Problem 1

Prove that there are infinitely many natural numbers \(a\) with the following property: the number \(z = n^4 + a\) is not prime for any natural number \(n\).

Solution →

Problem 2

Let \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) be real constants, \(x\) a real variable, and

\[ f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\frac14\cos(a_3+x) +\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\cos(a_n+x). \]

Given that \(f(x_1)=f(x_2)=0\), prove that \(x_2-x_1=m\pi\) for some integer \(m\).

Solution →

Problem 3

For each value of \(k = 1, 2, 3, 4, 5\), find necessary and sufficient conditions on the number \(a > 0\) so that there exists a tetrahedron with \(k\) edges of length \(a\), and the remaining \(6 - k\) edges of length \(1\).

Solution →

Problem 4

A semicircular arc \(\gamma\) is drawn on \(AB\) as diameter. \(C\) is a point on \(\gamma\) other than \(A\) and \(B\), and \(D\) is the foot of the perpendicular from \(C\) to \(AB\). We consider three circles, \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\), all tangent to the line \(AB\). Of these, \(\gamma_1\) is inscribed in \(\Delta ABC\), while \(\gamma_2\) and \(\gamma_3\) are both tangent to \(CD\) and to \(\gamma\), one on each side of \(CD\). Prove that \(\gamma_1,\gamma_2\) and \(\gamma_3\) have a second tangent in common.

Solution →

Problem 5

Given \(n > 4\) points in the plane such that no three are collinear. Prove that there are at least \(\binom{n-3}{2}\) convex quadrilaterals whose vertices are four of the given points.

Solution →

Problem 6

Prove that for all real numbers \(x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2\), with \(x_1>0,\ x_2>0,\ x_1y_1-z_1^2>0,\ x_2y_2-z_2^2>0\), the inequality \[ \frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2} \leq \frac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\frac{1}{x_2y_2-z_2^2} \] is satisfied. Give necessary and sufficient conditions for equality.

Solution →

Aufgabe 1

Man beweise, dass es unendlich viele natürliche Zahlen \(a\) mit folgender Eigenschaft gibt: Die Zahl \(z = n^4 + a\) ist für keine natürliche Zahl \(n\) eine Primzahl.

Lösung →

Aufgabe 2

Es seien \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) reelle Konstanten, \(x\) eine reelle Variable und

\[ f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\frac14\cos(a_3+x) +\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\cos(a_n+x). \]

Es gelte \(f(x_1)=f(x_2)=0\). Man beweise, dass \(x_2-x_1=m\pi\) für eine ganze Zahl \(m\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 3

Für jeden Wert \(k = 1, 2, 3, 4, 5\) bestimme man notwendige und hinreichende Bedingungen an die Zahl \(a > 0\) dafür, dass ein Tetraeder existiert, dessen \(k\) Kanten die Länge \(a\) und dessen übrige \(6 - k\) Kanten die Länge \(1\) haben.

Lösung →

Aufgabe 4

Über \(AB\) als Durchmesser wird ein Halbkreisbogen \(\gamma\) gezeichnet. \(C\) ist ein von \(A\) und \(B\) verschiedener Punkt auf \(\gamma\), und \(D\) ist der Fußpunkt des Lotes von \(C\) auf \(AB\). Wir betrachten drei Kreise \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\), die alle die Gerade \(AB\) berühren. Dabei ist \(\gamma_1\) der Inkreis von \(\Delta ABC\), während \(\gamma_2\) und \(\gamma_3\) beide \(CD\) und \(\gamma\) berühren und auf verschiedenen Seiten von \(CD\) liegen. Man beweise, dass \(\gamma_1,\gamma_2\) und \(\gamma_3\) eine zweite gemeinsame Tangente haben.

Lösung →

Aufgabe 5

Gegeben seien \(n > 4\) Punkte in der Ebene, von denen keine drei auf einer Geraden liegen. Man beweise, dass es mindestens \(\binom{n-3}{2}\) konvexe Vierecke gibt, deren Eckpunkte vier der gegebenen Punkte sind.

