IMO 1973 · Problem 2
Determine whether or not there exists a finite set \(M\) of points in space not lying in the same plane such that, for any two points \(A\) and \(B\) of \(M\), one can select two other points \(C\) and \(D\) of \(M\) so that lines \(AB\) and \(CD\) are parallel and not coincident.
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
Yes, such a set exists.
Solution
Take the following set of \(12\) points, with all signs chosen independently: \[ M=\{(\pm1,\pm1,0),\;(\pm1,0,\pm1),\;(0,\pm1,\pm1)\}. \] The points \((1,1,0),(1,-1,0),(-1,1,0)\) determine the plane \(z=0\), whereas \((1,0,1)\) is outside this plane. Hence \(M\) is not coplanar.
Every point of \(M\) has distance \(\sqrt2\) from the origin, and whenever \(P\in M\), also \(-P\in M\).
Let \(A,B\) be any two distinct points of \(M\). We consider two cases.
Case 1: \(B\ne -A\). Choose \[ C=-A,\qquad D=-B. \] These are distinct points of \(M\), neither equal to \(A\) or \(B\). Moreover, \[ D-C=-(B-A), \] so \(AB\) and \(CD\) have parallel directions.
If the two lines coincided, their common line would contain \(A\) and \(-A\), and therefore the origin. Thus \(B=tA\) for some real \(t\). Since \(A\) and \(B\) both have length \(\sqrt2\), we would have \(t=\pm1\). The choice \(t=1\) contradicts \(A\ne B\), and \(t=-1\) contradicts \(B\ne -A\). Hence the lines are not coincident.
Case 2: \(B=-A\). Permuting the coordinates if necessary, we may write \[ A=(a,b,0),\qquad B=(-a,-b,0), \qquad a,b\in\{-1,1\}. \] Choose \[ C=(a,0,1),\qquad D=(0,-b,1). \] Both points belong to \(M\), are distinct, and differ from \(A,B\). Furthermore, \[ D-C=(-a,-b,0)=\frac12(B-A), \] so \(AB\parallel CD\). These lines cannot coincide because \(AB\) lies in the plane \(z=0\), while \(CD\) lies in the plane \(z=1\).
Thus every pair of distinct points of \(M\) has the required two other points, completing the construction.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1973 · Aufgabe 2
Untersuche, ob es eine endliche Menge \(M\) von Punkten im Raum gibt, die nicht alle in derselben Ebene liegen und die folgende Eigenschaft hat: Zu je zwei Punkten \(A\) und \(B\) von \(M\) lassen sich zwei weitere Punkte \(C\) und \(D\) von \(M\) so wählen, dass die Geraden \(AB\) und \(CD\) parallel und nicht identisch sind.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
Ja, eine solche Menge existiert.
Lösung
Betrachte die folgende Menge von \(12\) Punkten, wobei alle Vorzeichen unabhängig voneinander gewählt werden: \[ M=\{(\pm1,\pm1,0),\;(\pm1,0,\pm1),\;(0,\pm1,\pm1)\}. \] Die Punkte \((1,1,0),(1,-1,0),(-1,1,0)\) bestimmen die Ebene \(z=0\), während \((1,0,1)\) außerhalb dieser Ebene liegt. Somit liegen die Punkte von \(M\) nicht alle in einer Ebene.
Jeder Punkt von \(M\) hat vom Ursprung den Abstand \(\sqrt2\), und mit \(P\in M\) gilt stets auch \(-P\in M\).
Seien \(A,B\) zwei beliebige verschiedene Punkte von \(M\). Wir unterscheiden zwei Fälle.
Fall 1: \(B\ne -A\). Wähle \[ C=-A,\qquad D=-B. \] Dies sind verschiedene Punkte von \(M\), von denen keiner gleich \(A\) oder \(B\) ist. Außerdem gilt \[ D-C=-(B-A), \] also haben \(AB\) und \(CD\) parallele Richtungen.
