IMO 1970 · Problem 4
Find the set of all positive integers \(n\) with the property that the set \(\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}\) can be partitioned into two sets such that the product of the numbers in one set equals the product of the numbers in the other set.
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
\[ \boxed{\varnothing} \]
Solution
Suppose such a partition exists.
If \(n=1\), exactly one of the six numbers is divisible by \(5\). Thus exactly one of the two products is divisible by \(5\), a contradiction. Hence \(n\ge2\).
First, each set must contain exactly three numbers. Otherwise, one contains at most two numbers and the other at least four. Their products are respectively at most \((n+4)(n+5)\) and at least \(n(n+1)(n+2)(n+3)\). But \[ n(n+1)\ge n+4,\qquad (n+2)(n+3)>n+5, \] so the latter product is strictly larger.
Next, \(n\) and \(n+5\) must belong to the same set. Indeed, if they belonged to different sets, the product in the set containing \(n\) would be at most \[ n(n+3)(n+4), \] whereas the other product would be at least \[ (n+1)(n+2)(n+5). \] The first bound is strictly smaller than the second, since \[ n(n+3)<(n+1)(n+2),\qquad n+4<n+5. \]
Consequently, one set is \[ \{n,n+k,n+5\},\qquad k\in\{1,2,3,4\}. \] We consider all four possibilities.
-
If \(k=1\) or \(k=2\), its product is at most \(n(n+2)(n+5)\), while the complementary product is at least \((n+1)(n+3)(n+4)\). However, \[ n(n+5)<(n+1)(n+4),\qquad n+2<n+3, \] so these products cannot be equal.
-
If \(k=4\), equality would require \[ n(n+4)(n+5)=(n+1)(n+2)(n+3). \] But \[ n(n+5)-(n+1)(n+2)=2(n-1)>0 \] and \(n+4>n+3\), so the left-hand side is strictly larger.
-
If \(k=3\), equality becomes \[ n(n+3)(n+5)=(n+1)(n+2)(n+4). \] Expanding and cancelling gives \[ n(n+1)=8. \] This is impossible: for \(n=2\) the left-hand side is \(6\), and for \(n\ge3\) it is at least \(12\).
All possibilities lead to a contradiction. Therefore no positive integer \(n\) has the required property.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1970 · Aufgabe 4
Man bestimme die Menge aller positiven ganzen Zahlen \(n\) mit der Eigenschaft, dass sich die Menge \(\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}\) in zwei Mengen zerlegen lässt, sodass das Produkt der Zahlen in der einen Menge gleich dem Produkt der Zahlen in der anderen Menge ist.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
\[ \boxed{\varnothing} \]
Lösung
Angenommen, eine solche Zerlegung existiert.
Ist \(n=1\), so ist genau eine der sechs Zahlen durch \(5\) teilbar. Somit ist genau eines der beiden Produkte durch \(5\) teilbar, ein Widerspruch. Also gilt \(n\ge2\).
Zunächst muss jede Menge genau drei Zahlen enthalten. Andernfalls enthält die eine höchstens zwei Zahlen und die andere mindestens vier. Ihre Produkte sind dann höchstens \((n+4)(n+5)\) beziehungsweise mindestens \(n(n+1)(n+2)(n+3)\). Es gilt jedoch \[ n(n+1)\ge n+4,\qquad (n+2)(n+3)>n+5, \] sodass das letztere Produkt echt größer ist.
Weiter müssen \(n\) und \(n+5\) derselben Menge angehören. Würden sie nämlich verschiedenen Mengen angehören, so wäre das Produkt in der Menge, die \(n\) enthält, höchstens \[ n(n+3)(n+4), \] während das andere Produkt mindestens \[ (n+1)(n+2)(n+5) \] wäre. Die erste Schranke ist echt kleiner als die zweite, denn \[ n(n+3)<(n+1)(n+2),\qquad n+4<n+5. \]
Folglich ist eine der Mengen \[ \{n,n+k,n+5\},\qquad k\in\{1,2,3,4\}. \] Wir betrachten alle vier Möglichkeiten.
