Problem 1

Prove that there is one and only one triangle whose side lengths are consecutive integers, and one of whose angles is twice as large as another.

Solution →

Problem 2

Find all natural numbers \(x\) such that the product of their digits (in decimal notation) is equal to \(x^2-10x-22\).

Solution →

Problem 3

Consider the system of equations \[ \begin{aligned} ax_1^2+bx_1+c&=x_2\\ ax_2^2+bx_2+c&=x_3\\ &\cdots\\ ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c&=x_n\\ ax_n^2+bx_n+c&=x_1, \end{aligned} \] with unknowns \(x_1,x_2,\ldots,x_n\), where \(a,b,c\) are real and \(a\ne0\). Let \(\Delta=(b-1)^2-4ac\). Prove that for this system

(a) if \(\Delta<0\), there is no solution,
(b) if \(\Delta=0\), there is exactly one solution,
(c) if \(\Delta>0\), there is more than one solution.

Solution →

Problem 4

Prove that in every tetrahedron there is a vertex such that the three edges meeting there have lengths which are the sides of a triangle.

Solution →

Problem 5

Let \(f\) be a real-valued function defined for all real numbers \(x\) such that, for some positive constant \(a\), the equation \[ f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-[f(x)]^2} \] holds for all \(x\).

(a) Prove that the function \(f\) is periodic (i.e., there exists a positive number \(b\) such that \(f(x+b)=f(x)\) for all \(x\)).

(b) For \(a=1\), give an example of a non-constant function with the required properties.

Solution →

Problem 6

For every natural number \(n\), evaluate the sum \[ \sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right] = \left[\frac{n+1}{2}\right] + \left[\frac{n+2}{4}\right] +\cdots+ \left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right] +\cdots \] (The symbol \([x]\) denotes the greatest integer not exceeding \(x\).)

Solution →

Aufgabe 1

Beweise, dass es genau ein Dreieck gibt, dessen Seitenlängen aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind und bei dem ein Winkel doppelt so groß ist wie ein anderer.

Lösung →

Aufgabe 2

Bestimme alle natürlichen Zahlen \(x\), für die das Produkt ihrer Ziffern (in Dezimalschreibweise) gleich \(x^2-10x-22\) ist.

Lösung →

Aufgabe 3

Betrachte das Gleichungssystem \[ \begin{aligned} ax_1^2+bx_1+c&=x_2\\ ax_2^2+bx_2+c&=x_3\\ &\cdots\\ ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c&=x_n\\ ax_n^2+bx_n+c&=x_1, \end{aligned} \] mit den Unbekannten \(x_1,x_2,\ldots,x_n\), wobei \(a,b,c\) reell sind und \(a\ne0\) gilt. Es sei \(\Delta=(b-1)^2-4ac\). Beweise, dass für dieses System gilt:

(a) Ist \(\Delta<0\), so gibt es keine Lösung,
(b) ist \(\Delta=0\), so gibt es genau eine Lösung,
(c) ist \(\Delta>0\), so gibt es mehr als eine Lösung.

Lösung →

Aufgabe 4

Beweise, dass es in jedem Tetraeder einen Eckpunkt gibt, sodass die Längen der drei dort zusammentreffenden Kanten die Seitenlängen eines Dreiecks sind.

Lösung →

Aufgabe 5

Es sei \(f\) eine für alle reellen Zahlen \(x\) definierte reellwertige Funktion, sodass für eine positive Konstante \(a\) die Gleichung \[ f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-[f(x)]^2} \] für alle \(x\) gilt.

(a) Beweise, dass die Funktion \(f\) periodisch ist (d. h., es gibt eine positive Zahl \(b\), sodass \(f(x+b)=f(x)\) für alle \(x\) gilt).

(b) Gib für \(a=1\) ein Beispiel einer nicht konstanten Funktion mit den geforderten Eigenschaften an.

Lösung →

Aufgabe 6

Berechne für jede natürliche Zahl \(n\) die Summe \[ \sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right] = \left[\frac{n+1}{2}\right] + \left[\frac{n+2}{4}\right] +\cdots+ \left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right] +\cdots \] (Das Symbol \([x]\) bezeichnet die größte ganze Zahl, die nicht größer als \(x\) ist.)

Lösung →

Soru 1

Kenar uzunlukları ardışık tam sayılar olan ve bir açısı başka bir açısının iki katı olan bir ve yalnız bir üçgen bulunduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 2

Rakamlarının (onluk gösterimdeki) çarpımı \(x^2-10x-22\) değerine eşit olan tüm \(x\) doğal sayılarını bulunuz.

Çözüm →

Soru 3

\(a,b,c\) gerçek sayılar ve \(a\ne0\) olmak üzere, bilinmeyenleri \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) olan \[ \begin{aligned} ax_1^2+bx_1+c&=x_2\\ ax_2^2+bx_2+c&=x_3\\ &\cdots\\ ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c&=x_n\\ ax_n^2+bx_n+c&=x_1 \end{aligned} \] denklem sistemini ele alalım. \(\Delta=(b-1)^2-4ac\) olsun. Bu sistem için aşağıdakileri kanıtlayınız:

(a) \(\Delta<0\) ise çözüm yoktur,
(b) \(\Delta=0\) ise tam olarak bir çözüm vardır,
(c) \(\Delta>0\) ise birden fazla çözüm vardır.