Lösung →

Aufgabe 6

Man beweise, dass für alle reellen Zahlen \(x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2\) mit \(x_1>0,\ x_2>0,\ x_1y_1-z_1^2>0,\ x_2y_2-z_2^2>0\) die Ungleichung \[ \frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2} \leq \frac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\frac{1}{x_2y_2-z_2^2} \] erfüllt ist. Man gebe notwendige und hinreichende Bedingungen für den Gleichheitsfall an.

Lösung →

Soru 1

Şu özelliğe sahip sonsuz sayıda \(a\) doğal sayısı bulunduğunu kanıtlayınız: hiçbir \(n\) doğal sayısı için \(z = n^4 + a\) sayısı asal değildir.

Çözüm →

Soru 2

\(a_1, a_2, \cdots, a_n\) gerçel sabitler, \(x\) gerçel bir değişken olmak üzere

\[ f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\frac14\cos(a_3+x) +\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\cos(a_n+x). \]

\(f(x_1)=f(x_2)=0\) olduğu veriliyor. Bir \(m\) tam sayısı için \(x_2-x_1=m\pi\) olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

\(k = 1, 2, 3, 4, 5\) değerlerinin her biri için, \(k\) ayrıtının uzunluğu \(a\), kalan \(6 - k\) ayrıtının uzunluğu \(1\) olan bir dörtyüzlünün var olması için \(a > 0\) sayısının sağlaması gereken gerekli ve yeterli koşulları bulunuz.

Çözüm →

Soru 4

Çapı \(AB\) olan bir \(\gamma\) yarım çember yayı çiziliyor. \(C\), \(\gamma\) üzerinde \(A\) ve \(B\)'den farklı bir nokta, \(D\) ise \(C\)'den \(AB\)'ye indirilen dikmenin ayağıdır. Her biri \(AB\) doğrusuna teğet olan \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\) çemberlerini ele alalım. Bunlardan \(\gamma_1\), \(\Delta ABC\)'nin iç teğet çemberidir; \(\gamma_2\) ve \(\gamma_3\) ise \(CD\)'nin iki yanında birer tane olmak üzere hem \(CD\)'ye hem de \(\gamma\)'ya teğettir. \(\gamma_1,\gamma_2\) ve \(\gamma_3\)'ün ikinci bir ortak teğeti olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 5

Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan \(n > 4\) nokta veriliyor. Köşeleri verilen noktalardan dördü olan en az \(\binom{n-3}{2}\) dışbükey dörtgen bulunduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 6

\(x_1>0,\ x_2>0,\ x_1y_1-z_1^2>0,\ x_2y_2-z_2^2>0\) koşullarını sağlayan tüm \(x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2\) gerçel sayıları için \[ \frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2} \leq \frac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\frac{1}{x_2y_2-z_2^2} \] eşitsizliğinin sağlandığını kanıtlayınız. Eşitlik için gerekli ve yeterli koşulları belirtiniz.

Çözüm →

Problema 1

Demuestre que existen infinitos números naturales \(a\) con la siguiente propiedad: el número \(z = n^4 + a\) no es primo para ningún número natural \(n\).

Solución →

Problema 2

Sean \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) constantes reales, \(x\) una variable real, y

\[ f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\frac14\cos(a_3+x) +\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\cos(a_n+x). \]

Sabiendo que \(f(x_1)=f(x_2)=0\), demuestre que \(x_2-x_1=m\pi\) para algún entero \(m\).

Solución →

Problema 3

Para cada valor de \(k = 1, 2, 3, 4, 5\), encuentre condiciones necesarias y suficientes sobre el número \(a > 0\) para que exista un tetraedro con \(k\) aristas de longitud \(a\) y las \(6 - k\) aristas restantes de longitud \(1\).