-
Ist \(k=1\) oder \(k=2\), so ist ihr Produkt höchstens \(n(n+2)(n+5)\), während das Produkt der Zahlen in der anderen Menge mindestens \((n+1)(n+3)(n+4)\) ist. Es gilt jedoch \[ n(n+5)<(n+1)(n+4),\qquad n+2<n+3, \] sodass diese Produkte nicht gleich sein können.
-
Ist \(k=4\), so würde die Gleichheit \[ n(n+4)(n+5)=(n+1)(n+2)(n+3) \] erfordern. Es gilt aber \[ n(n+5)-(n+1)(n+2)=2(n-1)>0 \] und \(n+4>n+3\), sodass die linke Seite echt größer ist.
-
Ist \(k=3\), so lautet die Gleichheit \[ n(n+3)(n+5)=(n+1)(n+2)(n+4). \] Ausmultiplizieren und Kürzen ergibt \[ n(n+1)=8. \] Dies ist unmöglich: Für \(n=2\) ist die linke Seite gleich \(6\), und für \(n\ge3\) beträgt sie mindestens \(12\).
Alle Möglichkeiten führen zu einem Widerspruch. Daher besitzt keine positive ganze Zahl \(n\) die geforderte Eigenschaft.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1970 · Soru 4
\(\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}\) kümesinin, birindeki sayıların çarpımı diğerindeki sayıların çarpımına eşit olacak şekilde iki kümeye ayrılabilmesini sağlayan tüm pozitif \(n\) tam sayılarının kümesini bulunuz.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\[ \boxed{\varnothing} \]
Çözüm
Böyle bir ayrımın var olduğunu varsayalım.
\(n=1\) ise altı sayıdan tam olarak biri \(5\)'e bölünür. Dolayısıyla iki çarpımdan tam olarak biri \(5\)'e bölünür; bu bir çelişkidir. O hâlde \(n\ge2\).
Öncelikle, her küme tam olarak üç sayı içermelidir. Aksi hâlde, kümelerden biri en fazla iki, diğeri ise en az dört sayı içerir. Bunların çarpımları sırasıyla en fazla \((n+4)(n+5)\) ve en az \(n(n+1)(n+2)(n+3)\) olur. Ancak \[ n(n+1)\ge n+4,\qquad (n+2)(n+3)>n+5, \] olduğundan, ikinci çarpım kesin olarak daha büyüktür.
Şimdi, \(n\) ve \(n+5\) aynı kümeye ait olmalıdır. Gerçekten, farklı kümelere ait olsalardı, \(n\)'yi içeren kümedeki sayıların çarpımı en fazla \[ n(n+3)(n+4), \] olurken, diğer çarpım en az \[ (n+1)(n+2)(n+5) \] olurdu. Birinci sınır ikincisinden kesin olarak küçüktür, çünkü \[ n(n+3)<(n+1)(n+2),\qquad n+4<n+5. \]
Dolayısıyla kümelerden biri \[ \{n,n+k,n+5\},\qquad k\in\{1,2,3,4\} \] biçimindedir. Dört olasılığın tümünü ele alalım.
-
\(k=1\) veya \(k=2\) ise bu kümedeki sayıların çarpımı en fazla \(n(n+2)(n+5)\), diğer kümedeki sayıların çarpımı ise en az \((n+1)(n+3)(n+4)\) olur. Ancak \[ n(n+5)<(n+1)(n+4),\qquad n+2<n+3, \] olduğundan, bu çarpımlar eşit olamaz.
-
\(k=4\) ise eşitlik için \[ n(n+4)(n+5)=(n+1)(n+2)(n+3) \] olması gerekir. Ancak \[ n(n+5)-(n+1)(n+2)=2(n-1)>0 \] ve \(n+4>n+3\) olduğundan, sol taraf kesin olarak daha büyüktür.
