IMO 1977

6 problems with complete solutions · Official problem paper (PDF)

1. Problem 1

   Equilateral triangles \(ABK, BCL, CDM, DAN\) are constructed inside the square \(ABCD\). Prove that the midpoints of the four segments \(KL, LM, MN, NK\) and the midpoints of the eight segments \(AKBK, BL, CL, CM, DM, DN, AN\) are the twelve vertices of a regular dodecagon.

   Solution →

2. Problem 2

   In a finite sequence of real numbers the sum of any seven successive terms is negative, and the sum of any eleven successive terms is positive. Determine the maximum number of terms in the sequence.

   Solution →

3. Problem 3

   Let \(n\) be a given integer \(>2\), and let \(V_n\) be the set of integers \(1+kn\), where \(k=1,2,\ldots\). A number \(m\in V_n\) is called indecomposable in \(V_n\) if there do not exist numbers \(p,q\in V_n\) such that \(pq=m\). Prove that there exists a number \(r\in V_n\) that can be expressed as the product of elements indecomposable in \(V_n\) in more than one way. (Products which differ only in the order of their factors will be considered the same.)

   Solution →

4. Problem 4

   Four real constants \(a,b,A,B\) are given, and \[ f(\theta)=1-a\cos\theta-b\sin\theta-A\cos2\theta-B\sin2\theta. \] Prove that if \(f(\theta)\geq0\) for all real \(\theta\), then \[ a^2+b^2\leq2\quad\text{and}\quad A^2+B^2\leq1. \]

   Solution →

5. Problem 5

   Let \(a\) and \(b\) be positive integers. When \(a^2+b^2\) is divided by \(a+b\), the quotient is \(q\) and the remainder is \(r\). Find all pairs \((a,b)\) such that \(q^2+r=1977\).

   Solution →

6. Problem 6

   Let \(f(n)\) be a function defined on the set of all positive integers and having all its values in the same set. Prove that if \[ f(n+1)>f(f(n)) \] for each positive integer \(n\), then \[ f(n)=n\quad\text{for each }n. \]

   Solution →

All years

IMO 1977

6 Aufgaben mit vollständigen Lösungen · Offizielles Aufgabenblatt (PDF)

1. Aufgabe 1

   Im Inneren des Quadrats \(ABCD\) werden gleichseitige Dreiecke \(ABK, BCL, CDM, DAN\) errichtet. Beweise, dass die Mittelpunkte der vier Strecken \(KL, LM, MN, NK\) und die Mittelpunkte der acht Strecken \(AKBK, BL, CL, CM, DM, DN, AN\) die zwölf Eckpunkte eines regelmäßigen Zwölfecks sind.

   Lösung →

2. Aufgabe 2

   In einer endlichen Folge reeller Zahlen ist die Summe von je sieben aufeinanderfolgenden Gliedern negativ und die Summe von je elf aufeinanderfolgenden Gliedern positiv. Bestimme die größtmögliche Anzahl von Gliedern der Folge.

   Lösung →

3. Aufgabe 3

   Sei \(n\) eine gegebene ganze Zahl \(>2\), und sei \(V_n\) die Menge der ganzen Zahlen \(1+kn\), wobei \(k=1,2,\ldots\). Eine Zahl \(m\in V_n\) heißt unzerlegbar in \(V_n\), wenn es keine Zahlen \(p,q\in V_n\) mit \(pq=m\) gibt. Beweise, dass es eine Zahl \(r\in V_n\) gibt, die sich auf mehr als eine Weise als Produkt von in \(V_n\) unzerlegbaren Elementen darstellen lässt. (Produkte, die sich nur in der Reihenfolge ihrer Faktoren unterscheiden, werden als gleich betrachtet.)

   Lösung →

4. Aufgabe 4

   Gegeben sind vier reelle Konstanten \(a,b,A,B\), und es sei \[ f(\theta)=1-a\cos\theta-b\sin\theta-A\cos2\theta-B\sin2\theta. \] Beweise, dass aus \(f(\theta)\geq0\) für alle reellen \(\theta\) folgt, dass \[ a^2+b^2\leq2\quad\text{und}\quad A^2+B^2\leq1. \]

   Lösung →

5. Aufgabe 5

   Seien \(a\) und \(b\) positive ganze Zahlen. Bei der Division von \(a^2+b^2\) durch \(a+b\) ist der Quotient \(q\) und der Rest \(r\). Finde alle Paare \((a,b)\), für die \(q^2+r=1977\) gilt.

