الوجوه \(ABCD\) مثلثات حادة الزوايا. ننظر في جميع المسارات المضَلَّعة المغلقة من الشكل \(XYZTX\) المعرفة كما يأتي: \(X\) نقطة على الحافة \(AB\) تختلف عن \(A\) و\(B\)؛ وبالمثل، فإن \(Y,Z,T\) نقاط داخلية للحواف \(BCCD,DA\)، على الترتيب. أثبت ما يأتي:

(أ) إذا كان \(\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC\)، فلا يوجد بين هذه المسارات المضَلَّعة مسار ذو طول أصغر.

(ب) إذا كان \(\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC\)، فإن هناك عددًا غير منتهٍ من أقصر المسارات المضَلَّعة، وطولها المشترك هو \(2AC\sin(\alpha/2)\)، حيث \[ \alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB. \]

← الحل

المسألة 5

أثبت أنه لكل عدد طبيعي \(m\)، توجد مجموعة منتهية \(S\) من النقاط في مستوى لها الخاصية الآتية: لكل نقطة \(A\) في \(S\)، توجد بالضبط \(m\) نقاط في \(S\) تبعد مسافة الوحدة عن \(A\).

← الحل

المسألة 6

لتكن \(A=(a_{ij})(i,j=1,2,\ldots,n)\) مصفوفة مربعة عناصرها أعداد صحيحة غير سالبة. لنفترض أنه كلما كان عنصر \(a_{ij}=0\)، كان مجموع العناصر في الصف ذي الرقم \(i\) والعمود ذي الرقم \(j\) هو \(\geq n\). أثبت أن مجموع جميع عناصر المصفوفة هو \(\geq n^2/2\).

← الحل