IMO 1970 · Problem 3
The real numbers \(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\) satisfy the condition: \[ 1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots. \] The numbers \(b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots\) are defined by \[ b_n=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}. \] (a) Prove that \(0\le b_n<2\) for all \(n\).
(b) Given \(c\) with \(0\le c<2\), prove that there exist numbers \(a_0,a_1,\ldots\) with the above properties such that \(b_n>c\) for large enough \(n\).
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Solution
(a) Put \(x_k=1/\sqrt{a_k}\). Then \[ 1=x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots>0. \] For every \(k\ge1\), we have \[ \begin{aligned} \left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}} &=x_k\left(1-\frac{x_k^2}{x_{k-1}^2}\right)\\ &=(x_{k-1}-x_k)\frac{x_k}{x_{k-1}} \left(1+\frac{x_k}{x_{k-1}}\right). \end{aligned} \] Since \(0<x_k/x_{k-1}\le1\), this expression is nonnegative and at most \(2(x_{k-1}-x_k)\). Summing gives \[ 0\le b_n\le2\sum_{k=1}^{n}(x_{k-1}-x_k) =2(1-x_n)<2, \] where the strict inequality follows from \(x_n>0\). This also covers any equal consecutive terms of the sequence.
(b) Fix \(0\le c<2\), and set \[ r=\frac{c+1}{3}. \] Then \(0<r<1\), and \[ r(1+r)-c=\frac{(2-c)^2}{9}>0. \] Define \[ a_k=r^{-2k}\qquad(k=0,1,2,\ldots). \] Thus \(a_0=1\) and \(a_{k+1}>a_k\), so the required conditions hold. Moreover, \[ \frac{a_{k-1}}{a_k}=r^2, \qquad \frac1{\sqrt{a_k}}=r^k. \] Consequently, the finite geometric sum yields \[ b_n=(1-r^2)\sum_{k=1}^{n}r^k =r(1+r)(1-r^n). \] As \(0<r<1\), we have \(r^n\to0\), and hence \[ b_n\longrightarrow r(1+r)>c. \] Therefore \(b_n>c\) for all sufficiently large \(n\), as required.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1970 · Aufgabe 3
Die reellen Zahlen \(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\) erfüllen die Bedingung: \[ 1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots. \] Die Zahlen \(b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots\) sind definiert durch \[ b_n=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}. \] (a) Man beweise, dass \(0\le b_n<2\) für alle \(n\) gilt.
(b) Für gegebenes \(c\) mit \(0\le c<2\) beweise man, dass es Zahlen \(a_0,a_1,\ldots\) mit den obigen Eigenschaften gibt, sodass \(b_n>c\) für hinreichend große \(n\) gilt.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Lösung
(a) Wir setzen \(x_k=1/\sqrt{a_k}\). Dann gilt \[ 1=x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots>0. \] Für jedes \(k\ge1\) gilt \[ \begin{aligned} \left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}} &=x_k\left(1-\frac{x_k^2}{x_{k-1}^2}\right)\\ &=(x_{k-1}-x_k)\frac{x_k}{x_{k-1}} \left(1+\frac{x_k}{x_{k-1}}\right). \end{aligned} \] Wegen \(0<x_k/x_{k-1}\le1\) ist dieser Ausdruck nichtnegativ und höchstens \(2(x_{k-1}-x_k)\). Durch Summation erhalten wir \[ 0\le b_n\le2\sum_{k=1}^{n}(x_{k-1}-x_k) =2(1-x_n)<2, \] wobei die strikte Ungleichung aus \(x_n>0\) folgt. Dies schließt auch den Fall ein, dass aufeinanderfolgende Glieder der Folge gleich sind.
