Problem 1

Let \(n \ge 100\) be an integer. Ivan writes the numbers \(n, n + 1, \ldots, 2n\) each on different cards. He then shuffles these \(n + 1\) cards, and divides them into two piles. Prove that at least one of the piles contains two cards such that the sum of their numbers is a perfect square.

Solution →

Problem 2

Show that the inequality \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i-x_j|} \leqslant \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i+x_j|} \] holds for all real numbers \(x_1,\ldots,x_n\).

Solution →

Problem 3

Let \(D\) be an interior point of the acute triangle \(ABC\) with \(AB > AC\) so that \(\angle DAB = \angle CAD\). The point \(E\) on the segment \(AC\) satisfies \(\angle ADE = \angle BCD\), the point \(F\) on the segment \(AB\) satisfies \(\angle FDA = \angle DBC\), and the point \(X\) on the line \(AC\) satisfies \(CX = BX\). Let \(O_1\) and \(O_2\) be the circumcentres of the triangles \(ADC\) and \(EXD\), respectively. Prove that the lines \(BC\), \(EF\), and \(O_1O_2\) are concurrent.

Solution →

Problem 4

Let \(\Gamma\) be a circle with centre \(I\), and \(ABCD\) a convex quadrilateral such that each of the segments \(AB, BC, CD\) and \(DA\) is tangent to \(\Gamma\). Let \(\Omega\) be the circumcircle of the triangle \(AIC\). The extension of \(BA\) beyond \(A\) meets \(\Omega\) at \(X\), and the extension of \(BC\) beyond \(C\) meets \(\Omega\) at \(Z\). The extensions of \(AD\) and \(CD\) beyond \(D\) meet \(\Omega\) at \(Y\) and \(T\), respectively. Prove that \[ AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC. \]

Solution →

Problem 5

Two squirrels, Bushy and Jumpy, have collected 2021 walnuts for the winter. Jumpy numbers the walnuts from 1 through 2021, and digs 2021 little holes in a circular pattern in the ground around their favourite tree. The next morning Jumpy notices that Bushy had placed one walnut into each hole, but had paid no attention to the numbering. Unhappy, Jumpy decides to reorder the walnuts by performing a sequence of 2021 moves. In the \(k\)-th move, Jumpy swaps the positions of the two walnuts adjacent to walnut \(k\).

Prove that there exists a value of \(k\) such that, on the \(k\)-th move, Jumpy swaps some walnuts \(a\) and \(b\) such that \(a<k<b\).

Solution →

Problem 6

Let \(m \geq 2\) be an integer, \(A\) be a finite set of (not necessarily positive) integers, and \(B_1, B_2, B_3, \ldots, B_m\) be subsets of \(A\). Assume that for each \(k = 1, 2, \ldots, m\) the sum of the elements of \(B_k\) is \(m^k\). Prove that \(A\) contains at least \(m/2\) elements.

Solution →

Aufgabe 1

Es sei \(n\ge 100\) eine ganze Zahl. Wanja schreibt die Zahlen \(n,n+1,\ldots,2n\) auf Karten, jede auf eine eigene Karte. Er mischt diese \(n+1\) Karten und verteilt sie auf zwei Stapel. Man zeige, dass mindestens einer der Stapel zwei Karten enthält, deren Zahlen in Summe eine Quadratzahl ergeben.

Lösung →

Aufgabe 2

Man zeige, dass die Ungleichung \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i+x_j|} \] für alle reellen Zahlen \(x_1,\ldots,x_n\) gilt.

