Problem 1

Let \(M\) be a point on the side \(AB\) of \(\triangle ABC\). Let \(r_1,r_2\) and \(r\) be the radii of the inscribed circles of triangles \(AMC,BMC\) and \(ABC\). Let \(q_1,q_2\) and \(q\) be the radii of the escribed circles of the same triangles that lie in the angle \(ACB\). Prove that \[ \frac{r_1}{q_1}\cdot\frac{r_2}{q_2}=\frac{r}{q}. \]

Solution →

Problem 2

Let \(a,b\) and \(n\) be integers greater than 1, and let \(a\) and \(b\) be the bases of two number systems. \(A_{n-1}\) and \(A_n\) are numbers in the system with base \(a\), and \(B_{n-1}\) and \(B_n\) are numbers in the system with base \(b\); these are related as follows:

\[ \begin{aligned} A_n&=x_nx_{n-1}\cdots x_0,\quad A_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_0,\\ B_n&=x_nx_{n-1}\cdots x_0,\quad B_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_0,\\ x_n&\ne 0,\quad x_{n-1}\ne 0. \end{aligned} \]

Prove: \[ \frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n} \quad\text{if and only if }a>b. \]

Solution →

Problem 3

The real numbers \(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\) satisfy the condition: \[ 1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots. \] The numbers \(b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots\) are defined by \[ b_n=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}. \] (a) Prove that \(0\le b_n<2\) for all \(n\).

(b) Given \(c\) with \(0\le c<2\), prove that there exist numbers \(a_0,a_1,\ldots\) with the above properties such that \(b_n>c\) for large enough \(n\).

Solution →

Problem 4

Find the set of all positive integers \(n\) with the property that the set \(\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}\) can be partitioned into two sets such that the product of the numbers in one set equals the product of the numbers in the other set.

Solution →

Problem 5

In the tetrahedron \(ABCD\), angle \(BDC\) is a right angle. Suppose that the foot \(H\) of the perpendicular from \(D\) to the plane \(ABC\) is the intersection of the altitudes of \(\triangle ABC\). Prove that \[ (AB+BC+CA)^2\leq 6(AD^2+BD^2+CD^2). \] For what tetrahedra does equality hold?

Solution →

Problem 6

In a plane there are 100 points, no three of which are collinear. Consider all possible triangles having these points as vertices. Prove that no more than 70% of these triangles are acute-angled.

Solution →

Aufgabe 1

Sei \(M\) ein Punkt auf der Seite \(AB\) von \(\triangle ABC\). Es seien \(r_1,r_2\) und \(r\) die Radien der Inkreise der Dreiecke \(AMC,BMC\) und \(ABC\). Es seien \(q_1,q_2\) und \(q\) die Radien derjenigen Ankreise derselben Dreiecke, die im Winkel \(ACB\) liegen. Man beweise, dass \[ \frac{r_1}{q_1}\cdot\frac{r_2}{q_2}=\frac{r}{q}. \]

Lösung →

Aufgabe 2

Es seien \(a,b\) und \(n\) ganze Zahlen größer als 1, und \(a\) und \(b\) seien die Basen zweier Zahlensysteme. \(A_{n-1}\) und \(A_n\) sind Zahlen im System zur Basis \(a\), und \(B_{n-1}\) und \(B_n\) sind Zahlen im System zur Basis \(b\); sie hängen wie folgt zusammen:

\[ \begin{aligned} A_n&=x_nx_{n-1}\cdots x_0,\quad A_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_0,\\ B_n&=x_nx_{n-1}\cdots x_0,\quad B_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_0,\\ x_n&\ne 0,\quad x_{n-1}\ne 0. \end{aligned} \]

Man beweise: \[ \frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n} \quad\text{genau dann, wenn }a>b. \]

Lösung →

Aufgabe 3

Die reellen Zahlen \(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\) erfüllen die Bedingung: \[ 1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots. \] Die Zahlen \(b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots\) sind definiert durch \[ b_n=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}. \] (a) Man beweise, dass \(0\le b_n<2\) für alle \(n\) gilt.