(b) Wir wählen ein festes \(0\le c<2\) und setzen \[ r=\frac{c+1}{3}. \] Dann gilt \(0<r<1\), und \[ r(1+r)-c=\frac{(2-c)^2}{9}>0. \] Wir definieren \[ a_k=r^{-2k}\qquad(k=0,1,2,\ldots). \] Damit gelten \(a_0=1\) und \(a_{k+1}>a_k\), sodass die geforderten Bedingungen erfüllt sind. Außerdem ist \[ \frac{a_{k-1}}{a_k}=r^2, \qquad \frac1{\sqrt{a_k}}=r^k. \] Folglich ergibt die endliche geometrische Summe \[ b_n=(1-r^2)\sum_{k=1}^{n}r^k =r(1+r)(1-r^n). \] Wegen \(0<r<1\) gilt \(r^n\to0\), und somit \[ b_n\longrightarrow r(1+r)>c. \] Daher gilt \(b_n>c\) für alle hinreichend großen \(n\), wie gefordert.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1970 · Soru 3
\(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\) gerçel sayıları şu koşulu sağlamaktadır: \[ 1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots. \] \(b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots\) sayıları \[ b_n=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}} \] ile tanımlanıyor. (a) Her \(n\) için \(0\le b_n<2\) olduğunu kanıtlayınız.
(b) \(0\le c<2\) koşulunu sağlayan bir \(c\) verildiğinde, yukarıdaki özelliklere sahip ve yeterince büyük \(n\) için \(b_n>c\) olacak şekilde \(a_0,a_1,\ldots\) sayılarının var olduğunu kanıtlayınız.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Çözüm
(a) \(x_k=1/\sqrt{a_k}\) olsun. O hâlde \[ 1=x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots>0. \] Her \(k\ge1\) için \[ \begin{aligned} \left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}} &=x_k\left(1-\frac{x_k^2}{x_{k-1}^2}\right)\\ &=(x_{k-1}-x_k)\frac{x_k}{x_{k-1}} \left(1+\frac{x_k}{x_{k-1}}\right) \end{aligned} \] eşitliği geçerlidir. \(0<x_k/x_{k-1}\le1\) olduğundan, bu ifade negatif değildir ve en fazla \(2(x_{k-1}-x_k)\)'dır. Toplayınca \[ 0\le b_n\le2\sum_{k=1}^{n}(x_{k-1}-x_k) =2(1-x_n)<2, \] elde edilir; buradaki kesin eşitsizlik \(x_n>0\) olmasından gelir. Bu kanıt, dizinin ardışık terimlerinin eşit olduğu durumları da kapsar.
(b) \(0\le c<2\) olacak şekilde sabitleyelim ve \[ r=\frac{c+1}{3} \] olsun. O hâlde \(0<r<1\) ve \[ r(1+r)-c=\frac{(2-c)^2}{9}>0. \] Şöyle tanımlayalım: \[ a_k=r^{-2k}\qquad(k=0,1,2,\ldots). \] Böylece \(a_0=1\) ve \(a_{k+1}>a_k\) olduğundan, istenen koşullar sağlanır. Ayrıca, \[ \frac{a_{k-1}}{a_k}=r^2, \qquad \frac1{\sqrt{a_k}}=r^k. \] Dolayısıyla sonlu geometrik toplam formülünden \[ b_n=(1-r^2)\sum_{k=1}^{n}r^k =r(1+r)(1-r^n) \] elde edilir. \(0<r<1\) olduğundan, \(r^n\to0\) ve dolayısıyla \[ b_n\longrightarrow r(1+r)>c. \] Bu nedenle, istendiği gibi, yeterince büyük tüm \(n\) değerleri için \(b_n>c\) olur.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1970 · Problema 3
Los números reales \(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\) satisfacen la condición: \[ 1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots. \] Los números \(b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots\) se definen mediante \[ b_n=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}. \] (a) Demostrar que \(0\le b_n<2\) para todo \(n\).
(b) Dado \(c\) con \(0\le c<2\), demostrar que existen números \(a_0,a_1,\ldots\) con las propiedades anteriores tales que \(b_n>c\) para \(n\) suficientemente grande.
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Solución
(a) Pongamos \(x_k=1/\sqrt{a_k}\). Entonces \[ 1=x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots>0. \] Para todo \(k\ge1\), tenemos \[ \begin{aligned} \left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}} &=x_k\left(1-\frac{x_k^2}{x_{k-1}^2}\right)\\ &=(x_{k-1}-x_k)\frac{x_k}{x_{k-1}} \left(1+\frac{x_k}{x_{k-1}}\right). \end{aligned} \] Como \(0<x_k/x_{k-1}\le1\), esta expresión es no negativa y a lo sumo \(2(x_{k-1}-x_k)\). Sumando obtenemos \[ 0\le b_n\le2\sum_{k=1}^{n}(x_{k-1}-x_k) =2(1-x_n)<2, \] donde la desigualdad estricta se deduce de \(x_n>0\). Esto también abarca el caso de términos consecutivos iguales en la sucesión.
