IMO 1973 · Problem 1
Point \(O\) lies on line \(g\); \(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \ldots, \overrightarrow{OP_n}\) are unit vectors such that points \(P_1, P_2, \ldots, P_n\) all lie in a plane containing \(g\) and on one side of \(g\). Prove that if \(n\) is odd, \[ \left|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}\right|\geq 1 \] Here \(\left|\overrightarrow{OM}\right|\) denotes the length of vector \(\overrightarrow{OM}\).
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Solution
Write \(n=2m+1\). Choose orthonormal coordinates in the given plane with origin \(O\) and horizontal axis \(g\), so that all the points lie in the closed upper half-plane. Relabel the unit vectors as \[ v_i=\overrightarrow{OP_i}=(\cos\theta_i,\sin\theta_i), \qquad 0\leq\theta_1\leq\cdots\leq\theta_{2m+1}\leq\pi. \] Let \(u=v_{m+1}\), the vector with the median angle. We will show that the projection of the sum onto \(u\) is at least \(1\).
For each \(i=1,\ldots,m\), put \[ \alpha_i=\theta_{m+1}-\theta_i, \qquad \beta_i=\theta_{2m+2-i}-\theta_{m+1}. \] Then \(\alpha_i,\beta_i\geq0\) and \[ \alpha_i+\beta_i =\theta_{2m+2-i}-\theta_i\leq\pi. \] Consequently, \[ \begin{aligned} u\cdot(v_i+v_{2m+2-i}) &=\cos\alpha_i+\cos\beta_i\\ &=2\cos\frac{\alpha_i+\beta_i}{2} \cos\frac{\alpha_i-\beta_i}{2} \geq0. \end{aligned} \] Indeed, the first cosine has argument in \([0,\pi/2]\), and the second has argument in \([-\pi/2,\pi/2]\), because \(\lvert\alpha_i-\beta_i\rvert\leq\alpha_i+\beta_i\leq\pi\).
The pairs account for every vector except \(u\). Thus, writing \(S=\sum_{i=1}^{2m+1}v_i\), we obtain \[ u\cdot S =u\cdot u+\sum_{i=1}^{m}u\cdot(v_i+v_{2m+2-i}) \geq1. \] Since \(|u|=1\), the Cauchy–Schwarz inequality gives \[ |S|\geq u\cdot S\geq1, \] as required.
When \(n=1\), the pair sum is empty and the same argument applies. Equal angles and points on \(g\) are also covered by the non-strict inequalities above.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1973 · Aufgabe 1
Der Punkt \(O\) liegt auf der Geraden \(g\); \(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \ldots, \overrightarrow{OP_n}\) sind Einheitsvektoren, wobei die Punkte \(P_1, P_2, \ldots, P_n\) alle in einer Ebene liegen, die \(g\) enthält, und auf derselben Seite von \(g\) liegen. Beweise, dass für ungerades \(n\) gilt: \[ \left|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}\right|\geq 1 \] Dabei bezeichnet \(\left|\overrightarrow{OM}\right|\) die Länge des Vektors \(\overrightarrow{OM}\).
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Lösung
Schreibe \(n=2m+1\). Wähle in der gegebenen Ebene ein orthonormales Koordinatensystem mit Ursprung \(O\) und horizontaler Achse \(g\), sodass alle Punkte in der abgeschlossenen oberen Halbebene liegen. Nummeriere die Einheitsvektoren so um, dass \[ v_i=\overrightarrow{OP_i}=(\cos\theta_i,\sin\theta_i), \qquad 0\leq\theta_1\leq\cdots\leq\theta_{2m+1}\leq\pi. \] Sei \(u=v_{m+1}\) der Vektor mit dem mittleren Winkel. Wir zeigen, dass die Projektion der Summe auf \(u\) mindestens \(1\) beträgt.