Lösung →

Aufgabe 3

Es sei \(D\) ein innerer Punkt des spitzwinkligen Dreiecks \(ABC\) mit \(AB>AC\), für den \(\angle DAB=\angle CAD\) gilt. Für den Punkt \(E\) auf der Strecke \(AC\) gilt \(\angle ADE=\angle BCD\), für den Punkt \(F\) auf der Strecke \(AB\) gilt \(\angle FDA=\angle DBC\), und für den Punkt \(X\) auf der Geraden \(AC\) gilt \(CX=BX\). Es seien \(O_1\) und \(O_2\) die Umkreismittelpunkte der Dreiecke \(ADC\) beziehungsweise \(EXD\). Man beweise, dass die Geraden \(BC\), \(EF\) und \(O_1O_2\) durch einen gemeinsamen Punkt gehen.

Lösung →

Aufgabe 4

Es sei \(\Gamma\) ein Kreis mit dem Mittelpunkt \(I\) und \(ABCD\) ein konvexes Viereck, dessen Seiten \(AB\), \(BC\), \(CD\) und \(DA\) den Kreis \(\Gamma\) berühren. Es sei \(\Omega\) der Umkreis des Dreiecks \(AIC\). Die Verlängerung von \(BA\) über \(A\) hinaus schneidet \(\Omega\) in \(X\), und die Verlängerung von \(BC\) über \(C\) hinaus schneidet \(\Omega\) in \(Z\). Die Verlängerungen von \(AD\) und \(CD\) über \(D\) hinaus schneiden \(\Omega\) in \(Y\) beziehungsweise \(T\). Man beweise \[ AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC. \]

Lösung →

Aufgabe 5

Die beiden Eichhörnchen Buschi und Hoppi haben 2021 Walnüsse für den Winter gesammelt. Hoppi nummeriert die Walnüsse von 1 bis 2021 und gräbt 2021 kleine Löcher in den Boden entlang eines Kreises um ihren Lieblingsbaum. Am nächsten Morgen bemerkt Hoppi, dass Buschi in jedes Loch eine Walnuss gelegt hat, aber ohne die Nummerierung zu beachten. Verstimmt beschließt Hoppi, die Walnüsse umzuordnen, und führt dazu eine Folge von 2021 Zügen aus. Im \(k\)-ten Zug vertauscht Hoppi die Positionen der beiden Walnüsse, die direkt neben Walnuss \(k\) liegen. Man beweise, dass es eine ganze Zahl \(k\) derart gibt, dass Hoppi im \(k\)-ten Zug zwei Walnüsse \(a\) und \(b\) mit \(a<k<b\) vertauscht.

Lösung →

Aufgabe 6

Es seien \(m\ge 2\) eine ganze Zahl, \(A\) eine endliche Menge von (nicht notwendigerweise positiven) ganzen Zahlen und \(B_1,B_2,B_3,\ldots,B_m\) Teilmengen von \(A\). Es werde vorausgesetzt, dass für jedes \(1\le k\le m\) die Summe der Elemente von \(B_k\) genau \(m^k\) beträgt. Man beweise, dass \(A\) mindestens \(m/2\) Elemente enthält.

Lösung →

Soru 1

\(n\ge 100\) bir tam sayı olsun. Aslı \(n,n+1,\ldots,2n\) sayılarının her birini farklı bir karta yazıyor. Daha sonra bu \(n+1\) kartı karıştırarak iki gruba ayırıyor. Bu gruplardan en az birinde, üzerindeki sayıların toplamı tam kare olan iki kartın bulunduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 2

Tüm \(x_1,\ldots,x_n\) gerçek sayıları için \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i+x_j|} \] eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.

Çözüm →

Soru 3

\(|AB|>|AC|\) olan dar açılı bir \(ABC\) üçgeninin iç bölgesinde \(\angle DAB=\angle CAD\) olacak şekilde bir \(D\) noktası alınıyor. \([AC]\) kenarı üzerinde \(\angle ADE=\angle BCD\) olacak şekilde bir \(E\) noktası, \([AB]\) kenarı üzerinde \(\angle FDA=\angle DBC\) olacak şekilde bir \(F\) noktası ve \(AC\) doğrusu üzerinde \(|CX|=|BX|\) olacak şekilde bir \(X\) noktası alınıyor. \(ADC\) ve \(EXD\) üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri sırasıyla \(O_1\) ve \(O_2\) olsun. \(BC\), \(EF\) ve \(O_1O_2\) doğrularının noktadaş olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 4