(b) Für gegebenes \(c\) mit \(0\le c<2\) beweise man, dass es Zahlen \(a_0,a_1,\ldots\) mit den obigen Eigenschaften gibt, sodass \(b_n>c\) für hinreichend große \(n\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 4

Man bestimme die Menge aller positiven ganzen Zahlen \(n\) mit der Eigenschaft, dass sich die Menge \(\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}\) in zwei Mengen zerlegen lässt, sodass das Produkt der Zahlen in der einen Menge gleich dem Produkt der Zahlen in der anderen Menge ist.

Lösung →

Aufgabe 5

Im Tetraeder \(ABCD\) ist der Winkel \(BDC\) ein rechter Winkel. Der Fußpunkt \(H\) des Lotes von \(D\) auf die Ebene \(ABC\) sei der Schnittpunkt der Höhen von \(\triangle ABC\). Man beweise, dass \[ (AB+BC+CA)^2\leq 6(AD^2+BD^2+CD^2). \] Für welche Tetraeder gilt Gleichheit?

Lösung →

Aufgabe 6

In einer Ebene liegen 100 Punkte, von denen keine drei auf einer Geraden liegen. Man betrachte alle möglichen Dreiecke, deren Eckpunkte zu diesen Punkten gehören. Man beweise, dass höchstens 70% dieser Dreiecke spitzwinklig sind.

Lösung →

Soru 1

\(M\), \(\triangle ABC\)'nin \(AB\) kenarı üzerinde bir nokta olsun. \(AMC,BMC\) ve \(ABC\) üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları sırasıyla \(r_1,r_2\) ve \(r\) olsun. Aynı üçgenlerin \(ACB\) açısının içinde bulunan dış teğet çemberlerinin yarıçapları sırasıyla \(q_1,q_2\) ve \(q\) olsun. Şunu kanıtlayınız: \[ \frac{r_1}{q_1}\cdot\frac{r_2}{q_2}=\frac{r}{q}. \]

Çözüm →

Soru 2

\(a,b\) ve \(n\), 1'den büyük tam sayılar olsun ve \(a\) ile \(b\), iki sayı sisteminin tabanları olsun. \(A_{n-1}\) ve \(A_n\), \(a\) tabanındaki sistemde; \(B_{n-1}\) ve \(B_n\) ise \(b\) tabanındaki sistemde yazılmış sayılardır; bunlar arasında aşağıdaki ilişkiler vardır:

\[ \begin{aligned} A_n&=x_nx_{n-1}\cdots x_0,\quad A_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_0,\\ B_n&=x_nx_{n-1}\cdots x_0,\quad B_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_0,\\ x_n&\ne 0,\quad x_{n-1}\ne 0. \end{aligned} \]

Şunu kanıtlayınız: \[ \frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n} \quad\text{ancak ve ancak }a>b. \]

Çözüm →

Soru 3

\(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\) gerçel sayıları şu koşulu sağlamaktadır: \[ 1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots. \] \(b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots\) sayıları \[ b_n=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}} \] ile tanımlanıyor. (a) Her \(n\) için \(0\le b_n<2\) olduğunu kanıtlayınız.

(b) \(0\le c<2\) koşulunu sağlayan bir \(c\) verildiğinde, yukarıdaki özelliklere sahip ve yeterince büyük \(n\) için \(b_n>c\) olacak şekilde \(a_0,a_1,\ldots\) sayılarının var olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 4

\(\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}\) kümesinin, birindeki sayıların çarpımı diğerindeki sayıların çarpımına eşit olacak şekilde iki kümeye ayrılabilmesini sağlayan tüm pozitif \(n\) tam sayılarının kümesini bulunuz.