Setze für jedes \(i=1,\ldots,m\) \[ \alpha_i=\theta_{m+1}-\theta_i, \qquad \beta_i=\theta_{2m+2-i}-\theta_{m+1}. \] Dann gilt \(\alpha_i,\beta_i\geq0\) und \[ \alpha_i+\beta_i =\theta_{2m+2-i}-\theta_i\leq\pi. \] Folglich ist \[ \begin{aligned} u\cdot(v_i+v_{2m+2-i}) &=\cos\alpha_i+\cos\beta_i\\ &=2\cos\frac{\alpha_i+\beta_i}{2} \cos\frac{\alpha_i-\beta_i}{2} \geq0. \end{aligned} \] Tatsächlich liegt das Argument des ersten Kosinus in \([0,\pi/2]\) und das des zweiten in \([-\pi/2,\pi/2]\), denn \(\lvert\alpha_i-\beta_i\rvert\leq\alpha_i+\beta_i\leq\pi\).
Die Paare erfassen alle Vektoren außer \(u\). Mit \(S=\sum_{i=1}^{2m+1}v_i\) erhalten wir daher \[ u\cdot S =u\cdot u+\sum_{i=1}^{m}u\cdot(v_i+v_{2m+2-i}) \geq1. \] Wegen \(|u|=1\) liefert die Cauchy-Schwarz-Ungleichung \[ |S|\geq u\cdot S\geq1, \] wie gefordert.
Für \(n=1\) ist die Summe über die Paare leer, und dasselbe Argument gilt weiterhin. Gleiche Winkel und Punkte auf \(g\) werden durch die obigen nichtstrikten Ungleichungen ebenfalls erfasst.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1973 · Soru 1
\(O\) noktası \(g\) doğrusu üzerinde olsun; \(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \ldots, \overrightarrow{OP_n}\), \(P_1, P_2, \ldots, P_n\) noktalarının tümü \(g\) doğrusunu içeren bir düzlemde ve \(g\) doğrusunun aynı tarafında bulunacak şekilde birim vektörler olsun. \(n\) tek ise \[ \left|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}\right|\geq 1 \] olduğunu kanıtlayınız. Burada \(\left|\overrightarrow{OM}\right|\), \(\overrightarrow{OM}\) vektörünün uzunluğunu göstermektedir.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Çözüm
\(n=2m+1\) yazalım. Verilen düzlemde, başlangıç noktası \(O\) ve yatay ekseni \(g\) olan bir dik birim koordinat sistemi seçelim; tüm noktalar kapalı üst yarı düzlemde bulunsun. Birim vektörleri \[ v_i=\overrightarrow{OP_i}=(\cos\theta_i,\sin\theta_i), \qquad 0\leq\theta_1\leq\cdots\leq\theta_{2m+1}\leq\pi \] olacak şekilde yeniden numaralandıralım. Açısı ortadaki değer olan vektörü \(u=v_{m+1}\) ile gösterelim. Toplamın \(u\) yönündeki izdüşümünün en az \(1\) olduğunu göstereceğiz.
Her \(i=1,\ldots,m\) için \[ \alpha_i=\theta_{m+1}-\theta_i, \qquad \beta_i=\theta_{2m+2-i}-\theta_{m+1} \] olarak tanımlayalım. O hâlde \(\alpha_i,\beta_i\geq0\) ve \[ \alpha_i+\beta_i =\theta_{2m+2-i}-\theta_i\leq\pi \] olur. Dolayısıyla, \[ \begin{aligned} u\cdot(v_i+v_{2m+2-i}) &=\cos\alpha_i+\cos\beta_i\\ &=2\cos\frac{\alpha_i+\beta_i}{2} \cos\frac{\alpha_i-\beta_i}{2} \geq0. \end{aligned} \] Gerçekten de birinci kosinüsün açısı \([0,\pi/2]\) aralığında, ikincininki ise \([-\pi/2,\pi/2]\) aralığındadır; çünkü \(\lvert\alpha_i-\beta_i\rvert\leq\alpha_i+\beta_i\leq\pi\).