(b) Fijemos \(0\le c<2\), y pongamos \[ r=\frac{c+1}{3}. \] Entonces \(0<r<1\), y \[ r(1+r)-c=\frac{(2-c)^2}{9}>0. \] Definimos \[ a_k=r^{-2k}\qquad(k=0,1,2,\ldots). \] Así, \(a_0=1\) y \(a_{k+1}>a_k\), por lo que se cumplen las condiciones requeridas. Además, \[ \frac{a_{k-1}}{a_k}=r^2, \qquad \frac1{\sqrt{a_k}}=r^k. \] En consecuencia, la suma geométrica finita da \[ b_n=(1-r^2)\sum_{k=1}^{n}r^k =r(1+r)(1-r^n). \] Como \(0<r<1\), tenemos \(r^n\to0\), y por tanto \[ b_n\longrightarrow r(1+r)>c. \] Por consiguiente, \(b_n>c\) para todo \(n\) suficientemente grande, como se quería demostrar.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1970 · 问题 3
实数 \(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\) 满足条件： \[ 1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots. \] 数 \(b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots\) 定义为 \[ b_n=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}. \] (a) 证明：对所有 \(n\)，都有 \(0\le b_n<2\)。
(b) 给定满足 \(0\le c<2\) 的 \(c\)，证明存在具有上述性质的数 \(a_0,a_1,\ldots\)，使得当 \(n\) 充分大时，\(b_n>c\)。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
解答
(a) 令 \(x_k=1/\sqrt{a_k}\)。则 \[ 1=x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots>0. \] 对于每个 \(k\ge1\)，有 \[ \begin{aligned} \left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}} &=x_k\left(1-\frac{x_k^2}{x_{k-1}^2}\right)\\ &=(x_{k-1}-x_k)\frac{x_k}{x_{k-1}} \left(1+\frac{x_k}{x_{k-1}}\right). \end{aligned} \] 由于 \(0<x_k/x_{k-1}\le1\)，此式非负且不超过 \(2(x_{k-1}-x_k)\)。求和可得 \[ 0\le b_n\le2\sum_{k=1}^{n}(x_{k-1}-x_k) =2(1-x_n)<2, \] 其中严格不等式由 \(x_n>0\) 得到。这也涵盖了数列中相邻项相等的情形。
(b) 固定 \(0\le c<2\)，并令 \[ r=\frac{c+1}{3}. \] 则 \(0<r<1\)，且 \[ r(1+r)-c=\frac{(2-c)^2}{9}>0. \] 定义 \[ a_k=r^{-2k}\qquad(k=0,1,2,\ldots). \] 于是 \(a_0=1\) 且 \(a_{k+1}>a_k\)，故所需条件成立。此外， \[ \frac{a_{k-1}}{a_k}=r^2, \qquad \frac1{\sqrt{a_k}}=r^k. \] 因此，由有限等比数列的求和公式可得 \[ b_n=(1-r^2)\sum_{k=1}^{n}r^k =r(1+r)(1-r^n). \] 由于 \(0<r<1\)，有 \(r^n\to0\)，从而 \[ b_n\longrightarrow r(1+r)>c. \] 因此，对所有充分大的 \(n\)，都有 \(b_n>c\)，这正是所要证明的。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1970 · Задача 3
Действительные числа \(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\) удовлетворяют условию: \[ 1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots. \] Числа \(b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots\) определяются равенством \[ b_n=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}. \] (a) Докажите, что \(0\le b_n<2\) для всех \(n\).
(b) Для заданного \(c\), удовлетворяющего условию \(0\le c<2\), докажите, что существуют числа \(a_0,a_1,\ldots\) с указанными выше свойствами, для которых \(b_n>c\) при достаточно больших \(n\).