-
\(k=3\) ise eşitlik \[ n(n+3)(n+5)=(n+1)(n+2)(n+4) \] hâline gelir. Açıp ortak terimleri sadeleştirince \[ n(n+1)=8 \] elde edilir. Bu mümkün değildir: \(n=2\) için sol taraf \(6\), \(n\ge3\) için ise en az \(12\)'dir.
Tüm olasılıklar bir çelişkiye yol açar. Bu nedenle, istenen özelliğe sahip hiçbir pozitif \(n\) tam sayısı yoktur.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1970 · Problema 4
Hallar el conjunto de todos los enteros positivos \(n\) con la propiedad de que el conjunto \(\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}\) se pueda dividir en dos conjuntos de modo que el producto de los números de uno de ellos sea igual al producto de los números del otro.
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
\[ \boxed{\varnothing} \]
Solución
Supongamos que existe tal partición.
Si \(n=1\), exactamente uno de los seis números es divisible por \(5\). Por tanto, exactamente uno de los dos productos es divisible por \(5\), lo que es una contradicción. Así pues, \(n\ge2\).
En primer lugar, cada conjunto debe contener exactamente tres números. De lo contrario, uno contiene a lo sumo dos números y el otro al menos cuatro. Sus productos son, respectivamente, a lo sumo \((n+4)(n+5)\) y al menos \(n(n+1)(n+2)(n+3)\). Pero \[ n(n+1)\ge n+4,\qquad (n+2)(n+3)>n+5, \] por lo que el segundo producto es estrictamente mayor.
A continuación, \(n\) y \(n+5\) deben pertenecer al mismo conjunto. En efecto, si pertenecieran a conjuntos distintos, el producto del conjunto que contiene a \(n\) sería a lo sumo \[ n(n+3)(n+4), \] mientras que el otro producto sería al menos \[ (n+1)(n+2)(n+5). \] La primera cota es estrictamente menor que la segunda, ya que \[ n(n+3)<(n+1)(n+2),\qquad n+4<n+5. \]
En consecuencia, uno de los conjuntos es \[ \{n,n+k,n+5\},\qquad k\in\{1,2,3,4\}. \] Consideramos las cuatro posibilidades.
-
Si \(k=1\) o \(k=2\), su producto es a lo sumo \(n(n+2)(n+5)\), mientras que el producto del conjunto complementario es al menos \((n+1)(n+3)(n+4)\). Sin embargo, \[ n(n+5)<(n+1)(n+4),\qquad n+2<n+3, \] por lo que estos productos no pueden ser iguales.
-
Si \(k=4\), la igualdad exigiría \[ n(n+4)(n+5)=(n+1)(n+2)(n+3). \] Pero \[ n(n+5)-(n+1)(n+2)=2(n-1)>0 \] y \(n+4>n+3\), por lo que el miembro izquierdo es estrictamente mayor.
-
Si \(k=3\), la igualdad se convierte en \[ n(n+3)(n+5)=(n+1)(n+2)(n+4). \] Al desarrollar y simplificar obtenemos \[ n(n+1)=8. \] Esto es imposible: para \(n=2\), el miembro izquierdo es \(6\), y para \(n\ge3\) es al menos \(12\).