\(\Gamma\) çemberinin merkezi \(I\) olsun. \(ABCD\) dışbükey dörtgeninin \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\) ve \([DA]\) kenarlarının her biri \(\Gamma\) çemberine teğettir. \(AIC\) üçgeninin çevrel çemberi \(\Omega\) olsun. \([BA]\) nın \(A\) yönünde uzantısı \(\Omega\) ile \(X\) noktasında, \([BC]\) nin \(C\) yönünde uzantısı \(\Omega\) ile \(Z\) noktasında kesişiyor. \([AD]\) ve \([CD]\) nin \(D\) yönünde uzantıları \(\Omega\) ile sırasıyla \(Y\) ve \(T\) noktalarında kesişiyor. \[ |AD|+|DT|+|TX|+|XA|=|CD|+|DY|+|YZ|+|ZC| \] olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 5

Tüylü ve Zıplak isimli iki sincap kış için 2021 tane ceviz toplamıştır. Zıplak, cevizleri 1 den 2021 e kadar olan sayılarla numaralandırıyor ve en sevdikleri ağacın etrafında çembersel bir düzende 2021 tane küçük delik açıyor. Ertesi sabah Zıplak, Tüylü’nün her deliğe bir ceviz yerleştirdiğini, fakat yerleştirirken cevizlerin numaralarına hiç dikkat etmediğini fark ediyor. Bundan mutsuz olan Zıplak, 2021 hamleden oluşan bir hamleler dizisi uygulayarak cevizlerin yerlerini değiştirmeye karar veriyor. \(k\) ıncı hamlede Zıplak, \(k\) numaralı cevizin iki komşusunun yerlerini birbirleriyle değiştiriyor. Öyle bir \(k\) sayısının var olduğunu gösteriniz ki; Zıplak, \(k\) ıncı hamlede \(a<k<b\) koşuluna uyan \(a\) ve \(b\) numaralı cevizlerin yerlerini değiştirmiş olsun.

Çözüm →

Soru 6

\(m\ge 2\) bir tam sayı, \(A\) (pozitif olmak zorunda olmayan) tam sayılardan oluşan bir sonlu küme ve \(B_1,B_2,B_3,\ldots,B_m\) kümeleri \(A\) nın alt kümeleri olsun. Her \(k=1,2,\ldots,m\) için \(B_k\) kümesinin elemanlarının toplamı \(m^k\) dır. \(A\) kümesinin en az \(m/2\) eleman içerdiğini gösteriniz.

Çözüm →

Problema 1

Sea \(n \ge 100\) un entero. Iván escribe cada uno de los números \(n, n + 1, \ldots, 2n\) en un naipe diferente. Después de barajar estos \(n + 1\) naipes, los divide en dos pilas distintas. Probar que al menos una de esas pilas contiene dos naipes tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

Solución →

Problema 2

Probar que la desigualdad \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i-x_j|} \leqslant \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i+x_j|} \] se satisface para cualquier elección de números reales \(x_1,\ldots,x_n\).

Solución →

Problema 3

Sea \(D\) un punto interior de un triángulo acutángulo \(ABC\), con \(AB > AC\), de forma que \(\angle DAB = \angle CAD\). El punto \(E\) en el segmento \(AC\) satisface que \(\angle ADE = \angle BCD\), el punto \(F\) en el segmento \(AB\) satisface \(\angle FDA = \angle DBC\), y el punto \(X\) en la recta \(AC\) satisface \(CX = BX\). Sean \(O_1\) y \(O_2\) los circuncentros de los triángulos \(ADC\) y \(EXD\) respectivamente. Probar que las rectas \(BC\), \(EF\) y \(O_1O_2\) son concurrentes.