   Lösung →

6. Aufgabe 6

   Sei \(f(n)\) eine auf der Menge aller positiven ganzen Zahlen definierte Funktion, deren Werte sämtlich in derselben Menge liegen. Beweise, dass aus \[ f(n+1)>f(f(n)) \] für jede positive ganze Zahl \(n\) folgt, dass \[ f(n)=n\quad\text{für jedes }n. \]

   Lösung →

Alle Jahrgänge

IMO 1977

6 soru, tam çözümleriyle · Resmi soru kâğıdı (PDF)

1. Soru 1

   \(ABCD\) karesinin içine \(ABK, BCL, CDM, DAN\) eşkenar üçgenleri çiziliyor. \(KL, LM, MN, NK\) doğru parçalarının orta noktaları ile \(AKBK, BL, CL, CM, DM, DN, AN\) doğru parçalarının orta noktalarının bir düzgün onikigenin on iki köşesi olduğunu kanıtlayınız.

   Çözüm →

2. Soru 2

   Sonlu bir gerçek sayı dizisinde, ardışık herhangi yedi terimin toplamı negatif, ardışık herhangi on bir terimin toplamı ise pozitiftir. Dizinin en fazla kaç terimi olabileceğini bulunuz.

   Çözüm →

3. Soru 3

   \(n\), \(>2\) olan verilmiş bir tam sayı olsun ve \(V_n\), \(k=1,2,\ldots\) olmak üzere \(1+kn\) biçimindeki tam sayıların kümesi olsun. \(pq=m\) olacak şekilde \(p,q\in V_n\) sayıları yoksa, \(m\in V_n\) sayısına \(V_n\) içinde ayrıştırılamaz denir. \(V_n\) içinde ayrıştırılamaz elemanların çarpımı olarak birden fazla biçimde yazılabilen bir \(r\in V_n\) sayısının var olduğunu kanıtlayınız. (Yalnızca çarpanlarının sırası bakımından farklı olan çarpımlar aynı kabul edilecektir.)

   Çözüm →

4. Soru 4

   \(a,b,A,B\) gerçek sabitleri verilmiş olsun ve \[ f(\theta)=1-a\cos\theta-b\sin\theta-A\cos2\theta-B\sin2\theta \] olarak tanımlansın. Tüm gerçek \(\theta\) değerleri için \(f(\theta)\geq0\) ise \[ a^2+b^2\leq2\quad\text{ve}\quad A^2+B^2\leq1 \] olduğunu kanıtlayınız.

   Çözüm →

5. Soru 5

   \(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılar olsun. \(a^2+b^2\) sayısının \(a+b\) sayısına bölümünde bölüm \(q\), kalan \(r\)'dir. \(q^2+r=1977\) koşulunu sağlayan tüm \((a,b)\) ikililerini bulunuz.

   Çözüm →

6. Soru 6

   \(f(n)\), tüm pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı ve tüm değerleri yine bu kümede olan bir fonksiyon olsun. Her pozitif \(n\) tam sayısı için \[ f(n+1)>f(f(n)) \] ise \[ f(n)=n\quad\text{her biri için }n \] olduğunu kanıtlayınız.

   Çözüm →

Tüm yıllar

IMO 1977

6 problemas con soluciones completas · Enunciado oficial (PDF)

1. Problema 1

   Se construyen los triángulos equiláteros \(ABK, BCL, CDM, DAN\) en el interior del cuadrado \(ABCD\). Demostrar que los puntos medios de los cuatro segmentos \(KL, LM, MN, NK\) y los puntos medios de los ocho segmentos \(AKBK, BL, CL, CM, DM, DN, AN\) son los doce vértices de un dodecágono regular.

   Solución →

2. Problema 2

   En una sucesión finita de números reales, la suma de cualesquiera siete términos consecutivos es negativa, y la suma de cualesquiera once términos consecutivos es positiva. Determinar el número máximo de términos de la sucesión.