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Решение
(a) Положим \(x_k=1/\sqrt{a_k}\). Тогда \[ 1=x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots>0. \] Для каждого \(k\ge1\) имеем \[ \begin{aligned} \left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}} &=x_k\left(1-\frac{x_k^2}{x_{k-1}^2}\right)\\ &=(x_{k-1}-x_k)\frac{x_k}{x_{k-1}} \left(1+\frac{x_k}{x_{k-1}}\right). \end{aligned} \] Поскольку \(0<x_k/x_{k-1}\le1\), это выражение неотрицательно и не превосходит \(2(x_{k-1}-x_k)\). Суммируя, получаем \[ 0\le b_n\le2\sum_{k=1}^{n}(x_{k-1}-x_k) =2(1-x_n)<2, \] где строгое неравенство следует из \(x_n>0\). Это рассуждение охватывает и случай равных соседних членов последовательности.
(b) Зафиксируем \(0\le c<2\) и положим \[ r=\frac{c+1}{3}. \] Тогда \(0<r<1\) и \[ r(1+r)-c=\frac{(2-c)^2}{9}>0. \] Определим \[ a_k=r^{-2k}\qquad(k=0,1,2,\ldots). \] Таким образом, \(a_0=1\) и \(a_{k+1}>a_k\), так что требуемые условия выполнены. Кроме того, \[ \frac{a_{k-1}}{a_k}=r^2, \qquad \frac1{\sqrt{a_k}}=r^k. \] Следовательно, по формуле суммы конечной геометрической прогрессии получаем \[ b_n=(1-r^2)\sum_{k=1}^{n}r^k =r(1+r)(1-r^n). \] Поскольку \(0<r<1\), имеем \(r^n\to0\), а значит, \[ b_n\longrightarrow r(1+r)>c. \] Поэтому \(b_n>c\) для всех достаточно больших \(n\), что и требовалось доказать.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1970 · المسألة 3
تحقق الأعداد الحقيقية \(a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots\) الشرط: \[ 1=a_0\le a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le\cdots. \] وتُعرّف الأعداد \(b_1,b_2,\ldots,b_n,\ldots\) بالعلاقة \[ b_n=\sum_{k=1}^{n}\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{\sqrt{a_k}}. \] (أ) أثبت أن \(0\le b_n<2\) لكل \(n\).
(ب) إذا أُعطي \(c\) بحيث \(0\le c<2\)، فأثبت وجود أعداد \(a_0,a_1,\ldots\) تحقق الخواص أعلاه بحيث يكون \(b_n>c\) لكل \(n\) كبير بما يكفي.
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الحل
(أ) ضع \(x_k=1/\sqrt{a_k}\). عندئذ \[ 1=x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots>0. \] لكل \(k\ge1\)، لدينا \[ \begin{aligned} \left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac1{\sqrt{a_k}} &=x_k\left(1-\frac{x_k^2}{x_{k-1}^2}\right)\\ &=(x_{k-1}-x_k)\frac{x_k}{x_{k-1}} \left(1+\frac{x_k}{x_{k-1}}\right). \end{aligned} \] بما أن \(0<x_k/x_{k-1}\le1\)، فإن هذا التعبير غير سالب ولا يتجاوز \(2(x_{k-1}-x_k)\). وبالجمع نحصل على \[ 0\le b_n\le2\sum_{k=1}^{n}(x_{k-1}-x_k) =2(1-x_n)<2, \] حيث تنتج المتباينة الصارمة من \(x_n>0\). ويشمل هذا أيضًا أي حدين متتاليين متساويين في المتتالية.
(ب) ثبّت \(0\le c<2\)، وضع \[ r=\frac{c+1}{3}. \] عندئذ \(0<r<1\)، و \[ r(1+r)-c=\frac{(2-c)^2}{9}>0. \] عرّف \[ a_k=r^{-2k}\qquad(k=0,1,2,\ldots). \] إذن \(a_0=1\) و\(a_{k+1}>a_k\)، فتتحقق الشروط المطلوبة. وعلاوة على ذلك، \[ \frac{a_{k-1}}{a_k}=r^2, \qquad \frac1{\sqrt{a_k}}=r^k. \] وبالتالي، تعطينا صيغة المجموع الهندسي المنتهي \[ b_n=(1-r^2)\sum_{k=1}^{n}r^k =r(1+r)(1-r^n). \] بما أن \(0<r<1\)، فإن \(r^n\to0\)، ومن ثم \[ b_n\longrightarrow r(1+r)>c. \] إذن \(b_n>c\) لكل \(n\) كبير بما يكفي، وهو المطلوب.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).