IMO 1969 · Problem 1
Prove that there are infinitely many natural numbers \(a\) with the following property: the number \(z = n^4 + a\) is not prime for any natural number \(n\).
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Solution
For each integer \(m\ge 2\), choose \(a=4m^4\). For every natural number \(n\), we have \[ \begin{aligned} n^4+a &=n^4+4m^4\\ &=(n^2+2m^2)^2-(2mn)^2\\ &=(n^2-2mn+2m^2)(n^2+2mn+2m^2)\\ &=\bigl((n-m)^2+m^2\bigr)\bigl((n+m)^2+m^2\bigr). \end{aligned} \] Both factors are integers at least \(m^2\ge4\), so \(n^4+a\) is composite. This also covers \(n=0\), if zero is included among the natural numbers.
The values \(4m^4\) strictly increase as \(m\) ranges over the integers \(m\ge2\). Thus infinitely many natural numbers \(a\) have the required property.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1969 · Aufgabe 1
Man beweise, dass es unendlich viele natürliche Zahlen \(a\) mit folgender Eigenschaft gibt: Die Zahl \(z = n^4 + a\) ist für keine natürliche Zahl \(n\) eine Primzahl.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Lösung
Für jede ganze Zahl \(m\ge 2\) wählen wir \(a=4m^4\). Für jede natürliche Zahl \(n\) gilt \[ \begin{aligned} n^4+a &=n^4+4m^4\\ &=(n^2+2m^2)^2-(2mn)^2\\ &=(n^2-2mn+2m^2)(n^2+2mn+2m^2)\\ &=\bigl((n-m)^2+m^2\bigr)\bigl((n+m)^2+m^2\bigr). \end{aligned} \] Beide Faktoren sind ganze Zahlen, die mindestens \(m^2\ge4\) betragen, also ist \(n^4+a\) zusammengesetzt. Dies schließt auch \(n=0\) ein, falls die Null zu den natürlichen Zahlen gezählt wird.
Die Werte \(4m^4\) wachsen streng monoton, wenn \(m\) die ganzen Zahlen \(m\ge2\) durchläuft. Somit haben unendlich viele natürliche Zahlen \(a\) die geforderte Eigenschaft.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1969 · Soru 1
Şu özelliğe sahip sonsuz sayıda \(a\) doğal sayısı bulunduğunu kanıtlayınız: hiçbir \(n\) doğal sayısı için \(z = n^4 + a\) sayısı asal değildir.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Çözüm
Her \(m\ge 2\) tam sayısı için \(a=4m^4\) seçelim. Her \(n\) doğal sayısı için \[ \begin{aligned} n^4+a &=n^4+4m^4\\ &=(n^2+2m^2)^2-(2mn)^2\\ &=(n^2-2mn+2m^2)(n^2+2mn+2m^2)\\ &=\bigl((n-m)^2+m^2\bigr)\bigl((n+m)^2+m^2\bigr). \end{aligned} \] Her iki çarpan da en az \(m^2\ge4\) olan tam sayılardır; dolayısıyla \(n^4+a\) bileşik sayıdır. Sıfır doğal sayılara dahil edilirse, bu sonuç \(n=0\) durumunu da kapsar.
\(m\), \(m\ge2\) tam sayıları üzerinde değişirken \(4m^4\) değerleri kesin olarak artar. Böylece istenen özelliğe sahip sonsuz sayıda \(a\) doğal sayısı vardır.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1969 · Problema 1
Demuestre que existen infinitos números naturales \(a\) con la siguiente propiedad: el número \(z = n^4 + a\) no es primo para ningún número natural \(n\).