Çözüm →

Soru 5

\(ABCD\) dörtyüzlüsünde \(BDC\) açısı dik açıdır. \(D\)'den \(ABC\) düzlemine indirilen dikmenin ayağı \(H\)'nin, \(\triangle ABC\)'nin yüksekliklerinin kesişim noktası olduğunu varsayalım. Şunu kanıtlayınız: \[ (AB+BC+CA)^2\leq 6(AD^2+BD^2+CD^2). \] Hangi dörtyüzlüler için eşitlik sağlanır?

Çözüm →

Soru 6

Bir düzlemde, herhangi üçü doğrusal olmayan 100 nokta vardır. Köşeleri bu noktalar olan tüm üçgenleri ele alalım. Bu üçgenlerin en fazla %70'inin dar açılı olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Problema 1

Sea \(M\) un punto del lado \(AB\) de \(\triangle ABC\). Sean \(r_1,r_2\) y \(r\) los radios de las circunferencias inscritas de los triángulos \(AMC,BMC\) y \(ABC\). Sean \(q_1,q_2\) y \(q\) los radios de las circunferencias exinscritas de esos mismos triángulos que están contenidas en el ángulo \(ACB\). Demostrar que \[ \frac{r_1}{q_1}\cdot\frac{r_2}{q_2}=\frac{r}{q}. \]

Solución →

Problema 2

Sean \(a,b\) y \(n\) enteros mayores que 1, y sean \(a\) y \(b\) las bases de dos sistemas de numeración. \(A_{n-1}\) y \(A_n\) son números en el sistema de base \(a\), y \(B_{n-1}\) y \(B_n\) son números en el sistema de base \(b\); están relacionados de la siguiente manera:

\[ \begin{aligned} A_n&=x_nx_{n-1}\cdots x_0,\quad A_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_0,\\ B_n&=x_nx_{n-1}\cdots x_0,\quad B_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_0,\\ x_n&\ne 0,\quad x_{n-1}\ne 0. \end{aligned} \]

Demostrar que: \[ \frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n} \quad\text{si y solo si }a>b. \]

Solución →

Problema 3

Los números reales \(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\) satisfacen la condición: \[ 1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots. \] Los números \(b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots\) se definen mediante \[ b_n=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}. \] (a) Demostrar que \(0\le b_n<2\) para todo \(n\).

(b) Dado \(c\) con \(0\le c<2\), demostrar que existen números \(a_0,a_1,\ldots\) con las propiedades anteriores tales que \(b_n>c\) para \(n\) suficientemente grande.

Solución →

Problema 4

Hallar el conjunto de todos los enteros positivos \(n\) con la propiedad de que el conjunto \(\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}\) se pueda dividir en dos conjuntos de modo que el producto de los números de uno de ellos sea igual al producto de los números del otro.

Solución →

Problema 5

En el tetraedro \(ABCD\), el ángulo \(BDC\) es recto. Supongamos que el pie \(H\) de la perpendicular desde \(D\) al plano \(ABC\) es la intersección de las alturas de \(\triangle ABC\). Demostrar que \[ (AB+BC+CA)^2\leq 6(AD^2+BD^2+CD^2). \] ¿Para qué tetraedros se cumple la igualdad?

Solución →

Problema 6

En un plano hay 100 puntos, de los cuales no hay tres alineados. Consideremos todos los triángulos posibles que tienen estos puntos como vértices. Demostrar que no más del 70% de estos triángulos son acutángulos.

