Problem 1

The Bank of Oslo issues two types of coin: aluminium (denoted \(A\)) and bronze (denoted \(B\)). Marianne has \(n\) aluminium coins and \(n\) bronze coins, arranged in a row in some arbitrary initial order. A chain is any subsequence of consecutive coins of the same type. Given a fixed positive integer \(k \leqslant 2n\), Marianne repeatedly performs the following operation: she identifies the longest chain containing the \(k^{\text{th}}\) coin from the left, and moves all coins in that chain to the left end of the row. For example, if \(n = 4\) and \(k = 4\), the process starting from the ordering \(AABBBABA\) would be

\[ AAB\underline{B}BABA \to BBB\underline{A}AABA \to AAA\underline{B}BBBA \to BBB\underline{B}AAAA \to BBB\underline{B}AAAA \to \cdots. \]

Find all pairs \((n,k)\) with \(1 \leqslant k \leqslant 2n\) such that for every initial ordering, at some moment during the process, the leftmost \(n\) coins will all be of the same type.

Solution →

Problem 2

Let \(\mathbb{R}^+\) denote the set of positive real numbers. Find all functions \(f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+\) such that for each \(x\in\mathbb{R}^+\), there is exactly one \(y\in\mathbb{R}^+\) satisfying \[ xf(y)+yf(x)\leq 2. \]

Solution →

Problem 3

Let \(k\) be a positive integer and let \(S\) be a finite set of odd prime numbers. Prove that there is at most one way (up to rotation and reflection) to place the elements of \(S\) around a circle such that the product of any two neighbours is of the form \(x^2+x+k\) for some positive integer \(x\).

Solution →

Problem 4

Let \(ABCDE\) be a convex pentagon such that \(BC = DE\). Assume that there is a point \(T\) inside \(ABCDE\) with \(TB = TD\), \(TC = TE\) and \(\angle ABT = \angle TEA\). Let line \(AB\) intersect lines \(CD\) and \(CT\) at points \(P\) and \(Q\), respectively. Assume that the points \(P, B, A, Q\) occur on their line in that order. Let line \(AE\) intersect lines \(CD\) and \(DT\) at points \(R\) and \(S\), respectively. Assume that the points \(R, E, A, S\) occur on their line in that order. Prove that the points \(P, S, Q, R\) lie on a circle.

Solution →

Problem 5

Find all triples \((a,b,p)\) of positive integers with \(p\) prime and \[ a^p=b!+p. \]

Solution →

Problem 6

Let \(n\) be a positive integer. A Nordic square is an \(n\times n\) board containing all the integers from \(1\) to \(n^2\) so that each cell contains exactly one number. Two different cells are considered adjacent if they share a common side. Every cell that is adjacent only to cells containing larger numbers is called a valley. An uphill path is a sequence of one or more cells such that:

(i) the first cell in the sequence is a valley,

(ii) each subsequent cell in the sequence is adjacent to the previous cell, and

(iii) the numbers written in the cells in the sequence are in increasing order.

Find, as a function of \(n\), the smallest possible total number of uphill paths in a Nordic square.

Solution →

Aufgabe 1

Die Osloer Bank gibt Münzen aus Aluminium (mit \(A\) bezeichnet) und aus Bronze (mit \(B\) bezeichnet) heraus. Marianne hat \(n\) Aluminiummünzen und \(n\) Bronzemünzen beliebig in einer Reihe angeordnet. Eine Kette sei eine Teilfolge aufeinanderfolgender Münzen aus gleichem Material. Für eine gegebene positive ganze Zahl \(k \leqslant 2n\) führt Marianne wiederholt die folgende Operation durch: Sie identifiziert die längste Kette, die die \(k\)-te Münze von links enthält, und verschiebt alle Münzen dieser Kette an das linke Ende der Reihe. Zum Beispiel erhält sie für \(n = 4\) und \(k = 4\) ausgehend von der Konfiguration \(AABBBABA\) nacheinander

\[ AAB\underline{B}BABA \to BBB\underline{A}AABA \to AAA\underline{B}BBBA \to BBB\underline{B}AAAA \to BBB\underline{B}AAAA \to \cdots. \]

Man bestimme alle Paare \((n,k)\) mit \(1 \leqslant k \leqslant 2n\), sodass für jede Ausgangskonfiguration zu irgendeinem Zeitpunkt im Verlauf des Prozesses die \(n\) am weitesten links liegenden Münzen aus dem gleichen Material sind.