   Solución →

3. Problema 3

   Sea \(n\) un entero dado \(>2\), y sea \(V_n\) el conjunto de los enteros \(1+kn\), donde \(k=1,2,\ldots\). Un número \(m\in V_n\) se llama indescomponible en \(V_n\) si no existen números \(p,q\in V_n\) tales que \(pq=m\). Demostrar que existe un número \(r\in V_n\) que puede expresarse como producto de elementos indescomponibles en \(V_n\) de más de una manera. (Los productos que solo difieran en el orden de sus factores se considerarán iguales.)

   Solución →

4. Problema 4

   Se dan cuatro constantes reales \(a,b,A,B\), y \[ f(\theta)=1-a\cos\theta-b\sin\theta-A\cos2\theta-B\sin2\theta. \] Demostrar que, si \(f(\theta)\geq0\) para todo \(\theta\) real, entonces \[ a^2+b^2\leq2\quad\text{y}\quad A^2+B^2\leq1. \]

   Solución →

5. Problema 5

   Sean \(a\) y \(b\) enteros positivos. Al dividir \(a^2+b^2\) entre \(a+b\), el cociente es \(q\) y el resto es \(r\). Hallar todos los pares \((a,b)\) tales que \(q^2+r=1977\).

   Solución →

6. Problema 6

   Sea \(f(n)\) una función definida en el conjunto de todos los enteros positivos y cuyos valores pertenecen al mismo conjunto. Demostrar que, si \[ f(n+1)>f(f(n)) \] para cada entero positivo \(n\), entonces \[ f(n)=n\quad\text{para cada }n. \]

   Solución →

Todos los años

IMO 1977

6 道题及完整解答 · 官方试卷 (PDF)

1. 问题 1

   在正方形 \(ABCD\) 内作等边三角形 \(ABK, BCL, CDM, DAN\)。证明：四条线段 \(KL, LM, MN, NK\) 的中点和八条线段 \(AKBK, BL, CL, CM, DM, DN, AN\) 的中点是一个正十二边形的十二个顶点。

   解答 →

2. 问题 2

   一个有限实数数列中，任意连续七项的和均为负数，任意连续十一项的和均为正数。求这个数列的项数的最大值。

   解答 →

3. 问题 3

   设 \(n\) 是给定的整数且 \(>2\)，\(V_n\) 是所有形如 \(1+kn\) 的整数构成的集合，其中 \(k=1,2,\ldots\)。若不存在 \(p,q\in V_n\) 使得 \(pq=m\)，则称数 \(m\in V_n\) 在 \(V_n\) 中不可分解。证明：存在一个数 \(r\in V_n\)，它可以用不止一种方式表示为 \(V_n\) 中不可分解的元素的乘积。（仅因子次序不同的乘积视为同一种表示。）

   解答 →

4. 问题 4

   给定四个实常数 \(a,b,A,B\)，设 \[ f(\theta)=1-a\cos\theta-b\sin\theta-A\cos2\theta-B\sin2\theta. \] 证明：如果对所有实数 \(\theta\) 都有 \(f(\theta)\geq0\)，那么 \[ a^2+b^2\leq2\quad\text{且}\quad A^2+B^2\leq1. \]

   解答 →

5. 问题 5

   设 \(a\) 和 \(b\) 为正整数。用 \(a+b\) 除 \(a^2+b^2\)，所得的商为 \(q\)，余数为 \(r\)。求所有满足 \(q^2+r=1977\) 的数对 \((a,b)\)。

   解答 →

6. 问题 6

   设 \(f(n)\) 是定义在全体正整数集合上且取值也均为正整数的函数。证明：如果对于每个正整数 \(n\)，都有 \[ f(n+1)>f(f(n)) \] 成立，那么 \[ f(n)=n\quad\text{对每个 }n. \]

   解答 →

所有年份

IMO 1977

6 задач с полными решениями · Официальный текст задач (PDF)

1. Задача 1

   Внутри квадрата \(ABCD\) построены равносторонние треугольники \(ABK, BCL, CDM, DAN\). Докажите, что середины четырёх отрезков \(KL, LM, MN, NK\) и середины восьми отрезков \(AKBK, BL, CL, CM, DM, DN, AN\) являются двенадцатью вершинами правильного двенадцатиугольника.

   Решение →

2. Задача 2

   В конечной последовательности действительных чисел сумма любых семи последовательных членов отрицательна, а сумма любых одиннадцати последовательных членов положительна. Определите наибольшее возможное число членов этой последовательности.