Solución →

问题 1

设点 \(M\) 在 \(\triangle ABC\) 的边 \(AB\) 上。设 \(r_1,r_2\) 和 \(r\) 分别为三角形 \(AMC,BMC\) 和 \(ABC\) 的内切圆半径。设 \(q_1,q_2\) 和 \(q\) 分别为这三个三角形位于角 \(ACB\) 内的旁切圆半径。证明 \[ \frac{r_1}{q_1}\cdot\frac{r_2}{q_2}=\frac{r}{q}. \]

解答 →

问题 2

设 \(a,b\) 和 \(n\) 为大于 1 的整数，且 \(a\) 和 \(b\) 是两种记数制的底。\(A_{n-1}\) 和 \(A_n\) 是以 \(a\) 为底的记数制中的数，\(B_{n-1}\) 和 \(B_n\) 是以 \(b\) 为底的记数制中的数；它们的关系如下：

\[ \begin{aligned} A_n&=x_nx_{n-1}\cdots x_0,\quad A_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_0,\\ B_n&=x_nx_{n-1}\cdots x_0,\quad B_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_0,\\ x_n&\ne 0,\quad x_{n-1}\ne 0. \end{aligned} \]

证明： \[ \frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n} \quad\text{当且仅当 }a>b. \]

解答 →

问题 3

实数 \(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\) 满足条件： \[ 1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots. \] 数 \(b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots\) 定义为 \[ b_n=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}. \] (a) 证明：对所有 \(n\)，都有 \(0\le b_n<2\)。

(b) 给定满足 \(0\le c<2\) 的 \(c\)，证明存在具有上述性质的数 \(a_0,a_1,\ldots\)，使得当 \(n\) 充分大时，\(b_n>c\)。

解答 →

问题 4

求所有具有下述性质的正整数 \(n\) 所组成的集合：集合 \(\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}\) 可以划分为两个集合，使得一个集合中各数的乘积等于另一个集合中各数的乘积。

解答 →

问题 5

在四面体 \(ABCD\) 中，角 \(BDC\) 为直角。假设从 \(D\) 向平面 \(ABC\) 所作垂线的垂足 \(H\) 是 \(\triangle ABC\) 的三条高的交点。证明 \[ (AB+BC+CA)^2\leq 6(AD^2+BD^2+CD^2). \] 对于哪些四面体，等号成立？

解答 →

问题 6

平面上有 100 个点，其中任意三点不共线。考虑以这些点为顶点的所有可能的三角形。证明这些三角形中，锐角三角形所占的比例不超过 70%。

解答 →

Задача 1

Пусть \(M\) — точка на стороне \(AB\) треугольника \(\triangle ABC\). Пусть \(r_1,r_2\) и \(r\) — радиусы вписанных окружностей треугольников \(AMC,BMC\) и \(ABC\). Пусть \(q_1,q_2\) и \(q\) — радиусы вневписанных окружностей тех же треугольников, лежащих в угле \(ACB\). Докажите, что \[ \frac{r_1}{q_1}\cdot\frac{r_2}{q_2}=\frac{r}{q}. \]

Решение →

Задача 2

Пусть \(a,b\) и \(n\) — целые числа, большие 1, а \(a\) и \(b\) — основания двух систем счисления. Числа \(A_{n-1}\) и \(A_n\) записаны в системе счисления с основанием \(a\), а числа \(B_{n-1}\) и \(B_n\) — в системе счисления с основанием \(b\); они связаны следующим образом:

\[ \begin{aligned} A_n&=x_nx_{n-1}\cdots x_0,\quad A_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_0,\\ B_n&=x_nx_{n-1}\cdots x_0,\quad B_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_0,\\ x_n&\ne 0,\quad x_{n-1}\ne 0. \end{aligned} \]

Докажите: \[ \frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n} \quad\text{тогда и только тогда, когда }a>b. \]

Решение →

Задача 3

Действительные числа \(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\) удовлетворяют условию: \[ 1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots. \] Числа \(b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots\) определяются равенством \[ b_n=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}. \] (a) Докажите, что \(0\le b_n<2\) для всех \(n\).

(b) Для заданного \(c\), удовлетворяющего условию \(0\le c<2\), докажите, что существуют числа \(a_0,a_1,\ldots\) с указанными выше свойствами, для которых \(b_n>c\) при достаточно больших \(n\).