Çözüm →

Soru 4

Her dörtyüzlüde, kendisinde birleşen üç ayrıtın uzunlukları bir üçgenin kenar uzunlukları olan bir köşe bulunduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 5

\(f\), tüm gerçek \(x\) sayıları için tanımlı, gerçek değerli bir fonksiyon olsun ve bir pozitif \(a\) sabiti için \[ f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-[f(x)]^2} \] denklemi tüm \(x\) değerleri için sağlansın.

(a) \(f\) fonksiyonunun periyodik olduğunu (yani tüm \(x\) değerleri için \(f(x+b)=f(x)\) olacak şekilde bir pozitif \(b\) sayısı bulunduğunu) kanıtlayınız.

(b) \(a=1\) için, istenen özellikleri taşıyan sabit olmayan bir fonksiyon örneği veriniz.

Çözüm →

Soru 6

Her \(n\) doğal sayısı için \[ \sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right] = \left[\frac{n+1}{2}\right] + \left[\frac{n+2}{4}\right] +\cdots+ \left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right] +\cdots \] toplamını hesaplayınız. (\([x]\) simgesi, \(x\)'i aşmayan en büyük tam sayıyı gösterir.)

Çözüm →

Problema 1

Demuestre que existe un único triángulo cuyas longitudes de los lados son enteros consecutivos y uno de cuyos ángulos es el doble de otro.

Solución →

Problema 2

Halle todos los números naturales \(x\) tales que el producto de sus cifras (en notación decimal) sea igual a \(x^2-10x-22\).

Solución →

Problema 3

Considere el sistema de ecuaciones \[ \begin{aligned} ax_1^2+bx_1+c&=x_2\\ ax_2^2+bx_2+c&=x_3\\ &\cdots\\ ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c&=x_n\\ ax_n^2+bx_n+c&=x_1, \end{aligned} \] con incógnitas \(x_1,x_2,\ldots,x_n\), donde \(a,b,c\) son reales y \(a\ne0\). Sea \(\Delta=(b-1)^2-4ac\). Demuestre que, para este sistema,

(a) si \(\Delta<0\), no hay solución,
(b) si \(\Delta=0\), hay exactamente una solución,
(c) si \(\Delta>0\), hay más de una solución.

Solución →

Problema 4

Demuestre que en todo tetraedro existe un vértice tal que las longitudes de las tres aristas que concurren en él son las longitudes de los lados de un triángulo.

Solución →

Problema 5

Sea \(f\) una función de valores reales definida para todos los números reales \(x\) tal que, para cierta constante positiva \(a\), la ecuación \[ f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-[f(x)]^2} \] se cumple para todo \(x\).

(a) Demuestre que la función \(f\) es periódica (es decir, existe un número positivo \(b\) tal que \(f(x+b)=f(x)\) para todo \(x\)).

(b) Para \(a=1\), dé un ejemplo de una función no constante con las propiedades requeridas.

Solución →

Problema 6

Para todo número natural \(n\), calcule la suma \[ \sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right] = \left[\frac{n+1}{2}\right] + \left[\frac{n+2}{4}\right] +\cdots+ \left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right] +\cdots \] (El símbolo \([x]\) denota el mayor entero que no excede de \(x\).)

Solución →

问题 1

证明：有且仅有一个三角形，其三边长为连续整数，且其中一个角是另一个角的两倍。

解答 →

问题 2

求所有自然数 \(x\)，使其十进制表示中各位数字的乘积等于 \(x^2-10x-22\)。

解答 →

问题 3

考虑方程组 \[ \begin{aligned} ax_1^2+bx_1+c&=x_2\\ ax_2^2+bx_2+c&=x_3\\ &\cdots\\ ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c&=x_n\\ ax_n^2+bx_n+c&=x_1, \end{aligned} \] 其中未知数为 \(x_1,x_2,\ldots,x_n\)，\(a,b,c\) 为实数，且 \(a\ne0\)。令 \(\Delta=(b-1)^2-4ac\)。证明，对于此方程组：

(a) 若 \(\Delta<0\)，则无解；
(b) 若 \(\Delta=0\)，则恰有一个解；
(c) 若 \(\Delta>0\)，则有不止一个解。

解答 →

问题 4

证明：任意四面体都有一个顶点，使交于该顶点的三条棱的长度能作为一个三角形的三边长。

解答 →

问题 5

设 \(f\) 是定义在全体实数 \(x\) 上的实值函数，且对于某个正常数 \(a\)，等式 \[ f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-[f(x)]^2} \] 对所有 \(x\) 都成立。

(a) 证明函数 \(f\) 是周期函数（即存在正数 \(b\)，使得对所有 \(x\)，都有 \(f(x+b)=f(x)\)）。

(b) 当 \(a=1\) 时，给出一个满足上述条件的非常值函数的例子。

解答 →

问题 6

对每个自然数 \(n\)，求和 \[ \sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right] = \left[\frac{n+1}{2}\right] + \left[\frac{n+2}{4}\right] +\cdots+ \left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right] +\cdots \] （符号 \([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数。）

解答 →

Задача 1

Докажите, что существует ровно один треугольник, длины сторон которого являются последовательными целыми числами и один из углов которого вдвое больше другого.

