IMO 1968 · Problem 2
Find all natural numbers \(x\) such that the product of their digits (in decimal notation) is equal to \(x^2-10x-22\).
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
\[ \boxed{x=12}. \]
Solution
Let \(P(x)\) denote the product of the decimal digits of \(x\). If \(0\) is included among the natural numbers, it is not a solution, since \(P(0)=0\ne-22\). Thus assume \(x>0\).
We first observe that \(P(x)\le x\). Indeed, if \(x\) has \(n\) digits and leading digit \(a\), then \[ P(x)\le a\,9^{n-1}\le a\,10^{n-1}\le x. \] Consequently, any solution satisfies \[ 0\le x^2-10x-22\le x. \]
If \(x\le11\), then \[ x^2-10x-22=(x-11)(x+1)-11\le-11<0, \] contradicting the first inequality. Hence \(x\ge12\).
If \(x\ge13\), then \[ (x^2-10x-22)-x=x(x-11)-22 \ge13\cdot2-22=4>0, \] contradicting the second inequality. Hence \(x\le12\).
Therefore \(x=12\) is the only possible solution. It indeed satisfies the equation, because \[ P(12)=1\cdot2=2=12^2-10\cdot12-22. \]
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1968 · Aufgabe 2
Bestimme alle natürlichen Zahlen \(x\), für die das Produkt ihrer Ziffern (in Dezimalschreibweise) gleich \(x^2-10x-22\) ist.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
\[ \boxed{x=12}. \]
Lösung
Es bezeichne \(P(x)\) das Produkt der Dezimalziffern von \(x\). Falls \(0\) zu den natürlichen Zahlen gezählt wird, ist sie keine Lösung, denn \(P(0)=0\ne-22\). Wir nehmen also \(x>0\) an.
Zunächst stellen wir fest, dass \(P(x)\le x\) gilt. Hat nämlich \(x\) genau \(n\) Ziffern und die führende Ziffer \(a\), so gilt \[ P(x)\le a\,9^{n-1}\le a\,10^{n-1}\le x. \] Folglich erfüllt jede Lösung \[ 0\le x^2-10x-22\le x. \]
Ist \(x\le11\), so gilt \[ x^2-10x-22=(x-11)(x+1)-11\le-11<0, \] im Widerspruch zur ersten Ungleichung. Daher ist \(x\ge12\).
Ist \(x\ge13\), so gilt \[ (x^2-10x-22)-x=x(x-11)-22 \ge13\cdot2-22=4>0, \] im Widerspruch zur zweiten Ungleichung. Daher ist \(x\le12\).
Somit ist \(x=12\) die einzig mögliche Lösung. Sie erfüllt tatsächlich die Gleichung, denn \[ P(12)=1\cdot2=2=12^2-10\cdot12-22. \]
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1968 · Soru 2
Rakamlarının (onluk gösterimdeki) çarpımı \(x^2-10x-22\) değerine eşit olan tüm \(x\) doğal sayılarını bulunuz.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\[ \boxed{x=12}. \]
Çözüm
\(P(x)\), \(x\) sayısının onluk gösterimindeki rakamların çarpımını göstersin. \(0\) doğal sayılara dâhil edilse bile, \(P(0)=0\ne-22\) olduğundan bir çözüm değildir. Bu nedenle \(x>0\) olduğunu varsayalım.
Önce \(P(x)\le x\) olduğunu gözlemleyelim. Gerçekten de \(x\), ilk rakamı \(a\) olan \(n\) basamaklı bir sayı ise \[ P(x)\le a\,9^{n-1}\le a\,10^{n-1}\le x. \] Dolayısıyla her çözüm \[ 0\le x^2-10x-22\le x \] eşitsizliklerini sağlar.
\(x\le11\) ise \[ x^2-10x-22=(x-11)(x+1)-11\le-11<0, \] bu da ilk eşitsizlikle çelişir. O hâlde \(x\ge12\) olur.
\(x\ge13\) ise \[ (x^2-10x-22)-x=x(x-11)-22 \ge13\cdot2-22=4>0, \] bu da ikinci eşitsizlikle çelişir. O hâlde \(x\le12\) olur.
Dolayısıyla mümkün olan tek çözüm \(x=12\)'dir. Bu değer denklemi gerçekten sağlar, çünkü \[ P(12)=1\cdot2=2=12^2-10\cdot12-22. \]
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1968 · Problema 2
Halle todos los números naturales \(x\) tales que el producto de sus cifras (en notación decimal) sea igual a \(x^2-10x-22\).
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
\[ \boxed{x=12}. \]
Solución
Sea \(P(x)\) el producto de las cifras decimales de \(x\). Si se incluye el \(0\) entre los números naturales, no es una solución, pues \(P(0)=0\ne-22\). Supongamos, pues, que \(x>0\).