Lösung →

Aufgabe 2

Es sei \(\mathbb{R}^+\) die Menge der positiven reellen Zahlen. Man bestimme alle Funktionen \(f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+\), für die es zu jedem \(x\in\mathbb{R}^+\) genau ein \(y\in\mathbb{R}^+\) gibt mit \[ xf(y)+yf(x)\leqslant 2. \]

Lösung →

Aufgabe 3

Es seien \(k\) eine positive ganze Zahl und \(S\) eine endliche Menge ungerader Primzahlen. Man beweise, dass es (bis auf Drehung und Spiegelung) höchstens eine Möglichkeit gibt, die Elemente von \(S\) entlang eines Kreises so anzuordnen, dass das Produkt zweier beliebiger Nachbarn in der Form \(x^2+x+k\) mit einer geeigneten positiven ganzen Zahl \(x\) dargestellt werden kann.

Lösung →

Aufgabe 4

Es sei \(ABCDE\) ein konvexes Fünfeck mit \(BC = DE\). Weiterhin sei angenommen, dass \(T\) ein Punkt im Inneren von \(ABCDE\) mit \(TB = TD\), \(TC = TE\) und \(\angle ABT = \angle TEA\) ist. Die Gerade \(AB\) schneide die Geraden \(CD\) und \(CT\) in den Punkten \(P\) bzw. \(Q\). Wir nehmen an, dass die Punkte \(P\), \(B\), \(A\), \(Q\) in dieser Reihenfolge auf der Geraden liegen. Die Gerade \(AE\) schneide die Geraden \(CD\) und \(DT\) in den Punkten \(R\) bzw. \(S\). Wir nehmen an, dass die Punkte \(R\), \(E\), \(A\), \(S\) in dieser Reihenfolge auf der Geraden liegen. Man beweise, dass die Punkte \(P\), \(S\), \(Q\), \(R\) auf einem Kreis liegen.

Lösung →

Aufgabe 5

Man bestimme alle Tripel \((a,b,p)\) positiver ganzer Zahlen mit Primzahl \(p\) und \[ a^p=b!+p. \]

Lösung →

Aufgabe 6

Es sei \(n\) eine positive ganze Zahl. Ein Nordisches Quadrat ist ein Spielbrett der Größe \(n\times n\), in dessen Feldern alle Zahlen von \(1\) bis \(n^2\) stehen, wobei jedes Feld genau eine Zahl enthält. Zwei verschiedene Felder heißen benachbart, wenn sie eine gemeinsame Seite besitzen. Jedes Feld, das nur benachbarte Felder mit größeren Zahlen hat, heißt Talfeld. Ein ansteigender Pfad ist eine Folge von einem oder mehreren Feldern mit den folgenden Eigenschaften:

(i) Das erste Feld in der Folge ist ein Talfeld.

(ii) Jedes weitere Feld der Folge ist benachbart zum vorigen Feld.

(iii) Die Zahlen in den Feldern der Folge sind in ansteigender Reihenfolge.

Man bestimme in Abhängigkeit von \(n\) die kleinstmögliche Gesamtzahl ansteigender Pfade in einem Nordischen Quadrat.