Решение →

Задача 2

Найдите все натуральные числа \(x\), для которых произведение их цифр (в десятичной записи) равно \(x^2-10x-22\).

Решение →

Задача 3

Рассмотрим систему уравнений \[ \begin{aligned} ax_1^2+bx_1+c&=x_2\\ ax_2^2+bx_2+c&=x_3\\ &\cdots\\ ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c&=x_n\\ ax_n^2+bx_n+c&=x_1, \end{aligned} \] с неизвестными \(x_1,x_2,\ldots,x_n\), где \(a,b,c\) — действительные числа и \(a\ne0\). Пусть \(\Delta=(b-1)^2-4ac\). Докажите, что для этой системы

(a) если \(\Delta<0\), то решений нет,
(b) если \(\Delta=0\), то существует ровно одно решение,
(c) если \(\Delta>0\), то существует более одного решения.

Решение →

Задача 4

Докажите, что в любом тетраэдре найдётся вершина, длины трёх выходящих из которой рёбер являются длинами сторон некоторого треугольника.

Решение →

Задача 5

Пусть \(f\) — функция с действительными значениями, определённая для всех действительных чисел \(x\), такая, что при некоторой положительной постоянной \(a\) равенство \[ f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-[f(x)]^2} \] выполняется для всех \(x\).

(a) Докажите, что функция \(f\) периодическая (то есть существует положительное число \(b\), такое, что \(f(x+b)=f(x)\) для всех \(x\)).

(b) При \(a=1\) приведите пример непостоянной функции с требуемыми свойствами.

Решение →

Задача 6

Для каждого натурального числа \(n\) вычислите сумму \[ \sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right] = \left[\frac{n+1}{2}\right] + \left[\frac{n+2}{4}\right] +\cdots+ \left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right] +\cdots \] (Символ \([x]\) обозначает наибольшее целое число, не превосходящее \(x\).)

Решение →

المسألة 1

أثبت أنه يوجد مثلث واحد ووحيد أطوال أضلاعه أعداد صحيحة متتالية، وإحدى زواياه تساوي ضعف زاوية أخرى.

← الحل

المسألة 2

أوجد جميع الأعداد الطبيعية \(x\) التي يساوي حاصل ضرب أرقامها (في التمثيل العشري) \(x^2-10x-22\).

← الحل

المسألة 3

لتكن لدينا منظومة المعادلات \[ \begin{aligned} ax_1^2+bx_1+c&=x_2\\ ax_2^2+bx_2+c&=x_3\\ &\cdots\\ ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c&=x_n\\ ax_n^2+bx_n+c&=x_1, \end{aligned} \] ذات المجاهيل \(x_1,x_2,\ldots,x_n\)، حيث \(a,b,c\) أعداد حقيقية و\(a\ne0\). ليكن \(\Delta=(b-1)^2-4ac\). أثبت أن هذه المنظومة

(أ) ليس لها حل إذا كان \(\Delta<0\)،
(ب) لها حل واحد بالضبط إذا كان \(\Delta=0\)،
(ج) لها أكثر من حل واحد إذا كان \(\Delta>0\).

← الحل

المسألة 4

أثبت أنه يوجد في كل رباعي وجوه رأس تكون أطوال الأحرف الثلاثة الملتقية عنده أطوال أضلاع مثلث.

← الحل

المسألة 5

لتكن \(f\) دالة ذات قيم حقيقية معرّفة لجميع الأعداد الحقيقية \(x\)، بحيث يوجد ثابت موجب \(a\) تتحقق معه المعادلة \[ f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-[f(x)]^2} \] لجميع قيم \(x\).

(أ) أثبت أن الدالة \(f\) دورية (أي يوجد عدد موجب \(b\) بحيث \(f(x+b)=f(x)\) لجميع قيم \(x\)).

(ب) عندما \(a=1\)، أعط مثالًا لدالة غير ثابتة لها الخواص المطلوبة.

← الحل

المسألة 6

لكل عدد طبيعي \(n\)، احسب المجموع \[ \sum_{k=0}^{\infty}\left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right] = \left[\frac{n+1}{2}\right] + \left[\frac{n+2}{4}\right] +\cdots+ \left[\frac{n+2^k}{2^{k+1}}\right] +\cdots \] (يرمز \([x]\) إلى أكبر عدد صحيح لا يتجاوز \(x\).)

← الحل