Solución →

Problema 4

Se traza un arco de semicircunferencia \(\gamma\) de diámetro \(AB\). Sea \(C\) un punto de \(\gamma\) distinto de \(A\) y \(B\), y sea \(D\) el pie de la perpendicular trazada desde \(C\) a \(AB\). Consideramos tres circunferencias, \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\), todas tangentes a la recta \(AB\). De ellas, \(\gamma_1\) está inscrita en \(\Delta ABC\), mientras que \(\gamma_2\) y \(\gamma_3\) son ambas tangentes a \(CD\) y a \(\gamma\), una a cada lado de \(CD\). Demuestre que \(\gamma_1,\gamma_2\) y \(\gamma_3\) tienen una segunda tangente común.

Solución →

Problema 5

Se dan \(n > 4\) puntos en el plano tales que no hay tres alineados. Demuestre que existen al menos \(\binom{n-3}{2}\) cuadriláteros convexos cuyos vértices son cuatro de los puntos dados.

Solución →

Problema 6

Demuestre que, para todos los números reales \(x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2\), con \(x_1>0,\ x_2>0,\ x_1y_1-z_1^2>0,\ x_2y_2-z_2^2>0\), se satisface la desigualdad \[ \frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2} \leq \frac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\frac{1}{x_2y_2-z_2^2} \] Dé condiciones necesarias y suficientes para que se dé la igualdad.

Solución →

问题 1

证明：存在无穷多个自然数 \(a\)，具有如下性质：对于任意自然数 \(n\)，数 \(z = n^4 + a\) 都不是素数。

解答 →

问题 2

设 \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) 为实常数，\(x\) 为实变量，且

\[ f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\frac14\cos(a_3+x) +\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\cos(a_n+x). \]

已知 \(f(x_1)=f(x_2)=0\)，证明：存在整数 \(m\)，使得 \(x_2-x_1=m\pi\)。

解答 →

问题 3

对于 \(k = 1, 2, 3, 4, 5\) 的每一个值，求数 \(a > 0\) 满足的充要条件，使得存在一个四面体，其 \(k\) 条棱的长度为 \(a\)，其余 \(6 - k\) 条棱的长度为 \(1\)。

解答 →

问题 4

以 \(AB\) 为直径作半圆弧 \(\gamma\)。\(C\) 是 \(\gamma\) 上异于 \(A\) 和 \(B\) 的一点，\(D\) 是从 \(C\) 向 \(AB\) 所作垂线的垂足。考虑三个均与直线 \(AB\) 相切的圆 \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\)。其中，\(\gamma_1\) 是 \(\Delta ABC\) 的内切圆，而 \(\gamma_2\) 和 \(\gamma_3\) 都与 \(CD\) 及 \(\gamma\) 相切，且分别位于 \(CD\) 的两侧。证明：\(\gamma_1,\gamma_2\) 和 \(\gamma_3\) 还有第二条公切线。

解答 →

问题 5

平面上给定 \(n > 4\) 个点，其中任意三点不共线。证明：以给定点中的四个点为顶点的凸四边形至少有 \(\binom{n-3}{2}\) 个。

解答 →

问题 6

证明：对于任意实数 \(x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2\)，若满足 \(x_1>0,\ x_2>0,\ x_1y_1-z_1^2>0,\ x_2y_2-z_2^2>0\)，则不等式 \[ \frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2} \leq \frac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\frac{1}{x_2y_2-z_2^2} \] 成立。给出等号成立的充要条件。

解答 →

Задача 1

Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел \(a\), обладающих следующим свойством: число \(z = n^4 + a\) не является простым ни при каком натуральном числе \(n\).

Решение →

Задача 2

Пусть \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) — действительные постоянные, \(x\) — действительная переменная и

\[ f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\frac14\cos(a_3+x) +\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\cos(a_n+x). \]

Известно, что \(f(x_1)=f(x_2)=0\). Докажите, что \(x_2-x_1=m\pi\) для некоторого целого \(m\).

Решение →

Задача 3

Для каждого значения \(k = 1, 2, 3, 4, 5\) найдите необходимые и достаточные условия на число \(a > 0\), при которых существует тетраэдр с \(k\) рёбрами длины \(a\) и остальными \(6 - k\) рёбрами длины \(1\).