Lösung →

Soru 1

Oslo Bankası, iki tür madeni para basmaktadır: alüminyum (\(A\) ile belirtilecektir) ve bronz (\(B\) ile belirtilecektir). \(n\) adet alüminyum ve \(n\) adet bronz parası olan Aslı, başlangıçta bu paraları herhangi bir sırayla yan yana dizmiştir. Ardışık olarak dizilmiş ve aynı tür paralardan oluşan diziye zincir diyelim. \(k\leqslant 2n\) verilmiş bir pozitif tam sayı olsun. Aslı, aşağıda tanımlanan hamleyi tekrar tekrar yapmaktadır: soldan \(k\). sıradaki parayı içeren en uzun zinciri alıyor ve bu zincirdeki tüm paraları dizinin en soluna taşıyor. Örneğin, \(n=4\) ve \(k=4\) durumunda \(AABBBABA\) sıralamasıyla başlayan bir süreç aşağıdaki gibi ilerler

\[ AAB\underline{B}BABA\to BBB\underline{A}AABA\to AAA\underline{B}BBBA\to BBB\underline{B}AAAA\to BBB\underline{B}AAAA\to\cdots. \]

Başlangıçtaki sıralama nasıl olursa olsun, bu sürecin bir noktasında en soldaki \(n\) paranın aynı türden olmasını sağlayan tüm \((n,k)\), \(1\leqslant k\leqslant 2n\) ikililerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 2

\(\mathbb{R}^+\) ile pozitif gerçel sayıların kümesi gösterilmektedir. Aşağıdaki şartı sağlayan tüm \(f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+\) fonksiyonlarını bulunuz: Her \(x\in\mathbb{R}^+\) için

\[ xf(y)+yf(x)\leqslant 2 \]

koşulunu sağlayan tam olarak bir tane \(y\in\mathbb{R}^+\) vardır.

Çözüm →

Soru 3

\(k\) bir pozitif tam sayı ve \(S\) tek asal sayılardan oluşan sonlu bir küme olsun. \(S\) kümesinin tüm elemanlarının bir çember etrafına, yan yana olan herhangi iki elemanın çarpımının bir \(x\) pozitif tam sayısı için \(x^2+x+k\) formunda olması koşuluyla en fazla bir farklı şekilde dizilebileceğini gösteriniz (rotasyon ve yansımalar sonucu birbirinden elde edilebilen dizilimler aynı sayılmaktadır).

Çözüm →

Soru 4

Bir \(ABCDE\) dışbükey beşgeninde \(|BC|=|DE|\) dir. \(ABCDE\) beşgeninin iç bölgesinde bulunan bir \(T\) noktasının \(|TB|=|TD|\), \(|TC|=|TE|\) ve \(\angle ABT=\angle TEA\) olacak şekilde alındığını varsayalım. \(AB\) doğrusunun \(CD\) ve \(CT\) doğrularıyla kesiştiği noktalar sırasıyla \(P\) ve \(Q\) olsun. \(P,B,A,Q\) noktaları bulundukları doğru üzerinde bu sırayla yer alsın. \(AE\) doğrusunun \(CD\) ve \(DT\) doğrularıyla kesiştiği noktalar sırasıyla \(R\) ve \(S\) olsun. \(R,E,A,S\) noktaları bulundukları doğru üzerinde bu sırayla yer alsın. \(P,S,Q,R\) noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 5

\(a,b\) pozitif tam sayılar ve \(p\) asal sayı olmak üzere

\[ a^p=b!+p \]

denklemini sağlayan tüm \((a,b,p)\) üçlülerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 6

\(n\) bir pozitif tam sayı olsun. \(n\times n\) boyutunda, 1’den \(n^2\)’ye kadar olan tüm sayıları içeren ve her birim karede tam olarak bir tane sayının yazıldığı satranç tahtasına İskandinav kare diyelim. Ortak kenar paylaşan iki birim kareye komşu diyelim. Bir birim karede yazılan sayı, bu karenin tüm komşularında yazılan sayılardan küçükse bu birim kareye vadi diyelim. Aşağıdaki şartları sağlayan, bir veya birkaç kareden oluşan birim kare dizisine yokuş yukarı yol diyelim:

(i) Bu dizideki ilk birim kare bir vadidir,

(ii) Bu dizideki her birim kare, kendinden önce gelen birim kare ile komşudur,

(iii) Bu dizinin birim karelerinde yazılan sayılar artan sıradadır.

