Problem 1

Consider the convex quadrilateral \(ABCD\). The point \(P\) is in the interior of \(ABCD\). The following ratio equalities hold: \[ \angle PAD:\angle PBA:\angle DPA =1:2:3 =\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC. \] Prove that the following three lines meet in a point: the internal bisectors of angles \(\angle ADP\) and \(\angle PCB\) and the perpendicular bisector of segment \(AB\).

Solution →

Problem 2

The real numbers \(a,b,c,d\) are such that \(a\ge b\ge c\ge d>0\) and \(a+b+c+d=1\). Prove that \[ (a+2b+3c+4d)\,a^a b^b c^c d^d<1. \]

Solution →

Problem 3

There are \(4n\) pebbles of weights \(1,2,3,\ldots,4n\). Each pebble is coloured in one of \(n\) colours and there are four pebbles of each colour. Show that we can arrange the pebbles into two piles so that the following two conditions are both satisfied:

• The total weights of both piles are the same.
• Each pile contains two pebbles of each colour.

Solution →

Problem 4

There is an integer \(n>1\). There are \(n^2\) stations on a slope of a mountain, all at different altitudes. Each of two cable car companies, \(A\) and \(B\), operates \(k\) cable cars; each cable car provides a transfer from one of the stations to a higher one (with no intermediate stops). The \(k\) cable cars of \(A\) have \(k\) different starting points and \(k\) different finishing points, and a cable car which starts higher also finishes higher. The same conditions hold for \(B\). We say that two stations are linked by a company if one can start from the lower station and reach the higher one by using one or more cars of that company (no other movements between stations are allowed).

Determine the smallest positive integer \(k\) for which one can guarantee that there are two stations that are linked by both companies.

Solution →

Problem 5

A deck of \(n > 1\) cards is given. A positive integer is written on each card. The deck has the property that the arithmetic mean of the numbers on each pair of cards is also the geometric mean of the numbers on some collection of one or more cards.

For which \(n\) does it follow that the numbers on the cards are all equal?

Solution →

Problem 6

Prove that there exists a positive constant \(c\) such that the following statement is true:

Consider an integer \(n>1\), and a set \(S\) of \(n\) points in the plane such that the distance between any two different points in \(S\) is at least \(1\). It follows that there is a line \(\ell\) separating \(S\) such that the distance from any point of \(S\) to \(\ell\) is at least \(cn^{-1/3}\).

(A line \(\ell\) separates a set of points \(S\) if some segment joining two points in \(S\) crosses \(\ell\).)

Note. Weaker results with \(cn^{-1/3}\) replaced by \(cn^{-\alpha}\) may be awarded points depending on the value of the constant \(\alpha>1/3\).

Solution →

Aufgabe 1

Man betrachte ein konvexes Viereck \(ABCD\). Der Punkt \(P\) liegt im Inneren von \(ABCD\). Es gelten die folgenden Verhältnisgleichungen: \[ \angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC. \] Man beweise, dass sich die folgenden drei Geraden in einem Punkt treffen: die inneren Winkelhalbierenden der Winkel \(\angle ADP\) und \(\angle PCB\) sowie die Mittelsenkrechte der Strecke \(AB\).

Lösung →

Aufgabe 2

Die reellen Zahlen \(a,b,c,d\) erfüllen \(a\ge b\ge c\ge d>0\) und \(a+b+c+d=1\). Man beweise, dass \[ (a+2b+3c+4d)\,a^a b^b c^c d^d<1. \]

Lösung →

Aufgabe 3

Gegeben seien \(4n\) Steine mit den Gewichten \(1,2,3,\ldots,4n\). Jeder Stein hat eine von \(n\) Farben, und es gibt vier Steine in jeder Farbe. Man zeige, dass die Steine so auf zwei Haufen verteilt werden können, dass die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

• Die beiden Haufen haben gleiches Gesamtgewicht.
• Jeder Haufen enthält zwei Steine jeder Farbe.