Wären die beiden Geraden identisch, so enthielte ihre gemeinsame Gerade die Punkte \(A\) und \(-A\) und damit den Ursprung. Somit wäre \(B=tA\) für eine reelle Zahl \(t\). Da \(A\) und \(B\) beide die Länge \(\sqrt2\) haben, wäre \(t=\pm1\). Die Wahl \(t=1\) widerspricht \(A\ne B\), und \(t=-1\) widerspricht \(B\ne -A\). Daher sind die Geraden nicht identisch.
Fall 2: \(B=-A\). Durch Vertauschen der Koordinaten, falls nötig, können wir schreiben: \[ A=(a,b,0),\qquad B=(-a,-b,0), \qquad a,b\in\{-1,1\}. \] Wähle \[ C=(a,0,1),\qquad D=(0,-b,1). \] Beide Punkte gehören zu \(M\), sind voneinander verschieden und unterscheiden sich von \(A,B\). Ferner gilt \[ D-C=(-a,-b,0)=\frac12(B-A), \] also \(AB\parallel CD\). Diese Geraden können nicht identisch sein, da \(AB\) in der Ebene \(z=0\) liegt, während \(CD\) in der Ebene \(z=1\) liegt.
Somit gibt es zu jedem Paar verschiedener Punkte von \(M\) die geforderten zwei weiteren Punkte; damit ist die Konstruktion abgeschlossen.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1973 · Soru 2
Uzayda, tüm noktaları aynı düzlemde bulunmayan ve herhangi iki \(A\) ve \(B\) noktası için, \(AB\) ve \(CD\) doğruları paralel ve çakışık olmayacak şekilde başka iki \(C\) ve \(D\) noktası seçilebilen sonlu bir \(M\) noktalar kümesinin var olup olmadığını belirleyiniz.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
Evet, böyle bir küme vardır.
Çözüm
Tüm işaretler birbirinden bağımsız olarak seçilmek üzere, aşağıdaki \(12\) noktalı kümeyi alalım: \[ M=\{(\pm1,\pm1,0),\;(\pm1,0,\pm1),\;(0,\pm1,\pm1)\}. \] \((1,1,0),(1,-1,0),(-1,1,0)\) noktaları \(z=0\) düzlemini belirlerken \((1,0,1)\) noktası bu düzlemin dışındadır. Dolayısıyla \(M\) kümesinin tüm noktaları aynı düzlemde değildir.
\(M\) kümesinin her noktasının başlangıç noktasına uzaklığı \(\sqrt2\) olup \(P\in M\) olduğunda \(-P\in M\) de sağlanır.
\(A,B\), \(M\) kümesinin herhangi iki farklı noktası olsun. İki durumu ele alacağız.
Durum 1: \(B\ne -A\). \[ C=-A,\qquad D=-B \] seçelim. Bunlar \(M\) kümesinin birbirinden farklı noktalarıdır ve hiçbiri \(A\) veya \(B\) noktasına eşit değildir. Ayrıca, \[ D-C=-(B-A), \] olduğundan \(AB\) ve \(CD\) doğrularının doğrultuları paraleldir.
İki doğru çakışsaydı, ortak doğruları \(A\) ve \(-A\) noktalarını, dolayısıyla başlangıç noktasını içerirdi. Bu durumda bir \(t\) gerçel sayısı için \(B=tA\) olurdu. \(A\) ve \(B\) vektörlerinin her ikisinin de uzunluğu \(\sqrt2\) olduğundan \(t=\pm1\) elde edilirdi. \(t=1\) seçimi \(A\ne B\) ile, \(t=-1\) seçimi ise \(B\ne -A\) ile çelişir. Dolayısıyla doğrular çakışık değildir.