Bir İskandinav karedeki tüm yokuş yukarı yolların toplam sayısının alabileceği en küçük değeri \(n\) cinsinden bulunuz.

Çözüm →

Problema 1

El Banco de Oslo emite dos tipos de monedas: de aluminio (denotadas por \(A\)) y de bronce (denotadas por \(B\)). Mariana tiene \(n\) monedas de aluminio y \(n\) monedas de bronce, colocadas en fila en un orden inicialmente arbitrario. Una cadena es una sucesión de monedas consecutivas todas del mismo tipo. Dado un entero positivo \(k\leqslant 2n\), Mariana realiza repetidamente la siguiente operación: primero identifica la cadena más larga que contiene la \(k\)-ésima moneda desde la izquierda y después reubica todas las monedas de esa cadena al extremo izquierdo de la fila. Por ejemplo, si \(n=4\) y \(k=4\), el proceso que comienza con el orden inicial \(AABBBABA\) será

\[ AAB\underline{B}BABA\to BBB\underline{A}AABA\to AAA\underline{B}BBBA\to BBB\underline{B}AAAA\to BBB\underline{B}AAAA\to\cdots. \]

Hallar todas las parejas \((n,k)\) con \(1\leqslant k\leqslant 2n\) tales que, cualquiera que sea el orden inicial, en algún momento durante el proceso las \(n\) monedas de la izquierda serán todas del mismo tipo.

Solución →

Problema 2

Sea \(\mathbb{R}^+\) el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones \(f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+\) tales que para cada \(x\in\mathbb{R}^+\), existe exactamente un \(y\in\mathbb{R}^+\) que satisface \[ xf(y)+yf(x)\leqslant 2. \]

Solución →

Problema 3

Sea \(k\) un entero positivo y sea \(S\) un conjunto finito de números primos impares. Demostrar que existe a lo sumo una manera (sin contar rotaciones y reflexiones) de colocar los elementos \(S\) alrededor de una circunferencia de modo que cada producto de dos números que son vecinos sea de la forma \(x^2+x+k\) para algún entero positivo \(x\).

Solución →

Problema 4

Sea \(ABCDE\) un pentágono convexo tal que \(BC=DE\). Supongamos que existe un punto \(T\) en el interior de \(ABCDE\) tal que \(TB=TD\), \(TC=TE\) y \(\angle ABT=\angle TEA\). La recta \(AB\) corta a las rectas \(CD\) y \(CT\) en los puntos \(P\) y \(Q\), respectivamente. Supongamos que los puntos \(P, B, A, Q\) aparecen sobre su recta en ese orden. La recta \(AE\) corta a las rectas \(CD\) y \(DT\) en los puntos \(R\) y \(S\), respectivamente. Supongamos que los puntos \(R, E, A, S\) aparecen sobre su recta en ese orden. Demostrar que los puntos \(P, S, Q, R\) están en una misma circunferencia.

Solución →

Problema 5

Hallar todas las ternas \((a,b,p)\) de números enteros positivos con \(p\) primo que satisfacen \[ a^p=b!+p. \]

Solución →

Problema 6

Sea \(n\) un número entero positivo. Un cuadrado nórdico es un tablero \(n\times n\) que contiene todos los números enteros del \(1\) al \(n^2\) de modo que cada celda contiene exactamente un número. Dos celdas diferentes son adyacentes si comparten un mismo lado. Una celda que solamente es adyacente a celdas que contienen números mayores se llama un valle. Un camino ascendente es una sucesión de una o más celdas tales que:

(i) la primera celda de las sucesión es un valle,

(ii) cada celda subsiguiente de la sucesión es adyacente a la celda anterior, y

(iii) los números escritos en las celdas de la sucesión están en orden creciente.