Observemos primero que \(P(x)\le x\). En efecto, si \(x\) tiene \(n\) cifras y su primera cifra es \(a\), entonces \[ P(x)\le a\,9^{n-1}\le a\,10^{n-1}\le x. \] Por consiguiente, toda solución satisface \[ 0\le x^2-10x-22\le x. \]
Si \(x\le11\), entonces \[ x^2-10x-22=(x-11)(x+1)-11\le-11<0, \] lo que contradice la primera desigualdad. Por tanto, \(x\ge12\).
Si \(x\ge13\), entonces \[ (x^2-10x-22)-x=x(x-11)-22 \ge13\cdot2-22=4>0, \] lo que contradice la segunda desigualdad. Por tanto, \(x\le12\).
Así pues, \(x=12\) es la única solución posible. En efecto, satisface la ecuación, pues \[ P(12)=1\cdot2=2=12^2-10\cdot12-22. \]
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1968 · 问题 2
求所有自然数 \(x\)，使其十进制表示中各位数字的乘积等于 \(x^2-10x-22\)。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
\[ \boxed{x=12}. \]
解答
用 \(P(x)\) 表示 \(x\) 的十进制各位数字的乘积。若自然数包含 \(0\)，则它不是解，因为 \(P(0)=0\ne-22\)。因此，以下设 \(x>0\)。
首先注意到 \(P(x)\le x\)。事实上，若 \(x\) 是一个 \(n\) 位数，首位数字为 \(a\)，则 \[ P(x)\le a\,9^{n-1}\le a\,10^{n-1}\le x. \] 因此，任意解均满足 \[ 0\le x^2-10x-22\le x. \]
若 \(x\le11\)，则 \[ x^2-10x-22=(x-11)(x+1)-11\le-11<0, \] 与第一个不等式矛盾。故 \(x\ge12\)。
若 \(x\ge13\)，则 \[ (x^2-10x-22)-x=x(x-11)-22 \ge13\cdot2-22=4>0, \] 与第二个不等式矛盾。故 \(x\le12\)。
因此，\(x=12\) 是唯一可能的解。它确实满足方程，因为 \[ P(12)=1\cdot2=2=12^2-10\cdot12-22. \]
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1968 · Задача 2
Найдите все натуральные числа \(x\), для которых произведение их цифр (в десятичной записи) равно \(x^2-10x-22\).
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
\[ \boxed{x=12}. \]
Решение
Обозначим через \(P(x)\) произведение цифр десятичной записи числа \(x\). Если \(0\) включается в число натуральных чисел, то он не является решением, поскольку \(P(0)=0\ne-22\). Поэтому будем считать, что \(x>0\).
Сначала заметим, что \(P(x)\le x\). Действительно, если число \(x\) имеет \(n\) цифр и его первая цифра равна \(a\), то \[ P(x)\le a\,9^{n-1}\le a\,10^{n-1}\le x. \] Следовательно, любое решение удовлетворяет неравенствам \[ 0\le x^2-10x-22\le x. \]
Если \(x\le11\), то \[ x^2-10x-22=(x-11)(x+1)-11\le-11<0, \] что противоречит первому неравенству. Значит, \(x\ge12\).
Если \(x\ge13\), то \[ (x^2-10x-22)-x=x(x-11)-22 \ge13\cdot2-22=4>0, \] что противоречит второму неравенству. Значит, \(x\le12\).
Таким образом, \(x=12\) — единственное возможное решение. Оно действительно удовлетворяет уравнению, поскольку \[ P(12)=1\cdot2=2=12^2-10\cdot12-22. \]
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1968 · المسألة 2
أوجد جميع الأعداد الطبيعية \(x\) التي يساوي حاصل ضرب أرقامها (في التمثيل العشري) \(x^2-10x-22\).
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
\[ \boxed{x=12}. \]
الحل
لنرمز بـ \(P(x)\) إلى حاصل ضرب الأرقام العشرية للعدد \(x\). إذا كان \(0\) يُعدّ من الأعداد الطبيعية، فإنه ليس حلًّا، لأن \(P(0)=0\ne-22\). لذا نفترض أن \(x>0\).
نلاحظ أولًا أن \(P(x)\le x\). بالفعل، إذا كان \(x\) مكوّنًا من \(n\) أرقام وكان رقمه الأول \(a\)، فإن \[ P(x)\le a\,9^{n-1}\le a\,10^{n-1}\le x. \] وبالتالي، فإن أي حل يحقق \[ 0\le x^2-10x-22\le x. \]
إذا كان \(x\le11\)، فإن \[ x^2-10x-22=(x-11)(x+1)-11\le-11<0, \] وهذا يناقض المتباينة الأولى. ومن ثم \(x\ge12\).
إذا كان \(x\ge13\)، فإن \[ (x^2-10x-22)-x=x(x-11)-22 \ge13\cdot2-22=4>0, \] وهذا يناقض المتباينة الثانية. ومن ثم \(x\le12\).
إذن \(x=12\) هو الحل الممكن الوحيد. وهو يحقق المعادلة فعلًا، لأن \[ P(12)=1\cdot2=2=12^2-10\cdot12-22. \]
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).