Bu çiftler, \(u\) dışındaki tüm vektörleri içerir. Böylece, \(S=\sum_{i=1}^{2m+1}v_i\) yazarak \[ u\cdot S =u\cdot u+\sum_{i=1}^{m}u\cdot(v_i+v_{2m+2-i}) \geq1 \] elde ederiz. \(|u|=1\) olduğundan, Cauchy–Schwarz eşitsizliği ile \[ |S|\geq u\cdot S\geq1, \] bulunur; bu da istenen sonuçtur.
\(n=1\) olduğunda, çiftlere ilişkin toplam boş toplamdır ve aynı akıl yürütme geçerlidir. Açıların eşit olması ve noktaların \(g\) üzerinde bulunması durumları da yukarıdaki eşitliğe izin veren eşitsizliklerin kapsamındadır.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1973 · Problema 1
El punto \(O\) pertenece a la recta \(g\); \(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \ldots, \overrightarrow{OP_n}\) son vectores unitarios tales que los puntos \(P_1, P_2, \ldots, P_n\) están todos en un plano que contiene a \(g\) y en un mismo lado de \(g\). Demostrar que, si \(n\) es impar, \[ \left|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}\right|\geq 1 \] Aquí \(\left|\overrightarrow{OM}\right|\) denota la longitud del vector \(\overrightarrow{OM}\).
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Solución
Escribamos \(n=2m+1\). Elijamos coordenadas ortonormales en el plano dado, con origen en \(O\) y eje horizontal \(g\), de modo que todos los puntos estén en el semiplano superior cerrado. Reordenemos los vectores unitarios como \[ v_i=\overrightarrow{OP_i}=(\cos\theta_i,\sin\theta_i), \qquad 0\leq\theta_1\leq\cdots\leq\theta_{2m+1}\leq\pi. \] Sea \(u=v_{m+1}\), el vector cuyo ángulo es la mediana. Demostraremos que la proyección de la suma sobre \(u\) es al menos \(1\).
Para cada \(i=1,\ldots,m\), pongamos \[ \alpha_i=\theta_{m+1}-\theta_i, \qquad \beta_i=\theta_{2m+2-i}-\theta_{m+1}. \] Entonces \(\alpha_i,\beta_i\geq0\) y \[ \alpha_i+\beta_i =\theta_{2m+2-i}-\theta_i\leq\pi. \] Por consiguiente, \[ \begin{aligned} u\cdot(v_i+v_{2m+2-i}) &=\cos\alpha_i+\cos\beta_i\\ &=2\cos\frac{\alpha_i+\beta_i}{2} \cos\frac{\alpha_i-\beta_i}{2} \geq0. \end{aligned} \] En efecto, el argumento del primer coseno pertenece a \([0,\pi/2]\), y el del segundo pertenece a \([-\pi/2,\pi/2]\), pues \(\lvert\alpha_i-\beta_i\rvert\leq\alpha_i+\beta_i\leq\pi\).
Las parejas incluyen todos los vectores excepto \(u\). Así, escribiendo \(S=\sum_{i=1}^{2m+1}v_i\), obtenemos \[ u\cdot S =u\cdot u+\sum_{i=1}^{m}u\cdot(v_i+v_{2m+2-i}) \geq1. \] Como \(|u|=1\), la desigualdad de Cauchy–Schwarz da \[ |S|\geq u\cdot S\geq1, \] como se quería demostrar.
Cuando \(n=1\), la suma sobre las parejas es vacía y se aplica el mismo argumento. Las desigualdades no estrictas anteriores también contemplan los ángulos iguales y los puntos sobre \(g\).