Durum 2: \(B=-A\). Gerekirse koordinatların yerlerini değiştirerek \[ A=(a,b,0),\qquad B=(-a,-b,0), \qquad a,b\in\{-1,1\} \] yazabiliriz. \[ C=(a,0,1),\qquad D=(0,-b,1) \] seçelim. Her iki nokta da \(M\) kümesine aittir, birbirinden farklıdır ve \(A,B\) noktalarından farklıdır. Ayrıca, \[ D-C=(-a,-b,0)=\frac12(B-A), \] olduğundan \(AB\parallel CD\) olur. \(AB\) doğrusu \(z=0\) düzleminde, \(CD\) doğrusu ise \(z=1\) düzleminde bulunduğundan bu doğrular çakışamaz.
Böylece \(M\) kümesinin her farklı nokta çifti için istenen diğer iki nokta vardır ve kurulum tamamlanmıştır.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1973 · Problema 2
Determinar si existe un conjunto finito \(M\) de puntos del espacio que no estén todos en un mismo plano, tal que, para cualesquiera dos puntos \(A\) y \(B\) de \(M\), se puedan elegir otros dos puntos \(C\) y \(D\) de \(M\) de modo que las rectas \(AB\) y \(CD\) sean paralelas y no coincidentes.
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
Sí, existe tal conjunto.
Solución
Tomemos el siguiente conjunto de \(12\) puntos, donde todos los signos se eligen independientemente: \[ M=\{(\pm1,\pm1,0),\;(\pm1,0,\pm1),\;(0,\pm1,\pm1)\}. \] Los puntos \((1,1,0),(1,-1,0),(-1,1,0)\) determinan el plano \(z=0\), mientras que \((1,0,1)\) está fuera de este plano. Por tanto, \(M\) no es coplanario.
Todo punto de \(M\) está a distancia \(\sqrt2\) del origen, y siempre que \(P\in M\), también \(-P\in M\).
Sean \(A,B\) dos puntos distintos cualesquiera de \(M\). Consideremos dos casos.
Caso 1: \(B\ne -A\). Elijamos \[ C=-A,\qquad D=-B. \] Estos son puntos distintos de \(M\), ninguno de los cuales es igual a \(A\) o a \(B\). Además, \[ D-C=-(B-A), \] por lo que \(AB\) y \(CD\) tienen direcciones paralelas.
Si las dos rectas coincidieran, su recta común contendría a \(A\) y a \(-A\), y por tanto al origen. Así, \(B=tA\) para algún número real \(t\). Como tanto \(A\) como \(B\) tienen longitud \(\sqrt2\), tendríamos \(t=\pm1\). La elección \(t=1\) contradice \(A\ne B\), y \(t=-1\) contradice \(B\ne -A\). Por tanto, las rectas no son coincidentes.
Caso 2: \(B=-A\). Permutando las coordenadas si es necesario, podemos escribir \[ A=(a,b,0),\qquad B=(-a,-b,0), \qquad a,b\in\{-1,1\}. \] Elijamos \[ C=(a,0,1),\qquad D=(0,-b,1). \] Ambos puntos pertenecen a \(M\), son distintos entre sí y diferentes de \(A,B\). Además, \[ D-C=(-a,-b,0)=\frac12(B-A), \] por lo que \(AB\parallel CD\). Estas rectas no pueden coincidir porque \(AB\) está contenida en el plano \(z=0\), mientras que \(CD\) está contenida en el plano \(z=1\).