Solución →

Problema 4

Sean \(\Gamma\) una circunferencia con centro \(I\) y \(ABCD\) un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos \(AB\), \(BC\), \(CD\) y \(DA\) es tangente a \(\Gamma\). Sea \(\Omega\) la circunferencia circunscrita del triángulo \(AIC\). La prolongación de \(BA\) más allá de \(A\) corta a \(\Omega\) en \(X\), y la prolongación de \(BC\) más allá de \(C\) corta a \(\Omega\) en \(Z\). Las prolongaciones de \(AD\) y \(CD\) más allá de \(D\) cortan a \(\Omega\) en \(Y\) y \(T\) respectivamente. Probar que \[ AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC. \]

Solución →

Problema 5

Dos ardillas, Ardi y Dilla, han recolectado 2021 nueces para el invierno. Ardi numera las nueces desde 1 hasta 2021, y excava 2021 pequeños hoyos en el suelo en una disposición circular alrededor de su árbol favorito. A la mañana siguiente, Ardi observa que Dilla ha colocado una nuez en cada hoyo, pero sin tener en cuenta la numeración. No contenta con esto, Ardi decide reordenar las nueces realizando una secuencia de 2021 movimientos. En el \(k\)-ésimo movimiento Ardi intercambia las posiciones de las dos nueces adyacentes a la nuez con el número \(k\). Probar que existe un valor de \(k\) tal que, en el \(k\)-ésimo movimiento, las nueces intercambiadas tienen números \(a\) y \(b\) tales que \(a < k < b\).

Solución →

Problema 6

Sean \(m \ge 2\) un entero, \(A\) un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos), y \(B_1,B_2,B_3,\ldots,B_m\) subconjuntos de \(A\). Suponemos que para cada \(k = 1, 2, \ldots, m\), la suma de los elementos de \(B_k\) es \(m^k\). Probar que \(A\) contiene al menos \(m/2\) elementos.

Solución →

问题 1

设整数 \(n\ge 100\). 伊凡把 \(n,n+1,\ldots,2n\) 的每个数写在不同的卡片上. 然后他将这 \(n+1\) 张卡片打乱顺序并分成两堆. 证明: 至少有一堆中包含两张卡片, 使得这两张卡片上的数之和是一个完全平方数.

解答 →

问题 2

对任意实数 \(x_1,\ldots,x_n\), 证明下述不等式成立: \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i+x_j|}. \]

解答 →

问题 3

设 \(D\) 是锐角三角形 \(ABC\) \((AB>AC)\) 内部一点, 使得 \(\angle DAB=\angle CAD\). 线段 \(AC\) 上的点 \(E\) 满足 \(\angle ADE=\angle BCD\), 线段 \(AB\) 上的点 \(F\) 满足 \(\angle FDA=\angle DBC\), 且直线 \(AC\) 上的点 \(X\) 满足 \(CX=BX\). 设 \(O_1\) 和 \(O_2\) 分别为三角形 \(ADC\) 和三角形 \(EXD\) 的外心. 证明: 直线 \(BC\), \(EF\) 和 \(O_1O_2\) 共点.

解答 →

问题 4

设圆 \(\Gamma\) 的圆心为 \(I\), 凸四边形 \(ABCD\) 满足: 线段 \(AB\), \(BC\), \(CD\) 和 \(DA\) 都与 \(\Gamma\) 相切. 设 \(\Omega\) 是三角形 \(AIC\) 的外接圆. \(BA\) 往 \(A\) 方向的延长线交 \(\Omega\) 于点 \(X\), \(BC\) 往 \(C\) 方向的延长线交 \(\Omega\) 于点 \(Z\), \(AD\) 往 \(D\) 方向的延长线交 \(\Omega\) 于点 \(Y\), \(CD\) 往 \(D\) 方向的延长线交 \(\Omega\) 于点 \(T\). 证明: \[ AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC. \]