Lösung →

Aufgabe 4

Es sei \(n>1\) eine ganze Zahl. An einem Berghang befinden sich \(n^2\) Stationen, alle auf unterschiedlichen Höhen. Zwei Seilbahngesellschaften \(A\) und \(B\) betreiben jeweils \(k\) Seilbahnen; jede Seilbahn führt von einer der Stationen zu einer höhergelegenen (ohne Zwischenhalt). Die \(k\) Seilbahnen von \(A\) beginnen an \(k\) verschiedenen Punkten und enden an \(k\) verschiedenen Punkten, und wenn eine Seilbahn an einem höheren Punkt beginnt als eine andere, dann endet sie auch an einem höheren Punkt. Dieselben Bedingungen gelten auch für \(B\). Wir sagen, dass zwei Stationen von einer Gesellschaft verbunden werden, wenn man von der niedrigeren Station ausgehend die höhere Station durch Fahrten mit einer oder mehreren Seilbahnen dieser Gesellschaft erreichen kann (keine anderen Bewegungen zwischen Stationen sind erlaubt).

Man bestimme die kleinste positive ganze Zahl \(k\), für die man garantieren kann, dass es zwei Stationen gibt, die von beiden Gesellschaften verbunden werden.

Lösung →

Aufgabe 5

Gegeben sei ein Satz von \(n>1\) Karten. Auf jeder Karte steht eine positive ganze Zahl. Der Kartensatz hat die Eigenschaft, dass für jedes Paar von Karten das arithmetische Mittel der Zahlen auf diesen Karten zugleich das geometrische Mittel der Zahlen auf einer Auswahl von einer oder mehreren Karten ist.

Für welche \(n\) folgt daraus, dass die Zahlen auf den Karten alle gleich sind?

Lösung →

Aufgabe 6

Man zeige, dass es eine positive Konstante \(c\) gibt, für die folgende Aussage zutrifft:

Es sei \(n>1\) eine ganze Zahl und \(S\) eine Menge von \(n\) Punkten in der Ebene, für die der Abstand zwischen je zwei verschiedenen Punkten aus \(S\) mindestens \(1\) beträgt. Dann gibt es eine Gerade \(\ell\), die \(S\) spaltet und für die jeder Punkt aus \(S\) mindestens den Abstand \(cn^{-1/3}\) zu \(\ell\) hat.

(Eine Gerade \(\ell\) spaltet eine Punktmenge \(S\), wenn es eine Strecke zwischen zwei Punkten aus \(S\) gibt, die \(\ell\) schneidet.)

Hinweis. Falls eine schwächere Aussage mit \(cn^{-\alpha}\) anstelle von \(cn^{-1/3}\) bewiesen wird, können abhängig vom Wert der Konstanten \(\alpha>1/3\) Punkte vergeben werden.

Lösung →

Soru 1

\(ABCD\) dışbükey bir dörtgen olsun. \(P\) noktası, \(ABCD\) nin iç bölgesindedir. Aşağıdaki oran eşitlikleri sağlanmaktadır: \[ \angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC. \] \(\angle ADP\) açısının iç açıortayının, \(\angle PCB\) açısının iç açıortayının ve \([AB]\) doğru parçasının orta dikmesinin aynı noktadan geçtiğini gösteriniz.

Çözüm →

Soru 2

\(a,b,c,d\) gerçel sayıları için \(a\ge b\ge c\ge d>0\) ve \(a+b+c+d=1\) sağlanmaktadır. \[ (a+2b+3c+4d)\,a^a b^b c^c d^d<1 \] olduğunu gösteriniz.

Çözüm →

Soru 3

Ağırlıkları \(1,2,3,\ldots,4n\) olan \(4n\) tane taş bulunmaktadır. Her taş \(n\) renkten birine boyanmıştır ve her bir renk için o renge boyalı dört taş bulunmaktadır. Aşağıdaki her iki koşul aynı anda sağlanacak şekilde bu taşları iki öbeğe ayırabileceğimizi gösteriniz:

• İki öbeğin toplam ağırlıkları birbirine eşittir.
• Her bir öbekte her bir renkten tam olarak iki taş vardır.