Todas las posibilidades conducen a una contradicción. Por tanto, ningún entero positivo \(n\) tiene la propiedad requerida.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1970 · 问题 4
求所有具有下述性质的正整数 \(n\) 所组成的集合：集合 \(\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}\) 可以划分为两个集合，使得一个集合中各数的乘积等于另一个集合中各数的乘积。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
\[ \boxed{\varnothing} \]
解答
假设存在这样的划分。
若 \(n=1\)，则这六个数中恰有一个能被 \(5\) 整除。因此，两个乘积中恰有一个能被 \(5\) 整除，矛盾。故 \(n\ge2\)。
首先，每个集合必须恰好包含三个数。否则，一个集合至多包含两个数，而另一个至少包含四个数。它们的乘积分别至多为 \((n+4)(n+5)\) 和至少为 \(n(n+1)(n+2)(n+3)\)。但是 \[ n(n+1)\ge n+4,\qquad (n+2)(n+3)>n+5, \] 因此后一个乘积严格大于前一个。
其次，\(n\) 和 \(n+5\) 必须属于同一个集合。事实上，若它们属于不同的集合，则包含 \(n\) 的集合中各数的乘积至多为 \[ n(n+3)(n+4), \] 而另一个乘积至少为 \[ (n+1)(n+2)(n+5). \] 前一个界严格小于后一个界，因为 \[ n(n+3)<(n+1)(n+2),\qquad n+4<n+5. \]
因此，其中一个集合为 \[ \{n,n+k,n+5\},\qquad k\in\{1,2,3,4\}. \] 我们考察全部四种可能。
-
若 \(k=1\) 或 \(k=2\)，则其各数的乘积至多为 \(n(n+2)(n+5)\)，而补集中各数的乘积至少为 \((n+1)(n+3)(n+4)\)。然而， \[ n(n+5)<(n+1)(n+4),\qquad n+2<n+3, \] 因此这两个乘积不可能相等。
-
若 \(k=4\)，则两乘积相等要求 \[ n(n+4)(n+5)=(n+1)(n+2)(n+3). \] 但是 \[ n(n+5)-(n+1)(n+2)=2(n-1)>0 \] 且 \(n+4>n+3\)，因此左边严格大于右边。
-
若 \(k=3\)，则等式变为 \[ n(n+3)(n+5)=(n+1)(n+2)(n+4). \] 展开并消去相同项，得到 \[ n(n+1)=8. \] 这是不可能的：当 \(n=2\) 时，左边为 \(6\)；当 \(n\ge3\) 时，左边至少为 \(12\)。
所有可能均导致矛盾。因此，不存在具有所需性质的正整数 \(n\)。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1970 · Задача 4
Найдите множество всех положительных целых чисел \(n\), для которых множество \(\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}\) можно разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного множества равнялось произведению чисел другого множества.
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
\[ \boxed{\varnothing} \]
Решение
Предположим, что такое разбиение существует.
Если \(n=1\), ровно одно из шести чисел делится на \(5\). Поэтому ровно одно из двух произведений делится на \(5\), что приводит к противоречию. Следовательно, \(n\ge2\).
Сначала заметим, что каждое множество должно содержать ровно три числа. В противном случае одно из них содержит не более двух чисел, а другое — не менее четырёх. Произведение чисел первого множества не превосходит \((n+4)(n+5)\), а произведение чисел второго не меньше \(n(n+1)(n+2)(n+3)\). Но \[ n(n+1)\ge n+4,\qquad (n+2)(n+3)>n+5, \] поэтому второе произведение строго больше первого.
Далее, \(n\) и \(n+5\) должны принадлежать одному множеству. Действительно, если бы они принадлежали разным множествам, произведение чисел множества, содержащего \(n\), не превосходило бы \[ n(n+3)(n+4), \] тогда как другое произведение было бы не меньше \[ (n+1)(n+2)(n+5). \] Первая граница строго меньше второй, поскольку \[ n(n+3)<(n+1)(n+2),\qquad n+4<n+5. \]
Следовательно, одно из множеств имеет вид \[ \{n,n+k,n+5\},\qquad k\in\{1,2,3,4\}. \] Рассмотрим все четыре возможности.
-
Если \(k=1\) или \(k=2\), произведение его чисел не превосходит \(n(n+2)(n+5)\), тогда как произведение чисел дополнительного множества не меньше \((n+1)(n+3)(n+4)\). Однако \[ n(n+5)<(n+1)(n+4),\qquad n+2<n+3, \] поэтому эти произведения не могут быть равны.
-
Если \(k=4\), равенство произведений означало бы, что \[ n(n+4)(n+5)=(n+1)(n+2)(n+3). \] Но \[ n(n+5)-(n+1)(n+2)=2(n-1)>0 \] и \(n+4>n+3\), поэтому левая часть строго больше правой.