解答 →

问题 5

两只松鼠 B 和 J 为过冬收集了 2021 枚核桃. J 将核桃依次编号为 1 到 2021, 并在它们最喜欢的树周围挖了一圈共 2021 个小坑. 第二天早上, J 发现 B 已经在每个小坑里放入了一枚核桃, 但并未注意编号. 不开心的 J 决定用 2021 次操作来改变这些核桃的位置. 在第 \(k\) 次操作中, J 把与第 \(k\) 号核桃相邻的两枚核桃交换位置. 证明: 存在某个 \(k\), 使得在第 \(k\) 次操作中, J 交换了两枚编号为 \(a\) 和 \(b\) 的核桃, 且 \(a<k<b\).

解答 →

问题 6

设整数 \(m\ge 2\). 设集合 \(A\) 由有限个整数 (不一定为正) 构成, 且 \(B_1,B_2,B_3,\ldots,B_m\) 是 \(A\) 的子集. 假设对任意 \(k=1,2,\ldots,m\), \(B_k\) 中所有元素之和为 \(m^k\). 证明: \(A\) 包含至少 \(m/2\) 个元素.

解答 →

Задача 1

Дано целое число \(n\ge 100\). Ваня написал числа \(n,n+1,\ldots,2n\) на \(n+1\) карточке, каждое по одному разу. Затем он перемешал колоду из этих карточек и разделил её на две стопки. Докажите, что хотя бы одна из двух стопок содержит две карточки, сумма чисел на которых — точный квадрат.

Решение →

Задача 2

Докажите, что для любых вещественных чисел \(x_1,\ldots,x_n\) выполняется неравенство \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i+x_j|}. \]

Решение →

Задача 3

Точка \(D\) внутри остроугольного треугольника \(ABC\), в котором \(AB>AC\), такова, что \(\angle DAB=\angle CAD\). Точка \(E\) на отрезке \(AC\) такова, что \(\angle ADE=\angle BCD\); точка \(F\) на отрезке \(AB\) такова, что \(\angle FDA=\angle DBC\); точка \(X\) на прямой \(AC\) такова, что \(CX=BX\). Точки \(O_1\) и \(O_2\) — центры описанных окружностей треугольников \(ADC\) и \(EXD\) соответственно. Докажите, что прямые \(BC\), \(EF\) и \(O_1O_2\) пересекаются в одной точке.

Решение →

Задача 4

Дана окружность \(\Gamma\) с центром \(I\). Выпуклый четырёхугольник \(ABCD\) таков, что каждый из отрезков \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\) касается \(\Gamma\). Пусть \(\Omega\) — описанная окружность треугольника \(AIC\). Продолжение отрезка \(BA\) за точку \(A\) пересекает \(\Omega\) в точке \(X\), продолжение отрезка \(BC\) за точку \(C\) пересекает \(\Omega\) в точке \(Z\). Продолжения отрезков \(AD\) и \(CD\) за точку \(D\) пересекают \(\Omega\) в точках \(Y\) и \(T\) соответственно. Докажите, что \[ AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC. \]

Решение →

Задача 5

Чип и Дейл собрали на зиму 2021 орешек. Чип пронумеровал орешки числами от 1 до 2021 и вырыл 2021 маленькую ямку вокруг их любимого дерева. На следующее утро он обнаружил, что Дейл положил в каждую ямку по орешку, ничуть не беспокоясь о порядке. Расстроившись, Чип решил переупорядочить орешки посредством следующей последовательности из 2021 действия: во время \(k\)-го действия он меняет местами орешки, соседние с орешком под номером \(k\). Докажите, что найдётся такое число \(k\), что во время \(k\)-го действия поменялись местами орешки с номерами \(a\) и \(b\) такими, что \(a<k<b\).