Çözüm →

Soru 4

Bir \(n>1\) tam sayısı verilmiştir. Bir dağın yamacında farklı yüksekliklerde \(n^2\) istasyon bulunmaktadır. \(A\) ve \(B\) teleferik şirketlerinin her biri \(k\) teleferik seferi düzenlemektedir. Her teleferik seferi bir istasyondan başlayıp daha yüksekte bulunan başka bir istasyona aradaki hiçbir istasyonda durmadan yapılmaktadır. \(A\) şirketinin \(k\) seferinin başlangıç istasyonları birbirinden farklıdır. \(A\) şirketinin \(k\) seferinin bitiş istasyonları birbirinden farklıdır. \(A\) şirketinin iki teleferik seferinden başlangıç istasyonu daha yüksekte olanın bitiş istasyonu da daha yüksektedir. Aynı koşullar \(B\) şirketi için de sağlanmaktadır. İki istasyondan alçakta olandan yüksekte olana, aynı şirketin bir veya birden fazla seferi kullanılarak ulaşılabiliyorsa, bu iki istasyona o şirketle bağlı diyelim.

Hem \(A\) şirketiyle bağlı hem de \(B\) şirketiyle bağlı olan iki istasyonun bulunmasını garanti eden en küçük \(k\) pozitif tam sayısını belirleyiniz.

Çözüm →

Soru 5

\(n>1\) karttan oluşan bir deste verilmiştir. Her kartın üzerinde bir pozitif tam sayı yazılıdır. Herhangi iki kartın üzerindeki sayıların aritmetik ortalaması, destedeki bir veya birkaç kartın üzerindeki sayıların geometrik ortalamasına eşittir.

Hangi \(n\) tam sayıları için kartların üzerindeki sayıların hepsi eşit olmak zorundadır?

Çözüm →

Soru 6

Aşağıdaki önermeyi doğru kılan pozitif bir \(c\) sabiti bulunduğunu gösteriniz:

Düzlemde herhangi ikisinin arasındaki uzaklık en az \(1\) olan \(n>1\) noktadan oluşan herhangi bir \(S\) kümesi alındığında, \(S\) kümesindeki her noktadan uzaklığı en az \(cn^{-1/3}\) olan ve \(S\) deki noktaları ayıran bir \(\ell\) doğrusu bulunur.

(Bir \(\ell\) doğrusu, uçları \(S\) de olan en az bir doğru parçasını kesiyorsa \(\ell\) doğrusu \(S\) deki noktaları ayırır.)

Not. Bir \(\alpha>1/3\) gerçel sayısı için, \(cn^{-1/3}\) yerine \(cn^{-\alpha}\) için elde edilen sonuçlara \(\alpha\) nın değerine göre puan verilebilir.

Çözüm →

Problema 1

Considere el cuadrilátero convexo \(ABCD\). El punto \(P\) está en el interior de \(ABCD\). Asuma las siguientes igualdades de razones: \[ \angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC. \] Demuestre que las siguientes tres rectas concurren en un punto: la bisectriz interna del ángulo \(\angle ADP\), la bisectriz interna del ángulo \(\angle PCB\) y la mediatriz del segmento \(AB\).

Solución →

Problema 2

Los números reales \(a,b,c,d\) son tales que \(a\ge b\ge c\ge d>0\) y \(a+b+c+d=1\). Demuestre que \[ (a+2b+3c+4d)\,a^a b^b c^c d^d<1. \]

Solución →

Problema 3

Hay \(4n\) piedritas de pesos \(1,2,3,\ldots,4n\). Cada piedrita se colorea de uno de \(n\) colores de manera que hay cuatro piedritas de cada color. Demuestre que podemos colocar las piedritas en dos montones de tal forma que las siguientes dos condiciones se satisfacen:

• Los pesos totales de ambos montones son iguales.
• Cada montón contiene dos piedritas de cada color.