Así, para cada pareja de puntos distintos de \(M\) existen los otros dos puntos requeridos, lo que completa la construcción.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1973 · 问题 2
判断是否存在一个由空间中不共面的点组成的有限集 \(M\)，使得对于 \(M\) 中任意两点 \(A\) 和 \(B\)，都能在 \(M\) 中另选两点 \(C\) 和 \(D\)，使直线 \(AB\) 与 \(CD\) 平行且不重合。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
是的，这样的集合存在。
解答
取以下由 \(12\) 个点组成的集合，其中各个正负号独立选取： \[ M=\{(\pm1,\pm1,0),\;(\pm1,0,\pm1),\;(0,\pm1,\pm1)\}. \] 点 \((1,1,0),(1,-1,0),(-1,1,0)\) 确定平面 \(z=0\)，而 \((1,0,1)\) 不在此平面内。因此，\(M\) 中的点不共面。
\(M\) 中每个点到原点的距离都是 \(\sqrt2\)，且只要 \(P\in M\)，就有 \(-P\in M\)。
设 \(A,B\) 为 \(M\) 中任意两个不同的点。分两种情形讨论。
情形 1：\(B\ne -A\)。 取 \[ C=-A,\qquad D=-B. \] 它们是 \(M\) 中两个不同的点，且都不等于 \(A\) 或 \(B\)。此外， \[ D-C=-(B-A), \] 所以 \(AB\) 与 \(CD\) 的方向平行。
若两条直线重合，则这条直线同时经过 \(A\) 和 \(-A\)，因而经过原点。因此，存在实数 \(t\)，使 \(B=tA\)。由于 \(A\) 和 \(B\) 的长度均为 \(\sqrt2\)，必有 \(t=\pm1\)。\(t=1\) 与 \(A\ne B\) 矛盾，而 \(t=-1\) 与 \(B\ne -A\) 矛盾。因此，两条直线不重合。
情形 2：\(B=-A\)。 必要时交换坐标的次序，可设 \[ A=(a,b,0),\qquad B=(-a,-b,0), \qquad a,b\in\{-1,1\}. \] 取 \[ C=(a,0,1),\qquad D=(0,-b,1). \] 这两点都属于 \(M\)，彼此不同，且均不同于 \(A,B\)。此外， \[ D-C=(-a,-b,0)=\frac12(B-A), \] 所以 \(AB\parallel CD\)。这两条直线不可能重合，因为 \(AB\) 在平面 \(z=0\) 内，而 \(CD\) 在平面 \(z=1\) 内。
因此，对于 \(M\) 中每一对不同的点，都存在满足要求的另外两点，构造完成。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1973 · Задача 2
Определите, существует ли конечное множество \(M\) точек пространства, не лежащих в одной плоскости, такое, что для любых двух точек \(A\) и \(B\) множества \(M\) можно выбрать две другие точки \(C\) и \(D\) множества \(M\) так, чтобы прямые \(AB\) и \(CD\) были параллельны и не совпадали.
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
Да, такое множество существует.
Решение
Возьмём следующее множество из \(12\) точек, в котором все знаки выбираются независимо: \[ M=\{(\pm1,\pm1,0),\;(\pm1,0,\pm1),\;(0,\pm1,\pm1)\}. \] Точки \((1,1,0),(1,-1,0),(-1,1,0)\) определяют плоскость \(z=0\), а точка \((1,0,1)\) лежит вне этой плоскости. Следовательно, точки множества \(M\) не лежат в одной плоскости.
Каждая точка множества \(M\) находится на расстоянии \(\sqrt2\) от начала координат, и если \(P\in M\), то также \(-P\in M\).
Пусть \(A,B\) — любые две различные точки множества \(M\). Рассмотрим два случая.
Случай 1: \(B\ne -A\). Выберем \[ C=-A,\qquad D=-B. \] Это различные точки множества \(M\), ни одна из которых не совпадает ни с \(A\), ни с \(B\). Кроме того, \[ D-C=-(B-A), \] поэтому направляющие векторы прямых \(AB\) и \(CD\) параллельны.
Если бы эти две прямые совпадали, их общая прямая содержала бы \(A\) и \(-A\), а значит, и начало координат. Тогда \(B=tA\) для некоторого действительного \(t\). Поскольку длины векторов \(A\) и \(B\) обе равны \(\sqrt2\), получаем \(t=\pm1\). Значение \(t=1\) противоречит условию \(A\ne B\), а \(t=-1\) — условию \(B\ne -A\). Следовательно, прямые не совпадают.