Hallar, como función de \(n\), el menor número total de caminos ascendentes en un cuadrado nórdico.

Solución →

问题 1

奥斯陆银行发行两种硬币：铝币（记做 \(A\)）以及铜币（记做 \(B\)）。玛丽有 \(n\) 个铝币和 \(n\) 个铜币，他任意地将这些硬币排成一列。我们称相同材料的连续一小段硬币为「同花段」。给定一正整数 \(k\leqslant 2n\)，玛丽重复下列的操作：找出包含从左数第 \(k\) 个硬币的最长同花段，然后把这个同花段中的所有硬币移到整列硬币的最左边。举例来说，当 \(n=4\) 且 \(k=4\) 时，从 \(AABBBABA\) 这个起始状态开始操作，过程会是

\[ AAB\underline{B}BABA\to BBB\underline{A}AABA\to AAA\underline{B}BBBA\to BBB\underline{B}AAAA\to BBB\underline{B}AAAA\to\cdots. \]

找出符合 \(1\leqslant k\leqslant 2n\) 的所有数对 \((n,k)\)，使得不管是什么起始状态，在操作过程的某个时刻，最左边的 \(n\) 个硬币都是同一种材料的。

解答 →

问题 2

令 \(\mathbb{R}^+\) 代表所有正实数所形成的集。找出所有函数 \(f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+\)，使得对于任意 \(x\in\mathbb{R}^+\)，都恰好有一个 \(y\in\mathbb{R}^+\) 符合 \[ xf(y)+yf(x)\leqslant 2. \]

解答 →

问题 3

令 \(k\) 为一正整数，且 \(S\) 是一个由有限多个奇素数所形成的集。证明至多只有一种方式可以将 \(S\) 中所有数字排成一个圆圈（旋转与反射视为同一种），使得任意两个相邻数字的乘积皆可以被表示成 \(x^2+x+k\) 的形式，其中 \(x\) 为某个正整数。

解答 →

问题 4

令 \(ABCDE\) 为一凸五边形满足 \(BC=DE\)。假设在 \(ABCDE\) 内部存在一点 \(T\) 使得 \(TB=TD\), \(TC=TE\) 且 \(\angle ABT=\angle TEA\)。令直线 \(AB\) 分别与直线 \(CD\) 和 \(CT\) 交于点 \(P\) 和 \(Q\)，假设 \(P,B,A,Q\) 在同一直线上按照此顺序排列。令直线 \(AE\) 分别与直线 \(CD\) 和 \(DT\) 交于点 \(R\) 和 \(S\)，假设 \(R,E,A,S\) 在同一直线上按照此顺序排列。证明 \(P,S,Q,R\) 落在同一个圆上。

解答 →

问题 5

找出所有三元正整数组 \((a,b,p)\)，满足 \(p\) 是素数且 \[ a^p=b!+p. \]

解答 →

问题 6

令 \(n\) 为一正整数。一个「北欧方阵」是一个包含 \(1\) 至 \(n^2\) 所有整数的 \(n\times n\) 方格表，使得每个方格内恰有一个数字。两个相异方格是相邻的如果他们有公共边。一个方格被称为「山谷」，若其内的数字比所有相邻方格内的数字都小。一条「上坡路径」是一个包含一或多个方格的序列，满足：

(i) 序列的第一个方格是山谷，

(ii) 序列中随后的每个方格都和其前一个方格相邻，且

(iii) 序列中方格内所写的数字递增。

试求一个北欧方阵中上坡路径数量的最小可能值，以 \(n\) 的函数表示之。

解答 →

Задача 1

Банк Осло выпускает монеты двух видов: алюминиевые (обозначим их буквой \(A\)) и бронзовые (обозначим их буквой \(B\)). Мария выложила в ряд в некотором порядке \(n\) алюминиевых и \(n\) бронзовых монет. Цепью назовём любую последовательность подряд идущих монет одного вида. Для заданного целого положительного числа \(k \leqslant 2n\) Мария последовательно повторяет следующую операцию: она выбирает цепь наибольшей длины, содержащую \(k\)-ую слева монету, и перемещает все монеты этой цепочки в левый край ряда. Например, если \(n = 4\) и \(k = 4\), то для начального ряда \(AABBBABA\), процесс будет иметь вид:

\[ AAB\underline{B}BABA \to BBB\underline{A}AABA \to AAA\underline{B}BBBA \to BBB\underline{B}AAAA \to BBB\underline{B}AAAA \to \cdots. \]