-
Если \(k=3\), равенство принимает вид \[ n(n+3)(n+5)=(n+1)(n+2)(n+4). \] Раскрывая скобки и сокращая одинаковые слагаемые, получаем \[ n(n+1)=8. \] Это невозможно: при \(n=2\) левая часть равна \(6\), а при \(n\ge3\) она не меньше \(12\).
Все возможности приводят к противоречию. Следовательно, ни одно положительное целое число \(n\) не обладает требуемым свойством.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1970 · المسألة 4
أوجد مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الموجبة \(n\) التي يمكن من أجلها تقسيم المجموعة \(\{n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5\}\) إلى مجموعتين بحيث يساوي حاصل ضرب الأعداد في إحداهما حاصل ضرب الأعداد في الأخرى.
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
\[ \boxed{\varnothing} \]
الحل
افترض وجود مثل هذا التقسيم.
إذا كان \(n=1\)، فإن عددًا واحدًا بالضبط من الأعداد الستة يقبل القسمة على \(5\). ومن ثم فإن حاصل ضرب واحدًا بالضبط من حاصلي الضرب يقبل القسمة على \(5\)، وهذا تناقض. لذا \(n\ge2\).
أولًا، يجب أن تحتوي كل مجموعة على ثلاثة أعداد بالضبط. وإلا لاحتوت إحداهما على عددين على الأكثر، والأخرى على أربعة أعداد على الأقل. وعندئذ يكون حاصل ضرب أعداد الأولى على الأكثر \((n+4)(n+5)\)، وحاصل ضرب أعداد الثانية على الأقل \(n(n+1)(n+2)(n+3)\). لكن \[ n(n+1)\ge n+4,\qquad (n+2)(n+3)>n+5, \] فيكون حاصل الضرب الثاني أكبر تمامًا.
بعد ذلك، يجب أن ينتمي \(n\) و\(n+5\) إلى المجموعة نفسها. بالفعل، لو انتميا إلى مجموعتين مختلفتين، لكان حاصل ضرب أعداد المجموعة التي تحتوي على \(n\) على الأكثر \[ n(n+3)(n+4), \] بينما يكون حاصل الضرب الآخر على الأقل \[ (n+1)(n+2)(n+5). \] والحد الأول أصغر تمامًا من الثاني، لأن \[ n(n+3)<(n+1)(n+2),\qquad n+4<n+5. \]
وبالتالي، فإن إحدى المجموعتين هي \[ \{n,n+k,n+5\},\qquad k\in\{1,2,3,4\}. \] ندرس الاحتمالات الأربعة جميعها.
-
إذا كان \(k=1\) أو \(k=2\)، فإن حاصل ضرب أعدادها لا يتجاوز \(n(n+2)(n+5)\)، بينما لا يقل حاصل ضرب أعداد المجموعة المتممة عن \((n+1)(n+3)(n+4)\). لكن \[ n(n+5)<(n+1)(n+4),\qquad n+2<n+3, \] لذا لا يمكن أن يتساوى حاصلا الضرب هذان.
-
إذا كان \(k=4\)، فإن المساواة تستلزم \[ n(n+4)(n+5)=(n+1)(n+2)(n+3). \] لكن \[ n(n+5)-(n+1)(n+2)=2(n-1)>0 \] و\(n+4>n+3\)، فيكون الطرف الأيسر أكبر تمامًا.
-
إذا كان \(k=3\)، تصبح المساواة \[ n(n+3)(n+5)=(n+1)(n+2)(n+4). \] وبالتوسيع وحذف الحدود المشتركة نحصل على \[ n(n+1)=8. \] وهذا مستحيل: فعند \(n=2\) يكون الطرف الأيسر \(6\)، وعندما \(n\ge3\) يكون على الأقل \(12\).
تؤدي جميع الاحتمالات إلى تناقض. إذن لا يوجد عدد صحيح موجب \(n\) له الخاصية المطلوبة.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).