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Solución
Para cada entero \(m\ge 2\), elegimos \(a=4m^4\). Para todo número natural \(n\), tenemos \[ \begin{aligned} n^4+a &=n^4+4m^4\\ &=(n^2+2m^2)^2-(2mn)^2\\ &=(n^2-2mn+2m^2)(n^2+2mn+2m^2)\\ &=\bigl((n-m)^2+m^2\bigr)\bigl((n+m)^2+m^2\bigr). \end{aligned} \] Ambos factores son enteros mayores o iguales que \(m^2\ge4\), por lo que \(n^4+a\) es compuesto. Esto también incluye \(n=0\), si se considera el cero como número natural.
Los valores \(4m^4\) aumentan estrictamente al recorrer \(m\) los enteros \(m\ge2\). Por tanto, existen infinitos números naturales \(a\) con la propiedad requerida.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1969 · 问题 1
证明：存在无穷多个自然数 \(a\)，具有如下性质：对于任意自然数 \(n\)，数 \(z = n^4 + a\) 都不是素数。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
解答
对于每个整数 \(m\ge 2\)，取 \(a=4m^4\)。对于任意自然数 \(n\)，有 \[ \begin{aligned} n^4+a &=n^4+4m^4\\ &=(n^2+2m^2)^2-(2mn)^2\\ &=(n^2-2mn+2m^2)(n^2+2mn+2m^2)\\ &=\bigl((n-m)^2+m^2\bigr)\bigl((n+m)^2+m^2\bigr). \end{aligned} \] 两个因子都是不小于 \(m^2\ge4\) 的整数，因此 \(n^4+a\) 是合数。如果自然数包括零，上述论证也涵盖 \(n=0\) 的情形。
当 \(m\) 遍历整数 \(m\ge2\) 时，\(4m^4\) 的值严格递增。因此，存在无穷多个自然数 \(a\) 具有所要求的性质。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1969 · Задача 1
Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел \(a\), обладающих следующим свойством: число \(z = n^4 + a\) не является простым ни при каком натуральном числе \(n\).
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Решение
Для каждого целого \(m\ge 2\) выберем \(a=4m^4\). Для любого натурального числа \(n\) имеем \[ \begin{aligned} n^4+a &=n^4+4m^4\\ &=(n^2+2m^2)^2-(2mn)^2\\ &=(n^2-2mn+2m^2)(n^2+2mn+2m^2)\\ &=\bigl((n-m)^2+m^2\bigr)\bigl((n+m)^2+m^2\bigr). \end{aligned} \] Оба множителя — целые числа, не меньшие \(m^2\ge4\), поэтому \(n^4+a\) — составное число. Это рассуждение охватывает и случай \(n=0\), если нуль включается в число натуральных чисел.
Значения \(4m^4\) строго возрастают, когда \(m\) пробегает целые числа \(m\ge2\). Таким образом, бесконечно много натуральных чисел \(a\) обладают требуемым свойством.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1969 · المسألة 1
أثبت أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الطبيعية \(a\) التي تتمتع بالخاصية الآتية: العدد \(z = n^4 + a\) ليس أوليًا لأي عدد طبيعي \(n\).
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الحل
لكل عدد صحيح \(m\ge 2\)، نختار \(a=4m^4\). ولكل عدد طبيعي \(n\)، لدينا \[ \begin{aligned} n^4+a &=n^4+4m^4\\ &=(n^2+2m^2)^2-(2mn)^2\\ &=(n^2-2mn+2m^2)(n^2+2mn+2m^2)\\ &=\bigl((n-m)^2+m^2\bigr)\bigl((n+m)^2+m^2\bigr). \end{aligned} \] كلا العاملين عدد صحيح لا يقل عن \(m^2\ge4\)، ولذلك فإن \(n^4+a\) عدد مركب. ويشمل هذا أيضًا الحالة \(n=0\)، إذا كان الصفر معدودًا ضمن الأعداد الطبيعية.
تزداد القيم \(4m^4\) تزايدًا تامًا عندما يأخذ \(m\) القيم الصحيحة \(m\ge2\). ومن ثم يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الطبيعية \(a\) التي تتمتع بالخاصية المطلوبة.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).