Найдите все пары \((n,k)\), где \(1 \leqslant k \leqslant 2n\), такие, что для любого начального ряда найдётся момент времени такой, что \(n\) первых монет ряда будут одного вида.

Решение →

Задача 2

Через \(\mathbb{R}^+\) обозначим множество всех положительных вещественных чисел. Найдите все функции \(f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+\) такие, что для каждого \(x\in\mathbb{R}^+\) существует ровно одно число \(y\in\mathbb{R}^+\), удовлетворяющее неравенству \[ xf(y)+yf(x)\leqslant 2. \]

Решение →

Задача 3

Пусть \(k\) — целое положительное число, а \(S\) — конечное множество, состоящее из нечётных простых чисел. Докажите, что существует не более одного способа (с точностью до поворотов и отражений) расположить все элементы множества \(S\) по кругу так, чтобы произведение любых двух соседних чисел имело вид \(x^2+x+k\), где \(x\) — целое положительное число.

Решение →

Задача 4

Пусть \(ABCDE\) — выпуклый пятиугольник, в котором \(BC=DE\). Внутри пятиугольника \(ABCDE\) нашлась точка \(T\) такая, что \(TB=TD\), \(TC=TE\) и \(\angle ABT=\angle TEA\). Прямая \(AB\) пересекает прямые \(CD\) и \(CT\) в точках \(P\) и \(Q\) соответственно. Предположим, что точки \(P,B,A,Q\) расположены на прямой в указанном порядке. Прямая \(AE\) пересекает прямые \(CD\) и \(DT\) в точках \(R\) и \(S\) соответственно. Предположим, что точки \(R,E,A,S\) расположены на прямой в указанном порядке. Докажите, что точки \(P,Q,R,S\) лежат на одной окружности.

Решение →

Задача 5

Найдите все тройки \((a,b,p)\) целых положительных чисел, такие что число \(p\) простое и \[ a^p=b!+p. \]

Решение →

Задача 6

Пусть \(n\) — целое положительное число. Нордическим квадратом будем называть любую таблицу \(n\times n\), клетки которой заполнены числами от \(1\) до \(n^2\) так, что каждое число использовано по одному разу и в каждой клетке записано ровно одно число. Две клетки назовём соседними, если у них есть общая сторона. Долиной назовём любую клетку, такую что во всех соседних с ней клетках записаны числа, большие чем в ней. Подъёмом назовём последовательность, состоящую из не менее чем одной клетки, такую что

1. первая клетка в последовательности — долина;

2. каждая следующая клетка последовательности является соседней с предыдущей;

3. числа, записанные в клетках последовательности, расположены в порядке возрастания.

Для каждого заданного \(n\) найдите наименьшее возможное количество всех подъёмов в нордическом квадрате.

Решение →

المسألة 1

يصدر بنك أوسلو نوعين من العملات المعدنية: ألومنيوم (يرمز لها \(A\))، وبرونز (يرمز لها \(B\)). تملك ماريان \(n\) من عملات الألومنيوم و \(n\) من عملات البرونز، قامت بوضعها في صف بترتيب عشوائي. لتكن ”السلسلة“ هي أي مجموعة متتالية من العملات من نفس النوع. معطى أن \(k\leqslant 2n\) عدد صحيح موجب محدد. تقوم ماريان بالعملية التالية بشكل متكرر: تحدد أطول سلسلة تحتوي على العملة رقم \(k\) من اليسار ثم تقوم بتحريك جميع العملات في تلك السلسلة إلى نهاية الطرف الأيسر من الصف. على سبيل المثال: إذا كان \(n=4\) و \(k=4\)، وليكن الوضع الابتدائي للعملات \(AABBBABA\) فإن تتابع العمليات ينبغي أن يكون كالتالي:

\[ AAB\underline{B}BABA\to BBB\underline{A}AABA\to AAA\underline{B}BBBA\to BBB\underline{B}AAAA\to BBB\underline{B}AAAA\to\cdots. \]