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1973 · 问题 1
点 \(O\) 在直线 \(g\) 上；\(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \ldots, \overrightarrow{OP_n}\) 是单位向量，点 \(P_1, P_2, \ldots, P_n\) 都在包含 \(g\) 的同一平面内，且位于 \(g\) 的同一侧。证明：若 \(n\) 为奇数，则 \[ \left|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}\right|\geq 1 \] 这里，\(\left|\overrightarrow{OM}\right|\) 表示向量 \(\overrightarrow{OM}\) 的长度。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
解答
设 \(n=2m+1\)。在给定平面内建立以 \(O\) 为原点、以 \(g\) 为横轴的直角坐标系，使所有这些点都在闭上半平面内。将这些单位向量重新编号为 \[ v_i=\overrightarrow{OP_i}=(\cos\theta_i,\sin\theta_i), \qquad 0\leq\theta_1\leq\cdots\leq\theta_{2m+1}\leq\pi. \] 令 \(u=v_{m+1}\)，即角度居中的那个向量。我们将证明，这些向量之和在 \(u\) 方向上的投影至少为 \(1\)。
对每个 \(i=1,\ldots,m\)，令 \[ \alpha_i=\theta_{m+1}-\theta_i, \qquad \beta_i=\theta_{2m+2-i}-\theta_{m+1}. \] 则 \(\alpha_i,\beta_i\geq0\)，且 \[ \alpha_i+\beta_i =\theta_{2m+2-i}-\theta_i\leq\pi. \] 因此， \[ \begin{aligned} u\cdot(v_i+v_{2m+2-i}) &=\cos\alpha_i+\cos\beta_i\\ &=2\cos\frac{\alpha_i+\beta_i}{2} \cos\frac{\alpha_i-\beta_i}{2} \geq0. \end{aligned} \] 事实上，第一个余弦的角度属于 \([0,\pi/2]\)，第二个余弦的角度属于 \([-\pi/2,\pi/2]\)，这是因为 \(\lvert\alpha_i-\beta_i\rvert\leq\alpha_i+\beta_i\leq\pi\)。
这些配对包含了除 \(u\) 外的所有向量。因此，记 \(S=\sum_{i=1}^{2m+1}v_i\)，可得 \[ u\cdot S =u\cdot u+\sum_{i=1}^{m}u\cdot(v_i+v_{2m+2-i}) \geq1. \] 由于 \(|u|=1\)，由柯西–施瓦茨不等式可得 \[ |S|\geq u\cdot S\geq1, \] 即得所证。
当 \(n=1\) 时，配对求和为空和，上述论证仍然适用。上述非严格不等式也涵盖了角度相等以及点位于 \(g\) 上的情形。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1973 · Задача 1
Точка \(O\) лежит на прямой \(g\); \(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \ldots, \overrightarrow{OP_n}\) — единичные векторы, причём точки \(P_1, P_2, \ldots, P_n\) лежат в одной плоскости, содержащей \(g\), и по одну сторону от \(g\). Докажите, что если \(n\) нечётно, то \[ \left|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}\right|\geq 1 \] Здесь \(\left|\overrightarrow{OM}\right|\) обозначает длину вектора \(\overrightarrow{OM}\).
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Решение
Положим \(n=2m+1\). Выберем в данной плоскости прямоугольную систему координат с началом \(O\) и горизонтальной осью \(g\) так, чтобы все точки лежали в замкнутой верхней полуплоскости. Перенумеруем единичные векторы так, чтобы \[ v_i=\overrightarrow{OP_i}=(\cos\theta_i,\sin\theta_i), \qquad 0\leq\theta_1\leq\cdots\leq\theta_{2m+1}\leq\pi. \] Пусть \(u=v_{m+1}\) — вектор со средним по порядку углом. Покажем, что проекция суммы на \(u\) не меньше \(1\).
Для каждого \(i=1,\ldots,m\) положим \[ \alpha_i=\theta_{m+1}-\theta_i, \qquad \beta_i=\theta_{2m+2-i}-\theta_{m+1}. \] Тогда \(\alpha_i,\beta_i\geq0\) и \[ \alpha_i+\beta_i =\theta_{2m+2-i}-\theta_i\leq\pi. \] Следовательно, \[ \begin{aligned} u\cdot(v_i+v_{2m+2-i}) &=\cos\alpha_i+\cos\beta_i\\ &=2\cos\frac{\alpha_i+\beta_i}{2} \cos\frac{\alpha_i-\beta_i}{2} \geq0. \end{aligned} \] Действительно, аргумент первого косинуса принадлежит \([0,\pi/2]\), а аргумент второго — \([-\pi/2,\pi/2]\), поскольку \(\lvert\alpha_i-\beta_i\rvert\leq\alpha_i+\beta_i\leq\pi\).