Solución →

Problema 4

Sea \(n>1\) un entero. A lo largo de la pendiente de una montaña hay \(n^2\) estaciones, todas a diferentes altitudes. Dos compañías de teleférico, \(A\) y \(B\), operan \(k\) teleféricos cada una. Cada teleférico realiza el servicio desde una estación a otra de mayor altitud (sin paradas intermedias). Los teleféricos de la compañía \(A\) parten de \(k\) estaciones diferentes y acaban en \(k\) estaciones diferentes; igualmente, si un teleférico parte de una estación más alta que la de otro, también acaba en una estación más alta que la del otro. La compañía \(B\) satisface las mismas condiciones. Decimos que dos estaciones están unidas por una compañía si uno puede comenzar por la más baja y llegar a la más alta con uno o más teleféricos de esa compañía (no se permite otro tipo de movimientos entre estaciones).

Determine el menor entero positivo \(k\) para el cual se puede garantizar que hay dos estaciones unidas por ambas compañías.

Solución →

Problema 5

Se tiene una baraja de \(n>1\) cartas, con un entero positivo escrito en cada carta. La baraja tiene la propiedad de que la media aritmética de los números escritos en cada par de cartas es también la media geométrica de los números escritos en alguna colección de una o más cartas.

¿Para qué valores de \(n\) se tiene que los números escritos en las cartas son todos iguales?

Solución →

Problema 6

Pruebe que existe una constante positiva \(c\) para la que se satisface la siguiente afirmación:

Sea \(n>1\) un entero y sea \(S\) un conjunto de \(n\) puntos del plano tal que la distancia entre cualesquiera dos puntos diferentes de \(S\) es al menos \(1\). Entonces existe una recta \(\ell\) separando \(S\) tal que la distancia de cualquier punto de \(S\) a \(\ell\) es al menos \(cn^{-1/3}\).

(Una recta \(\ell\) separa un conjunto de puntos \(S\) si \(\ell\) corta a alguno de los segmentos que une dos puntos de \(S\).)

Nota. Los resultados más débiles que se obtienen al sustituir \(cn^{-1/3}\) por \(cn^{-\alpha}\) se podrán valorar dependiendo del valor de la constante \(\alpha>1/3\).

Solución →

问题 1

考虑凸四边形 \(ABCD\). 设 \(P\) 是 \(ABCD\) 内部一点. 且以下比例等式成立: \[ \angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC. \] 证明: \(\angle ADP\) 的内角平分线、\(\angle PCB\) 的内角平分线和线段 \(AB\) 的垂直平分线三线共点.

解答 →

问题 2

设实数 \(a,b,c,d\) 满足 \(a\ge b\ge c\ge d>0\), 且 \(a+b+c+d=1\). 证明: \[ (a+2b+3c+4d)\,a^a b^b c^c d^d<1. \]

解答 →

问题 3

有 \(4n\) 枚小石子, 重量分别为 \(1,2,3,\ldots,4n\). 每一枚小石子都染了 \(n\) 种颜色之一, 使得每种颜色的小石子恰有四枚. 证明: 我们可以把这些小石子分成两堆, 同时满足以下两个条件:

• 两堆小石子有相同的总重量;
• 每一堆恰有每种颜色的小石子各两枚.

解答 →

问题 4

给定整数 \(n>1\). 在一座山上有 \(n^2\) 个高度互不相同的缆车车站. 有两家缆车公司 \(A\) 和 \(B\), 各运营 \(k\) 辆缆车; 每辆从一个车站运行到某个更高的车站 (中间不停留其他车站). \(A\) 公司的 \(k\) 辆缆车的 \(k\) 个起点互不相同, \(k\) 个终点也互不相同, 并且起点较高的缆车, 它的终点也较高. \(B\) 公司的缆车也满足相同的条件. 我们称两个车站被某个公司连接, 如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站 (中间不允许在车站之间有其他移动).