أوجد جميع الأزواج المرتبة \((n,k)\) بحيث \(1\leqslant k\leqslant 2n\) التي تحقق أنه لأي ترتيب ابتدائي، بعد وقت ما أثناء العملية، ستكون جميع العملات التي عددها \(n\) من اليسار من نفس النوع.

← الحل

المسألة 2

لتكن \(\mathbb{R}^+\) هي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة. أوجد كل الدوال \(f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+\) بحيث: لكل \(x\in\mathbb{R}^+\) يوجد عدد واحد بالضبط \(y\in\mathbb{R}^+\) تحقق أن: \[ xf(y)+yf(x)\leqslant 2. \]

← الحل

المسألة 3

ليكن \(k\) عدداً صحيحاً موجباً وليكن \(S\) مجموعة منتهية من الأعداد الأولية الفردية. أثبت أنه يوجد على الأكثر طريقة واحدة (باعتبار الدوران والانعكاس لا تعطي ترتيب جديد) لوضع عناصر \(S\) على دائرة بحيث حاصل ضرب أي عددين متجاورين يكون على الصورة \(x^2+x+k\) لقيمة صحيحة موجبة \(x\).

← الحل

المسألة 4

ليكن \(ABCDE\) خماسياً محدباً بحيث \(BC=DE\). لتكن النقطة \(T\) تقع داخل \(ABCDE\) بحيث \(TB=TD\)، \(TC=TE\) و \(\angle ABT=\angle TEA\). ليكن المستقيم \(AB\) يقطع المستقيمين \(CD\) و \(CT\) في النقطتين \(P\) و \(Q\) على التوالي. لتكن النقاط \(P,B,A,Q\) تقع على مستقيم بهذا الترتيب. ليكن المستقيم \(AE\) يقطع المستقيمين \(CD\) و \(DT\) في النقطتين \(R\) و \(S\) على التوالي. لتكن النقاط \(R,E,A,S\) تقع على مستقيم بهذا الترتيب. أثبت أن النقاط \(R,Q,S,P\) تقع على دائرة واحدة.

← الحل

المسألة 5

أوجد جميع الثلاثيات المرتبة \((a,b,p)\) من الأعداد الصحيحة الموجبة و \(p\) عدد أولي والتي تحقق أن: \[ a^p=b!+p \]

← الحل

المسألة 6

ليكن \(n\) عدداً صحيحاً موجباً. ”المربع الشمالي“ هو جدول \(n\times n\) يحتوي على جميع الأعداد الصحيحة من \(1\) إلى \(n^2\) بحيث تحتوي كل خلية على عدد واحد بالضبط. نعتبر الخليتين المختلفتين متجاورتين إذا كان لهما ضلع مشترك. يقال لخلية بأنها ”وادي“ إذا كانت تجاورها خلايا تحتوي على أعداد أكبر من العدد الذي تحتويه. نعرف ”المسار الشاق“ على أنه سلسلة تتكون من خلية واحدة أو أكثر تحقق:

(i) الخلية الأولى في المسار هي ”وادي“،

(ii) أي خلية تالية في السلسلة تكون مجاورة لخلية سابقة،

(iii) الأعداد المكتوبة في الخلايا المتتابعة في السلسلة تكون في ترتيب تصاعدي.

أوجد كدالة في \(n\) أصغر عدد ممكن من ”المسارات الشاقة“ في ”المربع الشمالي“.

← الحل