Решение →

Задача 6

Дано целое число \(m\ge 2\). В конечном множестве \(A\), состоящем из (не обязательно положительных) целых чисел, нашлись такие подмножества \(B_1,B_2,B_3,\ldots,B_m\), что при каждом \(k=1,2,\ldots,m\) сумма элементов множества \(B_k\) равна \(m^k\). Докажите, что \(A\) содержит хотя бы \(m/2\) элементов.

Решение →

المسألة 1

ليكن \(n \ge 100\) عدداً صحيحاً. تكتب إيمان كل عدد من الأعداد \(n, n+1, \ldots, 2n\) على بطاقة. ثم تقوم بخلط هذه الـ \(n+1\) بطاقة عشوائياً، وتقسمها إلى مجموعتين. أثبت أن إحدى هاتين المجموعتين على الأقل تحتوي بطاقتين مجموع عدديهما يكون مربعاً كاملاً.

← الحل

المسألة 2

أثبت أن المتباينة \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i-x_j|}\leqslant\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{|x_i+x_j|} \] تتحقق لكل الأعداد الحقيقية \(x_1,\ldots,x_n\).

← الحل

المسألة 3

لتكن \(D\) نقطة داخل المثلث الحاد الزوايا \(ABC\) الذي فيه \(AB>AC\) و \(\angle DAB=\angle CAD\). النقطة \(E\) تقع على القطعة المستقيمة \(AC\) بحيث \(\angle ADE=\angle BCD\). النقطة \(F\) تقع على القطعة المستقيمة \(AB\) بحيث \(\angle FDA=\angle DBC\). النقطة \(X\) تقع على \(AC\) بحيث \(CX=BX\). أخيراً النقطتان \(O_1\) و \(O_2\) هما المركزان المحيطان بالمثلثين \(ADC\) و \(EXD\) توالياً. أثبت أن \(BC,EF,O_1O_2\) تتقاطع في نقطة واحدة.

← الحل

المسألة 4

لتكن \(\Gamma\) دائرة مركزها \(I\)، و \(ABCD\) رباعياً محدباً بحيث تمس جميع القطع المستقيمة \(AB,BC,CD,DA\) الدائرة \(\Gamma\). لتكن \(\Omega\) الدائرة المحيطة بالمثلث \(AIC\). امتداد \(BA\) خلف \(A\) يقطع \(\Omega\) في \(X\)، وامتداد \(BC\) خلف \(C\) يقطع \(\Omega\) في \(Z\). امتداد كل من \(AD,CD\) خلف \(D\) يقطع \(\Omega\) في \(Y,T\) على الترتيب. أثبت أن \[ AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC. \]

← الحل

المسألة 5

قام اثنان من السناجيب، بوشي وجامي، بجمع 2021 حبة بندق للشتاء. قام جامي بترقيم حبات البندق من 1 إلى 2021، ثم حفر 2021 حفرة صغيرة في نمط دائري على الأرض حول شجرته المفضلة. في صباح اليوم التالي لاحظ جامي أن بوشي قد وضع حبة بندق في كل حفرة، ولكنه لم ينتبه للترقيم. قرر جامي إعادة ترتيب حبات البندق عن طريق إجراء سلسلة من 2021 حركة. في الحركة رقم \(k\) يقوم جامي بتبديل مواضع حبتي البندق المجاورتين لحبة رقم \(k\). أثبت أنه يوجد \(k\) بحيث في الحركة رقم \(k\) قام جامي بتبديل الحبتين \(a,b\) بحيث \(a<k<b\).

← الحل

المسألة 6

ليكن \(m\ge 2\) عدداً صحيحاً، و \(A\) مجموعة منتهية من الأعداد الصحيحة (ليست بالضرورة موجبة)، و \(B_1,B_2,B_3,\ldots,B_m\) مجموعات جزئية من \(A\). بفرض أنه لكل \(k=1,2,\ldots,m\) فإن مجموع عناصر \(B_k\) يساوي \(m^k\). أثبت أن \(A\) تحوي على الأقل \(m/2\) عنصراً.

← الحل