Случай 2: \(B=-A\). Переставив при необходимости координаты, можно записать \[ A=(a,b,0),\qquad B=(-a,-b,0), \qquad a,b\in\{-1,1\}. \] Выберем \[ C=(a,0,1),\qquad D=(0,-b,1). \] Обе точки принадлежат \(M\), различны и отличаются от \(A,B\). Кроме того, \[ D-C=(-a,-b,0)=\frac12(B-A), \] так что \(AB\parallel CD\). Эти прямые не могут совпадать, поскольку \(AB\) лежит в плоскости \(z=0\), а \(CD\) — в плоскости \(z=1\).
Таким образом, для каждой пары различных точек множества \(M\) найдутся требуемые две другие точки, что завершает построение.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1973 · المسألة 2
حدد ما إذا كانت توجد مجموعة منتهية \(M\) من نقاط في الفضاء لا تقع جميعها في مستوى واحد، بحيث يمكن، لأي نقطتين \(A\) و\(B\) من \(M\)، اختيار نقطتين أخريين \(C\) و\(D\) من \(M\) بحيث يكون المستقيمان \(AB\) و\(CD\) متوازيين وغير منطبقين.
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
نعم، توجد مثل هذه المجموعة.
الحل
نأخذ المجموعة الآتية المكونة من \(12\) نقطة، مع اختيار جميع الإشارات بصورة مستقلة: \[ M=\{(\pm1,\pm1,0),\;(\pm1,0,\pm1),\;(0,\pm1,\pm1)\}. \] تحدد النقاط \((1,1,0),(1,-1,0),(-1,1,0)\) المستوى \(z=0\)، في حين تقع \((1,0,1)\) خارج هذا المستوى. ومن ثم لا تقع نقاط \(M\) جميعها في مستوى واحد.
تبعد كل نقطة من \(M\) عن المبدأ مسافة \(\sqrt2\)، وكلما كان \(P\in M\)، كان أيضًا \(-P\in M\).
لتكن \(A,B\) أي نقطتين مختلفتين من \(M\). ننظر في حالتين.
الحالة 1: \(B\ne -A\). نختار \[ C=-A,\qquad D=-B. \] هاتان نقطتان مختلفتان من \(M\)، ولا تساوي أي منهما \(A\) أو \(B\). علاوة على ذلك، \[ D-C=-(B-A), \] ومن ثم فإن اتجاهي \(AB\) و\(CD\) متوازيان.
لو انطبق المستقيمان، لاحتوى مستقيمهما المشترك على \(A\) و\(-A\)، وبالتالي على المبدأ. وعندئذ يكون \(B=tA\) لعدد حقيقي \(t\). وبما أن طول كل من \(A\) و\(B\) يساوي \(\sqrt2\)، فسيكون \(t=\pm1\). يناقض الاختيار \(t=1\) الشرط \(A\ne B\)، ويناقض الاختيار \(t=-1\) الشرط \(B\ne -A\). إذن المستقيمان غير منطبقين.
الحالة 2: \(B=-A\). بتبديل ترتيب الإحداثيات عند الحاجة، يمكننا أن نكتب \[ A=(a,b,0),\qquad B=(-a,-b,0), \qquad a,b\in\{-1,1\}. \] نختار \[ C=(a,0,1),\qquad D=(0,-b,1). \] تنتمي النقطتان إلى \(M\)، وهما مختلفتان، وتختلفان عن \(A,B\). كذلك، \[ D-C=(-a,-b,0)=\frac12(B-A), \] ومن ثم \(AB\parallel CD\). ولا يمكن أن ينطبق هذان المستقيمان، لأن \(AB\) يقع في المستوى \(z=0\)، بينما يقع \(CD\) في المستوى \(z=1\).
وهكذا، لكل زوج من النقاط المختلفة في \(M\) نقطتان أخريان تحققان المطلوب، وبذلك يكتمل الإنشاء.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).