   Решение →

3. Задача 3

   Пусть \(n\) — заданное целое число \(>2\), а \(V_n\) — множество целых чисел \(1+kn\), где \(k=1,2,\ldots\). Число \(m\in V_n\) называется неразложимым в \(V_n\), если не существует чисел \(p,q\in V_n\), для которых \(pq=m\). Докажите, что существует число \(r\in V_n\), которое можно представить в виде произведения элементов, неразложимых в \(V_n\), более чем одним способом. (Произведения, отличающиеся только порядком множителей, считаются одинаковыми.)

   Решение →

4. Задача 4

   Даны четыре действительные постоянные \(a,b,A,B\), и \[ f(\theta)=1-a\cos\theta-b\sin\theta-A\cos2\theta-B\sin2\theta. \] Докажите, что если \(f(\theta)\geq0\) для всех действительных \(\theta\), то \[ a^2+b^2\leq2\quad\text{и}\quad A^2+B^2\leq1. \]

   Решение →

5. Задача 5

   Пусть \(a\) и \(b\) — положительные целые числа. При делении \(a^2+b^2\) на \(a+b\) частное равно \(q\), а остаток равен \(r\). Найдите все пары \((a,b)\), для которых \(q^2+r=1977\).

   Решение →

6. Задача 6

   Пусть \(f(n)\) — функция, определённая на множестве всех положительных целых чисел и принимающая значения в том же множестве. Докажите, что если \[ f(n+1)>f(f(n)) \] для каждого положительного целого числа \(n\), то \[ f(n)=n\quad\text{для каждого }n. \]

   Решение →

Все годы

IMO 1977

6 مسائل مع حلول كاملة · ورقة المسائل الرسمية (PDF)

1. المسألة 1

   أُنشئت المثلثات المتساوية الأضلاع \(ABK, BCL, CDM, DAN\) داخل المربع \(ABCD\). أثبت أن منتصفات القطع الأربع \(KL, LM, MN, NK\) ومنتصفات القطع الثماني \(AKBK, BL, CL, CM, DM, DN, AN\) هي الرؤوس الاثنا عشر لمضلع منتظم ذي اثني عشر ضلعًا.

   ← الحل

2. المسألة 2

   في متتالية منتهية من الأعداد الحقيقية، مجموع أي سبعة حدود متتالية سالب، ومجموع أي أحد عشر حدًّا متتاليًا موجب. حدّد أكبر عدد ممكن من حدود هذه المتتالية.

   ← الحل

3. المسألة 3

   ليكن \(n\) عددًا صحيحًا معطًى \(>2\)، ولتكن \(V_n\) مجموعة الأعداد الصحيحة \(1+kn\)، حيث \(k=1,2,\ldots\). يُسمّى العدد \(m\in V_n\) غير قابل للتحليل في \(V_n\) إذا لم يوجد عددان \(p,q\in V_n\) بحيث \(pq=m\). أثبت وجود عدد \(r\in V_n\) يمكن التعبير عنه بوصفه حاصل ضرب عناصر غير قابلة للتحليل في \(V_n\) بأكثر من طريقة واحدة. (تُعدّ حواصل الضرب التي لا تختلف إلا في ترتيب عواملها واحدة.)

   ← الحل

4. المسألة 4

   أُعطيت أربعة ثوابت حقيقية \(a,b,A,B\)، ولتكن \[ f(\theta)=1-a\cos\theta-b\sin\theta-A\cos2\theta-B\sin2\theta. \] أثبت أنه إذا كان \(f(\theta)\geq0\) لكل \(\theta\) حقيقي، فإن \[ a^2+b^2\leq2\quad\text{و}\quad A^2+B^2\leq1. \]

   ← الحل

5. المسألة 5

   ليكن \(a\) و\(b\) عددين صحيحين موجبين. عند قسمة \(a^2+b^2\) على \(a+b\)، يكون خارج القسمة \(q\) والباقي \(r\). أوجد جميع الأزواج \((a,b)\) التي تحقق \(q^2+r=1977\).

   ← الحل

6. المسألة 6

   لتكن \(f(n)\) دالة معرّفة على مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الموجبة وتأخذ جميع قيمها في المجموعة نفسها. أثبت أنه إذا كان \[ f(n+1)>f(f(n)) \] لكل عدد صحيح موجب \(n\)، فإن \[ f(n)=n\quad\text{لكل }n. \]

   ← الحل

جميع السنوات