В эти пары входят все векторы, кроме \(u\). Поэтому, обозначив \(S=\sum_{i=1}^{2m+1}v_i\), получаем \[ u\cdot S =u\cdot u+\sum_{i=1}^{m}u\cdot(v_i+v_{2m+2-i}) \geq1. \] Поскольку \(|u|=1\), по неравенству Коши — Буняковского \[ |S|\geq u\cdot S\geq1, \] что и требовалось доказать.
При \(n=1\) сумма по парам пуста, и то же рассуждение остаётся в силе. Приведённые выше нестрогие неравенства охватывают также случаи равных углов и точек, лежащих на \(g\).
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1973 · المسألة 1
تقع النقطة \(O\) على المستقيم \(g\)؛ و\(\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \ldots, \overrightarrow{OP_n}\) متجهات وحدة بحيث تقع النقاط \(P_1, P_2, \ldots, P_n\) جميعها في مستوى يحتوي على \(g\) وفي جهة واحدة من \(g\). أثبت أنه إذا كان \(n\) فرديًا، فإن \[ \left|\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\cdots+\overrightarrow{OP_n}\right|\geq 1 \] حيث يرمز \(\left|\overrightarrow{OM}\right|\) إلى طول المتجه \(\overrightarrow{OM}\).
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الحل
لنكتب \(n=2m+1\). نختار جهاز إحداثيات متعامدًا ومتجانسًا في المستوى المعطى، مبدؤه \(O\) ومحوره الأفقي \(g\)، بحيث تقع جميع النقاط في نصف المستوى العلوي المغلق. نعيد ترقيم متجهات الوحدة على النحو الآتي: \[ v_i=\overrightarrow{OP_i}=(\cos\theta_i,\sin\theta_i), \qquad 0\leq\theta_1\leq\cdots\leq\theta_{2m+1}\leq\pi. \] ليكن \(u=v_{m+1}\)، وهو المتجه ذو الزاوية الوسيطة. سنثبت أن إسقاط المجموع على \(u\) لا يقل عن \(1\).
لكل \(i=1,\ldots,m\)، نضع \[ \alpha_i=\theta_{m+1}-\theta_i, \qquad \beta_i=\theta_{2m+2-i}-\theta_{m+1}. \] عندئذ \(\alpha_i,\beta_i\geq0\)، و \[ \alpha_i+\beta_i =\theta_{2m+2-i}-\theta_i\leq\pi. \] ومن ثم، \[ \begin{aligned} u\cdot(v_i+v_{2m+2-i}) &=\cos\alpha_i+\cos\beta_i\\ &=2\cos\frac{\alpha_i+\beta_i}{2} \cos\frac{\alpha_i-\beta_i}{2} \geq0. \end{aligned} \] فبالفعل، تقع زاوية جيب التمام الأول في \([0,\pi/2]\)، وتقع زاوية جيب التمام الثاني في \([-\pi/2,\pi/2]\)، لأن \(\lvert\alpha_i-\beta_i\rvert\leq\alpha_i+\beta_i\leq\pi\).
تشمل هذه الأزواج جميع المتجهات ما عدا \(u\). لذا، إذا كتبنا \(S=\sum_{i=1}^{2m+1}v_i\)، حصلنا على \[ u\cdot S =u\cdot u+\sum_{i=1}^{m}u\cdot(v_i+v_{2m+2-i}) \geq1. \] وبما أن \(|u|=1\)، فإن متباينة كوشي–شفارتز تعطينا \[ |S|\geq u\cdot S\geq1, \] وهو المطلوب.
عندما يكون \(n=1\)، يكون مجموع الأزواج فارغًا، وتظل الحجة نفسها صالحة. كما تشمل المتباينات غير الصارمة أعلاه حالتي تساوي الزوايا ووقوع نقاط على \(g\).
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).