Решение →

Задача 4

Найдите множество всех положительных целых чисел \(n\), для которых множество \(\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}\) можно разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного множества равнялось произведению чисел другого множества.

Решение →

Задача 5

В тетраэдре \(ABCD\) угол \(BDC\) прямой. Пусть основание \(H\) перпендикуляра, опущенного из \(D\) на плоскость \(ABC\), является точкой пересечения высот треугольника \(\triangle ABC\). Докажите, что \[ (AB+BC+CA)^2\leq 6(AD^2+BD^2+CD^2). \] Для каких тетраэдров достигается равенство?

Решение →

Задача 6

На плоскости даны 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Рассмотрим все возможные треугольники с вершинами в этих точках. Докажите, что не более 70% этих треугольников остроугольные.

Решение →

المسألة 1

لتكن \(M\) نقطة على الضلع \(AB\) من المثلث \(\triangle ABC\). ولتكن \(r_1,r_2\) و\(r\) أنصاف أقطار الدوائر الداخلية للمثلثات \(AMC,BMC\) و\(ABC\). ولتكن \(q_1,q_2\) و\(q\) أنصاف أقطار الدوائر الخارجية للمثلثات نفسها التي تقع داخل الزاوية \(ACB\). أثبت أن \[ \frac{r_1}{q_1}\cdot\frac{r_2}{q_2}=\frac{r}{q}. \]

← الحل

المسألة 2

لتكن \(a,b\) و\(n\) أعدادًا صحيحة أكبر من 1، وليكن \(a\) و\(b\) أساسَي نظامَي عدّ. العددان \(A_{n-1}\) و\(A_n\) مكتوبان في النظام ذي الأساس \(a\)، والعددان \(B_{n-1}\) و\(B_n\) مكتوبان في النظام ذي الأساس \(b\)؛ وتربط بينها العلاقات الآتية:

\[ \begin{aligned} A_n&=x_nx_{n-1}\cdots x_0,\quad A_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_0,\\ B_n&=x_nx_{n-1}\cdots x_0,\quad B_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\cdots x_0,\\ x_n&\ne 0,\quad x_{n-1}\ne 0. \end{aligned} \]

أثبت أن: \[ \frac{A_{n-1}}{A_n}<\frac{B_{n-1}}{B_n} \quad\text{إذا وفقط إذا }a>b. \]

← الحل

المسألة 3

تحقق الأعداد الحقيقية \(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\) الشرط: \[ 1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots. \] وتُعرّف الأعداد \(b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots\) بالعلاقة \[ b_n=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}. \] (أ) أثبت أن \(0\le b_n<2\) لكل \(n\).

(ب) إذا أُعطي \(c\) بحيث \(0\le c<2\)، فأثبت وجود أعداد \(a_0,a_1,\ldots\) تحقق الخواص أعلاه بحيث يكون \(b_n>c\) لكل \(n\) كبير بما يكفي.

← الحل

المسألة 4

أوجد مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الموجبة \(n\) التي يمكن من أجلها تقسيم المجموعة \(\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}\) إلى مجموعتين بحيث يساوي حاصل ضرب الأعداد في إحداهما حاصل ضرب الأعداد في الأخرى.

← الحل

المسألة 5

في رباعي الوجوه \(ABCD\)، الزاوية \(BDC\) قائمة. افترض أن قدم العمود \(H\) النازل من \(D\) على المستوى \(ABC\) هي نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث \(\triangle ABC\). أثبت أن \[ (AB+BC+CA)^2\leq 6(AD^2+BD^2+CD^2). \] ما رباعيات الوجوه التي تتحقق فيها المساواة؟

← الحل

المسألة 6

في مستوى 100 نقطة، لا تقع أي ثلاث منها على استقامة واحدة. اعتبر جميع المثلثات الممكنة التي رؤوسها من هذه النقاط. أثبت أن نسبة المثلثات الحادة الزوايا من بين هذه المثلثات لا تتجاوز 70%.

← الحل