Решение →

Задача 4

На \(AB\) как на диаметре построена полуокружность \(\gamma\). Точка \(C\) лежит на \(\gamma\) и отлична от \(A\) и \(B\), а \(D\) — основание перпендикуляра, опущенного из \(C\) на \(AB\). Рассмотрим три окружности \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\), каждая из которых касается прямой \(AB\). При этом \(\gamma_1\) вписана в \(\Delta ABC\), а \(\gamma_2\) и \(\gamma_3\) касаются \(CD\) и \(\gamma\) и лежат по разные стороны от \(CD\). Докажите, что \(\gamma_1,\gamma_2\) и \(\gamma_3\) имеют вторую общую касательную.

Решение →

Задача 5

На плоскости даны \(n > 4\) точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует не менее \(\binom{n-3}{2}\) выпуклых четырёхугольников, вершинами которых служат четыре из данных точек.

Решение →

Задача 6

Докажите, что для любых действительных чисел \(x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2\), удовлетворяющих условиям \(x_1>0,\ x_2>0,\ x_1y_1-z_1^2>0,\ x_2y_2-z_2^2>0\), выполняется неравенство \[ \frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2} \leq \frac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\frac{1}{x_2y_2-z_2^2} \] Укажите необходимые и достаточные условия равенства.

Решение →

المسألة 1

أثبت أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الطبيعية \(a\) التي تتمتع بالخاصية الآتية: العدد \(z = n^4 + a\) ليس أوليًا لأي عدد طبيعي \(n\).

← الحل

المسألة 2

لتكن \(a_1, a_2, \cdots, a_n\) ثوابت حقيقية، وليكن \(x\) متغيرًا حقيقيًا، ولتكن

\[ f(x)=\cos(a_1+x)+\frac12\cos(a_2+x)+\frac14\cos(a_3+x) +\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}\cos(a_n+x). \]

إذا كان \(f(x_1)=f(x_2)=0\)، فأثبت أن \(x_2-x_1=m\pi\) لعدد صحيح ما \(m\).

← الحل

المسألة 3

لكل قيمة من القيم \(k = 1, 2, 3, 4, 5\)، أوجد الشروط اللازمة والكافية على العدد \(a > 0\) لوجود رباعي وجوه له \(k\) أحرف طول كل منها \(a\)، وأحرفه الباقية وعددها \(6 - k\) طول كل منها \(1\).

← الحل

المسألة 4

رُسم قوس نصف دائري \(\gamma\) قطره \(AB\). ولتكن \(C\) نقطة على \(\gamma\) غير \(A\) و\(B\)، ولتكن \(D\) قدم العمود النازل من \(C\) على \(AB\). نعتبر ثلاث دوائر \(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3\)، كلها مماسة للمستقيم \(AB\). من بينها، الدائرة \(\gamma_1\) هي الدائرة الداخلية للمثلث \(\Delta ABC\)، أما \(\gamma_2\) و\(\gamma_3\) فكلتاهما مماسة لـ\(CD\) وللقوس \(\gamma\)، وتقعان على جانبي \(CD\)، واحدة على كل جانب. أثبت أن للدوائر \(\gamma_1,\gamma_2\) و\(\gamma_3\) مماسًا مشتركًا ثانيًا.

← الحل

المسألة 5

أُعطيت \(n > 4\) نقاط في المستوى، لا تقع أي ثلاث منها على استقامة واحدة. أثبت أن هناك ما لا يقل عن \(\binom{n-3}{2}\) رباعيًا محدبًا رؤوس كل منها أربع من النقاط المعطاة.

← الحل

المسألة 6

أثبت أنه لكل أعداد حقيقية \(x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2\)، تحقق \(x_1>0,\ x_2>0,\ x_1y_1-z_1^2>0,\ x_2y_2-z_2^2>0\)، تصح المتباينة \[ \frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2} \leq \frac{1}{x_1y_1-z_1^2}+\frac{1}{x_2y_2-z_2^2} \] أوجد الشروط اللازمة والكافية لتحقق المساواة.

← الحل