确定最小的正整数 \(k\), 使得一定有两个车站被两个公司同时连接.

解答 →

问题 5

有一叠 \(n>1\) 张卡片. 在每张卡片上写有一个正整数. 这叠卡片具有如下性质: 其中任意两张卡片上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值.

确定所有的 \(n\), 使得可以推论出这叠卡片上的数均相等?

解答 →

问题 6

证明: 存在正常数 \(c\) 具有如下性质:

对任意整数 \(n>1\), 以及平面上 \(n\) 个点的集合 \(S\), 若 \(S\) 中任意两点之间的距离不小于 \(1\), 则存在一条分离 \(S\) 的直线 \(\ell\), 使得 \(S\) 中的每个点到直线 \(\ell\) 的距离不小于 \(cn^{-1/3}\).

(我们称直线 \(\ell\) 分离 点集 \(S\), 如果某条以 \(S\) 中两点为端点的线段与 \(\ell\) 相交.)

注. 如果证明了比 \(cn^{-1/3}\) 弱的估计 \(cn^{-\alpha}\), 会根据 \(\alpha>1/3\) 的值, 适当给分.

解答 →

Задача 1

Внутри выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) нашлась точка \(P\), такая что выполняются равенства \[ \angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC. \] Докажите, что следующие три прямые пересекаются в одной точке: внутренние биссектрисы углов \(\angle ADP\) и \(\angle PCB\) и серединный перпендикуляр к отрезку \(AB\).

Решение →

Задача 2

Даны вещественные числа \(a,b,c,d\), такие что \(a\ge b\ge c\ge d>0\) и \(a+b+c+d=1\). Докажите, что \[ (a+2b+3c+4d)\,a^a b^b c^c d^d<1. \]

Решение →

Задача 3

Имеется \(4n\) камушков массами \(1,2,3,\ldots,4n\). Каждый из камушков покрашен в один из \(n\) цветов, причём имеется по 4 камушка каждого цвета. Докажите, что камушки можно разделить на две кучи равного суммарного веса так, чтобы в каждой куче было по два камушка каждого цвета.

Решение →

Задача 4

Дано целое число \(n>1\). На горном склоне расположено \(n^2\) фуникулёрных станций на разных высотах. Каждая из двух фуникулёрных компаний \(A\) и \(B\) владеет \(k\) подъёмниками. Каждый подъёмник осуществляет регулярный беспересадочный трансфер с одной из станций на другую, более высоко расположенную станцию. \(k\) трансферов компании \(A\) начинаются на \(k\) различных станциях; также они заканчиваются на \(k\) различных станциях; при этом трансфер, который начинается выше, и заканчивается выше. Те же условия выполнены для компании \(B\). Будем говорить, что две станции связаны фуникулёрной компанией, если можно добраться из нижней станции в верхнюю, используя один или несколько трансферов данной компании (другие перемещения между станциями запрещены). Найдите наименьшее \(k\), при котором заведомо найдутся две станции, связанные обеими компаниями.

Решение →

Задача 5

Имеется \(n>1\) карточек, на каждой из которых написано целое положительное число. Оказалось, что для любых двух карточек среднее арифметическое написанных на них чисел равно среднему геометрическому чисел, написанных на карточках некоторого набора, состоящего из одной или более карточек. При каких \(n\) из этого следует, что все числа, написанные на карточках, равны?

Решение →

Задача 6

Докажите, что существует положительная константа \(c\), для которой выполняется следующее утверждение:

Пусть \(S\) — множество из \(n>1\) точек плоскости, в котором расстояние между любыми двумя точками не меньше 1. Тогда существует прямая \(\ell\), разделяющая множество \(S\), такая что расстояние от любой точки \(S\) до \(\ell\) не меньше чем \(cn^{-1/3}\).

(Прямая \(\ell\) разделяет множество точек \(S\), если она пересекает некоторый отрезок, концы которого принадлежат \(S\).)

Замечание. Более слабые результаты с заменой \(cn^{-1/3}\) на \(cn^{-\alpha}\) могут оцениваться в зависимости от значения константы \(\alpha>1/3\).

Решение →

المسألة 1

ليكن \(ABCD\) رباعيا محدبا، والنقطة \(P\) تقع داخله. بحيث يتحقق التناسب التالي \[ \angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC \] أثبت أن المستقيمات الثلاثة الآتية تتقاطع في نقطة: المنصفان الداخليان للزاويتين \(\angle ADP\) و \(\angle PCB\) والعمود المنصف للقطعة المستقيمة \(AB\).

← الحل

المسألة 2

الأعداد الحقيقية \(a,b,c,d\) تحقق أن \(a\ge b\ge c\ge d>0\) و \(a+b+c+d=1\). أثبت أن \[ (a+2b+3c+4d)\,a^a b^b c^c d^d<1 \]

← الحل

المسألة 3

هناك \(4n\) من الحصى أوزانها \(1,2,3,\ldots,4n\). كل حصاة ملونة بلون من \(n\) من الألوان وهناك \(4\) من الحصى لكل لون. أثبت أنه يمكننا ترتيب الحصى إلى كومتين بحيث يتحقق الشرطان التاليان معاً:

• الوزن الكلي لكل من الكومتين متساو.
• كل كومة تحتوي حصاتين من كل لون.

← الحل

المسألة 4

لدينا عدد صحيح \(n>1\). هناك \(n^2\) محطة على سفح جبل بارتفاعات مختلفة. كل من شركتي التلفريك \(A\) و \(B\)، تشغل \(k\) من العربات، وكل عربة تنقل الركاب من إحدى المحطات إلى محطة أعلى منها دون توقف عند محطة وسيطة. الـ \(k\) عربة الخاصة بالشركة \(A\) لها \(k\) نقطة بداية مختلفة و \(k\) نقطة نهاية مختلفة، والعربة التي تبدأ من نقطة أعلى من عربة أخرى تنتهي عند نقطة أعلى منها أيضاً. نفس الشروط تنطبق على الشركة \(B\). يقال لمحطتين بأنهما مرتبطتان عن طريق شركة إذا استطاع الراكب الانتقال من محطة سفلى إلى محطة عليا باستخدام عربة أو أكثر من نفس الشركة (لا يمكن التنقل بين المحطات بوسيلة مواصلات أخرى).

عين أصغر عدد صحيح موجب \(k\) الذي يضمن وجود محطتين مرتبطتين عن طريق كلا الشركتين.

← الحل

المسألة 5

لدينا \(n>1\) من الكروت المعطاة. تم كتابة عدد صحيح موجب على كل كرت. مجموعة الكروت تحقق أن الوسط الحسابي لأي عددين على زوج من الكروت يساوي الوسط الهندسي للأعداد المكتوبة على مجموعة كروت أخرى (مكونة من بطاقة أو أكثر).

لأي قيم \(n\) يقتضي ذلك أن جميع الأعداد على الكروت متساوية؟

← الحل

المسألة 6

أثبت وجود ثابت موجب \(c\) يجعل العبارة الآتية صحيحة:

إذا اعتبرنا عدداً صحيحاً \(n>1\)، ومجموعة \(S\) من \(n\) نقطة في المستوى بحيث تكون المسافة بين أي نقطتين في \(S\) تساوي \(1\) على الأقل، فإنه يوجد مستقيم \(\ell\) يفصل نقاط \(S\) بحيث تكون المسافة من أي نقطة في \(S\) إلى \(\ell\) تساوي \(cn^{-1/3}\) على الأقل.

(المستقيم \(\ell\) يفصل مجموعة نقاط \(S\) إذا وجدت قطعة مستقيمة تصل نقطتين من \(S\) وتقطع \(\ell\))

ملاحظة. من الممكن منح درجات جزئية على النتيجة البديلة الأضعف \(cn^{-\alpha}\) بدلا من \(cn^{-1/3}\) اعتمادا على قيمة \(\alpha>1/3\).

← الحل